NCC Torsion Ce NCC donne des informaions quan à la vérificaion d'un élémen soumis à un momen de orsion. Conenu 1. Généraliés. Analyse d un élémen soumis à un couple de orsion. Secion fermée soumise à de la orsion 5 4. Secion ouvere soumise à de la orsion 6 5. Vérificaions 7 6. Propriéés de orsion des secions ransversales 8 7. Références 10 Page 1
1. Généraliés Un élémen sur lequel s exercen des forces ransversales don la résulane ne passe pas par le cenre de cisaillemen de la secion ransversale es soumis à des conraines provoquées par le couple de orsion. Ces conraines doiven êre combinées à celles résulan des effors de flexion e de cisaillemen. Ce NCC fourni des informaions quan à la vérificaion d un élémen soumis à un couple de orsion. l conien les équaions permean de calculer les conraines dues à la orsion ainsi que les expressions de calcul des propriéés de orsion de profils courans. Des références son données pour des cas plus complexes. Ce documen ne raie que des élémens homogènes. Remarquons que, dans le bu de simplifier le conenu de ce documen, oues les vérificaions reposen sur la résisance élasique. Dans de nombreux cas, il es possible d uiliser la résisance plasique, ce qui peu conduire à l obenion de résulas plus favorables. Remarque : La résisance à la orsion des secions ouveres es généralemen faible. La vérificaion de la résisance à la orsion suppose des calculs complexes, comme illusré par la suie. l es par conséquen préférable, dans la mesure du possible, d évier de soumere un élémen à un couple de orsion en choisissan des déails de concepion appropriés. l n es ouefois pas oujours possible d évier de soumere des secions ouveres à un couple de orsion. Remarquons qu il es possible d améliorer de façon significaive la résisance à la orsion d une secion ouvere en, en H ou en U en soudan une plaque sur un de ses côés, ainsi que le monre la Figure 1.1. Figure 1.1 Déail de concepion permean d améliorer la résisance à la orsion des secions ouveres Page
. Analyse d un élémen soumis à un couple de orsion.1 Cas général Le momen de orsion T Ed s exerçan sur une secion donnée d un élémen homogène soumis à une orsion peu s écrire de la façon suivane : T = T + T Ed,Ed,Ed (1) où T es la orsion de S Venan calculée par l expression :,Ed T, Ed = G dθ () T es la orsion non uniforme obenue par la formule :,Ed T, Ed = E d θ () θ x E G W es l angle de roaion par rappor à l axe longiudinal de la barre es l abscisse de la secion ransversale le long de la barre es le module de Young du maériau (E = 10 000 N/mm pour l acier) es le module de cisaillemen du maériau (G = 81 000 N/mm pour l acier) es l inerie de orsion de la secion ransversale es l inerie de gauchissemen de la secion ransversale En règle générale, l analyse d un élémen consise à résoudre l équaion différenielle suivane : T Ed ( x) = G dθ E d θ (4) Page
. Élémen homogène soumis à un momen de orsion consan Lorsque le momen de orsion T Ed es consan le long de la barre, l équaion différenielle devien : T Ed = G dθ E d θ (5) e la soluion de cee équaion es : où TEd θ ( x) = A + B sinh ( λx) + C cosh( λx) + x (6) G λ = G E A, B e C son des consanes d inégraion pouvan êre déerminées à parir des condiions d appui aux exrémiés de l élémen. Page 4
. Secion fermée soumise à de la orsion Figure.1 Secions fermées Pour les secions fermées, elles que celles illusrées à la Figure.1, la orsion de gauchissemen es négligeable, voir l EN 199-1-1 6..7 (7). La orsion de S Venan n engendre que des conraines de cisaillemen. f τ 1 τ Figure. Conraines de cisaillemen s exerçan sur une secion fermée Pour une secion fermée, la conraine de cisaillemen due à la orsion de S Venan es calculée à l aide de l expression suivane: τ = T A Ed c (7) Où: A c es l épaisseur de la secion au poin de calcul des conraines. es l aire délimiée par une ligne siuée à la mi-épaisseur de chaque parie de la secion ransversale (voir Figure 6.1). Page 5
