Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans l espace Dans tous les exercices, sauf quand cela est précisé, on considère un repère orthonormal de l espace ; ; ;. Partie A : Repère et vecteurs coplanaires Exercice On considère la droite passant par ; ; et de vecteur directeur. Pour chacun des points suivants, précisez s ils appartiennent à : 3; ; ; 5; ; ; ; ; ; ; ; 3 On considère les points ; 3; et 5; ;. ) Déterminer les coordonnées de et tels que et 3. ) Déterminer les coordonnées du milieu de. 3) Déterminer les coordonnées du point barycentre de ; et ; 3. Les points ; ;, ; ; 4 et ; ; 3 sont-ils alignés? Justifier. Déterminer et pour que et soient colinéaires. 5 Exercice 5 On considère les points 3; ;, 5; ;, ; 3; et ; ;. ) Les points,, et sont-ils coplanaires? Justifier. ) On considère ; 5;. Déterminer pour que,, et soient coplanaires. Exercice 6 On considère ; ; et ; ;. est le symétrique de par rapport à. Déterminer les coordonnées de puis démontrer que est une triangle rectangle isocèle. Exercice 7 On considère ; ;, ; ;, 5; ; et ; ; Démontrer que est un parallélogramme. Est-ce un losange, un rectangle, un carré? Exercice 8 est un cube. Les points et sont les milieux respectifs de et. ) Montrer que les droites et sont sécantes. ) Les droites et sont-elles sécantes? Justifier. Exercice 9 On considère trois vecteurs, et et un point. ; ; ; est-il un repère de l espace? 3
Exercice On considère les points ; ;, ; ; et ; 3; ainsi que le vecteur. ) Démontrer que, et ne sont pas alignés. ) Les vecteurs, et sont-ils coplanaires? Justifier. 3) La droite passant par et de vecteur directeur coupe le plan en un point. Déterminer ses coordonnées. Exercice On considère les points ; 5; 3, ; 5; 3, ; 8; 3 et ; Calculer,, et. Que peut-on dire de? ; 3. Partie B : Produit scalaire dans l espace Exercice On considère le cube d arête et de centre. Calculer en fonction de :. ;. ;. et. est une pyramide à base carré et à sommet dont toutes les arêtes ont la même mesure. Calculer en fonction de :. ;. ;.. On considère un triangle rectangle en avec 3. Un point se projette orthogonalement en sur le plan et on a. Calculer en fonction de :. ;. ;. ;. ;.. On considère les points ; ;, ; ; et ; ; 3. Déterminer une valeur approchée des angles du triangle à, près. Exercice 5 On considère les points ; ;, ; 3;, ; 3; et ; ;. ) Démontrer que et que, et sont orthogonaux deux à deux. ) Déterminer les coordonnées de,, et pour que soit un cube. Partie C : Orthogonalité Exercice On considère ; 3;, 8; ; 4 et 3; ; 5. Déterminer pour que et soient orthogonaux. On considère les points ; 3; 5 et 4; ; 3. Déterminer une équation du plan médiateur de. On considère les points ; ;, ; ; et ; ; 3. Déterminer une équation du plan contenant et perpendiculaire à.
Partie D : Equations de plan et exercices bilan Exercice 8 On considère ; ;, ; 3; 4, 3; ; et le vecteur 5. 7 ) Vérifier que, et ne sont pas alignés. ) Calculer. et.. 3) En déduire une équation du plan. On considère les points ; ; 3, ; ; 5, 3; ; 4. ) Montrer que et ne sont pas colinéaires. ) Démontrer que est normal au plan si et seulement si 3) En déduire un vecteur normal à puis une équation de. On considère ; ; 5 et ; 3; 4 ainsi que le plan d équation. ) Démontrer que et ne sont pas parallèles. ) Déterminer les coordonnées de, intersection de et. On considère le plan d équation et un point ; ;. ) Déterminer une équation du plan passant par ; ; et de vecteur normal. ) Montrer que et sont perpendiculaires. 3) Calculer la distance de à puis à. 4) En déduire la distance de à la droite d intersection de et.
