Bcclurét S Cetres étrgers CORRIGÉ jui 6 Exercice I 4 poits Affirmtio Ds ue boulgerie idustrielle, o prélève u hsrd ue bguette de pi ds l productio Soit M l vrible létoire exprimt s msse, e grmme M suit l loi ormle d espérce et d écrt-type O pm 87= p87 X + pm > = p87 X +,5 A l clcultrice, o p87 X >,4 et pr coséquet pm 87>,9 L probbilité que l msse de l bguette soit supérieure à 87 g est supérieure à,9 Affirmtio : VRAIE Affirmtio ; π ] pr f x=x cosx Cosidéros l foctio f défiie sur f est dérivble sur ; π ] et f x=+six Pour tout x ; π ], six et +six> O e déduit que f est strictemet croisste sur ; π Comme f est dérivble sur ; π ], f est cotiue sur π O de plus f = et f = π ] ; π O ; π ] O pplique à f le théorème des vleurs itermédiires pour les foctios cotiues et strictemet mootoes sur u itervlle et o peut ffirmer que l équtio x cos x = dmet ue uique solutio ds l itervlle ; π ] Affirmtio : VRAIE Ds les questios 3 et 4, l espce est rpporté à u repère orthoorml et l o cosidère les droites D et D qui dmettet pour représettios prmétriques respectives : 3 Affirmtio 3 x = +t y = 3t z = 4t, t R et ] x= 5t + 3 y = t z = t + 4 Détermios u vecteur directeur de chcue des ces deux droites, t R Soit u u vecteur directeur de D et Soit u u vecteur directeur de D O 5 u et u 3 4 u et u e sot ps coliéires Les droites e sot i prllèles i cofodues
O : +t = 5t + 3 3t = t 4t = t + 4 +t = t+ +3 3t = 8t 8 t = 4t 4 Le système ps de solutio les droites e sot ps séctes Affirmtio 3 : FAUSSE 4 Affirmtio 4 Le pl P, d équtio x+ y+ z 3= dmet le vecteur O d ue prt u = t = t = / 4t = t + 4 comme vecteur orml D près l représettio prmétrique de D, le poit A de coordoées A ; ; 4 est u poit de D Ses coordoées e vérifiet ps l équtio de P O e déduit que D est prllèle à P Affirmtio 4 : VRAIE Exercice II 6 poits Soit f ue foctio défiie sur l itervlle ; ], cotiue et positive sur cet itervlle, et ue réel tel que < < O ote : C l courbe représettive de l foctio f ds u repère orthogol : A l ire du domie pl limité pr l xe des bscisses et l courbe C d ue prt, les droites d équtios x= et x= d utre prt A l ire du domie pl limité pr l xe des bscisses et l courbe C d ue prt, les droites d équtios x= et x = d utre prt A A C x Prtie A : Étude de quelques exemples Soit f ue foctio costte strictemet positive sur ;] k Alors il existe u réel k > tel que pour tout x ;], f x=k A A Pour tout réel ] ;, o : A = k et A = k O : A = A k= k Et comme k >, A = A = Ce qui prouve que si l foctio f est cotiue, costte et strictemet positive sur ; ], les ires A et A sot égles pour ue seule vleur de et = b Soit f l foctio défiie sur ; ] pr f x = x f est cotiue sur ; ] et l foctio F défiie sur ; ] pr F x= x est ue primitive de f
