Vecteurs, bases et repères

hapitre 4 Vecters, bases et repères I Q est-ce q n ecter d plan? Nos ne poons pas, à notre niea, donner ne définition rigorese d n ecter d plan. isons qe concrètement, n ecter est n déplacement : G H d I d E F d Le déplacement de ers est le même qe celi de ers E o de H ers I. On appelle ce déplacement n VETEUR défini par ne direction : celle de la droite ( ; n sens : celi de ers ; ne norme : qi est égale à la longer. sens et direction il ne fat pas confondre sens et direction : par exemple IH et ont la même direction (car les droites ( et (IH sont parallèles mais n ont pas le même sens. Les ecters, E et HI sont donc les représentants d n même ecter car ils ont même sens, même direction et même norme : on pet donc désigner ce ecter par n nom niqe, par exemple d. La norme d ecter est égale à la longer. Por désigner la norme de d, on tilise d. On a d = =E= HI II Somme de ecters Le secret : je me déplace de ers pis de ers : globalement, je sis parti de et je sis arrié en

2 II. SOMME E VETEURS Pensez parallèlogramme = = si et selement si est n parallélogramme : soenirs ans mon jene temps, on disait qe dex ecters et étaient égax a si et selement si les segments [ ; ] et [ ; ] aaient le même milie : porqoi? + est en fait la famese Propriété 1 : Relation de HSLES + = Mais q en est-il de cette somme lorsq on considère dex ecters qelconqes et? Il sffit de prendre des représentants de et bien choisis : + On pet assi «penser parallélogramme»

VETEURS, SES ET REPÈRES 3 + III Vecter nl - Opposé d n ecter Je pars de, je ais en et je retorne en : la relation de HSLES le confirme Qe pet-on dire de ce ecter? Qelle est sa norme? Qelle est sa direction? Qel est son sens? + = On appelle ce ecter de norme nlle le ecter nl et on le note 0. Pls généralement si on considère n ecter, on pet tojors troer n ecter de même direction, de même norme et de sens opposé : qand on l ajote à, on obtient le ecter nl. On l appelle le ecter opposé de et on le note bien sûr IV Mltiplication d n ecter par n nombre réel Nos aons déjà abordé le problème en parlant de l opposé d ecter q on note, c est à dire ( 1. Nos poons aisément imaginer qe le ecter 3 est en fait égal à + +, et les additions de ecters, on connaît! Nos poons même comprendre qe 3, c est ( ( + ( + Vos comprendrez donc sans problème la définition siante

4 V. VETEURS OLINÉIRES éfinition 1 : Prodit d n ecter par n nombre réel Soit n ecter non nl et k n nombre réel non nl. lors on note k le ecter ayant la même direction qe ; ayant le même sens qe si k > 0, le sens contraire sinon ; ayant por norme k si k > 0 et k sinon. k (k > 0 k (k < 0 e petit dessin résme les différents cas de figre. V Vecters colinéaires a. éfinition Nos aons remarqé qe et k aaient la même direction. Inersement, si dex ecters non nls et ont la même direction, alors on pet imaginer q il existe n réel k tel qe = k. Par exemple, s ils ont le même sens, alors le ecter a le même sens qe (car... la même direction qe (car... la même norme qe (car... donc =, ce qi confirme notre spposition. ant de résmer ce résltat, n pe de ocablaire : éfinition 2 : ecters colinéaires On dit qe dex ecters sont colinéaires si, et selement si, ils ont la même direction. ex Opains partagent ler pain, dex Orrecters d ac partagent le même recter, dex ecters Olinéaires partagent la même ligne...

VETEURS, SES ET REPÈRES 5 Notre obseration précédente a donc nos permettre d énoncer le théorème primordial siant : Théorème 1 : ecters colinéaires ex ecters et sont colinéaires si, et selement si, il existe n réel k tel qe = k colinéarité et parallélisme Vos ferez bien attention à parler de ecters colinéaires et non pas de ecters parallèles! ex droites peent être parallèles si elles ont tos lers points o acn point en commn. On ne pet pas dire la même chose des ecters car les ecters... n ont pas de points! e sont des déplacements, pas des ensembles de points comme les droites. b. onséqences 1. Si on arrie à montrer qe dex ecters et sont colinéaires, on porra en dédire qe les droites ( et ( sont parallèles. 2. Si on arrie à montrer qe dex ecters et sont colinéaires, on porra en dédire qe les droites ( et ( sont parallèles. Or, comme os l aez remarqé, les droites ( et ( ont le point en commn. Qe pensez-os de 2 droites parallèles ayant n point en commn? Elles sont bien sûr...... b Et donc les points, et appartiennent à ne même droite : ils sont alignés. À retenir Montrer qe dex ecters sont colinéaires pet nos aider à montrer qe dex droites sont parallèles o qe trois points sont alignés. Le problème a être d arrier à proer qe dex ecters sont colinéaires : il sffira de «penser SE»... VI ase d plan ectoriel Eh.. le plan ectoriel, c est qoi? isons qe c est l ensemble des déplacements en dimension 2. On dira alors qe Et on admettra le résltat primordial siant : b après n des axiomes d Eclide qi est la base de la géométrie qe os étdiez a lycée : «par dex points distincts d plan il passe ne droite et ne sele»

