DA pour le er janvier 4 Devoir en autoorretion n Problème : Quelques aspets de la physique du piano I Vibrations d une orde de piano fixée à ses deux extrémités I Mise en équation du mouvement transversal d une orde de piano sans raideur Dans une orde sans raideur, les efforts exerés par un tronçon de orde sur le tronçon adjaent peuvent être représentés par une fore appliquée au point de ontat Cette fore, appelée tension de la orde, est tangente à la orde Dans l hypothèse des petits mouvements, l élongation yx, t est très faibledevant la longueur de la orde et sa dérivée spatiale est très petite devant l unité Notons T x,t la fore exerée sur le tronçon,x} par le tronçon x,} Prenons pour système le tronçon x,x + dx}; il est soumis aux fores T x,t à son extrémité d absisse x; T x+dx,t à son extrémité d absisse x+dx e théorème de la résultante inétique s érit µdx y t ey = T x+dx,t T x,t En divisant par dx, on obtient, après passage à la limite dx : a seonde équation peut s érire = Tx µ y t = Ty µ vy t = Ty En intégrant la première équation, on obtient T xx,t = T xt a omposante selon x étant grande devant T y, elle peut, dans l approximation des petits mouvements, être onfondue ave T 3 a tension étant tangente à la orde, les omposantes T x et T y sont telles que T y = T x On en déduit que T y = T En reprenant la projetion sur e y du théorème de la résultante inétique, on obtient alors µ y t = T y C est une équation de d Alembert de élérité T = µ On obtient la même équation pour la propagation des ondes de tension le long d un âble oaxial; la propagation des ondes sonores le long d un tube ylindrique 4 T mg, ave m = 85 kg, T 85 N oit ρ la masse volumique de l aier; la masse linéique d un fil de diamètre D est a élérité est µ = 4 πd ρ 4T = πd ρ = 3,4 ms I Modes propres d une orde de piano sans raideur, fixée aux deux extrémités Position du marteau sur la orde Une onde stationnaire est une solution de l équation d onde qui peut se mettre sous la forme du produit d une fontion spatiale par une fontion du temps, dans le as présent : équation de d Alembert devient yx,t = fxgt fxg t = f xgt oit t un instant tel que gt équation différentielle en f est de la forme f x+kfx = On peut distinguer trois as : K < : posons K = ; la solution générale est de la forme Λ fx = Ae x/λ +Be x/λ es onditions aux limites s érivent alors A+B = A = Ae /Λ +Be /Λ = B = a seule solution est la solution triviale y = K = ; la solution générale est fx = Ax+B es onditions aux limites s érivent alors B = A = A+B = B = a seule solution est à nouveau la solution triviale y = K > ; posons K = k ; la solution générale est fx = Aoskx+Bsinkx es onditions aux limites s érivent alors A = A = Aosk+Bsink = Bsink = On obtient ette fois une solution non triviale si sink = Finalement, la solution non triviale en f est de la forme fx = Bos kx+ π a fontion du temps doit alors satisfaire l équation i on pose le solution générale est g t = k gt ω = k gt = Cosωt+ϕ es modes propres sont les solutions stationnaires qui satisfont les onditions aux limites Ils sont déterminés par la ondition es pulsations propres sont es fréquenes propres sont sink = k n = n π n N ω n = k n = n π f n = ωn π = n a solution générale orrespondant au mode propre numéro n est nπx y nx,t = y n sin os n πt +ϕ 3 a Tant que sin nπa, l élongation est proportionnelle à lalargeuradumarteauunegrandelargeurdumarteauapoureffetde diminuer l amplitude des harmoniques d ordre n élevé Ce phénomène 6