O : A = et : A = xdx = xdx = x ] x ] = = O e déduit pour ] ; : A = A = = Remrque : o peut ussi tout simplemet clculer les ires du trigle et du trpèze sur le grphique cicotre et égliser y = x A A À l ide d itégrles, exprimos, e uités d ires, les ires A et A Comme f sur ;], o : A = f xdx et A = f xdx b O ote F ue primitive de l foctio f sur l itervlle ; ] Soit u réel de ]; qui stisfit l coditio E, c est à dire tel que A = A Si F est ue primitive de f sur ;], lors A = A F F= F F et filemet : Si u réel de ]; qui stisfit l coditio E lors F = F +F Supposos mitet que F est ue primitive de f telle que F = F +F O : A = F F= F +F F = F F et : A = F F=F + F +F = F F Si F est ue primitive telle que F = F +F réciproque est vrie 3 Ds cette questio, o evisge deux utres foctios prticulières Cosidéros l foctio f défiie pour tout réel x de ; ] pr f x=e x Motros que l coditio E est vérifiée pour u uique réel f est cotiue sur ; ] et dmet pour primitive F x= e x O A = O e déduit que : e x dx = e x] = e et A = A = A e =e e e = +e lors A = A et l coditio E est vérifiée : l e x dx= e x] = e e +e = l b Soit f l foctio défiie pour tout réel x de ; ] pr f x = Vérifios que l vleur = 5 coviet 5 O d ue prt : D utre prt : f xdx = 5 f xdx= x+ x+ ] ] 5 = 5 + + = = 3 + 5 5 + = x+
O pour = 5, A = A L coditio E est vérifiée Remrque : pour ces deux questios o peut utiliser A b, c est à dire est solutio de E si et seulemet si F = F +F Prtie B : Utilistio d ue suite pour détermier ue vleur pprochée de Ds cette prtie, o cosidère l foctio f défiie pour tout réel x de ; ] pr f x=4 3x Démotros que si est u réel stisfist l coditio E, lors est solutio de l équtio : x = x3 4 + 3 8 Si est u réel stisfist l coditio E,o vu u A b que si F est ue primitive de f lors : F = F +F Pour tout réel x de ; ], l foctio f défiie pr f x=4 3x dmet comme primitive sur ; ], l foctio F défiie pr F x=4x x 3 O lors : F = et F =3 et : F = F +F 4 3 3 = 3 = 3 4 + 3 8 Pr coséquet, si est u réel stisfist l coditio E, est solutio de l équtio : x = x3 4 + 3 8 Ds l suite de l exercice, o dmettr que cette équtio ue uique solutio ds l itervlle ; ] O ote cette solutio O cosidère l foctio g défiie pour tout réel x de ; ] pr g x= x3 u = et, pour tout etier turel, u + = g u Clculos u O u = g u = g = 3 8 b Démotros que l foctio g est croisste sur l itervlle ; ] 4 + 3 8 et l suite u défiie pr : g est dérivble sur ;] et pour tout x ;], g x= 3 4 x O e déduit que g est croisste sur ;] c Démotros pr récurrece que, pour tout etier turel, o u u + Cosidéros l propositio P défiie sur N pr : Iitilistio u u est vrie Hérédité Comme g est croisste sur ;], u u +
Mis g = 3 8 > et g = 5 8 < O e déduit : u u + g g u g u + g Coclusio P est vrie Pour tout etier turel, P P + est vrie u u + u + u + g D près l xiome de récurrece, P est vrie quelque soit N d Prouvos que l suite u est covergete O viet de démotrer que pour tout etier turel, o : u u +, utremet dit que l suite u est croisste et mjorée pr O peut e déduire qu elle coverge Soit L s limite Pr défiitio de u, et pr uicité de l limite, o e déduit que g L = L et L est solutio de l équtio x = x3 4 + 3 d où L= 8 e O dmet que le réel vérifie l iéglité < u < 9 A l clcultrice, o obtiet ; u =,3898784 à 8 près Exercice III 5 poits U istitut effectue u sodge pour coître, ds ue popultio doée, l proportio de persoes qui sot fvorbles à u projet d mégemet du territoire Pour cel, o iterroge u échtillo létoire de persoes de cette popultio, et l o pose ue questio à chque persoe Prtie A : Nombre de persoes qui cceptet de répodre u sodge O dmet ds cette