Sujet : Extraits CCP - E3A EXERCICE - d après E3A - Sujet B - PSI - 24 Dans tout l exercice, E désigne l espace vectoriel normé M 3 (R des matrices carrées d ordre 3 à coefficients réels. I 3 est la matrice unité. On considère A E. Le théorème de Cayley-Hamilton dit qu une matrice est annulée par son polynôme caractéristique. Ici (calcul de déterminant par blocs ou développement par rapport à la dernière ligne χ A det(a XI 3 X(X 2 + Ainsi, X(X 2 + annule A. 2. χ A X(X i(x + i étant scindé à racines simples sur C et annulant A, A est C-diagonalisable. Le spectre réel de A est composé des racines réelles de χ A. est donc la seule valeur propre réelle de A. Or, la seule matrice réelle diagonalisable dont est l unique valeur propre est la matrice nulle. Comme A, A n est pas diagonalisable dans R. 3. Si R (, alors R 2 (le cas A I 3 est particulier ( N, A 2 et un calcul par blocs donne alors : N, A 2+ ( ( ( + ( 4. F M 3 (R est un sous-espace d un espace de dimension finie. Il est donc de dimension finie. On montre par récurrence que : N, A Vect(I 3, A, A 2 - Initialisation : c est évident pour,, 2. - Hérédité : soit n 2 tel que le résultat soit vrai jusqu au rang n. On a alors l existence de a, b, c réels tels que A n aa 2 + ba + ci 3 et A n+ aa 3 + ba 2 + ca ba 2 + (c aa Vect(I 3, A, A 2. Le résultat est donc vrai au rang n +. On aurait aussi pu utiliser la division euclidienne par χ A pour éviter la récurrence. On en déduit que : F Vect(I 3, A, A 2 Supposons que aa 2 + ba + ci 3. P ax 2 + bx + c annule A et toute valeur propre complexe de A est racine de P. P admet donc au moins trois racines (, i, i. Comme il est dans C 2 [X] (qui contient R 2 [X] il est nul. La famille B (I 3, A, A 2 est donc libre et c est finalement une base de F. 5. S n étant combinaison linéaire d éléments de F est dans F. Pour exprimer S n dans B, on remarque que N, A 2 ( A 2 N, A 2+ ( A PSI 25-26 Lycée de L essouriau - Les Ulis
Dans la somme qui définit S n, on particularise le terme d indice et on découpe la somme selon la parité de l indice pour les autres termes. On obtient : S n I 3 + j n 2 ce qui donne l expression de S n dans la base B. 6. (a (b ( n θ2n+ (2n +! et n n n ( j θ 2j+ A + (2j +! ( n θ2n (2n! θ n n! eθ (même pour θ complexe, ainsi e iθ Alors e iθ + e iθ Et e iθ e iθ Finalement n n (iθ n + ( n (iθ n n! j n 2 j θ2j ( A 2 (2j! convergent absolument d après le critère de d Alembert. n,npair n (iθ n n! 2(iθ n (iθ n ( n (iθ n 2(iθ n n! n! n,nimpair ( n θ2n n (c On en déduit que : 7. On a ainsi n! et e iθ n ( n 2θ2n n n + (2n! cos θ et ( n θ2n+ sin θ. (2n +! lim lim n j n 2 j n 2 ( j θ 2j+ sin(θ (2j +! j θ2j ( cos(θ (2j! On a donc convergence de (S n vers I 3 + sin(θa + ( cos(θa 2 F. M cos(θ sin(θ sin(θ cos(θ qui est la matrice de la rotation d axe dirigé et orienté par e 3 et d angle θ. 8. Par théorèmes d opérations, on a : lim S2 n M 2 M est une symétrie vectorielle si, et seulement si, M 2 I 3. La condition cherchée est donc 2θ [π] ou encore cos(2θ sin(2θ sin(2θ cos(2θ θ [π/2] (2n!. ( iθ n. n! θ2n+ 2i( n (2n +!. PSI 25-26 2 Lycée de L essouriau - Les Ulis
Exemple PROBLÈME - RESTE DE SÉRIES CONVERGENTES (D après CCP 2 - PSI. On suppose que u (x ( x où x R. Partie A - DES EXEMPLES (a On reconnait la série géométrique de raison x et donc : I ], [ et pour x I, u ( xn+ et donc + x u + x. (b Soit x I, dans ce cas, R n (x est bien défini en tant que reste d une série convergente et : R n (x + ( x n+ ( x n++ u ( xn+ n+ + x. La série n R n (x est en fait la série u n (x qui converge si, et seulement si, x I. + x n Sa somme est donc S(x [ ] + x + x u (x x ( + x 2. Exemple 2 2. ( est la série harmonique alternée qui