se produit lorsque l argument du sinus ardinal s approhe de π, pour nπa π, en ordre de grandeur n a Cet effet est sensible pour des fréquenes de l ordre de a f = 7 khz C est à la limite du spetre audible, mais est un effet audible : le timbre d un piano est plus doux si a est grand b On peut supprimer l harmonique de rang n en hoisissant x de sorte que n πx = pπ p N C est intéressant pour supprimer l harmonique de rang 7, qui est dissonnant I 3 Conséquenes sur la oneption des ordes d un piano On a vu que la fréquene du mode n est f n = n ; la fréquene du fondamental est don f = Pour une même valeur de la tension et de la masse linéique, il faudrait pour les graves : une longueur a = pour les aigus : une longueur 6 = 6Hz f a 8 = 6,8 m 6 Do 8 = = 6Hz = 4,5 m f Do 8 4 On peut maintenir la valeur de la tension, et augmenter la masse linéique de façon à diminuer la longueur des ordes dans les graves On en peut pas envisager de jouer dans de grandes proportions sur la tension des ordes, ar on risquerait de provoquer des déformations du adre 3 a masse linéique de la orde filée est D D µ f = π 4 ρ aier +e ρ +e Cu = 9,5 kgm a élérité est alors f = T µ f = 95 ms a longueur de la orde du a est alors a = f f a =,7 m C est ompatible ave la longueur d un piano de onert I 4 Prise en ompte de la raideur : dispersion et inharmoniité a A partir de l expression de Γ, on obtient [Γ] = 4 [E] = 3 [fore] [surfae] = [fore] Γ a bien la dimension du moment d une fore b Prenons pour système le tronçon x,x+dx}; il est soumis aux fores T x,t à son extrémité d absisse x; T x+dx,t à son extrémité d absisse x+dx e théorème de la résultante inétique s érit µdx y t ey = T x+dx,t T x,t En divisant par dx, on obtient, après passage à la limite dx : = Tx µ y t = Ty a seonde équation peut s érire µ vy t = Ty En intégrant la première équation, on obtient T xx,t = T xt a omposante selon x étant grande devant T y, elle peut, dans l approximation des petits mouvements, être onfondue ave T Prenons pour système le tronçon x,x + dx}; son entre de masse est sensiblement au milieu du segment les deux extrémités du tronçon Il est soumis aux efforts T x,t à son extrémité d absisse x; T x+dx,t à son extrémité d absisse x+dx Γx,t à son extrémité d absisse x; Γx+dx,t à son extrémité d absisse x+dx e moment des tensions est dx e x+ dx e y T x,t+ T x+dx,t T yx,t T xx,t dx e z e théorème du moment inétique s érit, en projetion sur e z : dσ z = Γx+dx,t Γx,t+ T yx,t T xx,t dx dt On peut onsidérer que σ z, ar la masse du tronçon est un infiniment petit d ordre, et le moment d inertie un infiniment petit d ordre En divisant par dx, on obtient, après passage à la limite dx : = Γ x,t+tyx,t Txx,t On peut toujours effetuer l approximation T xx,t = T, mais la tension n est plus tangente à la orde et Γ T yx,t = T x,t x,t = T x,t πr4 E 3 y 4 3, en dérivant T y x,t = T y πr4 E 4 y x,t 4 4 En reprenant la projetion sur e y du théorème de la résultante inétique, on obtient µ y t = T y πr4 E 4 y x,t 4 4 onformément à l énoné oit un mode propre de vibration tel que yx,t = y oskx+ψosωt a En dérivant, on obtient y t = ω y oskx+ψosωt y = k y oskx+ψosωt 4 y 4 = k4 y oskx+ψosωt a relation de dispersion s érit don µω = T k + πr4 E k 4 4 ω = k + πr4 E k 4T b es onditions aux limites imposent toujours sink n = k n = nπ es fréquenes orrespondantes sont telles que 4π fn = n π + πr4 E n π 4T fn = n 4 + π3 r 4 E 4T n On obtient bien f n = n +Bn ave B = π3 r 4 E 4T
