Igéere de l'aalyse des doées Jea-Lous Grard htt://www.u-carde.rtous/ocumetato/master/ia Pla de cours. Itroducto géérale..... Les Egytes atques savaet-ls edre?..... Ue autre llustrato... 3.3. Pla... 6.4. Leque... 7.5. Prce de rerésetato géométrque... 9. L'erte comme somme des dstaces des ots d'u uage... 0 3. Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales... 5 3.. Quelques raels sur les matrces et le calcul matrcel... 5 3.. Pour réarer ue "boe" matrce, l aut... 5 3.3. Mamser l'erte roetée, c'est redre mamale la somme des dstaces etre les roectos de chaque ot du uage... 7 3.4. Quelles sot les coordoées des ots roetés?... 9 3.5. Commet reréseter les varables (relatos de trasto)?... 0 3.6. Comlémets et terrétatos... 3.7. Résumé... 6 3.8. Eemles... 9 4. Passos mateat à l'aalyse de tableau de varables qualtatves... 37 4.. L'aalyse des corresodaces (crosemet de deu varables qualtatves)... 37 4.. L'aalyse des corresodaces multles (crosemet de ombreuses varables qualtatves)... 48 5. Mas das les ordateurs, commet ça marche? Aroche algorthmque de l'aalyse actorelle...erreur! Sget o dé. 5.. Quelques algorthmes de dagoalsato... 53 5.. Et les autres drectos d'allogemet?... 53
Igéere de l'aalyse des doées - Itroducto géérale. Itroducto géérale "Il avat ars sas eort l'aglas, le raças, le ortugas, le lat. Je souçoe ceedat qu'l 'état as très caable de eser. Peser, c'est oubler des déreces, c'est gééralser, abstrare. as le mode surchargé de Fues l 'y avat que des détals, resque mmédats." Fues ou la mémore, Fctos, Jorge Lus Borges (956).. Les Egytes atques savaet-ls edre? Pourquo les Egytes atques egaet les ersoages das ue osto eu aturelle alors que ar alleurs ls savaet deus très logtems reréseter u cors e 3? Le ro Ameemhat III XIX sècle avat J.-C. Stèle de la dame Taéret (étal) Xe ou IXe sècle avat J.-C. Jea-Lous Grard - -
Igéere de l'aalyse des doées - Itroducto géérale.. Ue autre llustrato O dsose d'u tableau doat les coordoées de ots das u esace trdmesoel : IN X Y Z 5,58-5,3-0,93 5,5-4,86-0,77 3 5,49-3,58-0,6 4 5,03-6, -0,55 5 54,3-3,64-0,44 6 53,63-6,4-0,4 7 50,47-5,56-0,36 488-49, 79,3 60,4 489-47,8 86,0 60,5 490-46,34 87,09 60,6 49-48, 8,83 60,9 49-46,9 79,37 60,9 493-43,9 87,68 60, 494-47,9 84,45 60,3 495-45,55 8,08 60,3 496-44,4 83,48 60,5 497-43,46 85,53 60,6 498-45,39 85,67 60,3 499-45,39 85,67 60,3 Quelle orme a ce uage de ot ( recoassace de orme)? Rerésetato des dérets las : Pla X-Y Jea-Lous Grard - 3 -
Igéere de l'aalyse des doées - Itroducto géérale Pla Y-Z Pla X-Z Quel est le melleur la de rerésetato? Est-ce l'u des récédets? Jea-Lous Grard - 4 -
Igéere de l'aalyse des doées - Itroducto géérale Grahque actorel Jea-Lous Grard - 5 -
Igéere de l'aalyse des doées - Itroducto géérale.3. Pla. Itroducto géérale.. Les Egytes atques savaet-ls edre?.. Ue autre llustrato.3. Pla.4. Leque.5. Prce de rerésetato géométrque. L'erte comme somme des dstaces des ots d'u uage 3. Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales 3.. Quelques raels sur les matrces et le calcul matrcel 3.. Pour réarer ue "boe" matrce, l aut 3.3. Mamser l'erte roetée, c'est redre mamale la somme des dstaces etre les roectos de chaque ot du uage 3.4. Quelles sot les coordoées des ots roetés? 3.5. Commet reréseter les varables (relatos de trasto)? 3.6. Comlémets et terrétatos 3.7. Résumé 3.8. Eemles 4. Passos mateat à l'aalyse de tableau de varables qualtatves 4.. L'aalyse des corresodaces (crosemet de deu varables qualtatves) 4.. L'aalyse des corresodaces multles (crosemet de ombreuses varables qualtatves) 5. Comlémets 5.. Quelques algorthmes de dagoalsato 5.. Et les autres drectos d'allogemet? Jea-Lous Grard - 6 -
Igéere de l'aalyse des doées - Itroducto géérale.4. Leque Poulato (ou oulato statstque) Idvdu (ou uté statstque) Echatllo Talle de l'échatllo Equête (statstque) Recesemet Sodage Varable (statstque) oées (statstques) Ω Esemble (au ses mathématque du terme) coceré ar ue étude statstque. O arle aros du cham de l'étude Ω Tout élémet de la oulato Ω Sous-esemble de la oulato sur lequel sot eectvemet réalsées les observatos Cardal du sous-esemble corresodat Oérato cosstat à observer (ou mesurer, ou questoer) l'esemble des dvdus d'u échatllo Equête das laquelle l'échatllo observé est la oulato tout etère (equête ehaustve) Equête das laquelle l'échatllo observé est u sous-esemble strct de la oulato (equête o ehaustve) ε s qualtatve Ω R s quattatve Caractérstque (âge, salare, see) dée sur ue oulato et observée sur l'échatllo ; mathématquemet, l s'agt d'ue alcato dée sur l'échatllo. S la varable est à valeurs das R (ou ue arte de R, ou u esemble de artes de R ), elle est dte quattatve (âge, salare, talle) ; so, elle est dte qualtatve (see, CSP) et les valeurs que eut redre cette varable sot aelées modaltés. Esemble des dvdus observés (échatllo), des varables cosdérées, et des observatos de ces varables sur ces dvdus. Elles sot gééralemet résetées sous orme de tableau (dvdus e lges et varables e coloes) et stockées das u cher ormatque. Lorsqu'u tableau e comorte que des ombres (valeurs des varables quattatves ou codées assocées au varables qualtatves), l corresod à la oto mathématque de matrce. Jea-Lous Grard - 7 -
