U.P.S. I.U.T., Déparemen d Informaique nnée 9- Mahémaiques discrèes Chapire : Théorie des ensembles. Définiions Définiion On appelle ensemble oue collecion d objes caracérisés par une propriéé commune. Eemples Les ensembles usuels : N : Z : Q : R : C : Définiion Les objes qui consiuen un ensemble s appellen les élémens de ce ensemble. Noaion : es un élémen de l ensemble E se noe E. n es pas élémen de l ensemble E se noe / E. enion : le langage couran donne parfois des définiions qui ne son pas précises e ne son pas permises mahémaiquemen. Eemple Le paradoe de Russell : Soi E l ensemble des ensembles qui ne s appariennen pas à eu-mêmes. On se demande si E s apparien à lui-même? Si c es le cas c es qu il ne s apparien pas à lui-même donc il a une conradicion. Si ce n es pas le cas, alors il apparien à E donc il a égalemen une conradicion. En fai en héorie des ensembles on doi définir des objes en se plian à des règles rès srices [qui son au-delà du conenu de ce cours], ce qui inerdi de considérer un ensemble el que E. Définiion : Soi E un ensemble e un aure ensemble. On di que es un sous-ensemble de E, ou une parie de E si ou élémen de es aussi élémen de E. On noe alors Eemples E, es inclus dans E. N Z Q R C Propriéés : i) réfleivié : (ou ensemble es inclus dans lui-même), ii) anismérie : si B e B, alors = B, iii) ransiivié : si B e B C, alors C. Définiions on appelle ensemble vide, e on noe, l ensemble qui ne conien aucun élémen. Par convenion,
es donc un sous-ensemble de n impore quel ensemble. un ensemble aan un seul élémen es un singleon. Si ce élémen s appelle a, on le noera {a} singleon a. un ensemble aan deu élémens s appelle une paire. Si ces élémens son a e b, on noera {a, b} paire a, b. Définiion Si un ensemble E a un nombre fini d élémens, on di que c es un ensemble fini e on peu donner la lise de ses élémens enre accolades : {...}, l ordre n aan pas d imporance. C es la noaion en eension. Le nombre d élémens de E s appelle le cardinal de E, noé CardE ou #E. Eemples 4 E = {,, } F = {,,..., n} G = {,,,..., n} Eercice de cours. a) Déerminer (en eension) l ensemble X des eniers compris enre 6 e (au sens large). Quel es son cardinal? b) Déerminer l ensemble Y des eniers compris enre 6 e (au sens sric). Quel es son cardinal? c) Déerminer l ensemble Z des eniers plus peis que don le carré se ermine par 6. Quel es son cardinal? Noaion par sélecion : on noe { E P()} l ensemble des élémens de E qui vérifien la propriéé P(). Eemples 5 { N es pair}, { Z es un carré}. Noaion : N k es l ensemble des eniers naurels inférieurs ou égau à k : N k = {n N n k}. Eercice de cours. On noe = N = {,,,..., } l ensemble des eniers enre e. Pour chacun des ensembles suivans, donner la lise de ses élemens e son cardinal : B = { es un carré}, C = {n n es la somme de deu carrés}, D = {n n es un muliple de 7}. Remarque : un ensemble peu êre élémen d un aure ensemble. Eemple 6 Soi l ensemble des joueurs de l équipe de rugb de Toulouse, e B l ensemble des équipes françaises de rugb. lors B.
Définiion Soi E un ensemble. On appelle ensemble des paries de E, noé P(E), l ensemble de ous les sousensembles de E. Eemples 7 E = {a, b} (CardE = ), alors P(E) = E = {a} (CardE = ), alors P(E) = E = (CardE = ), alors P(E) = Proposiion Soi E un ensemble fini de cardinal n. lors P(E) es aussi un ensemble fini, e Card(P(E)) = n. preuve : nous démonrerons ce résula plus ard. Eercice de cours. On considère E = {a, b, c}. Quel es le cardinal de E? Donner l ensemble P(E) des paries de E. Vérifier que la formule de la proposiion ci-dessus es valable.. Opéraions sur les ensembles. Complémenaire Définiion Soi E un ensemble, e E. On appelle complémenaire de dans E l ensemble de ous les élémens de E qui n appariennen pas à. Noaion : = E \ = { E / }. E _ Figure Diagramme sagial représenan une parie e son complémenaire Propriéés : = E, E =, si B alors B, =.