converge par le critère spéciale des séries alternées car ( n décroit vers (ou par le critère les séries de Riemann alternées. n 3. Une expression intégrale de R n. (a Majorons I n. x n I n dx + x x n ( car x [, ], + x soit I n n + D après le théorème des gendarmes, on en déduit que (b On rappelle que n ( x ( xn (question.. + x En intégrant cette égalité entre et, on obtient : n ( x dx lim I n. + x dx ( x n + x dx. Or + x dx [ln( + x] ln 2 et On en déduit que : On remarque que n n ( x dx ln 2 I n ( x dx ( + n ( x dx ( + ( x n + x dx I n. et donc : ( p ( p p p p p (p + Ainsi : I n ln 2 + (. PSI 25-26 3 Lycée de L essouriau - Les Ulis
(c On passe à la limite quand n + dans l égalité précédente et l on obtient : ( ( ln 2 + c est à dire ln 2. Or n N : ( ( ( R n ln 2 (I n ln 2 I n 4. Conclusion n+ (a Intégration par partie : on pose u(x + x et v (x x n : [ I n ( n x n+ ] + ( n x n+ ( + x(n + n + ( + x 2 dx x n+ I n ( n 2(n + + ( n n + ( + x 2 dx Puis ( n x n+ n + ( + x 2 dx x n+ dx car sur [, ], + n Donc n, ( n x n+ n + ( + x 2 dx (n + (n + 2 n 2. D où ( n x n+ ( n + ( + x 2 dx (n + (n + 2 o n 2 et alors : ( I n ( n 2(n + + o n 2.. ( + x 2 (b La série n R n est donc convergente en tant que somme de deux séries convergente : - une série alternée convergente (vérifiant le critère spécial des séries alternées, Une série absolument convergente par comparaison avec une série de Riemann(car o ( n 2. Partie B - UNE ÉGALITÉ SUR LES RESTES - UNE APPLICATION. Égalité sur les restes. Soit u une série convergente, on a u R R qui donne ; Donc u n n R n R n R n u (n + R n. 2. Application à une suite. Choisissons u ( +. (n ( + ( + n u ( + (n ( + ( + n R n (n ( + nr nr n ( + R n u u R R + n R nr n PSI 25-26 4 Lycée de L essouriau - Les Ulis
La formule précédente donne n R n ( + (n + R n, donc : (n ( + nr nr n + (n + R n R soit : (n ( + n nr R n ln 2 2 + o( (α ln 2 et β 2 3. Application à une série à termes positifs. On suppose de plus que u pour tout N. (a Si l on suppose la convergence de la série R : u R (n + R n R R Ainsi la suite des sommes partielles de la série à termes positifs u est majorée. Cette série est donc convergente. (b Réciproquement, supposons la convergence de la série u. On a : (n + R n (n + n+ u n+ (n + u n+ u en tant que reste d une série convergente. Donc (n + R n. (c D après B.3., si R converge alors converge. u Réciproquement, si u converge alors (n + R n donc : R u + (n + R n u +. Conclusion : converge si et seulement si R u converge. Dans ce cas elles ont même somme + R + u. 4. Application à la série x. n (x converge si, et seulement si, n R converge ce qui équivaut à la condition x >. x Donc D ]2, + [. De plus si x D, alors n R n (x ξ(x. x PSI 25-26 5 Lycée de L essouriau - Les Ulis
PROBLÈME 2 - Racines carrées de matrices (D après EMLyon 29 - ECS Partie A - Trois exemples. On élève au carré : ( (R θ 2 cos θ sin θ sin θ cos θ ( cos θ sin θ sin θ cos θ ( cos 2 θ + sin 2 θ sin θ, cos θ cos θ, sin θ cos θ, sin θ sin θ, cos θ sin 2 θ + cos 2 θ Soit (R θ 2 ( I 2. La fonction cos prend une infinité de valeurs donc {R θ θ R} est un ensemble infini et tous ses éléments sont des racines carrées de I 2. Ainsi I 2 admet une infinité de racines carrées. ( ( a b 2. Supposons qu il existe une matrice R de M c d 2 (R telle que R 2. ( ( ( ( a b a b a Alors R 2 2 + bc ab + bd c d c d ca + dc cb + d 2. Donc a 2 + bc c(a + d d 2 + bc et b(a + d. Nécessairement a + d n est pas nul. Ainsi c. Alors a 2 d 2. Donc a d, ce qui contredit a + d. ( n admet pas de racine carrée. 