L Imagerie par Résonance Magnétique nucléaire

L Imagerie par Résonance Magnétique nucléaire Problèmes mathématiques et numériques G. Caloz, P. Boissoles 1 S. Balac 2 1 IRMAR, UMR 6625 Université de Rennes 1 2 Centre de Mathématiques INSA de Lyon 23 juin 25 / Séminaire d analyse numérique, Nantes

Plan de l exposé 1 Introduction Présentation générale Pour la petite histoire 2 La RMN La localisation du signal - les gradients 3

Présentation générale Pour la petite histoire Collaboration C est une collaboration avec le LRMBM (Laboratoire de Résonance Magnétique en Biologie et Médecine) de l Université de Rennes 1 : J.D. De Certaines, G. Cathelineau, H. Boukhil,... Comment interpréter les images obtenues par les imageurs? Modélisation du processus de construction des images Algorithmes de construction Construction numérique des images pour y insérer de l information

Introduction Présentation générale Pour la petite histoire Un premier problème F IG.: Une sphère : image expérimentale (gauche) et image calculée (droite)

Présentation générale Pour la petite histoire Des champs magnétiques à étudier! FIG.: Imageur

I. Motivation Introduction I. Motivation Présentation générale L appareil d Imagerie par Résonance Magnétique Pour la petite histoire L appareil Quelques d Imagerie applications par Résonance Magnétique Plus précisément! L Imagerie par Résonance Magnétique (IRM) utilise différents L Imagerie par Résonance Magnétique (IRM) utilise différents champs électro-magnétiques afin d obtenir, de façon non-invasive, des images champs de électro-magnétiques l intérieur du corps afin humain. d obtenir, de façon non-invasive, des images de l intérieur du corps humain. Il existe trois types de champs magnétiques : Il existe trois types de champs magnétiques : db/dt, db/dx = B Les Les Les différents différents dessins dessins dessins ont ont étéont réalisés été réalisés réalisés à l aide à l aide àdu l aide du logiciel logiciel du logiciel fig4tex. fig4tex. fig4tex. [1] [1] G. G. [1] G. Giovannetti al., al., et 22 al., 22 22 [2] [2] J. Jin, J. [2] Jin, J. 1997 Jin, 1997 1997 [3] [3] M. M. [3] Leifer, Leifer, M. Leifer, 1997 1997 1997 C. C. Hayes Hayes C. et Hayes al., et al., et 1985 al., 1985 1985 aimant Champ magnétique statique Gradients de champs + bobines + antenne Gdt Ker-Lann 19 janvier 25 2 Gdt Ker-Lann 19 janvier 25 2 3ème atelier Mélina 16 mai 25 2 FIG.: Schéma de principe x, t Gradients de de Champ Champ champs magnétique magnétiques rédiofréquence radiofréquence

Champ B statique Introduction La RMN La localisation du signal - les gradients Les noyaux atomiques placés dans un champ magnétique B, stimulés par une impulsion radio fréquence (RF pulse) B 1, ré-émettent une partie de l énergie absorbée sous forme d un signal radio. C est la Résonance Magnétique Nucléaire (RMN). Le signal émis est le signal RMN. FIG.: Échantillon placé dans un champ B ( 1 Tesla) ; magnétisation macroscopique M

La RMN La localisation du signal - les gradients FIG.: Dipôle soumis à un champ radio-fréquence B 1 (42.6Mhz) La fréquence des impulsions est donnée par la relation de Larmor (les noyaux résonent) ν L = γ B, (1) 2π où B est le module du champ magnétique appliqué, γ est le rapport gyromagnétique, qui est caractéristique de l espèce étudiée.