Igéere de l'aalyse des doées - Itroducto géérale : chaque dvdu est doté d'u "ods" (ou masse) déret. Par eemle, l 'y a aucue raso a ror de trater déremmet les ersoes qu costtuet ue oulato (ue ersoe ue ersoe) ; mas les régos ou les déartemet ot des mortaces déretes, dot l aut aros ter comte (oto à rarocher de celle de moyee odérée). : ue varable quattatve eut être "classée" ou ordoée, e eectuat ar eemle des découages sur les valeurs que eut redre cette varable Eemle : [{mos de 0 as} ; {de 0 as à 39 as}; {de 40 as à 59 as}, {60 as et lus}]. as ce cas, cette varable eut être tratée comme ue varable qualtatve, detque à [{eue}, {adulte}, {mûr}, {âgé}] : les modaltés d'ue varable euvet être : Ehaustves : o modaltés o-ehaustves [{adulte}, {âgé}] les eues 'y guret as o êtes-vous veu à la Préecture our : retrer votre erms de codure? retrer votre asseort? d'autres réoses sot ossbles. Eclusves : o modaltés o eclusves [{mos de 30 as} ; {de 0 as à 39 as}; {de 40 as à 59 as}, {60 as et lus}] s l'o a de 0 à 30 as, o gure das deu modaltés o êtes-vous veu à la Préecture our : retrer votre erms de codure? retrer votre asseort? les deu réoses sot ossbles. : O eut redre les modaltés ehaustves e roosat, ar eemle, ue modalté {autre} O eut redre les modaltés eclusves e demadat, ar eemle, "quelle est la rcale raso qu vous a at ver à la réecture?" Jea-Lous Grard - 8 -
Igéere de l'aalyse des doées - Itroducto géérale.5. Prce de rerésetato géométrque Les tableau euvet être vus comme u esemble de lges ou de coloes. Par coveto, E lges guret les dvdus E coloes guret les varables eu uages de ots euvet alors être costruts : Le uage des dvdus (les ots-lges) qu oère das u esace dot le ombre de dmesos (le ombre d'aes) est égal au ombre de varables Le uage des varables (les ots-coloes) qu oère das u esace dot le ombre de dmesos (le ombre d'aes) est égal au ombre d'dvdus,,,,,,,,,,,,,,,,, Vecteurs lges Vecteurs coloes ' ' ots das u esace à dmesos (aes) ots das u esace à dmesos (aes) Jea-Lous Grard - 9 -
Igéere de l'aalyse des doées - L'erte comme somme des dstaces des ots d'u uage. L'erte comme somme des dstaces des ots d'u uage O cosdère c u uage de ots dot les coordoées sot résetées das u tableau du tye : Varable Varable Varable Varable Idvdu Idvdu Idvdu t Idvdu Les t sot doc umérques. éto : l'erte est la somme des carrés des dstaces qu relet chaque ot du uage à u ot quelcoque de l'esace. O I Jea-Lous Grard - 0 -
Igéere de l'aalyse des doées - L'erte comme somme des dstaces des ots d'u uage Commet mesurer la dstace (métrque)? y ya.a yb.b A B Équato stace eucldee (usuelle) : stace quadratque : ( B A) + ( yb ya ( B A) + ( yb ya stace de Mahatta : B A + yb ya stace etre esembles : c. T ) ) éto : l'erte roetée est la somme des carrés des logueurs des roectos de chaque ot du uage sur ue drecto quelcoque. Jea-Lous Grard - -
Igéere de l'aalyse des doées - L'erte comme somme des dstaces des ots d'u uage Qu'est-ce qu'ue roecto (orthogoale)? O I F ère séace ( h) Jea-Lous Grard - -
Igéere de l'aalyse des doées - L'erte comme somme des dstaces des ots d'u uage Quelles drectos euvet être téressates? a) b) I 0 I c) I I c) > I b) Jea-Lous Grard - 3 -
Igéere de l'aalyse des doées - L'erte comme somme des dstaces des ots d'u uage l'erte roetée croît lorsque la roecto se at sur l'ae d'étremet mamal du uage de ots. l'térêt d'utlser cette drecto est qu'elle ermet de vor lus de choses Vor au meu le uage de ots (c'est-à-dre de mamser l'erte roetée) mlque de coaître les drectos mamales d'étremet du uage de ots. Jea-Lous Grard - 4 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales 3. Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales O rered le tableau récédet (c. ). 