inharmoniité augmente quand B augmente; elle est don plus faible pour une orde de grande longueur, e que permet un piano à queue éart entre f n erles pleins et fn erles vides s aroît pour les grandes valeurs de n f n équation de d Alembert se réduit à a solution générale est f x = s fx sx sx fx = Asinh +Bosh a ondition aux limites en x = impose f = B = 3 4 5 6 7 8 9 d Ave les valeurs proposées, on obtient B = 3,75 4 e éart entre f n et fn vaut un demi-ton pour f n fn = / /6 pour n = = 8 B n Il reste don sx fx = Asinh a ondition aux limites en x = impose T,t = R t,t T f e st = Rsfe st En expliitant f et f, on obtient s s s T osh = Rssinh II Couplage entre une orde de piano et la table d harmonie : le rôle du hevalet II Impédane aratéristique d une orde vibrante s tanh = T R = µ R = Z C R = r 3 a ondition aux limites en x = s érit α exp exp j ω = r r + En reprenant les notations de la partie I, on a, pour une onde progressive dans le sens des x roissants : yx,t = f t x T yx,t = T x,t = T f t x v yx,t = t x,t = f t x On en déduit que T yx,t v yx,t = T = T = µ pour une onde progressive dans le sens des x déroissants : yx,t = f t+ x T yx,t = T x,t = +T f t+ x v yx,t = t x,t = f t+ x On en déduit que T yx,t v yx,t = T = T = µ II Couplage orde-hevalet Pour T y,t = Rv y,t, la puissane hevalet orde est négative; la puissane orde hevalet est don positive, e qui permet un transfert énergétique de la orde vers la table d harmonie On herhe des solutions de la forme yx,t = fxexpst Notons que, s étant omplexe, il n est pas ertain que es solutions sont stationnaires En effet, une onde yx,t = Ae jωt e jωx/ est le produit d une fontion du temps par une fontion spatiale alors que est une onde progressive a propriété n est aratéristique qu en représentation réelle es dérivées seondes sont y = f xexpst y t = s fxexpst Pour r >, le seond membre est positif; son argument est nul à π près, don ω [π] es valeurs possibles de ω sont don Dans e as exp j ω ω n = nπ n N = ; il reste don α exp = r r + α = r ln r + On onstate que α < ; l amplitude des vibrations déroît exponentiellement en raison du transfert d énergie de la orde vers la table d harmonie 4 En expliitant s, on peut érire y sous la forme yx,t = A eαt e jωt exp α x exp jω x exp α x exp jω x = A eαt exp α x F t+ x exp α x F t x en posant Ft = e jωt e résultat n est pas une onde stationnaire, ontrairement à la qualifiation abusive donnée dans l énoné 5 e temps aratéristique de l amortissement α est plus grand dans les graves que dans les aigus e modèle donne un temps aratéristique proportionnel à On pourrait raffiner le modèle en examinant si la onstante R est indépendante de la orde
Problème : I Osillateurs ouplés Vibrations et phénomènes de propagation a On peut mettre en évidene les régimes libres d osillation de deux osillateurs ouplés en méanique par un dispositif tel que elui qui est représenté i-dessous e système possède deux pulsations propres ω et ω Un régime osillatoire quelonque est une ombinaison linéaire d une osillation de pulsation ω et d une osillation de pulsation ω Un mode propre est un mode d osillation selon une seule pulsation Dans le as où les pulsations des osillateurs déouplés sont identiques, les modes propres sont, d une part le mode symétrique x = x, et d autre part le mode antisymétrique x = x b Dans le as d osillateurs faiblement ouplés, lorsque, à la date t =, on éarte un seul des osillateurs de sa position de repos, on observe un phénomène de battements; est alternativement l osillateur ou l osillateur qui osille, tandis que l autre est pratiquement au repos Il y a ainsi transfert d énergie d un osillateur à l autre Cette observation montre que les deux pulsations propres sont très voisines lorsque