6 VII. ES EXERIES... SIQUES. éfinition 3 : base ex ecters forment ne base d plan ectoriel si, et selement si, ils NE sont PS colinéaires. Théorème 2 : coordonnées Soit et dex ecters NON colinéaires : ils forment ne base d plan ectoriel. lors on pet exprimer n importe qel ecter t sos la forme t = x + y aec x et y des réels. Les nombres x et y sont appelés les OORONNÉES de ( t dans la SE, t y j j O i x i Nos n irons pas pls loin por l instant, mais nos retiendrons q il sera tile d exprimer chaqe ecter d n problème donné en fonction de dex ecters de base intelligemment choisis... VII es exercices... basiqes. Nos allons étdier totes sortes d exercices qi nos forniront atant d otils por résodre nos enigmes mathématiqes... Exercice 1 «Voir» des égalités ectorielles onsidérez aec la pls grande attention n parallèlogramme de centre O : donnez n maximm d égalités ectorielles. En particlier, troez des égalités ectorielles qi permettront de caractériser c le milie d n segment. O Nos allons ainsi pooir résodre l exercice siant : c est à dire qi permettent de conclre qe le point étdié est à cop sûr le milie d segment étdié.

VETEURS, SES ET REPÈRES 7 Exercice 2 Parallèlogrammes et miliex est n parallélogramme de centre O. Les points M, N, P et Q sont tels qe : 1. a émontrez qe M= P. 3 M= 2 b édisez-en qe O est le milie de [MP]. 2. émontrez de même qe O est milie de [QN]. 3 N= P= 3 2 2 3 Q= 2 3. édisez des qestions précédentes la natre d qadrilatère MNPQ. N P O M Q Exercice 3 onstrction de point et sont dex points distincts d plan. On définit le point M par la relation ectorielle : 3 M+ M= 0. Exprimez M en fonction de. Placez M. M «apparaît» dex fois dans l égalité : por pooir le constrire, il fadrait «partir» d n point conn et «sire la flèche» jsq en M grâce à des «indications» tilisant des moements entre points conns... Exercice 4 Une base por montrer qe des points sont alignés... est n parallélogramme. I est le milie de []. E est le point tel qe E= 2 I. 3 1. ompléter la figre siante.

8 VII. ES EXERIES... SIQUES. 2. Il semble qe, E et soient alignés. Nos odrions le proer. Por cela, nos allons essayer de montrer qe les ecters E et sont colinéaires. Oi, mais comment? a Pensons base! Il est assez natrel dans n parallélogramme de choisir et comme ecters de base : ils sont bien conns et «représentent» les directions priilégiées d parallélogramme. Le problème, c est qe E est «a milie»... Réglons ce premier problème : à l aide de la relation de HSLES et des données d texte, exprimez E en n tilisant qe des points «sr les bords» d parallélogramme. b édisez-en ne expression de E niqement en fonction de et, nos ecters de base. c Exprimez également en fonction de et. 3. Vos poez maintenant comparer E et en fonction de ecters dignes de confiance et conclre... E I Exercice 5... et por montrer qe des droites sont parallèles. est n triangle et I est le milie d segment []. O est n point qelconqe. 1. On se propose de constrire le point P tel qe : a Jstifier qe O+ O= 2 OI. b Qelle relation lie alors OP et I? c onstrire P. 2. En dédire qe (I et (OP sont parallèles. OP= O+ O 2 O.

VETEURS, SES ET REPÈRES 9 P I O Exercice 6 essin 1. Placer le point E tel qe E=. 2. Placer le point F tel qe F=. 3. Placer le point G tel qe G= +. Exercice 7 alcl ectoriel dans n parallélogramme. Soit n parallélogramme. Soit E le milie de [] et F le milie de []. 1. Montrer qe + =2. 2. Montrer qe E+ F= 3 2.