3.. Quelques raels sur les matrces et le calcul matrcel Qu est-ce qu ue matrce? relat à ue alcato léare codage d u tableau Prorétés des matrces Qu est-ce qu u rodut scalare? <, > 0 ss 0, <, y> <y, > (symétre), <a + by, z> a<, z> + b<y, z> (bléarté ), <z, a + by> a<z, > + b<z, y> (bléarté ), dut ue orme ar la relato : ² <, >, rodut scalare caoque (usuel) de R² : <, y> y + y rodut scalare caoque (usuel) de R : <, y>, <, y> 0 y Qu'est-ce que le rodut d'ue matrce ar u vecteur? Qu'est-ce que la dagoalsato d'ue matrce? 3.. Pour réarer ue "boe" matrce, l aut Cetrer et rédure les varables Au réalable, a d'élmer les eets dus au déreces etre moyees et utés, o cetre et o rédut chaque varable : la moyee de chaque varable est ulle (o se stue au cetre du uage), l'écart-tye de chaque varable est utare (le cho des utés 'morte as). Équato t s t Jea-Lous Grard - 5 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales : e at, la dstace etre deu dvdus est mesurée ar : t ' ' (, ') t d, avec l'écart-tye de qu est égal à : s ( t t ) s Comme les varables sot cetrées-rédutes, elles se stuet sur le bord d'ue hyershère de rayo. ' Podérer les dvdus Il est ossble que les dvdus statstques 'aet as la même mortace : s les dvdus statstques sot ar eemle les régos de Frace, l aut accorder lus d'mortace au grades régos (Île-de-Frace, PACA, Nord-Pas-de-Calas etre autres). O va doc mettre e lace ue odérato o uorme des dvdus. Les dvdus ot touours u ods ; lorsque les dvdus ot la même mortace, leurs ods sot detques (uormes) et cette étae eut être églgée. F cours (3h) Jea-Lous Grard - 6 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales 3.3. Mamser l'erte roetée, c'est redre mamale la somme des dstaces etre les roectos de chaque ot du uage O cherche u sous-esace vectorel (u esemble de vecteurs, c'est-à-dre u esemble de drectos) qu ermette de redre mamale l'erte roetée das ce sous-esace. Ces aes dovet être les drectos d'étremet mamal du uage de ots. doées du roblème 0 u z Pour l'esemble des vecteurs du uage de ot, o cherche la drecto v qu ermette de redre mamale la somme des roectos carrées z². Comme le uage est désormas cetré, les coordoées de l'orge sot ulles. z u z ² (u)² (u)' (u) u''u A l'échelle du uage de ots (our l'esemble des ), o a doc l'erte qu est égale à : E osat C X 'X, o a : I u I u m u' X ' X u u' X ' Xu m u' C u u' Cu : C est la matrce des corrélatos etre varables. E eet, d'arès Équato, elle est de terme gééral : c m m ' ( t t )( t t ) ' ' ' s s ' cor ( ') E coséquece, Tr C, le ombre de varables. 'ue autre maère, avec la dstace eucldee (c. Équato ), I m m ( ) Tr C. Jea-Lous Grard - 7 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales Le rogramme de mamsato s'écrt alors : Mau' Cu s. c. u' u L u' Cu ( u' u ) L ( Cu u) 0 u L u' u 0 Cu u u L'erte roetée sera mamale lorsque les aes (le sous-esace vectorel) sur lesquels s'eectue la roecto sur les vecteurs rores de la matrce d'erte C. L'erte elquée ar l'ae orté ar le vecteur rore u est I Les aes coservat le mamum d'erte serot ceu ortés ar les vecteurs rores assocés au lus grades valeurs rores.. Sot U ( u... ) u, avec u les vecteurs rores coloes. Jea-Lous Grard - 8 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales 3.4. Quelles sot les coordoées des ots roetés? Les vecteurs rores état orthogoau deu à deu (c. T), ls costtuet ue base orthoormée das laquelle o eut reréseter les vecteurs tau. Les coordoées des vecteurs tau das la ouvelle base sot doées ar leurs roectos sur les vecteurs rores. F X u ou F XU Jea-Lous Grard - 9 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales 3.5. Commet reréseter les varables (relatos de trasto)? Faut-l reare ue aalyse smlare our les varables, et quels les y a-t-l etre les varables et les dvdus? Idvdus et varables oèret das des esaces vectorels dérets, mas sot tmemet lés O motre (c. T) que : v Xu est u vecteur rore de la matrce XX' Alors, G m m X ' F Iversemet, F X G O e dot rocéder qu'à la dagoalsato la lus rade, et dédure les résultats de la secode dagoalsato de ceu de la remère. as la maeure arte des cas, comme le ombre de lges est réquemmet lus élevé que celu des coloes, o étude d'abord les dvdus (C X'X de dmeso (,)) et esute les varables (Z XX' de dmeso (,)). corrélato varables/aes G t t X' F s F cor(, F ) oc, la coordoée d'ue varable sur u ae est le coecet de corrélato de cette varable avec cet ae. Cette rerésetato est as aelée "cercle des corrélatos". Jea-Lous Grard - 0 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales F cours 3 ( h) Le vers alcato Jea-Lous Grard - -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales 3.6. Comlémets et terrétatos Idvdus sulémetares et varables llustratves