Lycée de Souassi DEVOIR DE SYNTHESE N 3 08/05/2009 SECTIONS : 4 éme Scieces Expérimetales EPREUVE : Mathématiques DUREE : 3 heures PROFESSEUR : Mr FLIGENE Wissem EXERCICE N : (3 poits) Pour chacue des questios ci-dessous, ue seule des réposes proposées est exacte. L exercice cosiste à recopier sur la copie cette répose exacte sas justificatio. BAREME : Ue boe répose rapporte poit ; ue mauvaise répose elève 0,5 poit. L absece de répose apporte i elève aucu poit. Si le total de poits est égatif, la ote globale attribuée à l exercice est 0.. Ue variable aléatoire X suit la loi biomiale de paramètres 3 et. La variace de X est égale à : 3 a) b) 2 3 2. Ue variable aléatoire Y suit la loi uiforme sur l itervalle [0,]. p0,3 Y 0,5 c) 3 est égale à : a) 0,3 b) 0,5 c) 0,2 3. Si Z est ue variable aléatoire qui suit ue loi expoetielle de paramètre 0, alors l arrodi au p Z 0 est : cetième de a) O,63 b) 0,37 c) 0,9 EXERCICE N 2: (4 poits) Das le repère orthoormé ( O, i, j) ci-cotre, la courbe (C) représete la foctio f défiie sur 0, par l x f ( x) ax b où a et b sot deux réels. x La droite D est tagete à (C) au poit A(, ). Elle passe par le poit B(, 5).. Détermier, à l aide du graphique, f () et f (). 2. Exprimer f ( x) e foctio de a et b. 3. Détermier les réels a et b. l x 4. O admet que f ( x) x 3 x a. Détermier la limite de f à droite e 0. Que peut-o e déduire graphiquemet? b. Motrer que la courbe (C) admet la droite Δ d équatio y = x comme asymptote e 5. Calculer l aire, e uité d aire, de la partie du pla limitée par (C), Δ et les droites d équatios x = et x = e B j O C i A D Page sur 5

EXERCICE N 3: (4 poits) O cosidère la suite I défiie sur par x 0 I x e dx. E utilisat ue itégratio par partie, motrer que pour tout 2. a) Motrer que pour tout, I 0 b) Motrer que I est ue suite décroissate. c) E déduire que I 3. a) Motrer que pour tout x 0, est ue suite covergete b) E déduire que pour tout, I et pour tout e c) Détermier alors la limite de la suite I I I, o a :, x x e x e EXERCICE N 4: (5 poits) Ue petite etreprise de textile commercialise des patalos et des chemises. Quad u cliet se présete, il achète au plus u patalo et ue chemises.. La probabilité pour qu u cliet achète u patalo est 0,2. La probabilité pour qu u cliet achète la chemise quad il a acheté le patalo est 0,7 et la probabilité qu il achète la chemise quad il a pas acheté le patalo est 0,. a) O ote P l évéemet «u cliet achète le patalo». O ote C l évéemet «u cliet achète la chemise». Costruire u arbre de probabilité décrivat la situatio. b) Motrer que la probabilité de l évéemet P C est égale à 0,4. c) Calculer la probabilité de l évéemet C. d) Calculer la probabilité pour qu u cliet achète le patalo quad il a acheté la chemise. 2. Le patalo est vedue 25 DT et la chemise 45DT. a) Soit X la variable aléatoire qui pred pour valeurs les dépeses d u cliet Vérifier que l esemble des valeurs prises par X est {0, 45, 25, 70 }. Détermier aisi la loi de probabilité de X b) Calculer l espérace mathématique de X. 3. O rappelle que la probabilité pour qu u cliet achète l esemble patalo et chemise est 0,4. O choisit trois cliets au hasard. O suppose que le ombre de cliets est suffisammet grad pour que ce choix soit assimilé à u tirage successif avec remise. Quelle est la probabilité qu u seul cliet ait acheté u esemble patalo et chemise? EXERCICE N 5: (4 poits). Résoudre l'équatio différetielle : (E) 9y '' + 2 y = 0 2. O désige par f la solutio particulière de (E) dot la courbe représetative, das u pla mui d'u repère orthoormé, passe par le poit P, 2 et admet e ce poit ue tagete parallèle à l'axe des abscisses. Détermier f. 3. Vérifier que, pour tout ombre réel x, f ( x) 2 cos x 2 3 2, 4. Calculer la valeur moyee de f sur l itervalle Page 2 sur 5