10 VII. ES EXERIES... SIQUES. F E Exercice 8 alcl «en aegle» ans chacn des cas siants, démontrer qe les ecters et sont colinéaires : 1. + =. 2. 2 9 7 = 0. 3. 7 =3 +5 +2. Exercice 9 ec o sans ecters Soit n triangle. 1. onstrire les points M, N et P tels qe : 1 M=, 3 1 N=, 3 P= 1. 3 2. Montrer qe MN= 1 2 +. On détaillera soignesement les calcls. 3 3 3. Montrer qe NP= MN. On détaillera soignesement les calcls. Qe pet-on en conclre? 4. Retroer ce résltat, sans les ecters, en tilisant les propriétés de géométrie plane. Exercice 10 Être o ne pas être alignés... Les points P, Q et R sont-ils alignés? Q P R

VETEURS, SES ET REPÈRES 11 Exercice 11 Médianes Préliminaire : P,Q et R sont trois points non alignés et I est le milie de [Q,R]. Exprimez PR + PQ en fonction de PI. est n triangle qelconqe., et sont les miliex respectifs de [], ] et []. 1. alcler la somme : + +. 2. M est n point qelconqe d plan. Montrer qe : M + M + M = M+ M+ M. VIII Vecters et repères d plan a. Repère Nos aons précédemment q ne base (formée de dex ecters non colinéaires permettait d exprimer n importe qel ecter en fonction des 2 ecters de base. Théorème 3 : coordonnées d n ecter dans ne base Soit et dex ecters NON colinéaires : ils forment ne base d plan ectoriel. lors on pet exprimer n importe qel ecter t sos la forme t = x + y aec x et y des réels. Les nombres x et y sont appelés les OORONNÉES de ( t dans la SE, Maintenant, por repérer n point, on choisira ne origine fixe et dex ecters de base. La clé d chapitre tient dans le dessin siant : y j j O OM i M(x;y x i éfinition 4 : coordonnées d n point dans n repère ire qe le point M a por coordonnées (x, y dans le repère On appelle x l abscisse de M et y son ordonnée OM = x i + y j ( O; ı, j signifie qe

12 VIII. VETEURS ET REPÈRES U PLN b. oordonnées d n ecter Nos traaillons dans n repère (O, i, j et dex points et ont por coordonnées respecties (x, y et (x, y. omment tradire ectoriellement ces renseignements? a por coordonnées (x, y, donc par définition O = x i + y j e même, on obtient por O = x i + y j ( Nos odrions à présent obtenir les coordonnées = x Le problème, c est de faire le lien entre et O et O. Mais oi! ien sûr! Utilisons notre bonne ieille...... relation de HSLES! En effet, = O + O = O + O = (x i + y j + x i + y j = x i y j + x i + y j = (x x i + ( y y j Or = x i + y j onc... x, y i + y Théorème 4 : oordonnées d n ecter Le ecter a por coordonnées ( x x, y y qi érifient, d après notre définition j y y j O x i (x x i x (y y j c. ombinaison linéaire de ecters Spposons qe nos traaillons dans n repère (O, i, j et qe nos connaissons dex ecters et lers coordonnées : (2 3 (9 w On pet se demander qelles sont les coordonnées de 2 w. Il sffit d tiliser notre base. = 2 i + 3 j, donc 2 = 4 + 6 j w = 9 i + 4 j, donc w = 9 i 4 j Finalement 4

VETEURS, SES ET REPÈRES 13 2 w = 4 i + 6 j 9 i 4 j = 5 i + 2 j On obsere donc qe, sr cet exemple, x 2 w = 2x x w y 2 w = 2y y w Il reste à proer qe cela reste rai por n importe qel ecter et n importe qelle combinaison. x x w w Qelles sont les coordonnées d ecter a + b w, aec a et b des nombres réels fixés. a + b ( ( w = a x i + y j + b x i + y j w w = ax i + ay j + bx i + by j ( ( w w i j + = ax + bx w ay + by w y y w Théorème 5 : coordonnées de la combinaison linéaire de dex ecters Nos retiendrons donc qe le ecter a + b w a por coordonnées fait, qe et dire combinaison linéaire à otre ais? ( ax + bx w, ay + by w Les coordonnées d ne combinaison de ecters sont égales ax combinaisons des coordonnées... d. oordonnées d milie d n segment Soit I le milie d n segment [ ; ]. Spposons qe nos connaissions les coordonnées de et. omment en dédire les coordonnées de I? Qi dit coordonnées de I dans (O, i, j dit coordonnées de OI dans la base ( i, j. Il fadrait donc essayer de relier OI aec O et O... Qe connaissez-os comme relation ectorielle entre I, et? Par exemple I = I Il nos manqe O...comment faire? La relation de HSLES of corse... O + OI = IO + O OI IO = O + O OI + OI = O + O 2 OI = O + O

