TS Contrôl du mardi 7 mai 206 (50 min) rénom : Nom : Not :. / 20 arti (5 points : ) point ; 2 ) 4 points) L tmps d incubation, xprimé n hurs, du irus put êtr modélisé par un ariabl aléatoir X suiant un loi normal d écart-typ 0. On souhait détrminr son spéranc. On not X ' la ariabl aléatoir égal à X. 0 ) Qull loi la ariabl aléatoir X ' suit-ll? Répondr par un phras. I. (2 points : ) point ; 2 ) point) La duré d i (xprimé n hurs) d un pannau élctriqu d affichag d informations st un ariabl aléatoir X qui suit la loi xponntill d paramètr 0 4 (xprimé n h ). ) Qull st la probabilité qu l pannau fonctionn au moins pndant 2000 hurs? On donnra la alur xact. (un sul résultat, sans égalité) 2 ) Qull st l spéranc d la duré d i du pannau? (un sul résultat, sans égalité) 2 ) On donn X 0 0,8. Détrminr. On donnra la alur arrondi au dixièm. II. (4 points : ) 2 points ; 2 ) 2 points) Dans un parc d loisirs, un ds attractions st un dscnt d typ rafting dans ds boués géants. Ls norms d sécurité imposnt qu l bassin d arrié continn un olum d au compris ntr 50 t 70 m d au. Chaqu soir, à la frmtur du parc, l équip d maintnanc ffctu ds érifications t décid, ou non, d intrnir. L olum d au (xprimé n m ) contnu dans l bassin, à la fin d un journé d xploitation d ctt attraction, st modélisé par un ariabl aléatoir X suiant un loi normal d spéranc 60 t d écart-typ 5. On donnra ls alurs arrondis au millièm. ) Qull st la probabilité qu l équip d maintnanc soit obligé d intrnir pour rspctr ls norms d sécurité? 2 ) Qull st la probabilité qu l équip d maintnanc soit obligé, pour rspctr ls norms, d rajoutr d l au dans l bassin à la fin d un journé d ourtur? III. (0 points) Dans ct xrcic, on étudi un maladi du à la propagation d un irus dans un population. Ls dux partis sont indépndants.
arti 2 (5 points : ) point ; 2 ) 4 points) On a constaté qu l taux, n nanogramms par millilitr ( ng.ml ), d un substanc Gamma présnt dans l sang st plus élé chz ls prsonns attints d la maladi qu chz ls prsonns qui n n sont pas attints. ) L taux d ctt substanc Gamma dans la population ds prsonns qui n sont pas attints par la maladi st modélisé par un ariabl aléatoir X 2 qui suit la loi normal d spéranc 2 40 t d écart-typ 2 8. On choisit au hasard un prsonn parmi clls qui n sont pas attints par la maladi étudié. Calculr la probabilité qu l taux dans l sang d la substanc Gamma soit supériur à 60 ng.ml. On donnra la alur arrondi au millièm. IV. (4 points : ) a) point ; b) point ; 2 ) a) point ; b) point) Un machin-outil fabriqu ds cylindrs. On msur l écart n dixièms d millimètrs, ntr l diamètr ds cylindrs t la alur d réglag d la machin. On suppos qu ct écart suit un loi xponntill d paramètr,5. Si l écart st infériur à, l cylindr st accpté. Si l écart st compris ntr t 2, on procèd à un rctification qui prmt d accptr l cylindr dans 80 % ds cas. Si l écart st supériur à 2, l cylindr st rfusé. ) On prélè au hasard un cylindr dans la production. our ls dux qustions, on donnra la alur xact puis la alur arrondi au millièm. a) Calculr la probabilité qu il soit accpté. On donnra la alur xact puis la alur arrondi au millièm. (un sul résultat sans égalité) (un sul résultat sans égalité) 2 ) Ds étuds ont mis n éidnc qu l taux moyn d la substanc Gamma chz ls prsonns attints par la maladi étudié st d 50 ng.ml t qu 0 % d ntr lls ont un taux d substanc Gamma infériur à 4 ng.ml. On appll X la ariabl aléatoir qui modélis l taux d la substanc Gamma n ng.ml chz un prsonn attint par la maladi étudié. On admt qu X suit la loi normal d spéranc