le ouplage est faible es frottements ont pour effet de dissiper l énergie des osillateurs Au bout d un ertain nombre d osillations, d autant plus grand que le frottement est plus faible, l amplitude des osillations est impereptible, voire nulle s il y a des frottements solides a a réponse en régime sinusoïdal foré de fréquene f de deux osillateurs ouplés s étudie expérimentalement plus aisément en életriité qu en méanique On peut envisager un ouplage par indutane mutuelle : présene des singularités pour les fréquenes orrespondant aux modes propres du système : est le phénomène de résonane A l opposé, le phénomène d antirésonane orrespond à l annulation de l amplitude pour une fréquene omprise entre les deux singularités ans frottement En frottement faible, la résonane orrespond à un maximum d amplitude, et l antirésonane à un minimum d amplitude Ave frottement 3 a M n est soumis aux efforts exerés par deux ressorts Kun u n par le ressort à sa gauhe Ku n u n+ par le ressort à sa droite le théorème de la résultante inétique s érit f f m d u n dt = Ku n u n Ku n u n+ e qui peut se mettre sous la forme a mise en équation nous donne e = u + di dt +Mdi dt = u + di dt +Mdi dt e = u +C d u dt +Md u dt = u +C d u dt +Md u dt On obtient le système différentiel de pulsations propres : ω d = pour le mode antisymétrique MC ω s = pour le mode symétrique +MC On voit que le ouplage a tendane à éarter les pulsations propres du système Cette propriété est une propriété générale des osillateurs ouplés b En l absene de frottement, l amplitude des osillateurs d u n dt + ω un u n+ u n = en posant K ω = m b Dans l approximation des milieux ontinus, on définit une fontion ux,t variant très peu à l éhelle de a et telle que u nt = ux = na,t En effetuant un développement de Taylor à l ordre de u n+ t u nt et de u n t u nt, on a d u n dt = u t u n+ u n = a u + a u u n u n = a u + a u e qui est de la forme u t a ω u u u t = =
en posant = aω On reonnait une équation de d Alembert orrespondant à la vitesse de propagation II Corde vibrante Expériene de la orde de Melde a e dispositif de l expériene de la orde de Melde est onstitué d un vibreur mettant en mouvement une orde tendue par le poids d une masse m vibreur poulie masse Pour ertaines valeurs de la fréquene d exitation de la orde, on observe un système stable d ondes stationnaires b Pour une masse linéique et une fréquene données, on peut étudier l influene de la tension sur la vitesse de propagation Equation des ordes vibrantes a Appliquons le théorème de la résultante inétique au tronçon de orde [x,x+ x]; m a C = T x+ x,t T x,t, où a C est l aélération du entre de masse du tronçon Cei peut se réérire sous la forme : µ T x+ x,t T x,t a C =, x, en effetuant le passage à la limite x : µ y t x,t e y = T x,t En projetant sur les axes, on obtient respetivement : = Tx sur e x µ y Ty x,t = t sur e y a première équation donne T x = Cte = T b autreomposantedelatensionestt y = T tanα = T ; on en déduit l équation régissant yx, t : e qui est de la forme en posant yx,t Posons τ = t x θ = t+ x = µ T yx,t t y y t = = T µ ; on a x = θ τ t = θ +τ Posons Yθ,τ = yx,t Calulons les dérivées seondes de yx,t par rapport à x et par rapport à t On obtient : = Y τ τ + Y θ θ = Y τ + Y θ y = [ + τ θ ] = [ ] Y τ Y τ θ Y θ τ + Y θ = [ ] Y τ Y θ τ + Y θ t = Y τ τ t + Y θ θ t = Y τ + Y θ y t = τ + t θ = t Y τ + Y τ θ + Y θ τ + Y θ = Y τ + Y θ τ + Y θ équation de d Alembert s érit [ Y τ Y θ τ + Y θ Y θ τ =, équation dont la solution générale est ] = [ Y τ + Y θ τ + Y θ Yθ,τ = fτ+gθ, où