www.mthsenligne.om STID - 1G1 - PRODIT SCLIRE DNS LE PLN CORS (1/5) Exploiter l otil «prodit slire» : On trille e des eters dns des plns repérés o non et on priilégie des déompositions selon des xes orthogonx. Il importe qe les élèes shent hoisir l forme d prodit slire l miex dptée prolème enisgé. Les prolèmes trités sont plns mis on pet ntgesement exploiter des sittions de l espe isses de disiplines sientifiqe s et tehnologiqes. PROGRMMES CPCITES TTENDES COMMENTIRES Prodit slire dns le pln Projetion orthogonle d n eter sr n xe. Déomposer n eter selon dex xes orthogonx et exploiter ne telle déomposition. Définition et propriétés d prodit slire de dex eters dns le pln. pplitions d prodit slire Cller le prodit slire de dex eters pr différentes méthodes : - projetion orthogonle ; - nlytiqement ; - à l ide des normes et d n ngle. - Choisir l méthode l pls dptée en e de l résoltion d n prolème. - Cller des ngles et des longers. Dns tot e hpitre, le pln est mni d n repère (O ; I, I) orthogonl. Por tote ette prtie sr le prodit slire, on exploite des sittions isses des domines sientifiqes et tehnologiqes, notmment elles néessitnt d ll etoriel dns n dre non repéré. I. RPPELS DE GEOMETRIE NLYTIQE Soit (x ; y ) et (x ; y ) dex points distints. lors : le eter x x por oordonnées : y y le milie I de [] por oordonnées : x + x, y + y l distne entre et t : = (x x )² + (y y )² (niqement dns n repère orthonormé) II. VECTERS D PLN. Norme d n eter Soit. Veters olinéires n eter. On ppelle norme de (notée ) s longer. Et on : = x² + y² On dit qe dex eters sont olinéires lorsq ils ont l même diretion. PROPRIETE : et x' y' sont olinéires si et selement si lers oordonnées sont proportionnelles 'est-à-dire si : xy x y = 0 Critère de olinérité de dex eters. J Exemple : -6 et -1-3 sont-ils olinéires? (-3) (-6) (-1) = -6 + 6 = 0 don et sont olinéires. O I
www.mthsenligne.om STID - 1G1 - PRODIT SCLIRE DNS LE PLN CORS (/5). Projetion orthogonle d n eter sr n xe Soit n eter et (d) ne droite. On ppelle projetion orthogonle de sr l xe (d) le eter tel qe et pprtiennent à (d), et ( ) et ( ) sont perpendilires à (d). d. ngle de dex eters On ppelle ngle des eters et l ngle orienté formé pr dex droites (d) et (d ) de eters direters respetifs et. On le note (, ) o (, ). Remrqe : (, ) = - (, ) (d) + III. PRODIT SCLIRE. Définition (d ) Soit et dex eters. On ppelle prodit sllire de pr le nomre :. = os (, ) Exemples : = 4 ; = 3 = 5 ; = = 7 ; = 3 et (, ) = π et (, ) = π et (, ) = π 4 3. = 4 3 = 6-1. = 5 = -5. = 7 3 0 = -0 Remrqe : si dex eters sont olinéires, ler prodit slire est le prodit de lers normes.. Propriétés On dmet les propriétés sintes, où, et w sont des eters et k n nomre réel : L symétrie d prodit slire :. =. L linérité d prodit slire :.( + w) =. +. w et k(. ) = (k ). =.k( )
www.mthsenligne.om STID - 1G1 - PRODIT SCLIRE DNS LE PLN CORS (3/5). Orthogonlité Propriété : Dex eters sont orthogonx si et selement si. = 0 Conséqene : Pisqe por tot eter, on. 0 = 0, lors le eter nl est orthogonl à tos les tres eters. IV. CLCL D N PRODIT SCLIRE. prtir d ne projetion orthogonle Soit O et O dex eters non olinéires, et OH est le projeté orthogonl de O sr (O). O H H O O OH si O et OH sont de même sens O. O = O. OH = - O OH si O et OH sont de sens ontrire. prtir des oordonnées dns ne se orthonormle Por tos eters et x' y', on :. = xx + yy [démonstrtion à prtir de dex déompositions] V. TILISTION D PRODIT SCLIRE. Formles d ddition et dplition des fontions osins et sins On onsidère les points et sr le erle trigonométriqe. On pose IO = et IO = don os os O et sin O et l ngle ( sin O, O ) t Cllons le prodit slire O. O de dex fçons différentes : L définition : O. O = O O os ( ) = 1 1 os ( ) = os ( ) Les oordonnées : O. O = os. os + sin. sin Conlsion : os ( ) = os. os + sin. sin Formles d ddition : por tos réels et on : os ( + ) = os. os sin. sin os ( ) = os. os + sin. sin sin ( + ) = sin. os + os. sin sin ( ) = sin. os os. sin Dns le s où =, on en dédit les
www.mthsenligne.om STID - 1G1 - PRODIT SCLIRE DNS LE PLN CORS (4/5) Formles de dplition : por tot réel : os ( ) = os² sin² = os² 1 = 1 sin² sin ( ) = os. sin. Reltions d l Kshi (o «Loi des osins») Il doit son nom frnçis mthémtiien perse (Ghiyth l-kshi) qi é entre 1380 et 149. L'ppelltion loi des osins est ppre pls trd, ssi en Erope. On onsidère le tringle C i-ontre : On pose : = C = C = Cllons le prodit slire. C de dex fçons différentes : L définition :. C = C os (, C )* = (- os d ) = - os d (*) (, C ) = π - d don os (, C ) = - os d L formle tringlire :. C = 1 (C² ² C²) = 1 (² ² ²) C On don : 1 (² ² ²) = - os d ² ² ² = - os d d où : ² = ² + ² os d De l même fçon on porrit montrer les formles : ² = ² + ² os d ² = ² + ² os d C Ces formle permettent de ller l longer d n ôté en onnissnt les longers des dex tres ôtés et l ngle q ils forment.. Formle «des 3 sins» On onsidère le tringle C i-ontre : On ppelle H l hter isse de. On pose : = C = C = H C D près les formles de trigonométrie : sin d = L ire d tringle est : S = se hter = H d où H = sin d = sin d C H = sin d On don montré qe S = sin d. On rit p montrer de l même fçon S = sin d o S = sin d C
www.mthsenligne.om STID - 1G1 - PRODIT SCLIRE DNS LE PLN CORS (5/5) Don S = sin d 3 sins» : = sin d = sin d C et en mltiplint ette églité pr on otient l «formle des S = sin d = sin d = sin d C