. Inersecion Définiion Soi E un ensemble, e B deu paries de E. On appelle inersecion de e B l ensemble de ous les élémens de E communs à e B, c es-à -dire qui appariennen simulanémen à e à B. Noaion : B = { E e B}. B E B Figure Diagramme sagial représenan deu paries e B de E, ainsi que leur inersecion. Réunion Définiion Soi E un ensemble, e B deu paries de E. On appelle réunion de e B l ensemble de ous les élémens de E qui appariennen à ou à B (ou bien au deu...) Noaion : B = { E ou B}. NB : le ou dans la formule ci-dessus es inclusif :, ou B, ou les deu à la fois! B B E Figure Diagramme sagial représenan deu paries e B de E, ainsi que leur réunion Eemples 8 = { N es un muliple de } e B = { N es un muliple de }. lors B es = [, ] e B = [, + [. lors B = B = Eercice de cours 4. On considère = {,,..., }, e les sous-ensembles suivans : B = {n n es impair}, C = {n n es un muliple de }. Déerminer B e C (en eension). Déerminer \ B, \ C, B C, B C. on donnera ces ensembles par la lise de leurs élémens 4
.4 Propriéés de e Soi E un ensemble, e, B, C rois paries de E. ) E = ) E = ) = 4) = 5) = 6) = 7) = 8) = 9) B = ) B = ) B B ) (B C) = ) (B C) = 4) (B C) = 5) (B C) = preuve par eemple de 4) Proposiion : Caracérisaion du complémenaire Soi E. lors l unique ensemble B qui vérifie es le complémenaire de. preuve B : prenons B B = e B = E B : prenons En praique, lorsque l on veu monrer qu un ensemble B es le complémenaire d un ensemble, il es parfois plus facile de vérifier que B = e B = E. Théorème : lois de Morgan Soi E un ensemble, e B deu paries de E. lors preuve : pour la première : ( B) ( B) = B = B, B = B. ( B) ( B) = Eercice de cours 5. Monrer la deuième loi de Morgan. 5
.5 Différence Définiion : Soien e B deu paries de l ensemble E. On appelle différence de e de B l ensemble des élémens de qui n appariennen pas à B. Noaion : \ B = { E e / B}. \ B E B Figure 4 Diagramme sagial représenan deu paries e B de E, ainsi que leur différence. Propriéés : \ B = B \ B = \ ( B), ( \ B) (B \ ) =. preuve :. Produi carésien Soien E e F deu ensembles. On appelle produi carésien de E e F, noé E F, l ensemble des couples où le premier élémen apparien à E e le deuième à F : E F = {(, ) E e F }. enion : dans un couple, l ordre es imporan. Si (a, b) E F alors (b, a) F E. Eemple 9 E = F = R : R R aussi noé R es l ensemble des couples de réels. Si on se donne un repère du plan, alors R perme de repérer les poins de ce plan par leurs coordonnées dans le repère. Définiion : Soien E, E,...,E n des ensembles. On noe E E... E n = {(,,..., n ) E, E... n E n }, on di que (,,..., n ) es un n-uple. Cas pariculier : si ous les E i son ideniques, on noe E n. Eemples : R,R,C, ec... 6
4. pplicaions e foncions Définiions : Soien E e F deu ensembles. Une applicaion f : E F es la donnée d une parie G f de E F elle que, pour ou E, il eise un unique F el que (, ) G f. On di que es l image de par l applicaion f, e on noe = f(). G f es le graphe de l applicaion f. Si = f(), on di que es un anécéden de par f. E es l ensemble de dépar e F l ensemble d arrivée de l applicaion f. Lorsque les ensembles E e F son des ensembles finis, on peu représener une applicaion f : E F par un diagramme sagial comme sur la figure ci-dessous : a b c d e f Eemple On a ici E = F = f(a) = f(b) = anécéden(s) de : anécéden(s) de : anécéden(s) de : anécéden(s) de : Remarques rès imporanes : ) Tou élémen de l ensemble de dépar adme une unique image par l applicaion f, ) Un élémen de l ensemble d arrivée peu admere un, plusieurs ou aucun anécéden par f. Eercice de cours 6. On considère l applicaion g donnée par le diagramme sagial ci-dessous. Quels son les ensembles de dépar e d arrivées de g? Déerminer les images par g de a, de b, de c. Déerminer les anécédens par g de, de, de, de. Eercice de cours 7. On considère l applicaion h donnée par le diagramme sagial ci-dessous. Quels son les ensembles de dépar e d arrivées de h? Déerminer les images par h de, de, de. Déerminer les anécédens par h de, de, de, de. Définiion : une foncion de E dans F es une applicaion d une sous-ensemble D(f) E dans F. On di que D(f) es le domaine de définiion de la foncion f. 7
a g h b c d e 4 Image direce e réciproque d une parie Définiion : Soi f : E F une applicaion. si E, on appelle image de la parie par f l ensemble des images par f des élémens de, noé f() : f() = {f() }. f() es un sous-ensemble de F. si B F, on appelle image réciproque de la parie B par f l ensemble des élémens de don l image par f apparien à B, noé f (B) : f (B) es un sous-ensemble de E. Eemple f (B) = { E f() B}. Reprenons l applicaion f : E F donnée par le diagramme sagial ci-dessus. Nous avons donc E = e F = f({a, b}) = f({b, c, d, e}) = f ({, }) = f ({,, }) = f ({}) = Eercice de cours 8. Reprenons l applicaion g : E F donnée par le diagramme sagial ci-dessus. Nous avons donc E = e F = Déerminer les ensembles suivans : g({a, b}) = g({b, c, d, e}) = g ({, }) = g ({,, }) = g ({}) = Définiions : Soi f : E F une applicaion. f es une injecion si ou élémen de F adme au plus un anécéden par f. On dira aussi f es injecive. f es une surjecion si ou élémen de F adme au moins un anécéden par f. On dira aussi f es surjecive. f es une bijecion si ou élémen de F adme eacemen un anécéden par f, auremen di si c es à la fois une injecion e une surjecion. On dira aussi f es bijecive. 8
Eercice de cours 9. Pour chaque diagramme sagial suivan, préciser si l applicaion définie par ce diagramme es injecive/surjecive/bijecive/ni injecive ni surjecive : 4 u u 4 u Cas des ensembles finis : Soien E e F deu ensembles finis, CardE = n e CardF = m. s il eise une injecion f : E F alors n m, s il eise une surjecion f : E F alors n m, s il eise une bijecion f : E F alors n = m. 9