X X VI+ X IS+ Idvdus sulémetares Il est ossble d'aouter des dvdus das la rerésetato grahque (ar eemle des emmes s l'aalyse tale tratat des hommes, les régos s l'o tratat des déartemets, etc.). Pour ce are, l aut ostoer l'dvdu sulémetare ar raort au cetre de gravté du uage et dvser les coordoées ar les écarts-tyes : IS + t IS+ s t Les coordoées des dvdus sulémetares (regroués das la matrce X IS+ ) sot alors trouvées ar roecto sur les vecteurs rores : F IS + IS + X u Varables llustratves cotues Il eut s'agr alors d'erchr l'aalyse ar des dcateurs qu vot ver elquer davatage les résultats obteus. O rocède alors de maère smlare: VI + VI + t + t VI VI + s Les coordoées des varables llustratves (regroués das la matrce X VI+ ) sot alors trouvées ar roecto sur les vecteurs rores : G VIS + VI + ( X )' u Jea-Lous Grard - -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales Varables llustratves omales Il est égalemet ossble de are gurer des varables llustratves omales (hors rogramme du Master). Règles d'terrétato Pour les dvdus (das u esace à dmesos) : "La rerésetato des dvdus sur les aes actorels ourt la melleure vsualsato arochée des dstaces etre les dvdus. []Les romtés etre dvdus s'terrètet e termes de smltudes de comortemet vs-à-vs des varables. " Par costructo, le cetre du grahque des dvdus rerésete les valeurs moyees de chaque varable, c'est-à-dre le rol de l'dvdu moye (ou rol moye) E coséquece, lus u dvdu est élogé du cetre, lus l va réseter u rol déret du rol moye : o arle alors de rols margau. Pour les varables (das u esace à dmesos) : "La rerésetato des varables sur les aes actorels ourt ue sythèse grahque de la matrce des corrélatos. [] Les romtés etre varables [s'terrètet] e termes de corrélatos. Il aut be se garder d'terréter la dstace séarat u ot-varable d'u ot-dvdu car ces deu ots e ot as arte d'u même uage das u même esace : la suerosto de ces deu las actorels est déuée de ses." Pour les dvdus et les varables S la suerosto des deu grahques tau est déuée de ses (c. sura), elle devet ossble s l'o e s'téresse lus au ots-varables mas au drectos des varables. Pour ce are, o rerésete les aces aes utares (les varables du début de l'aalyse) qu, our la varable, s'écrvet : e ' (0 0 0) O trate alors la matrce E AAU+ des aces aes utares comme dvdus sulémetares. Les coordoées de ces aces aes utares das l'esace à dmesos sot doées ar : F AAU + AAU + E u Soulgé ar mo. Jea-Lous Grard - 3 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales : Ces vecteurs sot, ar déto, orthogoau deu à deu ce qu dstgue le grahque obteu du récédet grahque des varables. : Les deu uages e coïcdet as : ls dèret ar ue dlatato de. Ils éamos des allures très voses. : Les dvdus stués das le vosage de la drecto d'ue varable reet des valeurs suéreures à la moyee de cette varable ; les dvdus stués das le vosage de la drecto oosée reet des valeurs éreures à la moyee de cette varable. Les CONT décrvet les cotrbutos des dvdus à l'erte des aes m CONT F avec CONT Par costructo, les dvdus les lus cotrbuteurs sot ecetrés. Les cosus carrés (cos²) décrvet les qualtés de rerésetato des dvdus COS F X U COS² roche de 0 mlque ue mauvase rerésetato de l'dvdu. U COS² roche de mlque ue boe rerésetato de l'dvdu. Les deu dvdus et suvat ot la même roecto ; mas est lo du la (sa roecto est élogée de sa osto réelle), alors que est roche du la (sa roecto est doc rerésetatve de sa osto réelle). Jea-Lous Grard - 4 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales E coséquece, u dvdu dot la roecto est lo du cetre sera be reréseté, alors qu'u dvdu dot la roecto est roche du cetre est sot u dvdu moye be reréseté, sot u dvdu margal mal reréseté. "Eet talle" Il arrve aros que toutes les varables soet stuées d'u même côté du cercle des corrélatos. Cela at état d'ue corrélato etre toutes les varables,.e. elles reet toutes des valeurs lus élevées (resect. ables) que la moyee e même tems. Nous sommes alors e résece de "grads" dvdus et de "etts" dvdus, d'où l'eresso "eet talle". Pour ahler cet eet, o eut : - are la lecture sur le la suvat (ae-ae3 et o lus ae-ae) : mas alors les corrélatos serot beaucou lus ables ; - reare l'aalyse e s'téressat ar eemle à la structure du rol des dvdus (lorsque cela est ossble), otammet e ermat la structure e ourcetage. Il covet alors de odérer les dvdus our resecter la structure du rol moye. Jea-Lous Grard - 5 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales 3.7. Résumé Toutes les aalyses actorelles coteet ue étae de dagoalsato de matrce. E octo du