14 VIII. VETEURS ET REPÈRES U PLN et donc OI = 1 ( O + O 2 Théorème 6 : coordonnées d milie ( x + x Le milie I de [ ; ] a por coordonnées, y +y 2 2 e. olinéarité et conséqences Rappelez-os : si dex ecters qe... ( x et ( y x y sont colinéaires, cela et dire q il existe n réel k tel Point de e coordonnées, ça donne...... x = kx et y = k y Qe pensez-os de x y y x? Et oi, c est......nl... = k Théorème 7 : théorème de Némo (x et ( y x y sont colinéaires si, et selement si, x y yx = 0 Porqoi l ai-je appelé Némo? f. Montrer qe 3 points sont alignés Est-ce qe les points (2 ; 3, (5 ; 7 et ( 6 ; 8 sont alignés? Le théorème de Némo derait os aider à troer... Regardez et... g. Est-ce qe des droites sont parallèles? ( 4 ; 1, (4 ; 5, (3 ; 2 et (7 ; 1. Est-ce qe les droites ( et ( sont paralèles?

h. Éqations de droites et colinéarité VETEURS, SES ET REPÈRES 15 onsidérons dex points fixés et. omment tradire ectoriellement q n point M appartient à la droite (? Pas d idée? Qe pensez-os des ecters M et? ien joé! Ils sont colinéaires! omment en dédire ne éqation de (, c est à dire ne relation entre les ordonnées et les abscisses des points de (? Le théorème de Némo bien sûr! Vos n êtes pas conainc(e? Voyons n exemple. étermination d ne éqation de droite Prenons (2 ; 3 et ( 1 ; 5. Un point M(x ; y appartient à ( si, et selement si,... ( x 2 M et ( 3 sont colinéaires, c est à dire... y 3 2... si, et selement si, 2(x 2 ( 3(y 3=0 ce qi donne, après calcls 2x+3y 13=0. Un petit remaniement nos permet de retroer ne écritre habitelle... y = 2 3 x+ 13 3 Vecter directer Le ecter a por direction celle de la droite ( : on dit qe c est n ecter directer de la droite(. Il doit exister n lien entre ecter directer et coefficient directer...troez-le! Exercice 12 oordonnées d centre de graité d n triangle Soit n triangle. On note le milie de [], le milie de [] et le milie de []. omme os le saez, le centre de graité ( G d triangle est l intersection des médianes. On se place dans le repère,,. Qelles sont les coordonnées de,,,, et? éterminez des éqations des droites ( et (. édisez-en les coordonnées de G. alclez les coordonnées de et G pis retroez ne propriété e en 3 ème. éterminez les coordonnées d ecter G + G + G. i. Repère orthonormal éfinition 5 : Un repère (O, i, j est dit orthogonal lorsqe les droites (O, i et (O, j sont perpendiclaires. Un repère (O, i, j est dit orthonormal lorsq il est orthogonal et qe les ecters i et j sont tos dex de norme 1.

16 VIII. VETEURS ET REPÈRES U PLN istance dans n R.O.N. Obserez cette magnifiqe figre y (y y j y j (x x i O x i x Poez-os calcler la distance en fonction des coordonnées de et de? istance dans n R.O.N. on sang mais c est bien sûr! Grâce à notre bon iex théorème de Pythagore! Effectez la démonstration et précisez porqoi ce calcl n est alable qe dans n R.O.N. Montrer q n qadrilatère est n rectangle ans n R.O.N. (O, i, j, on considère les qatre points ( 1 ; 3 (3 ; 5 (2 ; 3 ( 2 ; 5 Qelle est la natre d qadrilatère? Éqation de cercle Le plan est mni d n R.O.N. (O, i, j. Les points ( 3 ; 4, (1,8 ; 4,7 et (1,4 ; 4,8 sont-ils sr le cercle de centre O et de rayon 5? À qelle condition sr x et y n point M(x ; y est-il sr?