Correction exercices supplémentaires : Espace Partie A : Repère et vecteurs coplanaires Exercice donc et 3 3 et ne sont clairement pas colinéaires donc donc on a et donc donc et ne sont pas colinéaires et 3 3 6 4 ) 3 4 3 8 donc 4; ; 6 4 6 ) 3) et 4 3 ; ; ; donc ; ; 9 ; 4 donc ; 9; 4 donc et les vecteurs et sont colinéaires et, et sont alignés. et sont colinéaires donc leurs coordonnées sont proportionnelles. Avec les abscisses et ordonnées : d où 4 Avec les abscisses et côtés : 5 d où Exercice 5 5 9 ) ; et. On cherche s il existe deux réels et tels que : 5 9 9 9 donc donc,, et sont coplanaires. ) 4,, et sont coplanaires donc il existe deux réels et tels que. 5 5 9 9 4 4 8 4 8 donc on doit choisir 3 3 Exercice 6 est le symétrique de par rapport à donc est le milieu de et donc ; ;
8 4 4 8 6 4 8 On voit que donc est isocèle en. De plus 6 et 8 8 6 donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, est rectangle en. Exercice 7 3 3 et donc et est bien un parallélogramme. 3 9 4 4 7 3 9 4 3. n a pas deux côtés consécutifs de même longueur donc ce n est ni un losange, ni un carré. 6 36 4 4 donc donc le triangle n est pas rectangle en et n est pas un rectangle. Exercice 8 ) On se place dans le repère ; ; ;. ; ; et ; ; et : et ne sont pas colinéaires donc et ne sont pas parallèles. De plus,. Cherchons s il existe et tels que : donc donc,, et sont bien coplanaires et donc et sont sécantes., et On cherche s il existe et tels que : donc et n existe pas. Les points,, et ne sont pas coplanaires donc les droites et ne sont pas sécantes. Exercice 9 On doit démontrer que, et ne sont pas coplanaires. Pour cela, on cherche et tels que : donc et n existe pas et, et ne sont pas coplanaires et on a bien un repère de 3 l espace.
Exercice ) et Ces vecteurs ne sont clairement pas colinéaires donc, et ne sont pas alignés. ) On cherche et tels que : ce qui est clairement impossible donc, et ne sont pas coplanaires. 3) est un point de la droite passant par et de vecteur directeur donc et sont colinéaires et il existe un réel tel que donc d où ; ;. De plus donc, et sont coplanaires et il existe et tels que avec donc ; ; Exercice 3 9 3 3 9 3 3 3 3 3 3 9 4 9 4 9 9 3 3 9 4 9 4 9 9 3 On peut donc dire que est un tétraèdre régulier Partie B : Produit scalaire dans l espace Exercice.. car cos ; car le triangle est rectangle isocèle en avec donc et 45...... Car est perpendiculaire à mais aussi à..... cos. Car est un triangle rectangle isocèle en..... cos ; cos6 car est équilatéral.... cos. car est isocèle rectangle en d après le produit scalaire précédent.
Commençons par calculer les côtés du triangle en fonction de : cos donc cos cos3. De la même manière, sin.. cos 3 3 cos3 3. 3 4 car est perpendiculaire à donc est orthogonale à toute droite du plan........ 3 3..... cos cos6 4 4 3 et donc. 3 mais aussi. cos 5 cos d où cos et donc 8,3. et donc. 64 mais aussi. 5 4cos d où 3 cos et donc 6,4. 63 mais aussi. 4cos d où cos 36,3 et donc Exercice 5 ) 3 donc on a bien... donc et sont orthogonales... donc et sont orthogonales.. donc et sont orthogonales. ) est un cube donc est une face donc un carré et d où 3 et donc 4 et donc ;4; De même est un carré et donc d où 3 et ;3; est aussi un carré avec et donc 3 et ;3;
est aussi un carré avec donc 3 3 et ;3; Partie C : Orthogonalité Exercice 6 6 et sont orthogonaux. 5.53 5 56 665535563665553586 86 5 On note le plan médiateur de : il passe par le milieu de avec ;; et est orthogonal à. 6..4648 8 648..3 3 Partie D : Equations de plan et exercices bilan Exercice 4 ) 4 et et ne sont clairement pas colinéaires donc, et ne sont pas alignés. 4 8 4 8 ). 4.58668 et..5357 4 7 7 3) On déduit de la question précédente que est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de donc est un vecteur normal à. Une équation de est donc 857. Pour déterminer, on peut utiliser les coordonnées de : 857 d où 8577 est une équation de. ) et On cherche s il existe un réel tel que autrement dit ce qui donne C est clairement impossible donc et ne sont pas colinéaires. ) normal à.. 3) 4 On peut donc choisir 5 ; 3 et 4. Une équation de est donc 354. donc 3 donc 9. Une équation de est 3549
) est un vecteur normal à.. 4.483 donc et ne sont par orthogonaux et n est pas parallèle à. ) On considère ; ; intersection de et. Comme, et sont colinéaires et il existe un réel tel que ou encore 4 4. 5 5 donc 4 5 4 8 5 3 3 On a donc 3; 5; 6 ).. ) est normal à... donc et sont orthogonaux et les plans et sont orthogonaux également. 3) ; ; 4) En notant le projeté orthogonal de sur, le projeté orthogonal de sur et le projeté orthogonal de sur alors est un rectangle et dans le triangle rectangle en : avec la distance de à la droite d intersection de et, ; et ; d où 4 et donc