tye de tableau que l'o dot aalyser et de la aço dot o veut l'aalyser, la matrce à dagoalser est dérete. So élaborato est tmemet lée à la maère dot o mesure les dstaces das les esaces cocerés (.e. la métrque utlsée). as l'aalyse e comosates rcales, cette métrque est la dstace eucldee etre les dvdus rs deu à deu. Jea-Lous Grard - 6 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales Etae Matrce tale M Idvdu Idvdu Idvdu Formalsato Varable Varable Varable t Réducto et cetrage de M : matrce cetrée rédute X Idvdu Idvdu Idvdu Varable Varable Varable Calcul de X'X (gééralemet, >) X X' X' X'X agoalsato de la matrce d'erte X'X u u Relatos de trasto F X u et G m m X ' F Rerésetato grahque X X VI+ Idvdus sulémetares et varables llustratves X IS+ F + VIS X et G + VI + ( X )' u IS IS + u Jea-Lous Grard - 7 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales Rerésetato smultaée Iterrétato m CONT F avec CONT F AAU + AAU + E u COS F X Jea-Lous Grard - 8 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales 3.8. Eemles Ue aalyse actorelle a été réalsée sur u tableau du cher SINE qu doe la réartto géograhque et seuée de la art de chaque rcal moble de créato d etrerse. Jea-Lous Grard - 9 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES STATISTIQUES SOMMAIRES ES VARIABLES CONTINUES EFFECTIF TOTAL : POIS TOTAL : 473.00 +-------------------------------------------------------+----------------------+----------------------+ NUM. IEN - LIBELLE EFFECTIF POIS MOYENNE ECART-TYPE MINIMUM MAXIMUM +-------------------------------------------------------+----------------------+----------------------+. dée - dée ouvelle 473.00 0. 0.0 0.08 0.6 3. goût - goût d'etreredre 473.00 0.39 0.0 0.34 0.44 4. oo - oortuté 473.00 0. 0.0 0.9 0.4 5. eem - eemle de l'etoura 473.00 0.07 0.0 0.05 0.09 6. sas - sas emlo, a chos 473.00 0.6 0.0 0.3 0.0 7. sas - sas emlo, a été c 473.00 0.05 0.0 0.03 0.06 Jea-Lous Grard - 30 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales 'arès u sodage IPSOS, Télérama, ma 00. Le sodage suvat doe e ourcetage les tetos de votes des lecteurs de dérets ourau. LAGUILLER BESANÇENOT HUE JOSPIN TAUBIRA CHENENEMENT MAMERE LEPAGE SAINT-JOSSE BAYROU MAELIN CHIRAC BOUTIN MEGRET LE PEN BLANCS/NULS TOTAL La Cro 0 3 4 5 3 0 9 8 4 00 La Fgaro 0 7 3 8 9 35 3 3 00 Lbérato 6 8 3 40 5 5 0 0 9 0 0 7 00 Le Mode 5 6 5 3 5 7 5 4 8 00 Le Parse 4 3 4 4 6 6 3 6 00 Le Caard Echaîé 8 7 5 6 7 9 4 4 4 8 0 0 00 L'Eress 4 5 4 5 3 8 9 5 6 00 Marae 6 6 9 3 4 4 3 0 5 9 3 0 3 00 Le Nouvel Observateur 4 7 35 3 5 8 6 3 4 0 9 00 Pars Match 4 5 0 3 7 4 9 3 00 Télérama 4 8 5 8 4 7 3 0 0 3 9 0 3 00 Le Pot 7 3 8 9 4 6 00 Ue ACP eectuée sur ce tableau doe les grahques suvats : Jea-Lous Grard - 3 -
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Igéere de l'aalyse des doées - Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales u cher SINE a été etrat u tableau doat ar régo et ar mot le ourcetage de ouvelles etrerses de l'dustre créées e 994 ayat e 997 des les de cooérato avec d'autres etrerses. Pluseurs mots ouvat être voqués, le ourcetage total est suéreur à 00 %. u reste, le total est traté e varable sulémetare. Grahque des dvdus Jea-Lous Grard - 34 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales Cercle des corrélatos Statstques sommares des varables cotues Lbellé de la varable Moyee achat 7,76 aucu le de cooérato étrot avec des etrerses 76,69 coceto de bes ou de servces 7,38 ace,76 gesto,57 roducto de bes ou de servces 3,857 ublcté,54 vete 5,76 Total 08,38 Jea-Lous Grard - 35 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos à la ormalsato mathématque à artr de varables quattatves : l'eemle de l'aalyse e comosates rcales Matrce des corrélatos achat aucu le de cooérato étrot avec des etrerses coceto de bes ou de servces ace gesto roducto de bes ou de servces ublcté vete achat,00 aucu le de cooérato étrot avec des etrerses coceto de bes ou de servces roducto de bes ou de servces -0,36,00-0,5-0,5,00 ace 0, -0,43 0,3,00 gesto 0,0-0,59 0,3 0,07,00 0,33-0,5 0,7 0,45 0,0,00 ublcté 0,37-0,7-0,07 0,5-0,7 0,5,00 vete -0,36-0,3 0, 0,4 0,8 0,3 0,5,00 Tableau des valeurs rores Valeur Numéro rore,7779,767 3,5 4 0,9773 5 0,5745 6 0,4009 7 0,067 8 0,0796 Somme 8,0000 Jea-Lous Grard - 36 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos mateat à l'aalyse de tableau de varables qualtatves 4. Passos mateat à l'aalyse de tableau de varables qualtatves 4.. L'aalyse des corresodaces (crosemet de deu varables qualtatves) Aalyse dédée à des tableau