ère S Le prodit scalaire dans le plan (3) Propriétés d prodit scalaire Introdction : Le prodit scalaire est ne sorte d opération dans l ensemble des ecters. La difficlté c est q on a la mêler ax dex opérations connes dans l ensemble des ecters. Plan : I. Propriétés fondamentales ) Propriétés I. Propriétés fondamentales II. Conséqences de la bilinéarité III. Identités remarqables scalaires IV. Liex géométriqes d orthogonalité,, w sont trois ecters qelconqes. k est n réel qelconqe. P : k k w w P : V. ppendice : réision de la propriété de 4 e sr triangle rectangle et cercle VI. Rappels sr le carré scalaire d n ecter ) Commentaires Il est important de saoir lire ces propriétés. P se lit : «k scalaire est égal à k facter de scalaire. P se lit : «scalaire w est égal à scalaire pls scalaire w. Dans la propriété P, k représente n réel. Dans la propriété P, on passe d n prodit scalaire à ne addition de prodits scalaires. Je dirais pls précisément qe l on passe d n prodit scalaire à ne somme de prodits scalaires. Les dex propriétés constitent la bilinéarité d prodit scalaire. 3 ) Exemples d tilisation «On n est pas aec des nombres mais ça marche comme aec des nombres.»
4 ) Démonstration de P La propriété est éidente lorsqe l n a moins des dex ecters est nl o (inclsif) k 0. On sppose donc qe et sont non nls et k 0. ; ( [0 ; ]) On a distinger dex cas, siant qe k 0 o k 0. Dans chaqe cas, on commence par faire ne figre en représentant les dex ecters à partir de la même origine. 5 ) Démonstration de P (à comprendre) La propriété est éidente lorsqe 0. On sppose donc qe 0. et sont dex points tels qe. C est le point tel qe C. D est le point tel qe CD w. H est le projeté orthogonal de C sr (). K est le projeté orthogonal de D sr (). er cas : k 0 C w D k cos k cos k k k cos e cas : k 0 k Il existe n réel k tel qe HK k H. w D K () C CD H K k k cos k cos k cos k cos k k Dans le cas k 0, le k «toche» (affecte) jste les longers (les normes). Il ne modifie pas l angle géométriqe. w C CD H HK H k H H k H d après P k H kh H kh H HK K () D après () et (), on a donc : w w. 3 4
6 ) Retor sr la propriété P Un cas particlier d application de la propriété P : et sont dex ecters qelconqes. Il s agit d ne application de la propriété P aec k. Un exemple pratiqe de mise en œre de la propriété P :,, C sont trois points qelconqes. C C C On pet aisément retroer cette propriété dans le cas où et C. II. Conséqences de la bilinéarité ) Propriétés,, ', ' sont qatre ecters qelconqes. k et k sont dex réels qelconqes. k k' kk' ' ' ' ' ' ' ) Commentaires Por la propriété ' '..., on passe d n prodit scalaire à ne addition de prodits scalaires. Je dirais pls précisément qe l on passe d n prodit scalaire à ne somme de prodits scalaires. C 3 ) Exemples d tilisation 3 6 4 4 3 6 «On n est pas aec des nombres mais ça marche comme aec des nombres.» C C cos ; C C C cos C C cos C C cos C C C' 4 ) pplication Calcls de prodit scalaires par décomposition en tilisant la relation de Chasles (oir exercices). Cette décomposition doit être choisie jdiciesement. Elle sera donnée a débt. Cela fornit n troisième moyen de calcler in prodit scalaire. ttention, ne errer classiqe consiste à remplacer des ecters par des longers. En fait, on a refait la démonstration de la propriété! 5 6