f et g sont des fontions quelonques; en revenant aux notations initiales, on obtient yx,t = f t x +g t+ x a solution générale de l équation de d Alembert est don la somme d un terme de la forme f t x qui est une onde progressive dans le sens des x roissants et d un terme de la forme g t+ x qui est une onde progressive dans le sens des x déroissants d Des valeurs numériques typiques sont T = 5 N et µ = g/m, e qui onduit à = 7 m/s 3 Modes propres a On herhe une solution de la forme yx,t = fxosωt fx est alors solution de l équation f x+ω fx = dont la solution générale est de la forme ωx ωx fx = Asin +Bos es onditions aux limites imposent par ailleurs que f = B = f = sin ω = les seules pulsations possibles sont telles que ωn = nπ e qui est de la forme ω n = nω, ave n entier et ω = π b a notion de mode propre pour des osillateurs ouplés fait apparaître de même des solutions dont la dépendane temporelle est une fontion sinusoïdale Une superposition quelonque de modes propres à la date t = se met sous la forme fx = A nsinnω x/ n= Il s agit d une série de Fourier en x de période π ω = et impaire i on suppose par exemple que yx, = 4bsin 3 πx, e qui se met sous la forme 3πx yx, = bsin +3bsin on obtient πx yx,t = 3bsin sin πt bsin πx 3πx, sin 3πt d Plus généralement, pour yx, quelonque, on onstruit yx,t en l exprimant sous la forme d une ombinaison linéaire de modes propres es oeffiients de ette ombinaison linéaire s obtiennent en effetuant le développement de yx, en série de Fourier e fait que le mode propre domine assez rapidement les harmoniques provient d un amortissement plus rapide des omposantes de fréquene élevée ]
4 Ondes stationnaires; résonane a es ondes progressives et les ondes stationnaires sont des solutions de l équation de d Alembert Une onde stationnaire est une somme de deux ondes progressives se propageant dans des sens opposés Une onde progressive ne peut pas en général s exprimer sous la forme d une somme d un nombre fini d ondes stationnaires, ar sa dépendane temporelle n est pas néessairement sinusoïdale, ontrairement aux ondes stationnaires b On suppose d abord que sin ω équation différentielle dont est solution fx est toujours f x+ω fx = dont la solution générale est de la forme ωx ωx fx = Asin +Bos es onditions aux limites imposent par ailleurs que f = b B = b f = Asin ω +Bos ω = et finalement ω x ωx ω ωx bsin fx = b os otan sin = ω sin Un noeud de vibration est un point d amplitude de vibration nulle et un ventre de vibration est un point d amplitude vibratoire maximale; la distane entre deux noeuds suessifs est une demi longueur d onde, π ω e point d absisse x = n est pas un noeud d es solutions obtenues sont aussi la superposition de deux ondes planes progressives; en effet, on a ω x bsin osωt yx,t = ω sin = b [ sin ω t x ω + ω sin sin ω t+ x ] ω e qui fait apparaître la solution omme la somme d une onde progressive dans le sens des x roissants et d une onde progressive dans le sens des x déroissants e Pour ertaines valeurs de la pulsation, le dénominateur s annule; il y a alors résonane es pulsations de résonane sont ω sin = ω = nπ,n N es pulsations de résonane sont identiques aux pulsations de modes propres amplitude vibratoire en x = est alors très petite devant l amplitude maximale On peut don onsidérer que l extrémité x = est un noeud de vibration f amplitude des ventres à la résonane est infinie Pour interpréter de manière plus réaliste l expériene de la orde de Melde, il faudrait tenir ompte des frottements III igne bifilaire : impédane et taux d ondes