3. Soit A diag(, 4, 9, et ε, ε 2, ε 3 {, +} alors on remarque que R diag(ε, 2ε 2, 3ε 3 est une racine carrée de A, ce qui en fait au moins 2 3 8. Partie B - Racines carrées d une matrice de la forme I + N. 4. + t ( + t 2 + 2 t + 2 ( 2 2! t2 + 2 ( 2 + t 2 t 8 t2 + 6 t3 + o(t 3 On note + t a + a t + a 2 t 2 + a 3 t 3 + o(t 3 ce développement limité. ( 2 2 3! t3 + o(t 3 au voisinage de soit : 5. On calcule! ( Posons P + X 2 X 8 X2 + 2 6 X3. ( P + X + 4 X2 + 64 X4 + 256 X6 + X 4 X2 + 8 X3 8 X3 + 6 X4 64 X5 P 64 X4 256 X6 6 X4 + 64 X5 5 64 X4 + 64 X5 ( 256 X6 X 4 64 + 64 X 256 X2 Donc + X ( + 2 X 8 X2 + 6 2 ( X3 + X 4 5 64 + 64 X 256 X2. Q 5 64 + 64 X ( 256 X2 est un élément de R[X] tel que : +X 2 X 8 X2 + 2 6 X3 +X 4 Q(X ou tel que + X (a + a X + a 2 X 2 + a 3 X 3 2 + X 4 Q(X. 6. I n + N (a I n + a N + a 2 N 2 + a 3 N 3 2 + N 4 Q(N et N 4 n. Donc (a I n + a N + a 2 N 2 + a 3 N 3 2 I n + N. Par conséquent a I n + a N + a 2 N 2 + a 3 N 3 ou I n + 2 N 8 N 2 + 6 N 3 est une racine carrée de I n + N. PSI 25-26 6 Lycée de L essouriau - Les Ulis
Partie C - Racines carrées d une matrice de M n (R admettant n valeurs propres strictement positives et deux à deux distinctes. 7. Soient f et g deux endomorphismes de R n vérifiant f g g f. On suppose de plus que f admet n valeurs propres réelles deux à deux distinctes. (a Soit E λ (f un sous-espace propre de f et x un élément de ce sous-espace propre : f(x λx. (f g(x (g f(x donc f(g(x g(f(x g(λx λg(x. Donc g(x appartient à E λ (f. Pour tout élément x de E λ (f, g(x appartient à E λ (f, E λ (f est stable par g. Remarque :De même chaque sous-espace propre de g est stable par f. (b Notons que f est un endomorphisme de R n admettant n valeurs propres deux à deux distinctes et que n est la dimension de R n. Alors non seulement f est diagonalisable mais ses sous espaces propres sont des droites vectorielles. Soit x un vecteur propre de f et λ la valeur propre associée. x est un vecteur non nul de E λ (f et E λ (f est une droite vectorielle. Ainsi E λ (f Vect(x. D après ce qui précède g(x appartient à E λ (f donc à Vect(x. Alors il existe un réel α tel que : g(x αx. Comme x n est pas nul, x est un vecteur propre de g. Tout vecteur propre de f est vecteur propre de g. (pas forcément pour la même valeur propre (c f est un endomorphisme de R n admettant n valeurs propres deux à deux distinctes et n est la dimension de R n. Ainsi f est diagonalisable. Soit B une base de R n constituée de vecteurs propres de f (possible car f est diagonalisable.la même base B est encore une base de R n constituée de vecteurs propres de g! Ainsi la matrice de g dans la base B est diagonale et g est diagonalisable. 8. Soit A une matrice de M n (R admettant n valeurs propres réelles strictement positives et deux à deux distinctes. (a A est une matrice de M n (R ayant n valeurs propres deux à deux distinctes donc A est diagonalisable. Ainsi il existe une matrice inversible P de M n (R telle que D P AP soit diagonale. Remarque : Si nous ne le redisons pas, dans la suite P est une matrice inversible de M n (R telle que la matrice D P AP soit diagonale et D diag(d, d 2,..., d n. (b Soit P une matrice inversible de M n (R telle que D P AP soit une matrice diagonale. D diag(d, d 2,..., d n. Sp(A Sp(D {d, d 2,..., d n }. Comme les valeurs propres de A sont des réels (strictement positifs : i [, n], d i. (c Posons diag( d, d 2,..., d n et R P P. Notons que A P DP. De plus : 2 diag( d, d 2,..., d n 2 Diag (( d 2, ( d 2 2,..., ( d n 2 diag(d, d 2,..., d n D Alors : R est une racine carrée de A. R 2 (P P 2 P 2 P P DP A AR R 2 R R 3 RR 2 RA. Si R est une racine carrée de A : AR RA. Soit B la base canonique de R n. Notons f et g les endomorphismes de R n de matrices A et R dans la base B. f a n valeurs propres deux à deux distinctes car c est le cas pour A par hypothèse. De plus f g g f car AR RA. P est une matrice inversible de M n (R il existe une base B de R n et une seule telle que P soit la matrice de passage de B à B. D P AP est alors la matrice de f dans la base B. Comme D est diagonale, B est une base de R n constituée de vecteurs propres de f..c permet alors de dire que la matrice de g dans la base B est diagonale. Or la matrice de g dans la base B est P RP. Ainsi P RP est diagonale. PSI 25-26 7 Lycée de L essouriau - Les Ulis