crosat varables qualtatves (couleur des cheveu couleur des yeu) Tableau de cotgece Varable Modalté Modalté Modalté 3 Prol moye Modalté k k k 3 k. Varable Modalté k k k 3 k. Modalté 3 k 3 k 3 k 33 k 3. Modalté 4 k 4 k 4 k 43 k 4. Prol moye k. k. k.3 L aalyse des corresodaces va cosster à étuder la réartto de chaque classe de la varable suvat les modaltés de la varable (et versemet). O arle alors de rols lges (lorsqu o étude les classes de la varable ) et de rols coloes (lorsqu o étude les classes de la varable ). Tableau des réqueces tel que k/ Varable Modalté Modalté Modalté 3 Prol moye Modalté 3. Varable Modalté 3. Modalté 3 3 3 33 3. Modalté 4 4 4 43 4. Prol moye...3 Tableau des cotrbutos Varable Modalté Modalté Modalté 3 Modalté 4 Varable Modalté Modalté Modalté 3 c ( ) Jea-Lous Grard - 37 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos mateat à l'aalyse de tableau de varables qualtatves Les ortes valeurs sot téressates, usqu'elles déotet ue valeur "attedue" ar raort à la structure géérale du tableau ; e lecture rade de tableau, les rasos de ces ortes valeurs sot à étuder. Prols lges tel que /. k/k. Varable Varable Modalté Modalté Modalté 3 Masse Modalté /. /. 3 /. Modalté /. /. 3 /. Modalté 3 3 / 3. 3 / 3. 33 / 3. Modalté 4 4 / 4. 4 / 4. 43 / 4. Les rols-lges doet, our chaque modalté de la varable, la réartto des modaltés de la varable. Prols coloes./. k./k. Varable Modalté Modalté Modalté 3 Modalté /. /. 3 /.3 Modalté /. /. 3 / Varable.3 Modalté 3 3 /. 3 /. 33 /.3 Modalté 4 4 /. 4 /. 43 /.3 Masse Les rols-coloes doet, our chaque modalté de la varable, la réartto des modaltés de la varable. Jea-Lous Grard - 38 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos mateat à l'aalyse de tableau de varables qualtatves La rerésetato des rols-lges et des rols coloes est téressate Ils doet la structure de réartto des lges (resectvemet des coloes) Cas d'ue varable cotue classée Cas d'ue varable omale ordoée Cas d'ue varable omale quelcoque Jea-Lous Grard - 39 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos mateat à l'aalyse de tableau de varables qualtatves Tableau des réqueces théorques Les deu varables sot déedates s :.. Alors, our chaque modalté de la varable, le rodut de la réquece de chaque modalté de la varable ar la réquece de la varable est costat. Récroquemet, our chaque modalté de la varable, le rodut de la réquece de chaque modalté de la varable ar la réquece de la varable est costat. Varable Modalté Modalté Modalté 3 Prol moye Modalté......3. Varable Modalté......3. Modalté 3 3.. 3.. 3..3 3. Modalté 4 4.. 4.. 4..3 4. Prol moye...3 Le cœur de l'afc est de reréseter les smltudes etre les déretes modaltés d'ue même varable, c'est-à-dre à reréseter les romtés etre les rols et le rol moye. Il aut doc cosdérer le uage cetré sur so cetre de gravté. Le uage des lges das l'esace des coloes Comme, le uage est même stué das u sous-esace à - dmesos. Le cetre (de gravté) du uage de ots comosé des. Le uage des coloes das l'esace des lges Comme, le uage est même stué das u sous-esace à - dmesos. Le cetre (de gravté) du uage de ots comosé des.. Eemle avec 3 varables tales : le uage de ots est coteu das u esace à dmesos, cetré sur le cetre de gravté G. Jea-Lous Grard - 40 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos mateat à l'aalyse de tableau de varables qualtatves V3 V u G V V 3 u G u 3 V V Le vecteur rore assocé à la lus grade valeur rore ( ar costructo) cocere la drecto qu séare l'orge du cetre de gravté (ormato qu eut être églgée) ; les vecteurs rores assocés au valeurs rores suvates sot les seuls qu aortet ue ormato relatve au ostos relatves des ots etre-eu. Jea-Lous Grard - 4 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos mateat à l'aalyse de tableau de varables qualtatves Quelle dstace utlser? La dstace eucldee etre des ots-lges (resectvemet coloes) réalsée das u tableau de doées brutes tradurat la dérece d'eect etre deu modaltés de la varable (resectvemet varable ). La dstace eucldee etre rols-lges (resectvemet coloes) tradurat be la ressemblace etre deu modaltés de la varable (resectvemet varable ) sas ter comte des eects totau de ces deu modaltés. Mas cette dstace avorse les coloes qu ot ue réquece élevée. Pour aler cela, o odère chaque écart ar l'verse de l'eect de la coloe (rolslges) ou de la lge (rols-coloes). Cette dstace est aelée dstace du χ² : ' d (, ' ) our les rols-lges χ.. '. ' d ( ), ' our les rols-coloes χ... ' Prorétés de la dstace du χ² Equvalece dstrbutoelle : o eut agréger deu modaltés d'ue même varable sas chager les dstaces etre modaltés de cette varable, au dstaces etre modalté de l'autre varable (o eut ar eemle agréger les déartemets d'ue même régo) Relatos quas-barycetrques : les modaltés de la varable sot des cetres de gravté our les modaltés de la varable rses esemble, et récroquemet. E d'autres termes, l'esemble des modaltés de la varable est coteu das "l'eveloe" des modaltés de la varable, et récroquemet Jea-Lous Grard - 4 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos mateat à l'aalyse de tableau de varables qualtatves Notatos matrce des marges-lges 0. 