Correctio Solutio-Exercice ) b) 2) c) 3) b) Solutio-Exercice 2 - () = ᇱ() = ݕ = ܦ ݐ ݕ = 5 + ݔ ݔ భ + = (ݔ) ᇱ 2- = + మ మ 3- () = = doc = (ݔ) ᇱ + comme ᇱ() = 2 alors + = 2 మ = 3 4- a) lim శ =, (, ଔ ): = ݔ 0 est ue asymptote verticale à (C) b) lim ஶ + (ݔ) ] [ݔ = lim ஶ 3 = 0 doc : ݔ = ݕ est ue asymptote oblique à (C) au voisiage de + = 3 ݔ + (ݔ) or ݔ ݔ + (ݔ) = 5-3 ቂ (ݔ ) ଷ ቃ = ).ݑ) (ݔ )] ] = ଷ ( 0) = ଷ Solutio-Exercice 3 x 0 I x e dx - Soit ( = (ݔ)ݑ (ݔ ݑ ᇱ )( )( + ( = (ݔ) (ݔ = (ݔ) ᇱ ݒ = (ݔ)ݒ 3 = ݔ 3 = ] doc, ]ݎݑݏ 0 ௨ᇱ ด ݔ ௨ = ݔ ] (ݔ [( = ܫ ᇣᇧᇧᇧᇧᇤ ᇧᇧᇧᇧᇥ + ( + ) න ( (ݔ ܫ( + ( = ݔ ᇣᇧᇧᇧᇧᇤ ᇧᇧᇧᇧᇥ 2- a) pour tout ݔ [0,] c.à.d. 0 ݔ o a ݔ 0 et N alors ( (ݔ 0 comme > 0 alors ( (ݔ 0, or ( ݔ (ݔ est cotiue sur [0,] alors ( (ݔ ܫ = ݔ 0 b) ܫ ܫ = ( (ݔ ݔ (ݔ ) (ݔ ( න ( ݔ (ݔ ( = ݔ (ݔ = ݔ ( ݔ ( Or ( (ݔ 0 et ݔ 0 pour tout ݔ [0,] et ( ݔ (ݔ (ݔ ) est cotiue sur [0,] alors ܫ ܫ 0 d où ܫ est décroissate c) ܫ est décroissate et miorée par 0 alors ܫ est covergete 3- a) ݔ [0,] ݔ ( (ݔ ( (ݔ puisque ( (ݔ 0 ݔ (ݔ ( alors sot cotiues sur [0,] (ݔ ( ݔ et (ݔ ( ݔ b) ݔ (ݔ ( or ( (ݔ ( = ݔ (ݔ = ݔ ( ) ቆᇣᇤᇥ ݔ ถ௨ ᇲ ௨ ቀ0 ቁ = d où ܫ c) o a : 0 ܫ et lim = 0 alors lim ܫ = 0 ቇ ቂ = ݔ ( (ݔ ቃ = Page 3 sur 5

Solutio-Exercice 4 = 0, (ܥ) ത ; 0,7 = (ܥ) ; 0,2 = ( ) a) - = 0,4 0,7 0,2 = (ܥ) ( ) = (ܥ ) b) = 0,22 0, 0,8 = 0,4 + (ܥ) ത ( ത ) + (ܥ ) = (ܥ) c) d) ( ) = ( ) () =,ସ, = = 0,636 {0,45,25,70} = (ܧ) a) 2-0 45 25 70 ݔ ) 0,72 0,08 0,06 0,4 ݔ = ) = 0,72 0,9 0,8 = (ܥ ത ) = 0) = ) = 0,08 0, 0,8 = ത) ܥ) = 45) = ) = 0,06 0,3 0,2 = (ܥ ) = 25) = ) = 0,4 (ܥ ) = 70) = ) = 34,9 0,4 70 0,06 + 25 0,08 + 45 0,72 + 0 = ( )ܧ b) 3- il s agit d u schéma de Beroulli de paramètres = 3 et p = 0,4 soit Y la variable aléatoire qui doe le ombre de cliets qui ot acheté u esemble patalo et chemise doc la probabilité qu u seul cliet ait acheté u esemble patalo et chemise est = 0,3 ଷ (0,4) ( 0,4) = 3 0,4 (0,86) ܥ = ) = ) Solutio-Exercice 5 - (E) 9y '' + 2 y = 0 "ݕ + ቀ గ ଷ ቁ = ݕ 0 doc = ݕ ቀ ݏܣ గ + ቁݔ ଷ ቀగݏ ܤ ቁݔ ;,ܣ) (ܤ R ଷ 2- D après les doées de cette questio o coclut que () = 2 et ᇱ() = 0 Or f solutio de (E) alors = (ݔ) ቀ ݏܣ గ ଷ + ቁݔ ቀగݏ ܤ ଷ ቁݔ D autre part (ݔ) ᇱ = గ ଷ ܣ ቀగݏ ଷ ቁݔ గ ଷ ܤ ቀగ ݏ ଷ ቁݔ = 2 ቊ () ᇱ() = 0 ߨ ݏܣ 2 = 3 ߨݏ ܤ + 3 ߨ = 0 ቁ 3 ߨቀ ݏ ܤ 3 ߨ ቁ 3 ߨቀݏ ܣ 3 () 2 2 = ܤ + ܣ 3 ቊ (2) 0 = ܤ 3 ܣ Page 4 sur 5 3 2 = ܤ + 2 ܣ 2 3 ܣ 2 = 0 ܤ 2 = ܤ 2 2 = ܤ 4 qu o remplace das () ce qui doe ܤ 3 = ܣ (2) D où (ݔ) = ቀగ ݏ ቁݔ ଷ ቀగݏ ቁݔ ଷ = (ݔ) 3- ቀగݏ ቁݔ ଷ ቀగ ݏ ቁݔ = ଷ ቀగݏ ݎ ቁቀ = ; = ቁ ݔ ଷ = ܣ d où

2 = = ඥ + ݎ = ݏ = ݎ 2 = ݏ ߨ 3 2 ߨ 3 4 3 = ݎ [గ] [గ] 2 D où = (ݔ) ቀݏ 2 గ ݔ + గ ቁ= ଷ ଷ ቂగݏ 2 + ݔ) 2)ቃ ଷ 4- = ଷ గ (ݔ) 2)ቃ൨ ଷ + ݔ) ቂగ ݏ 2 ଷ ଷ గ = ݔ 2)ቃ + ݔ) ቂݏ గ 2 = ݔ = ଷ గ ቀ ଷ 0ቁ = Page 5 sur 5