4. Secion ouvere soumise à de la orsion Figure 4.1 Secions ouveres Pour les secions ouveres, elles que celles illusrées à la Figure 4.1, la orsion de S Venan es négligeable, voir l La orsion non uniforme génère des conraines normales e de cisaillemen. Pour les secions ouveres, elles que celles illusrées à la Figure 4.1, la orsion de S Venan es négligeable, voir l EN 199-1-1 6..7 (7). Touefois dans cerains cas comme les consoles, le mainien en gauchissemen es rès faible e la orsion de S Venan doi alors êre prise en compe. La orsion non uniforme génère des conraines normales e de cisaillemen. Les conraines normales provoquées par la orsion non uniforme se calculen de la façon suivane : σ = B Ed ( x) ω W (8) où ω es l aire secorielle au poin de calcul des conraines (voir 6.). B (x) es le bimomen. l s obien à parir du calcul : BEd B Ed ( x) = x T ( x) 0 (9) Les équaions (), (8) e (9) permeen d obenir : d θ σ = Eω (10) Page 6
Les conraines de cisaillemen provoquées par la orsion non uniforme se calculen de la façon suivane : T ( x) S τ = W ω (11) où S ω es le momen saique secoriel au poin de calcul des conraines (voir 6.). Les équaions () e (11) permeen d obenir : ES τ = ω d θ (1) σ σ τ σ σ τ Figure 4. Conraines dues à la orsion non uniforme dans une secion ouvere (profil en ) 5. Vérificaions De manière générale, la vérificaion d une secion ransversale soumise à un effor normal, à une flexion e une orsion consise à calculer les conraines résulanes dues aux momens e aux forces inernes. Le crière de Von Mises s applique ensuie. En l absence d un effor normal significaif, il es possible de calculer la résisance au cisaillemen réduie par les conraines de orsion coexisanes grâce à la formule donnée dans l EN 199-1-1 6..7(9). Page 7
6. Propriéés de orsion des secions ransversales 6.1 Profil creux recangulaire L inerie de orsion peu êre calculée grâce à l expression suivane : = 4Ac b / i i i (1) où A c b / i i es l aire délimiée par une ligne siuée à la mi-épaisseur de chaque parie de la secion ransversale. es le rappor largeur sur épaisseur de la parie i de la secion ransversale. d f f A c h b f Figure 6.1 Propriéés de orsion d une secion en caisson Par exemple, l expression de l inerie de orsion de la secion en caisson illusrée sur la Figure 6.1 es la suivane : df ( h + f ) ( df / f ) + ( h + f )/ = (14) Page 8
6. Profils en z b f ω S ω f h y S G y z Figure 6. Propriéés de orsion d un profil en Dans le cas d une secion ransversale symérique, le cenre de cisaillemen e de gravié son confondus. Valeur maximale de l aire secorielle ω = b ( h + 4 f ) (15) Momen saique secoriel S ω b ( h + f = 16 ) f (16) nerie de orsion = b f + ( h + f ) (17) nerie de gauchissemen (ou inerie secorielle) fbf ( h + f = 4 ) (18) Remarque : Les ineries de orsion e de gauchissemen des secions laminées en son données dans les normes de produis ou dans les caalogues de produis des produceurs d acier. l es possible que les valeurs des ineries de orsion diffèren rès légèremen de celles obenues par le biais de la formule (17), en ce sens qu elles peuven avoir éé calculées à parir d expressions plus précises enan compe des congés de raccordemen. Page 9
7. Références 1 Neherco D. A. e al Design of members subjec o combined bending and orsion SC Publicaion 057. The Seel Consrucion nsiue. 1989. Johnson B. G., El Darish. A. Torsion of srucural shapes. Proceedings of he American Sociey of Civil Engineers. Journal of he srucural division, Vol. 91, No ST1, février 1965. Baraka S. Caracérisiques orsionnelles des profiles à parois minces. Revue Consrucion Méallique n 1-1996. CTCM. 4 Baraka S., Bureau A. Calcul des conraines dans un élémen soumis à de la orsion. Revue Consrucion Méallique n 1-000. CTCM. 5 Calgaro J.-A. Poures à parois minces Eude du cisaillemen. Ediion HERMES. 1998. Page 10
Enregisremen de la qualié TTRE DE LA RESSOURCE NCC Torsion Référence(s) DOCUMENT ORGNAL Nom Sociéé Dae Créé par Alain BUREAU CTCM /1/004 Conenu echnique vérifié par Mladen Lukic CTCM /1/004 Conenu rédacionnel vérifié par Conenu echnique approuvé par les parenaires : 1. Royaume-Uni G W Oens SC 0/06/05. France A Bureau CTCM 0/06/05. Allemagne C Müller RWTH 0/06/05 4. Suède A Olsson SB 0/06/05 5. Espagne J Chica Labein 0/06/05 Ressource approuvée par le Coordonnaeur echnique G W Oens SC 09/05/06 DOCUMENT TRADUT Traducion réalisée e vérifiée par : eteams nernaional Ld. Ressource raduie approuvée par : CTCM 19/01/06 Modificaion 1, 1/8/07 Equaion pour les conraines de cisaillemen corrigée (page 5). Noe sur le poures consoles uilisan des secions ouveres ajouée (page 6). Page 11