stationnaires Equation d ondes - Impédane On traite e iruit dans l approximation des régimes quasi permanents ave des ourants ix,t et ix+ x,t et des tensions vx,t et vx+ x,t a On peut faire ette approximation si la longueur d onde du signal est grande devant les dimensions du tronçon de iruit b On a ux = ux + x + Λ x t ix,t,, en divisant par x et en effetuant le passage à la limite x : ux, t +Λ ix,t t = On a de même ix = ix+ x+γ x t ux+ x,t,, en divisant par x et en effetuant le passage à la limite x : ix, t +Γ ux,t t = En éliminant i entre es deux équations du premier ordre, on obtient une équation d onde en u : ux,t = ΛΓ ux,t t De même, en éliminant u entre les deux équations du premier ordre, on obtient une équation d onde en i : ix,t = ΛΓ ix,t t i et v sont don solutions d une équation de d Alembert, ave une élérité = ΛΓ on a i i est une onde progressive dans le sens des x roissants, i = f t x ; on a don Γ ux,t = ix,t = t f t x En intégrant par rapport au temps, on a ux,t = Γ f t x +A = Λ t Γ f x +A i les deux grandeurs vibratoires ont une valeur moyenne nulle, la onstante d intégration A est nulle; le rapport v i est don une onstante Λ Z = Γ ; on l on appelle impédane aratéristique de la ligne Réflexion sur une harge a ligne est alimentée en x = par une soure idéale de tension de fore életromotrie et = E os ωt On herhe une solution omplexe des solutions de la forme ix,t = Aexpjωt kx+ρaexpjωt+kx e x = ligne bifilaire Z x = a ligne est fermée en x = sur une harge d impédane omplexe Z = Z expjϕ, est-à-dire que v,t = Zi,t a Coeffiient de réflexion et taux d ondes stationnaires De l équation ix,t +Γ ux,t =, on déduit t vx,t = Z Aexpjωt kx ρexpjωt+kx En x =, on a Z Aexpjωt ρexpjωt = ZAexpjωt+ρ On en déduit l expression du oeffiient de réflexion ρ = Z Z Z +Z v, t as limite Z = : ρ = ; il y a réflexion totale sans hangement de signe pour i;
as limite Z : ρ = ; il y a réflexion totale ave hangement de signe pour i; On a ρ = lorsque Z = Z a harge est alors adaptée à l impédane de la ligne Expérimentalement, on aède plutôt au taux d ondes stationnaires TO mesuré en déibels TO = V max V min a mesure du TO ne suffit pas pour aéder à Z ar elle ne donne que le module de Z Pour aéder à Z, on peut déterminer la phase des ventres b igne quart d onde = λ 4 impédane équivalente à la ligne quart d onde refermée sur une résistane R est λ4,t, ave ρ = v Z eq = i λ4 =,t Z R Z +R : Z Aj +ρj Aj ρj = Z +ρ ρ Z eq = Z Z +R+Z R Z +R Z +R = Z R Adaptation d impédane oit une ligne d impédane Z fermée sur une impédane Z = R purement résistive et non adaptée On interale une ligne quart d onde d impédane Z qui s étend entre x = λ 4 et x = ligne d impédane Z ligne quart d onde d impédane Z x = λ 4 R x = Pour que la ligne prinipale d impédane Z adaptée, està-dire pour qu il n y ait pas de réflexion en bout de ligne, il faut hoisir Z = RZ Une adaptation d impédane analogue en optique est mise à profit dans la réalisation de ouhes antireflet sur les surfaes des lentilles Problème 3 : I Cohérene temporelle Cohérene et visibilité des franges A Introdution de la notion de ohérene temporelle a Pour une bande spetrale [σ;σ + dσ], le déphasage entre les deux voies peut être onsidéré omme onstant et égal à φ = π z = πσ z, à ondition que z Dans es onditions, l élairement dû à ette minibande spetrale λ est deσ,z = K+osφdσ es vibrations émises par deux minibandes spetrales sont inohérentes entre elles; l élairement résultant est la somme des élairements, Ez = K, après intégration : σ σ +osπσ zdσ, Ez = Kσ σ [+sinπ zosπσ z] a