(d P est toujours une matrice inversible de M n (R telle que D P AP soit une matrice diagonale. D diag(d i i [[,n]]. Notons que Sp A Sp D {d, d 2,..., d n }. Par hypothèse les valeurs propres de A sont strictement positives. Par conséquent les réels d, d 2,..., d n sont strictement positifs. Ce qui précède montre que si R est une racine carrée de A alors il existe une matrice diagonale de M n (R telle que P RP ou R P P. Ainsi les racines carrées de A sont du type P P où est une matrice diagonale de M n (R. Il est donc légitime de rechercher les racines carrées de A sous la forme P P où est une matrice diagonale. Soit alors une matrice diagonale diag(c i i [[,n]] (avec c i R de M n (R. Posons R P P. R 2 A (P P 2 P DP P 2 P P DP 2 D. Notons que la dernière équivalence est justifiée par le fait que P est inversible. R 2 A ( diag(c i i [[,n]] 2 diag(di i [[,n]] diag(c 2, c2 2,..., c2 n diag(d, d 2,..., d n. R 2 A i [, n]c 2 i d i i [, n], ε i {, }, c i ε i di. Ainsi l ensemble des racines carrées de A est l ensemble { R diag (ε, d, ε 2 d2,..., ε n dn P (ε i i [[,n]] {, } n}. Comme {, } n a 2 n éléments il semble assez clair que R a également 2 n éléments. PSI 25-26 8 Lycée de L essouriau - Les Ulis
Sujet 2 : Sujet Mines-Ponts - Maths II - 25 PROBLÈME - MATRICES SYMPLECTIQUES Partie I - Le groupe symplectique ( Soit n N n I et soit J n ou simplement J la matrice de M 2n définie par J n. Un calcul par bloc donne immédiatement I n n. J 2 I 2n ce qui prouve que J est inversible avec J J Par ailleurs, J est antisymétrique, c est à dire t J J Finalement, on a aussi 2. On a alors J t J t JJJ J JJ J ce qui montre que J S p2n. Un calcul par blocs donne t K(αJK(α ( In αi n n I n ( αin I n I n ( n I n I n n J ce qui justifie que K(α S p2n. 3. Un calcul par blocs donne (les opérations de transposition et de passage à l inverse commutent t L U JL U ( t U n n U ce qui montre que L U S p2n. ( n ( t U U n ( n I n I n J 4. On suppose t MJM J. En passant au déterminant, on obtient (le déterminant est invariant par transposition : det(m 2 det(j det(j Comme J est inversible, det(j est non nul et donc 5. Soient M, N S p2n. On a ce qui prouve que S p2n det(m {, } t (MNJ(MN t N t MJMJ t NJN J est stable par produit. 6. Soit M S p2n. On a M S p2n et donc t (M JM J. En transposant, et comme t J J, cela donne ( t M J M J et en passant à l inverse ce qui signifie que t M S p2n. MJ t M J PSI 25-26 9 Lycée de L essouriau - Les Ulis
7. Un élément de S p2n a un déterminant non nul (de valeur ± et est donc inversible. Si M S p2n, on a t MJM J. Multiplions par M à gauche et par ( t M à droite, on a alors et donc M S p2n. 8. Un produit par blocs donne et M S p2n si et seulement si J ( t M JM t (M JM ( t MJM t AC + t CA t AD + t CB t BC + t DA t BD + t DB t AC + t CA t BD + t DB n et t AD t CB t BC + t DA I n Partie II - Centre de S p2n 9. I 2n et I 2n sont des éléments de S p2n (calcul immédiat et elles commutent avec toute matrice donc, en particulier, avec toutes celles de S p2n. Ainsi {I 2n, I 2n } Z. Comme M Z, M commute avec L t K( S p2n (questions 2 et 7. Un calcul par blocs donne : ( ( A A + B A + C B + D C C + D C D et