prtie que l probbilité qu ue persoe iterrogée ccepte de répodre à l questio est égle à,6 L istitut de sodge iterroge 7 persoes O ote X l vrible létoire correspodt u ombre de persoes iterrogées qui cceptet de répodre à l questio posée Pour chque persoe il y que deux issues possibles : répodre/e ps répodre Si de plus o fit l hypothèse que les choix des persoes sot idépedts, o peut ffirmer que X suit ue loi biomile de prmètres = 7 et p =,6 b O : PX 4= PX < 4= PX 399 L clcultrice doe PX 399,573 et PX 4,947 L meilleure vleur pprochée prmi les solutios proposées est,94 Détermios combie de persoes l istitut doit iterroger u miimum pour grtir, vec ue probbilité supérieure à,9, que le ombre de persoes répodt u sodge soit supérieur ou égl à 4 O peut déjà ffirmer que 7
Ue explortio à l clcultrice doe = 694 cr si Y désige l vrible létoire de loi biomile de prmètres et p =,6 o pour = 694 : py 4,9 et pour = 693 : py 4<,9 Il suffit doc d iterroger 694 persoes pour grtir, vec ue probbilité supérieure à,9, que le ombre de persoes répodt u sodge soit supérieur ou égl à 4 Prtie B : Proportio de persoes fvorbles u projet ds l popultio Ds cette prtie, o suppose que persoes ot répodu à l questio,et o dmet que ces persoes costituet u échtillo létoire de tille où est u etier turel supérieur à 5 Prmi ces persoes, 9 % sot fvorbles u projet d mégemet U itervlle de cofice, u iveu de cofice de 95 %, de l proportio de persoes qui sot fvorbles u projet ds l popultio totle est de l forme : f obs ; f obs + ] Et ici vec f obs =,9, o,9 ;,9+ ] L itervlle de cofice, u iveu de cofice de 95 % pour mplitude,4 5,4 Il suffit d iterroger plus de 5 persoes pour que l mplitude de l itervlle de cofice u iveu de 95 % soit iférieure à, 4 Prtie C : Correctio due à l isicérité de certies réposes Ds cette prtie, o suppose que, prmi les persoes sodées qui ot ccepté de répodre à l questio posée, 9 % ffirmet qu elles sot fvorbles u projet L istitut de sodge sit pr illeurs que l questio posée pouvt être gête pour les persoes iterrogées, certies d etre elles e sot ps sicères et répodet le cotrire de leur opiio véritble Aisi, ue persoe qui se dit fvorble peut : soit être e rélité fvorble u projet si elle est sicère soit être e rélité défvorble u projet si elle est ps sicère Pr expériece, l istitut estime à 5 % le tux de réposes o sicères prmi les persoes yt répodu, et dmet que ce tux est le même quelle que soit l opiio de l persoe iterrogée Le but de cette prtie est, à prtir de ces doées, de détermier le tux réel de persoes fvorbles u projet, à l ide d u modèle probbiliste o prélève u hsrd l fiche d ue persoe yt répodu, et o défiit : F l évèemet «l persoe est e rélité fvorble u projet» ; F l évèemet «l persoe est e rélité défvorble u projet» ; A l évèemet «l persoe ffirme qu elle est fvorble u projet» ; A l évèemet «l persoe ffirme qu elle est défvorble u projet» Aisi, d près les doées, o pa=,9 L istitut estime à 5 % le tux de réposes o sicères prmi les persoes yt répodu, et dmet que ce tux est le même quelle que soit l opiio de l persoe iterrogée O e déduit que P F A=P F A =,5 Et comme P F A+P F A =, o : p F A=,85