0 0 verse de 0 /. 0 matrce des marges-coloes 0. 0 verse de 0 /. F matrce des réqueces.. Jea-Lous Grard - 43 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos mateat à l'aalyse de tableau de varables qualtatves Aalyse du uage des ots-lges dstace des du χ sur l' aeu ar à l' orge odérée 678 Ma. d u χ s. c. u' u 3 vecteur utare our la métrque utlsée roectos raort ar les réqueces des lges (, O) : O odère les modaltés ar leurs réqueces a de e as rvléger les classes de able eect. Cela revet à résoudre le rogramme : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F' { F' ' u u' F' F Mau' u u' 3 443 Pr ols coloes Métrque Trasoséedes rols coloes s. c. u' u 3 vecteur utare our la métrque utlsée F' F u E ecluat la valeur rore trvale utare (aalyse ar raort au barycetre), cela revet à dagoalser la matrce : S F ' F de terme gééral : s ' '.. ' Jea-Lous Grard - 44 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos mateat à l'aalyse de tableau de varables qualtatves Aalyse du uage des ots-coloes Ma Ma v s. c. v ' v 3 vecteur utare our la métrque utlsée dstace du χ des roecto sur l ' ae u ar raort à l ' orge odérée ar les réqueces des coloes 678 d. χ s (, O ) Cela revet à résoudre le rogramme : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F F ' v v' F F' 3 { 3 Ma v' v v' Pr ols lges Métrque Trasoséedes rols lges s. c. v' v 3 vecteur utare our la métrque utlsée F F' v E ecluat la valeur rore trvale utare (aalyse ar raort au barycetre), cela revet à dagoalser la matrce : T F F' de terme gééral : t ' '. '. Jea-Lous Grard - 45 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos mateat à l'aalyse de tableau de varables qualtatves Jea-Lous Grard - 46 - Résumé as R as R ' F F S Matrce à dagoalser ' F F T Su u Aes actorels Tv v u u F.. ψ ψ Coordoées actorelles v v F.. ' ϕ ϕ v v v F u ψ ψ. ' Relatos de trasto u u u F v ϕ ϕ.. ϕ ψ Relatos quasbarycetrques. ψ ϕ + + + k k. ϕ ψ Elémets sulémetares + + + k k. ψ ϕ ψ. ) ( Cr Cotrbutos ϕ. ) ( Cr ), ( ) ( G d Cos χ ψ Cosus carrés ), ( ) ( G d Cos χ ϕ Gééralemet, les matrces S et T e sot as symétrques : l aut doc les "symétrser" A la lace de S, o dagoalse / / ' F A, c'est-à-dre o calcule Aww. Ces matrces ot les mêmes valeurs rores ; o motre que w u /. e même, o e dagoalse ar T mas / / F B c'est-à-dre o calcule Bzz. Ces matrces ot les mêmes valeurs rores ; o motre que z v /. Les relatos barycetrques ous dquet que les roectos des ots d'u uage sot les barycetres des roectos des ots de l'autre uage : les coordoées d'ue modalté d'ue varable sot les moyees des coordoées des modaltés de l'autre varable odérées ar les réqueces codtoelles du rol de la modalté. O eut doc trouver les ostos des ots d'u uage à artr des ostos des ots de l'autre uage
Igéere de l'aalyse des doées - Passos mateat à l'aalyse de tableau de varables qualtatves Ce sot ces relatos qu ermettet de trouver les ostos des élémets (coloes ou lges) sulémetares. Be souvet, lorsque les varables sot ordoées, u eet "Guttma" aaraît Il désge ue certae redodace etre les varables mlquées : u ae (souvet le remer), oose alors les valeurs etrêmes de ces varables Jea-Lous Grard - 47 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos mateat à l'aalyse de tableau de varables qualtatves 4.. L'aalyse des corresodaces multles (crosemet de ombreuses varables qualtatves) O cosdère c u uage de ots dot les coordoées sot résetées das u tableau R du tye : Tableau de doées codesées R Varable Varable Varable q Varable s Idvdu Idvdu Idvdu r q Idvdu Le terme r q désge la modalté de la questo q chose ar l'dvdu. U tel tableau est elotable tel quel (les sommes des lges ou des coloes 'ot as de ses) ; l aut recoder les varables our ormer le tableau dsoct comlet Z (ou tableau logque). Tableau dsoct comlet Z Idvdu Idvdu Idvdu Idvdu Mod Var Var q... Var y Mod Mod Mod qr Mod Mod Mod q Mod y r a qb yr s. cette modalté est chose, 0 so Mod yc Jea-Lous Grard - 48 