ainsi C et A D. Compte-tenu de ces relations, t LM M t L (qui a lieu puisque t L K( S p2n, donne ( ( A + B B A B A A A A + B et ainsi B. Enfin, comme M S p2n, les relations de la question 8 donnent A t A I n c est à dire A G n. On a montré que B C n, D A, A G n. Soit U G n. On utilise maintenant le fait que L U commute avec M, ce qui donne (compte tenu des relations de la question précédente ( ( AU n UA n n A t (U t n (U A et en particulier AU UA. 2. Les matrices I n + E i,j sont toutes inversibles (déterminant si i j et 2 si i j et commutent donc avec A. Ainsi AE i,j E i,j A. Remarquons que { { si v j si u i (AE i,j u,v et (E si v j i,j A u,v si u i a u,i Supposons que i j ; en égalant les coefficients d indices (i, j de AE i,j et E i,j A, on obtient que a i,i a j,j. Pour tout i, en égalant les coefficients d indices (i, j de AE i,i et E i,i A, on obtient, pour j i, a i,j. La matrice A est donc du type αi n. Comme det(a 2 det(m ±, on a α 2n ± et donc α ±. On a donc A ±I n et M ±I 2n. Ceci montre l inclusion réciproque de la question 9. et donc que Z { I 2n, I 2n } Partie III - Déterminant d une matrice symplectique ( A B Soit M dans S p2n décomposé sous forme de matrice blocs :M avec A, B, C, D M C D n. Dans toute cette partie, A, B, C, D sont les matrices de cette décomposition. PSI 25-26 Lycée de L essouriau - Les Ulis a j,v
3. Un calcul par blocs montre que les matrices Q, U, V, W conviennent si et seulement si : Il suffit donc de poser : U + QV A, QW B, V C, W D V C, W D, Q BD, U A BD C 4. D après la question 8., t DB t BD et donc BD t (D t B t (BD, c est à dire que BD est symétrique. Avec la question 3. (et comme le déterminant est un morphisme multiplicatif on a (avec la formule rappelée du déterminant bloc-triangulaire : det(m det(uw det(u det(w det(a BD C det(d Le déterminant étant invariant par similitude, et comme BD est symétrique, det(a BD C det( t A t C t (BD det(a BD C det( t A t CBD Il reste à multiplier par det(d et à utiliser encore les propriétés de morphisme du déterminant pour conclure que : det(m det( t AD t CB Les formules de la question 8. donnent t AD t CB I n et ainsi : det(m 5. On remarque que QV s P V et QV 2 s 2 P V 2. On a alors : mais aussi (QV QV 2 t (QV QV 2 s t V t P QV 2 (QV QV 2 t (QV QV 2 s 2 t V t QP V 2 Comme t P Q est symétrique elle est égale à sa transposée t QP et on a donc s 2 (QV QV 2 s (QV QV 2 L hypothèse s s 2 permet de conclure que (QV QV 2. 6. Soit X er(b er(d. On a alors M ( X ( Comme M est inversible, on en déduit que X et ainsi er(b er(d {} 7. Si (par l absurde on avait DV i alors on aurait aussi BV i (puisque s i et donc V i (question précédente ce qui est exclus. D après la question 8, t DB t BD et donc t BD est symétrique. Avec la question 5. (on est dans le cas où l on suppose D non inversible et on peut utiliser la question, on a (DV i DV j quand i j. La famille (DV,..., DV m est donc orthogonale dans E n.. Étant composée de vecteurs non nuls, elle est libre. PSI 25-26 Lycée de L essouriau - Les Ulis
8. Si, par l absurde, D αb n était jamais inversible, on pourrait utiliser n + valeurs distinctes non nulles de α (par exemple, 2,..., n + pour obtenir des vecteurs V,..., V n+ comme ci-dessus. On aurait alors n + vecteurs indépendants en dimension n, ce qui est impossible. Il existe donc α réel tel que D αb inversible (et on peut même choisir α dans {,..., n + }. 9. M et K(α étant dans S p2n, la matrice : ( N K(αM A αa + C B αb + D l est aussi. Comme D αb est inversible, on peut utiliser 4 pour conclure que det(n. Toujours en utilisant le fait que det un morphisme multiplicatif, on a alors det(m. PSI 25-26 2 Lycée de L essouriau - Les Ulis