t d écart-typ. récisr la alur d t détrminr la alur arrondi au millièm d. b) Sachant qu il st accpté, qull st la probabilité qu il ait subi un rctification? On donnra la alur xact puis la alur arrondi au millièm. (un sul résultat sans égalité) (un sul résultat sans égalité) 2 ) On prélè d manièr indépndant 0 cylindrs d la production. On suppos l nombr d cylindrs suffisammnt important pour assimilr c tirag à un tirag succssif ac rmis. our ls dux qustions, on donnra la alur tronqué au millièm. a) Qull st la probabilité qu ls 0 cylindrs soint accptés? (un sul résultat sans égalité) b) Qull st la probabilité qu au moins la moitié ds cylindrs soint accptés? (un sul résultat sans égalité)
I. Corrigé du contrôl du 7-5-206 La duré d i (xprimé n hurs) d un pannau élctriqu d affichag d informations st un ariabl aléatoir X qui suit la loi xponntill d paramètr 0 4 (xprimé n h ). ) Qull st la probabilité qu l pannau fonctionn au moins pndant 2000 hurs? On donnra la alur xact. 0,2 2 ) Qull st l spéranc d la duré d i du pannau? (un sul résultat, sans égalité) 2 ) Qull st la probabilité qu l équip d maintnanc soit obligé, pour rspctr ls norms, d rajoutr d l au dans l bassin à la fin d un journé d ourtur? On calcul X 50 ou 0 X 50 résultats dont ls prmièrs décimals sont ls mêms. 0,02 (un sul résultat, sans égalité) (puisqu un olum st toujours positif ou nul). Ls dux donnnt ds our 0 X 50, on obtint l affichag suiant sur l écran d la calculatric : 0,022750062. our X 50, on put procédr d dux manièrs : C résultat st xprimé n hurs. 0 000 (un sul résultat, sans égalité) èr manièr : X 50 0,5 50 X 60 (rlation du cours qu l on rtrou aisémnt n faisant un On écrit : graphiqu). On obtint l affichag suiant sur l écran d la calculatric : 0,022750065 II. Dans un parc d loisirs, un ds attractions st un dscnt d typ rafting dans ds boués géants. Ls norms d sécurité imposnt qu l bassin d arrié continn un olum d au compris ntr 50 t 70 m d au. Chaqu soir, à la frmtur du parc, l équip d maintnanc ffctu ds érifications t décid, ou non, d intrnir. L olum d au (xprimé n m ) contnu dans l bassin, à la fin d un journé d xploitation d ctt attraction, st modélisé par un ariabl aléatoir X suiant un loi normal d spéranc 60 t d écart-typ 5. On donnra ls alurs arrondis au millièm. X suit la loi normal d spéranc 60 t d écart-typ 5. ) Qull st la probabilité qu l équip d maintnanc soit obligé d intrnir pour rspctr ls norms d sécurité? 0,046 (un sul résultat, sans égalité) On calcul X 50 X 70 50 X 70. Sur calculatric, on obtint l affichag : 0,04550024. Rmarqu : L intrall 50 ;70 st la plag d normalité à 95 % d X (formul 2 ; 2 c c résultat, on put donc dir immédiatmnt qu X 50 X 70 ). st niron égal à 5 %. Mais la alur d 95 % n st qu un alur approché t donc l résultat d 5 % manqu d précision. III. 2 manièr : 99 On calcul 0 X 50 dont l résultat st proch d X 50. On obtint l affichag suiant sur l écran d la calculatric : 0,022750062. Dans ct xrcic, on étudi un maladi du à la propagation d un irus dans un population. Ls dux partis sont indépndants. arti L tmps d incubation, xprimé n hurs, du irus put êtr modélisé par un ariabl aléatoir X suiant un loi normal d écart-typ 0. On souhait détrminr son spéranc. On not X ' la ariabl aléatoir égal à X. 0 ) Qull loi la ariabl aléatoir X ' suit-ll? Répondr par un phras. X E X On a X ' X 2 ) On donn 0 X 0 X ' 0 donc la ariabl aléatoir T ' suit la loi normal cntré réduit. X 0 0,8. Détrminr. On donnra la alur arrondi au dixièm. 0 X 0 donc X ' 0,8. 0 On not u l rél tl qu u X ' 0,8.