15 1 5 5 2 5 5 1 15 2 15 1 5 5 155 154.5 154 153.5 153 152.5 152 151.5 151 154.2 154 153.8 153.6 153.4 1 2 3 4 5 6 Introduction La RMN N La localisation du signal - les gradients 63 63 Champ radio-fréquence l axe xe de de l antenne. l antenne. 4.3. ROTATION 63 orthogonal à l axe de l antenne. 5 15 1 5 5 5 2 5 2 2 5 Vue 3d Vue Vue 3d 3d 5 5 2 15 1 5 2 15 15 1 1 5 Plan xy Norme Fig. 22 Figures pour (x, y, z) = (R/4,, ) 2 5 2 15 15 1 1 5 5 151 151 2 2 5 55 1 15 1 2 15 2 1 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 6 FIG.: Champ Plan radio-fréquence Plan xy xy à R/4Norme Norme Fig. Fig. 22 22 Figures Figures pour pour (x, y, (x, z) y, = z) (R/4, = (R/4,, ), ) 5 155 155 154.5 154.5 154 154 153.5 153.5 153 153 152.5 152.5 152 152 151.5 151.5

15 1 5 5 2 5 5 1 15 2 15 1 5 5 2 5 5 1 15 2 15 1 5 5 2 5 5 1 15 2 155 154.5 154 153.5 153 152.5 152 151.5 151 154.2 154 153.8 153.6 153.4 153.2 1 2 3 4 5 6 153 1 2 3 4 5 6 7 158 157.5 157 156.5 156 155.5 155 154.5 154 1 2 3 4 5 6 Vue 3d Vue 3d 5 Introduction 2 15 Champ radio-fréquence 1 15 1 Fig. 22 Figures pour (x, y, z) = (R/4,, ) 5 5 2 La RMN La localisation du signal - les gradients 5 Fig. 22 Figures pour (x, y, z) = (R/4,, ) 5 2 Vue 3d Plan xy Fig. 22 Figures pour (x, y, z) = (R/4,, ) Norme 15 15 154.2 154.2 1 1 154 154 5 5 5 153.8 153.8 15 15 1 5 Vue 5 3d 5 1 15 2 5 5 5 Plan xy 5 2 2 Norme 2 15 15 1 1 Vue 3d 2 5 5 1 15 2 5 5 Fig. 23 Figures pour (x, y, z) = (R/2,, ) 5 5 Plan Plan xy xy 2 2 Vue 3d 2 5 5 1 15 2 2 15 1 Fig. 235 Figures pour (x, y, z) = (R/2,, ) 1 5 Fig. 23 5 Figures pour Plan xy (x, y, z) Norme = (R/2,, ) 5 2 5 153.6 153.4 153.2 153 1 2 3 4 5 6 7 153 1 2 3 4 5 6 7 FIG.: Champ radio-fréquence à R/2 Norme Norme 153.6 153.4 153.2

1 5 5 2 5 5 1 15 2 15 1 5 5 2 5 5 1 15 2 154 153.8 153.6 153.4 153.2 153 1 2 3 4 5 6 7 158 157.5 157 156.5 156 155.5 155 154.5 154 1 2 3 4 5 6 15 Vue 3d 5 15 ue 3d Introduction La RMN La localisation du signal - les gradients 2 15 1 Fig. 23 Figures 5 pour (x, y, z) = (R/2,, ) 1 5 Champ radio-fréquence 5 Plan xy Fig. 23 Figures pour (x, y, z) = (R/2, Norme, ) 5 2 Vue 3d Fig. 23 Figures pour (x, y, z) = (R/2,, ) 15 15 158 5 2 15 1 15 5 1 2 5 5 15 15 5 2 1 1 5 5 15 Vue 3d 5 5 2 2 2 1 1 5 5 Plan xy Norme Fig. 24 Figures pour (x, y, z) = (3R/4,, ) 5 154 2 5 1 15 2 1 2 3 4 5 6 154 2 5 5 5 1 15 2 1 2 3 4 5 6 FIG.: ChampPlan radio-fréquence Plan xy xy à 3R/4Norme Norme Vue 3d 3d Fig. Fig. 24 24 Figures Figures pour pour (x, (x, y, z) y, = z) (3R/4, = (3R/4,, ) Problèmes issus de, l IRM ) 5 158 157.5 157.5 157 157 156.5 156.5 156 156 155.5 155.5 155 155 154.5 154.5