différene de marhe est z = M M, ave M = D + z a = D z a/ + D Au premier ordre non nul, la différene de marhe est a z = D [ z +a/ D b V = sinπ z E = ki σ σ ] z a/ D = az D Fateur V V 3 Fateur de visibilité V V 3 3 3 b e fateur de visibilité s annule pour = σ et σ donnent des ondes en opposition de phase pour pour πσ z = πσ z+π z = e qui orrespond à la première annulation du fateur de visibilité e as V < orrespondrait à une inversion de ontraste, est-à-dire une figure d interférenes dans laquelle les franges brillantes se retrouvent à la plae des franges sombres et vie versa d E max = E +V et E min = E V don E max E min +V +V = E max +E min +V + V = V 3 a Au voisinage de O, le ontraste est maximal; la visibilité diminue progressivement lorsqu on s éloigne de O jusqu à s annuler pour = a ourbe z z étant symétrique par rapport à l axe des ordonnées nous la représentons i-dessous pour z > :
Elairement E E E b Appliation numérique : ordre d interférenes orrespondant au premier brouillage est p = λ = λ λ λ = 5 + λ λ λ Il y a don 49 franges brillantes d ordre positif avant le premier brouillage Gν = On en déduit g τ Gν gte πjνt dν = g + Gν = g τ +πjν ν τ Gν = g τ +4π ν ν τ Raie lorentzienne e τ +πjν ν t dt ν ν ν B Généralisation de la notion de ohérene temporelle N a st = Gνe πjνt t n dν n= b expression préédente fait apparaître st omme la transformée de Fourier de ν : N N ν = Gνe πjνt n = Gν e πjνt n n= n= a durée T d observation étant très grande, on peut effetuer les approximations suivantes : N N TI st dt et e πjνt n = e πjνt p t n N, n= n,p=, en utilisant le théorème de Parseval : TI ν dν = N Gν dν, e qui permet d érire l intensité spetrale sous la forme : iν = N Gν T a R[gt] = g e t τ osπν t pour t gt Train d onde t τ b a largeur à mi-hauteur de la radiation est déterminée par 4π ν τ =, ν = πτ a longueur de ohérene est = π ν a largeur de la raie est due à divers phénomènes; dans le as d un profil de raie lorentzien, l élargissement est dû aux ollisions entre atomes, e qui peut être étudié expérimentalement en étudiant l influene de la pression sur la largeur de raie Un profil de raie gaussien orrespond à un élargissement dû à l effet Doppler, e qui peut être étudié expérimentalement en étudiant l influene de la température sur la largeur de raie Un profil de raie réel n est jamais parfaitement gaussien ou lorentzien, mais l un de es deux aratères peut être dominant orsque l on réalise des interférenes, le ontraste n est pas affeté si la différene de marhe reste inférieure à la longueur de ohérene a perte de ohérene se fait sentir lorsque la différene de marhe atteint le même ordre de grandeur que, π ν = π Ce résultat est en aord ave le brouillage observé pour = dans le as d une raie à profil retangulaire 3 Relation entre l intensité spetrale et le ontraste des franges a Pour une minibande spetrale [ν, ν + dν], l élairement élémentaire est de = kiν +os π ν, en intégrant, E =E +E ave E = kiνdν E = kiν os π ν Il faut toutefois reonnaître le aratère aadémique de e alul; le brouillage ave inversion de ontraste obtenu ii est dû exlusivement à la médiorité du modèle de profil spetral hoisi! dν dν