III. Identités remarqables scalaires ) Formles et sont dex ecters qelconqes. ) Commentaires Il est important de saoir lire les 3 égalités. Normalement, on derait écrire les dex premières identités remarqables sos la forme siante: Il est important de saoir lire les 3 égalités. Il est important de saoir lire les identités remarqables. La première identité remarqable scalaire se lit ainsi : «carré scalaire de carré scalaire de fois scalaire carré scalaire de». La dexième identité remarqable scalaire se lit ainsi : «carré scalaire de carré scalaire de fois scalaire carré scalaire de». La troisième identité remarqable scalaire se lit ainsi : scalaire carré scalaire de carré scalaire de». «3 ) Démonstration (à saoir refaire) 4 ) Démonstration d théorème de Pythagore à l aide d prodit scalaire C est n triangle rectangle en. Démontrons qe C C C. C C C C C 0 Cette démonstration montre la pissance de l otil «prodit scalaire». Le prodit scalaire permet de (re)démontrer de manière très corte et très simple le théorème de Pythagore. IV. Liex géométriqes d orthogonalité ) Propriété [droite perpendiclaire],, C sont trois points tels qe. L ensemble des points M d plan tels qe CM 0 est la droite orthogonale à () passant par C. En effet, l égalité CM 0 tradit l orthogonalité des ecters et CM (cf. propriété e dans le chapitre «Prodit scalaire ()» sr prodit scalaire nl). C On tilise les propriétés d II. c est-à-dire la bilinéarité d prodit scalaire. 7 8
) Propriété [cercle défini par n diamètre] et sont dex points tels qe. L ensemble des points M d plan tels qe M M 0 est le cercle de diamètre []. En effet, l égalité M M 0 tradit l orthogonalité des ecters M et M (cf. propriété e dans le chapitre «Prodit scalaire ()» sr prodit scalaire nl). Propriété réciproqe (propriété de l angle droit dans n cercle) Formlation et sont dex points distincts. Si n point C appartient a cercle de diamètre [] et est distinct de et, alors le triangle C est rectangle en C. Formlation Si on joint n point d n cercle ax extrémités d n diamètre, alors on obtient n angle droit. Formlation 3 3 ) pplication ax ensembles de points et sont dex points distincts. Si C est n point d cercle de diamètre [] distinct de et de, alors l angle C est droit. Voir exercices V. ppendice : réision de la propriété de 4 e sr triangle rectangle et cercle ) Énoncés en «si, alors» Propriété directe Formlation Le cercle circonscrit à n triangle rectangle a por diamètre l hypoténse. ) «Création» d n sel énoncé en «si et selement si» Formlation et sont dex points distincts. M est n point distinct de et. Si M appartient a cercle de diamètre [], alors le triangle M est rectangle en M. Si le triangle M est rectangle en M, alors M appartient a cercle de diamètre []. M appartient a cercle de diamètre [] si et selement si le triangle M est rectangle en M. Formlation Si C est n triangle rectangle en C, alors son cercle circonscrit a por diamètre []. Formlation 3 Si C est n triangle rectangle en C, alors C appartient a cercle de diamètre []. Formlation et sont dex points distincts. M est n point distinct de et. Si M appartient a cercle de diamètre [], alors l angle M est droit. Si l angle M est droit, alors M appartient a cercle de diamètre []. M appartient a cercle de diamètre [] si et selement si l angle M est droit. 9 0
3 ) Caractérisation d n cercle comme ensemble de points L ensemble des points M d plan tels qe M M 0 où et sont dex points tels qe est le cercle de diamètre de diamètre []. Il s agit d ne caractérisation d n cercle comme lie géométriqe d orthogonalité. On pet dire q n cercle est le lie des points d où l on «oit» n diamètre sos n angle droit. C est cette définition qi était tilisée dans l ntiqité por définir n cercle pltôt qe par centre et rayon. VI. Rappels sr le carré scalaire d n ecter On a la notion de carré scalaire d n ecter dans le chapitre «Prodit scalaire ()». On rappelle ici la définition (très importante) et la propriété importante. ) Définition est n ecter qelconqe. On appelle carré scalaire de le nombre noté défini par. ) Propriété Por tot ecter, on a :. Le carré scalaire d n ecter est égal a carré de sa norme. 3 ) Cas particlier d n ecter défini par dex points et sont dex points qelconqes d plan. Le carré scalaire d ecter est égal a carré de la distance.