2 15 1 5 5 2 3 2 1 2 3 23 22 21 2 19 18 17 16 15 1 2 3 4 5 6 7 14 TRE 4. Introduction HAPITRE Champ 4. radio-fréquence La RMN La localisation du signal - les gradients ÉTUDE DU CHAMP MAGNÉTIQUE RADIOFRÉQUENCE ÉTUDE DU CHAMP MAGNÉTIQUE RADIOFRÉQUENCE CHAPITRE 4. ÉTUDE DU CHAMP MAGNÉTIQUE RADIOFRÉQUENCE 23 23 1 2 15 1 5 2 15 1 5 22 21 2 22 21 2 1 2 3 4 2 2 1 2 2 2 3 3 2 Vue 3d 1 2 1 2 3 3 1 2 3 2 Plan xy 2 Fig. 3 25 Figures pour (x, y, z) = (,, 9R/1) Norme 15 2 15 3 2 1 2 3 3 2 1 2 3 14 1 2 3 4 5 6 7 14 1 2 3 4 5 6 7 Trajectoires Vue 3d Vue 3d dans le plan y = aintenant que Fig. l on sait 25 que Figures le champ magnétique pour (x, a un y, mouvement z) = (, de, rotation 9R/1) Fig. 25 Figures pour (x, y, z) = (,, 9R/1) e les caractéristiques de celui-ci sont gouvernées par la partie réelle et la partie 5 naire du champ B k, on va étudier plus précisément ce dernier Problèmes dans issus le de plan l IRM 5 Plan Plan xy xy FIG.: Champ radio-fréquence à 9R/1Norme Norme 19 18 17 16 19 18 17 16

Commentaires Introduction La RMN La localisation du signal - les gradients La relation de Larmor (1) donne aussi la fréquence du signal RMN émis. Pour des raisons de sensibilité, l IRM concerne l étude des noyaux d hydrogène. Nous obtenons des informations concernant la densité de noyaux et la composition chimique. Difficulté : Le signal provient de tout l échantillon! Il faut localiser par une technique de codage spatial IRM. Utilisation de gradients de champs magnétiques. La relation de Larmor est de la forme ν L = γ (B + B). 2π

La RMN La localisation du signal - les gradients Les gradients de champ Un gradient est un champ magnétique appliqué dans la même direction que le champ statique B mais avec un module qui dépend linéairement de la position. Le gradient est beaucoup plus faible que B, environ 1 4 fois. Nous représentons le gradient sous la forme G(P) = g(r n)z, g représente l intensité du gradient, n sa direction, r = OP, z est la direction de B.

Sélection du plan de coupe La RMN La localisation du signal - les gradients Pour l image d un plan Π s à travers l échantillon : n s le vecteur normal unité au plan et C le point appartenant à Π s tel que OC = c n s. FIG.: Sélection d une coupe de l échantillon.

Plan de coupe Introduction La RMN La localisation du signal - les gradients Un gradient G s appelé gradient de sélection de coupe est appliqué simultanément à l impulsion RF B 1. Nous avons G s (P) = g s (OP n s )z = g s ((OC + CP ) n s ) z = g s cz. Tous les noyaux d une espèce donnée (hydrogène) dans le plan Π s ont la même fréquence de résonance donnée par ν s = γ 2π B + G s = γ 2π (B + g s c). Hors du plan Π s les noyaux ont une fréquence de Larmor qui diffère de ν s. Lorsque qu une impulsion RF B 1 est appliquée à la fréquence ν 1 = ν s, seuls les noyaux de Π s résonent.

Codage dans le plan de coupe Gradient de lecture (read-out) La RMN La localisation du signal - les gradients Deux autres gradients sont appliqués pour localiser à l intérieur du plan Π s. Le Gradient de lecture(read-out) G r est appliqué pendant la réception du signal RMN. G r (P) = g r (OP n r )z = g r (CP n r )z = g r x r z. La fréquence du signal RMN est alors donnée par ν = γ 2π B + G r = γ 2π (B + g r x r ).

