ANTILLES-GUYANE Série S Setembre 2000 Exercice. Ue fourmi se délace sur les arêtes de la yramide ABCDS. Deuis u sommet quelcoque, elle se dirige au hasard (o suose qu il y a équirobabilité) vers u sommet voisi ; o dit qu elle «fait u as». S D C A B La fourmi se trouve e A. a) Arès avoir fait deux as, quelle est la robabilité qu elle soit : E A? E B? E C? E D? b) Pour tout ombre etier aturel strictemet ositif, o ote : S, l évéemet : «La fourmi est au sommet S arès as», et la robabilité de cet évéemet. Doer. E remarquat que S S S, motrer que : + + ( ) + 2. O cosidère la suite ( ), défiie our tout etier aturel strictemet ositif ar : + ( ) PaaMaths [ - 7] Mai 2002
a) Motrer ar récurrece que, our tout etier aturel strictemet ositif, o a. b) Détermier lim. + PaaMaths [2-7] Mai 2002
Aalyse Cet exercice aborde le thème des chemis robabilistes. Il est coseillé, our commecer, de choisir ue otatio cohérete our désiger les robabilités demadées et meer les calculs requis ( ère questio). La deuxième questio cosiste e ue étude de suite simlifiée. Résolutio E guise de réambule, ous devos souliger que, du oit de vue des robabilités, le assage d u sommet de la yramide vers u autre sommet via l arête les liat, déed du sommet de déart. E effet, si la fourmi se trouve e S, elle eut faire u as vers 4 autres sommets ossibles : A, B, C et D. Pour chacu de ces as, la robabilité qu il soit réalisé est de 4 uisqu il y a équirobabilité du choix du sommet d arrivée. Si, e revache, la fourmi se trouve sur l u des 4 sommets A, B, C ou D, alors elle e eut faire u as «que» vers autres sommets. Das ce cas, la robabilité de chacu de ces as est de. Pour teir comte de cette remarque, ous oteros désormais ( A B) (ar exemle) la robabilité d aller du sommet A au sommet B e assat ar l arête liat les deux sommets. Si ous souhaitos cosidérer u arcours (ou ue artie d u arcours) comortat lusieurs A B S, la robabilité d aller du sommet A sommets, ous oteros, ar exemle : ( ) au sommet S e assat ar le sommet B. Les as état idéedats, o a, ar exemle : ( A B S) ( A B) ( B S). Questio.a. La fourmi se trouve e A. Arès deux as, o souhaite que la fourmi soit à ouveau e A. Les chemis ossibles sot : A B A, A D A et A S A. Si ous otos ( A) la robabilité cherchée, o a : ( A) ( A B A) + ( A D A) + ( A S A) ( A B) ( B A) + ( A D) ( D A) + ( A S) ( S A) 2 + + + 4 4 2 6 PaaMaths [ - 7] Mai 2002
Arès deux as, o souhaite que la fourmi soit e B. Le seul chemi ossible est : A S B. Si ous otos ( B) la robabilité cherchée, o a : ( B) ( A S B) ( A S) ( S B) 4 2 Arès deux as, o souhaite que la fourmi soit e C. Les chemis ossibles sot : A B C, A D C et A S C. Si ous otos ( C) la robabilité cherchée, o a : ( A) ( A B C) + ( A D C) + ( A S C) ( A B) ( B C) + ( A D) ( D C) + ( A S) ( S C) 2 + + + 4 4 2 6 Remarque : Au regard des chemis ossibles et des robabilités qui leur sot associées, il est strictemet équivalet, artat du sommet A de retourer e A ou d aller e C. Ce résultat est exrimé das l égalité : ( A) ( C). 6 Arès deux as, o souhaite que la fourmi soit e B. Comme ci-dessus, o eut remarquer que, artat de A et effectuat deux as, les sommets B et D sot équivalets. Nous détaillos éamois les calculs. Le seul chemi ossible est : A S D. Si ous otos ( D) la robabilité cherchée, o a : O a bie obteu : ( ) ( ) B D. 2 ( D) ( A S D) ( A S) ( S D) 4 2 PaaMaths [4-7] Mai 2002
Questio.b. La fourmi se trouve toujours e A (cette hyothèse état utilisée our les deux questios.a. et.b.). S est l évéemet : «La fourmi est au sommet S arès as» et sa robabilité. est doc la robabilité que la fourmi, artat de A, se rede e S. Comme la fourmi, e artat de A, eut atteidre trois sommets (B, D et S) de faço équirobable, o a : Cosidéros maiteat l évéemet S + : «La fourmi est au sommet S arès + as». Pour que cet évéemet se roduise, il est écessaire que la fourmi e soit as e S arès as (car alors au as suivat, le + ème, elle sera e A, B, C ou D). Or l évéemet «La fourmi est as e S arès as» est simlemet : S. La coditio écessaire récédete s écrit doc : S + S, c est à dire : S+ S+ S. Il viet alors : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) P S P S S P S S P S P S S P S P S S + + + + + + Or ( S S) P + est la robabilité que la fourmi soit e S arès + as sachat qu elle est as e S arès as, c est à dire sachat qu elle est e A, B, C ou D arès as. Or, la robabilité d atteidre S e artat de A, B, C ou D vaut. Il viet doc, fialemet : Questio 2.a. O cosidère la suite ( ), défiie ar : + ( ) + ( ) PaaMaths [5-7] Mai 2002
Motros ar récurrece que our tout etier aturel strictemet ositif, o a : Pour, la formule récédete doe : 4 + 4 4 4 O obtiet bie la valeur de. Suosos maiteat que la formule soit vraie au rag. O a doc : O a alors :. + ( ) + 4 4 + + 4 4 + L égalité est doc vraie à l ordre +, ce qui achève la démostratio ar récurrece. O a doc, fialemet : *, Questio 2.b. O a : lim 0 + car < PaaMaths [6-7] Mai 2002
D où : lim + 4 Soit, fialemet : lim + 4 E coclusio, lorsque la fourmi art du sommet A et effectue u ombre de as «très grad», la robabilité qu elle se retrouve au sommet de la yramide est de 4. PaaMaths [7-7] Mai 2002