O pose x = PF O l rbre de probbilité ci-dessous x x F F,85,5,5,85 b D près l formule des probbilités totles, PA=PA F +P A F Mis PA=,9, PA F =,85x et P A F =,5 x O e déduit que x est solutio de,9=,85x+,5 x A A A A 3 Détermios, prmi les persoes yt répodu u sodge, l proportio de celles qui sot réellemet fvorbles u projet Il suffit de résoudre,9=,85x+,5 x O trouve x = 4 7 =, % des persoes yt répodu u sodge sot fvorbles u projet Exercice IV 5 poits Cdidt/e/s yt ps choisi l spécilité mthémtique O veut modéliser ds le pl l coquille d u utile à l ide d ue lige brisée e forme de spirle O s itéresse à l ire délimitée pr cette lige O muit le pl d u repère orthoorml direct O ; u ; v Soit u etier supérieur ou égl à Pour tout etier k llt de à, o défiit les ombres complexes z k = + k e i kπ et o ote M k le poit d ffixe z k Ds ce modèle, le pourtour du utile est l lige brisée relit tous les poits M k vec k Prtie A : Lige brisée formée à prtir de sept poits Ds cette prtie, o suppose que = 6 Détermios l forme lgébrique de z O : z = + e i π 7 π π 6 = cos + isi = 7 3 6 6 3 3 6 + i = 7 + i 7 3 O z = e = et z 6 = + 6 e iπ = 6 3 Clculos l logueur de l huteur issue de M ds le trigle OM M Soit H le pied de l huteur issue de M ds le trigle OM M Comme O et M sot pour bscisse, o : M H = 7 3 L ire du trigle OM M est égle à : OM M H = 7 3 4
Prtie B : Lige brisée formée à prtir de + poits Ds cette prtie, est u etier supérieur ou égl à Pour tout etier k tel que k, détermios l logueur OM k O OM k = z k =+ k, cr pour tout etier turel est u etier supérieur ou égl à, tout etier k tel que k, le module de e i kπ vut Soit k etier tel que k u ; OM k = rgz k = kπ u et k+ π ; OM k+ = rgz k = Or OM k ; OM u u k+ = ; OM k+ ; OM k à π près O e déduit que OM k ; OM k+ π k+ = kπ = π à π près 3 Pour k etier tel que k, clculos l logueur de l huteur issue de M k+ ds le trigle OM k M k+ Soit H k+ le pied de l huteur issue de M k+ ds le trigle OM k M k+ M k = si OM k ; OM H k+ k+ O : M k+h k+ OM k+ Mis OM k+ = + k+ et si OM k ; OM π k+ =si O e déduit que pour k etier tel que k, M k+ H k+ = + k+ π si 4 O dmet que l ire du trigle OM k M k+ est égle à k = π si totle délimitée pr l lige brisée est égle à A = + + + L lgorithme suivt permet de clculer l ire A lorsqu o etre l etier : M k+ + k + k+ et que l ire O VARIABLES TRAITEMENT SORTIE A est u ombre réel k est u etier est u etier Lire l vleur de A pred l vleur Pour k llt de à A pred l vleur A+ si π Fi Pour Afficher + k + k+ O etre ds l lgorithme = O obtiet le tbleu ci-dessous qui illustre le foctioemet de l lgorithme k 3 4 5 6 7 8 9 A,33,7,7 75,3 3,7 3,86 4,76 5,73 6,848 5 O dmet que A = et que l suite A coverge et que lim + A = 7π 3 7,3 E L6 tt que A< 7, E L3 Afficher