La RMN La localisation du signal - les gradients Gradient de phase (phase-encoding) Le gradient G p est appliqué pendant une brève période T p avant la réception du signal. G p (P) = g p (OP n p )z = g p (CP n p )z = g p x p z. La phase du signal est alors donnée par φ = 2πν L (P)T p = γ B + G p T p = γ(b + g p x p )T p. Ce codage spatial en fréquence et en phase permet, via une transformation de Fourier du signal, d obtenir une image de la coupe Π s.

Densité des noyaux d hydrogène La RMN La localisation du signal - les gradients On néglige la relaxation : le signal admet la représentation S(t r, g p ) = ρ(x r, x p ) exp ( i γ(g r x r t r + g p x p T p ) ) dx r dx p, (2) R 2 où la fonction ρ est la densité de noyaux dans la coupe Π s. Nous effectuons la transformée de Fourier du signal, appelée 2D-FT en IRM. Soit le changement de variables ψ(x r, x p ) (τ 1, τ 2 ) = ( γ 2π g rx r, γ 2π T px p ). Soit J le jacobien de l inverse, J = (γ- 2 T p g r ) 1, γ- = γ/2π. Alors S(t r, g p ) = A(τ 1, τ 2 ) exp( 2πi(τ 1 t r + τ 2 g p )) dτ 1 dτ 2, R 2 avec A(τ 1, τ 2 ) = ρ(ψ 1 (τ 1, τ 2 ))J. C est la transformée de Fourier inverse de A.

La RMN La localisation du signal - les gradients Soit I(τ 1, τ 2 ) l intensité au point (τ 1, τ 2 ) de l image (pixel de l image). Nous prenons la transformée de Fourier I(τ 1, τ 2 ) = F[S(t r, g p )] = A(τ 1, τ 2 ) = 1 γ- 2 T p g r ρ( τ 1 γ- g r, τ 2 γ- T p ). La transformée du signal collecté conduit à la représentation de la densité ρ dans le plan Π s. Note : En pratique pour le codage en phase des intervalles de temps constants T p sont utilisés. Un gradient de phase g p est utilisé pour le codage. Le signal ne peut être obtenu que pour une nombre fini de valeurs de g p. Une transformée de Fourier discrète est faite pour obtenir l image.

Champ magnétique additionnel Question : Comment des inhomogénéités induisent-elles des distorsions? On rajoute un champ perturbateur. Le champ magnétique total est alors donné par B(P) = B + G s (P) + B (P). Hypothèse : Les inhomogénéités sont du même ordre que les gradients et beaucoup plus faibles que le champ B. Il est raisonnable de faire l approximation B(P) B + G s (P) + B z(p), où B z représente la composante de l inhomogénéité le long de la direction z.

Sélection de la coupe La fréquence de Larmor ν L donnée par (1) est approchée par ν L (P) = γ 2π (B + G s (P) + B z(p)). Pour choisir la coupe Π s l impulsion RF B 1 est appliquée à la fréquence ν 1 donnée par ν 1 = γ 2π (B + g s c). Les noyaux résonants sont ceux pour lesquels la fréquence de Larmor ν L est égale à la fréquence ν 1. Ils ne sont plus sur le plan Π s, mais sur l ensemble des points P tels que G s (P) + B z(p) = g s c. (3)

Nous notons (x, y, z) les coordonnées de P dans le système du laboratoire et par (n 1, n 2, n 3 ) les composantes du vecteur n s. Soit c (P) = OP n s = n 1 x + n 2 y + n 3 z. Alors nous avons G s (P) = g s c (P) = g s (n 1 x + n 2 y + n 3 z). L équation (3) prend la forme n 1 x + n 2 y + n 3 z + B z(x, y, z) g s = c. (4) On peut écrire l équation (4) dans le système de coordonnées R c = (C, n r, n p, n s ). Nous avons x s + B z(x r, x p, x s ) g s =, (5) où (x r, x p, x s ) sont les coordonnées de P dans R c.