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos mateat à l'aalyse de tableau de varables qualtatves Pour u dvdu et ue varable doés, la lge e cotet que des 0 sau our la modalté chose : Idvdu Varable q Modalté r de la varable q s la modalté est chose 0 so Σ Nombre de varables Σ Nombre d'dvdus ayat chos cette modalté Fare ue aalyse des corresodaces multles revet à are ue aalyse des corresodaces sur u tableau dsoct comlet. Tableau de Burt B Le tableau de Burt assocé au tableau dsoct comlet Z est dé ar : B Z'Z, de talle (,) de terme gééral b ' z z ' Modaltés de la varable Modaltés de la varable Modaltés de la varable 3 Modaltés de la varable 0 0 0 0 0 0 Modaltés de la varable 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Modaltés de la varable 3 0 0 0 0 0 0 Ce tableau crose deu à deu toutes les modaltés ; chaque cellule doe le ombre d'dvdus résetat à la os la modalté et la modalté ' : Jea-Lous Grard - 49 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos mateat à l'aalyse de tableau de varables qualtatves La dagoale doe le ombre d'dvdu résetat la modalté (ou ' usque ') ; Les sous-matrces dagoales e sot doc comosées que de zéros, sau sur leur remère dagoale. A artr du tableau de Burt, o costrut la matrce dagoale, qu e comorte que des zéros sau sur sa remère dagoale où guret les élémets dagoau de B : Modaltés de la varable Modaltés de la varable Modaltés de la varable 3 Modaltés de la varable Modaltés de la varable Modaltés de la varable 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O coserve la dstace du χ² qu a c ecore du ses z z' La dstace etre deu modaltés s'écrt : d (, ') χ.. ' z z S chaque dvdu a chos les modaltés et ' esemble, alors z z ' et d χ (, ') 0. 'autre art, les modaltés avec des eects ables sot élogées les ues des autres. La dstace etre deu dvdus s'écrt : ( ) (, ') z z d χ s avec s le ombre de varables. S les dvdus et ' ot chos les mêmes modaltés, alors z z ' et (, ') 0. z. d χ ' Jea-Lous Grard - 50 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos mateat à l'aalyse de tableau de varables qualtatves Notatos I verse de (métrque de la dstace du χ²) s verse de F s Z δ.. s δ 0 so z.. δ s s. s δ z 0 so z s. avec δ s, 0 so. Résumé S as R as R Matrce à T F F' Z s dagoalser s Z' Z u u Aes actorels Z Z' v v s s Z' Zψ ψ Coordoées Z Z' ϕ ϕ s actorelles s ψ Z' ϕ Relatos de ϕ Zψ trasto s F' F Z' Z z ψ ϕ Relatos quasbarycetrques z ψ +. k k + +. ψ. ϕ Elémets sulémetares Cr ( ) Cotrbutos Cos ψ ) Cosus carrés d (, ) ( G χ ϕ ϕ + z z. k k + +. Cr ( ) Cos ϕ. ψ ψ ϕ ( ) d (, G) χ Z' Jea-Lous Grard - 5 -
Igéere de l'aalyse des doées - Passos mateat à l'aalyse de tableau de varables qualtatves : Notos qu'l est égalemet ossble d'trodure des varables llustratves cotues sas les découer e classes, e calculat le coecet de corrélato etre des varables et les aes. z : l'erte d'ue modalté est égale à. I( ) s ; elle est d'autat lus grade que l'eect das cette modalté est able, d'où l'atteto à orter lors du codage à e as costrure des classes de ables eects qu troubleraet le calcul des aes : o s'arrage souvet our are des classes d'eects roches (ar équvalece dstrbutoelle). q L'erte d'ue questo est doc I( q) I( ) ( q ) ; elle est d'autat lus grade que le s ombre de modaltés est élevé, d'où l'atteto à orter das le système de questos à l'équlbre du questoare. Règles d'terrétato Promté etre dvdus e termes de ressemblaces : les dvdus ayat chos globalemet les mêmes modaltés serot stués à romté les us des autres ; Promté etre modaltés de varables déretes : les modaltés choses globalemet esemble ar les mêmes dvdus serot stuées à romté les ues des autres ; Promtés etre modaltés d'ue même varable : ar costructo, les modaltés d'ue même varable s'ecluet les ues des autres : s elles aarasset roches, cela sge ue certae ressemblaces des rols des dvdus qu les ot choses. Il est téressat de calculer la cotrbuto d'ue varable a d'obter u dcateur de laso etre les varables et les aes. Jea-Lous Grard - 5 -
Igéere de l'aalyse des doées - Comlémets 5. Comlémets 5.. Quelques algorthmes de dagoalsato C. T 5.. Et les autres drectos d'allogemet? Gééralemet (!) le uage s'étre das luseurs drectos. Commet les trater? O rocède à la délato de la matrce, c'est-à-dre qu'o lu ôte sa lus grade dmeso (cela revet à "erouler" le uage de ots sur sa lus grade dmeso). Pour cela, o aelle "matrce délatée" la matrce Vd V - uu'. O rétère le rocessus (mamsato de l'erte + délato de la matrce) autat de os que écessare our trouver l'esemble des valeurs et vecteurs rores. Jea-Lous Grard - 53 -