0 ar unicité d u, on a : u. ar suit, 0 0u. 0 c la calculatric, on tap 0 0 innorm 0.8, 0, [on n écrit cpndant pas ]. 0 0 innorm 0.8,0, On obtint 9, 2 (alur arrondi au dixièm). arti 2 On a constaté qu l taux, n nanogramms par millilitr ( ng.ml ), d un substanc Gamma présnt dans l sang st plus élé chz ls prsonns attints d la maladi qu chz ls prsonns qui n n sont pas attints. ) L taux d ctt substanc Gamma dans la population ds prsonns qui n sont pas attints par la maladi st modélisé par un ariabl aléatoir X 2 qui suit la loi normal d spéranc 2 40 t d écart-typ 2 8. On choisit au hasard un prsonn parmi clls qui n sont pas attints par la maladi étudié. Calculr la probabilité qu l taux dans l sang d la substanc Gamma soit supériur à 60 ng.ml. On donnra la alur arrondi au millièm. IV. Un machin-outil fabriqu ds cylindrs. On msur l écart n dixièms d millimètrs, ntr l diamètr ds cylindrs t la alur d réglag d la machin. On suppos qu ct écart suit un loi xponntill d paramètr,5. Si l écart st infériur à, l cylindr st accpté. Si l écart st compris ntr t 2, on procèd à un rctification qui prmt d accptr l cylindr dans 80 % ds cas. Si l écart st supériur à 2, l cylindr st rfusé. ) On prélè au hasard un cylindr dans la production. our ls dux qustions, on donnra la alur xact puis la alur arrondi au millièm. a) Calculr la probabilité qu il soit accpté. On donnra la alur xact puis la alur arrondi au millièm.,5 0, 2 0,8 (un sul résultat sans égalité) 0,96 (un sul résultat sans égalité) Considérons ls éénmnts : «l cylindr st accpté» t R : «l cylindr st rctifié». Il st consillé d fair un arbr d probabilités. 0,006 (un sul résultat, sans égalité) 2 ) Ds étuds ont mis n éidnc qu l taux moyn d la substanc Gamma chz ls prsonns attints par la maladi étudié st d 50 ng.ml t qu 0 % d ntr lls ont un taux d substanc Gamma infériur à 4 ng.ml. On appll X la ariabl aléatoir qui modélis l taux d la substanc Gamma n ng.ml chz un prsonn attint par la maladi étudié. On admt qu X suit la loi normal d spéranc t d écart-typ. récisr la alur d t détrminr la alur arrondi au millièm d. On considèr ls éénmnts : E : «l écart st strictmnt infériur à» ; F : «l écart st compris ntr t 2» ; G : «l écart st strictmnt supériur à 2» ; : «l cylindr st accpté» ; R : «l cylindr st rfusé». On put écrir E X, F X 2, G X 2. Slon l énoncé, on a : 50 t X 4 0,. E X La ariabl aléatoir X ' suit la loi normal cntré réduit. 4 X 4 0, donc X ' 0,. On not l rél tl qu X ' 0,. 4 ar unicité d, on a :.,5,5 F G 0,8 0,2 R R 4 4 50 7 On a donc soit d où. c la calculatric, on tap 7/innorm(0.,0,). On sait alors, d après l énoncé, qu : /F 0,8 ; E X,5,5 F X 2. E, F, G constitunt un systèm complt d éénmnts. ; On obtint 5, 462 (alur arrondi au millièm).
Donc d après la formul ds probabilités totals, on a : E F G E / E F / F G / G 0,8 0,5 0, 2 0, 8,5,5 c la calculatric, on trou : 0,95544.... 0,95 (alur arrondi au millièm) On chrch Z 5 qu l on transform n Z 4 pour pouoir utilisr la calculatric. Sur la calculatric, on tap : On obtint Z 5 0,999945.... binomfrép 0,0.2^,5 0,8^, 4. ppndic : schéma noté par Cécil Cormir l 9-5-207 pour la qustion II. 2 ) X suit la loi normal d spéranc 60 t d écart-typ 5. b) Sachant qu il st accpté, qull st la probabilité qu il ait subi un rctification? On donnra la alur xact puis la alur arrondi au millièm.,5 0,8 0, 2 0,8,5 (un sul résultat sans égalité) 0,5 (un sul résultat sans égalité) Sachant qu l cylindr st accpté, la probabilité qu il ait subi un rctification st R/ R/ R,5 0,8 0,2 0,8,5 c la calculatric, on obtint : R/ 0,5466697. X 50 0 X 50 X 50 99 0 X 50 0,5 50 X 60 2 ) On prélè d manièr indépndant 0 cylindrs d la production. On suppos l nombr d cylindrs suffisammnt important pour assimilr c tirag à un tirag succssif ac rmis. our ls dux qustions, on donnra la alur tronqué au millièm. a) Qull st la probabilité qu ls 0 cylindrs soint accptés? 0,4 (un sul résultat sans égalité) On prélè d manièr indépndant 0 cylindrs d la production. La ariabl aléatoir Z égal au nombr d cylindrs accptés suit la loi binomial d paramètrs n 0 t p. On chrch 0,5 Z 0 0, 2 0,8 0. c la calculatric, on trou : Z 0 0, 480056. b) Qull st la probabilité qu au moins la moitié ds cylindrs soint accptés? 0,999 (un sul résultat sans égalité)