b Dans le as partiulier important d une raie fine entrée sur ν, on peut érire E = k iν +uos πν +u du E = kr e jπν iν +ue jπu du Introduisons l intensité spetrale entrée normalisée et Γ ĩu = iν +u iνdν = ĩue jπu du On obtient, en posant Φ = Arg Γ : E =E + Γ πν os +Φ e fateur de visibilité est don la transformée de Fourier de l intensité spetrale entrée normalisée ĩ Raie à profil retangulaire : intensité spetrale entrée normalisée est [ u ĩ = ν ν ; ν ] [ u ν ; ν ] a transformée de Fourier est, en utilisant le résultat de l énoné : Γ = ν sin π ν ; ν Γ = sin π ν ; On retrouve le résultat obtenu pour la visibilité dans la question I d Raie à profil gaussien : intensité spetrale entrée normalisée est π ĩu = ν e π ν u a transformée de Fourier est, en utilisant la propriété de dilatation : π Γ = ν ν u exp π ν Raie gaussienne E Contrairement au modèle de la raie retangulaire, on obtient une visibilité qui déroît de façon monotone lorsque la différene de marhe augmente II Cohérene spatiale A Introdution de la notion de ohérene spatiale a a ontribution d une mirosoure primaire [z,z +dz ] à l élairement sur l éran est dez,z = K+osπσ z,z dz ave z,z = az D + az d es ondes émises par des mirosoures différentes sont inohérentes entre elles; les élairements orrespondants s ajoutent; l élairement résultant est don Ez = K b b, après intégration : az +os πσ D + az dz d [ Ez = Kb +sin πσ ab os d πσaz On obtient un résultat de la forme attendue, ave V = sin πσ ab et ǫ = D d σa, πb V = sin ǫ D ] e alul préédent montre que E = Kb, où K est proportionnelle à l intensité I de la soure; on peut don érire E = kbi où k est une onstante dépendant de la géométrie du système elle est proportionnelle à l angle solide sous lequel les trous et sont vus depuis le point O Etude graphique de la visibilité des franges Fateur V V b ǫ ǫ 3ǫ Fateur de visibilité V b ǫ ǫ 3ǫ a visibilité s annule lorsque la largeur de la soure est un multiple de l interfrange orsque la visibilité s annule, le signe de V hange; il y a don inversion de ontraste
B Généralisation de la notion de ohérene spatiale a I = s t+s ts t+s t, I = a t+a te jφ a t+a tejφ = a ta t+a ta t+a ta tejφ +a ta te jφ = I +I + a ta tejφ +a ta te jφ = I +I +R [ a ta t e jφ] Posons On obtient γ = a ta t I I I = I +I + I I R [ γe jφ] b es soures et sont totalement ohérentes pour γ = et totalement inohérentes pour γ = Pour deux soures différentes, le déphasage est aléatoire; il en résulte que a ta t = e oeffiient de orrélation γ est don nul, e qui signifie que les soures sont totalement inohérentes et qu il n y a pas d interférenes a On obtient l intensité lumineuse en M en sommant les intensités lumineuses orrespondant aux mirosoures d aire d autour du point ourant P de la soure; ei s exprime par IM = I P+osΦd, πδ + où Φ = désigne le déphasage entre les ondes allant de P à λ M par l une ou l autre des deux voies Posons I = I Pd πδ + JM = I Pos d λ On peut érire IM = +γ [ M]} I Pd en prenant γ [ M] = JM I tandis que On en déduit b δ = P P, ave P = d +y y +z z P d + y y +z z d P d + y +y +z +z d δ = y y +z z d ave On peut réérire πδ + I Pos d λ γ [ M] = =R[ γ [ M]] I Pd γ [ M] = γ [ M] = e jπ λ I Pe jπ λd y y +z z +d d I Pd I y,z e j4π λd y y +z z dy dz I Pd d Par définition, on a I y,z e j4π λd y y +z z dy dz = F[I y,z ] I y,z e j4π λd y y +z z y dy dz = I λd, z λd On n obtient pas le résultat de l énoné, mais e résultat onduit à la même expression de γ, ompte tenu de la parité de la fontion osinus En reprenant l expression de γ [ M], on a don y I λd, z λd γ = I Pd e e fateur de visibilité des franges est, au entre de la figure d interférenes : V = γ 3 Compte tenu de la forme de I P, on a γ = I B b dy dz e j4π λd y y +z z, I bb B b, en expliitant les intégrales : πy γ = sin B sin λd πz b Compte tenu de la géométrie des trous d Young y = et z = a, il reste simplement V = γ = πab sin λd On retrouve bien le résultat obtenu préédemment par une méthode plus élémentaire λd