Exercice V 5 poits Cdidt/e/s yt choisi l spécilité mthémtique Le but de cet exercice est d étudier, sur u exemple, ue méthode de chiffremet publiée e 99 pr le mthémticie et cryptologue Lester Hill Ce chiffremet repose sur l doée d ue mtrice A, coue uiquemet de l émetteur et du destitire 5 Ds tout l exercice, o ote A l mtrice défiie pr : A= Prtie A Chiffremet de Hill Voici les différetes étpes de chiffremet pour u mot comportt u ombre pir de lettres : Étpe Étpe O divise le mot e blocs de deux lettres cosécutives puis, pour chque bloc, o effectue chcue des étpes suivtes O ssocie ux deux lettres du bloc les deux etiers x et x tous deux compris etre et 5, qui correspodet ux deux lettres ds le même ordre, ds le tbleu suivt : A B C D E F G H I J K L M 3 4 5 6 7 8 9 y N O P Q R S T U V W X Y Z 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 x y Étpe 3 O trsforme l mtrice X = e l mtrice Y = vérifit Y = AX x y y r Étpe 4 O trsforme l mtrice Y = e l mtrice R =, où r est le reste de l divisio euclidiee de y pr 6 et r celui de l divisio euclidiee de y pr 6 Étpe 5 O ssocie ux etiers r et r les deux lettres correspodtes du tbleu de l étpe Le bloc chiffré est le bloc obteu e juxtpost ces deux lettres Questio : utiliser l méthode de chiffremet exposée pour chiffrer le mot «HILL» 7 HI doe X = 8 5 7 5 AX = = 8 5 Mis 5 56] et 5 6] 5 O e déduit que HI est codé pr Y =, c est à dire ZB LL doe X = 5 77 AX = = 54 Mis 77 56] et 54 46] 5 O e déduit que LL est codé pr Y =, c est à dire ZY 4 O e déduit que HILL est codé ZBZY Prtie B - Quelques outils mthémtiques écessires u déchiffremet r
Soit u etier reltif premier vec 6 Démotros qu il existe u etier reltif u tel que u modulo 6 Comme u etier reltif premier vec 6, d près le théorème de Bézout, il existe deux etiers reltifs u et v tels que u+ 6v = et lors u 6] O cosidère l lgorithme suivt : VARIABLES :,u, et r sot des ombres est turel et premier vec 6 TRAITEMENT : Lire u pred l vleur, et r pred l vleur Tt que r u pred l vleur u+ r pred l vleur du reste de l divisio euclidiee de u pr 6 Fi du Tt que SORTIE Afficher u O etre l vleur = ds cet lgorithme O : étpe u= ; u= ; r= étpe u= ; u=4 ; r=6 étpe 3 u=3 ; u=63 ; r= étpe 4 u=4 ; u=84 ; r=6 étpe 5 u=5 ; u=5 ; r= 3 O A= O le tbleu suivt, jusqu à l rrêt de l lgorithme b E déduire que 5 modulo 6 5 et o ote I l mtrice : I = A A = 5 u 3 4 5 r 6 6 5 5 = b O viet de voir que A A = I Mis A A = I A A E post B = I A= 6 4 84 84 5 = c Démotros que si AX = Y, lors X = BY AX = Y B AX = BY I X = BY X = BY Prtie C - Déchiffremet 39 4 = = I 84 63 7 o B A= I 7 5 O veut déchiffrer le mot VLUP x O ote X = l mtrice ssociée, selo le tbleu de correspodce, à u bloc de deux lettres vt x y 5 chiffremet, et Y = l mtrice défiie pr l églité : Y = AX = X y Si r et r sot les restes respectifs de y et y ds l divisio euclidiee pr 6, le bloc de deux lettres près r chiffremet est ssocié à l mtrice R = r
{ x = 7y y Démotros que : x = 7y + 5y O viet de voir que si AX = Y, lors X = BY x 7 y Or X =, B = et Y = x Si X = BY lors 7 5 x x { x = 7y y = 7 7 5 y y y ou ecore x = 7y + 5y { { x = 7y y 5 x = 35y y x = 7y + 5y 5 x = 35y + 5y Mis d près : 5 6] 35 96] 66] 35 76] 5 56] y r 6] y r 6] { { x = 7y y x 9r + 6r 6] x = 7y + 5y x 7r + 5r 6] 3 Déchiffros le mot VLUP, ssocié ux mtrices Pour VL ssocié à l mtrice O : y = =r et y = =r O e déduit : { { x 9 +6 6] x 6] x 7 +5 6] x 8 6] VL étit le code BI Pour UP ssocié à l mtrice 5 O : y = =r et y = 5=r O e déduit : { { x 9 +6 5 6] x 4 6] x 7 +5 5 6] x 3 6] UP étit le code EN VLUP est le code de BIEN et 5