Exemple sur la sphère : Le plan de coupe est en fait la surface d équation (4). FIG.: Coupe à imager. Nous considérons le cas particulier d une sphère métallique (l implant) plongée dans une substance diamagnétique (les tissus biologiques) et soumise à un champ statique B.

rayon de la sphère = 1 cm susceptibilité magnétique =χ m = 1 3. intensité de la densité de flux = B = 1 Tesla l intensité du gradient de coupe = g = 1 2 Tesla par mètre. inhomogénéités de champ magnétique sont dues au champ B induit par la sphère. La coupe est représentée en 3cm x 3cm.

FIG.: (a) Distorsion de la coupe à imager (en mètre) et (b) distorsion géométrique.

Codage dans le plan de coupe Par la relation de Larmor (1) nous avons ν = γ 2π B(P) = γ 2π (B + g r x r + B z(x r, x p, x s )). De façon analogue la phase du signal RMN prend la forme φ(p) = 2πν L (P)T p = γb(p)t p = γ(b + g p x p + B z(x r, x p, x s ))T p.

Nota Bene : L effet du shift de la phase dépend de la séquence IRM choisie. Pour la séquence Spin-Echo, le shift de la phase dû aux inhomogénéités est compensé lors de la réception du signal. Au contraire pour la séquence Gradient-Echo, le shift est conservé. C est pourquoi nous introduisons le paramètre k d valant ou 1. Nous devons prendre en compte que la perturbation existe non seulement pendant le codage en phase T p mais encore pendant le temps de réception du signal T E. La phase du signal est donc de la forme φ(p) = γ(b + g p x p T p + k d B z(x r, x p, x s )T E ).

Transformée de Fourier du signal perturbé En présence d un champ perturbateur B, le signal IRM admet la représentation S(t r, g p ) = ρ(x r, x p, x s (x r, x p )) R 2 exp ( i γ(g r x r + B ) z(x r, x p, x s (x r, x p )))t r exp ( i γ(g p x p T p + k d B z(x r, x p, x s (x r, x p ))T E ) ) dx r dx p, où x s est une solution de l équation non linéaire x s + B z(x r, x p, x s ) g s =. Nous prenons la transformée de Fourier de S pour obtenir l intensité.

Ainsi l intensité au pixel (τ 1, τ 2 ) de l image est donnée par I(τ 1, τ 2 ) = ρ(x r, x p, x s ) exp ( i γk d B ) z(x r, x p, x s )T E où (x r,x p,x s) solution de (7) 1 1 + 1, (6) B g r x z(x r, x p, x s ) r x r + B z(x r, x p, x s ) g r = τ 1, x p = τ 2, x s + B z(x r, x p, x s ) g s =. Dans (6) nous avons inclus le cas où (7) a plusieurs solutions. Nous avons omis un coefficient d échelle. (7)

Largeur de coupe Nous avons supposé que l impulsion RF B 1 est émise à la fréquence unique ν 1. En pratique l impulsion est émise avec une largeur de bande de la forme ν 1 ± 1 2 ν 1. Le plan de coupe est transformé en une coupe d épaisseur donnée. Par conséquent une couche d épaisseur e s autour de Π s est imagée. On vérifie que e s = 2π γ ν 1 g s. Pour prendre en compte l épaisseur, nous rajoutons un terme de sommation sur l épaisseur de la couche e s.

Le signal est alors de la forme 1 2 es S(t l, g p ) = ρ(x r, x p, x s (x r, x p, ζ)) 1 2 es R 2 exp ( i γ(g r x r + B ) z(x r, x p, x s (x r, x p, ζ)))t r exp ( i γ(g p x p T p + k d B z(x r, x p, x s (x r, x p, ζ))t E ) ) dx r dx p dζ où x s satisfait x s + B z(x r, x p, x s ) g s = ζ with ζ [ 1 2 e s, 1 2 e s].

Notre développement pour la transformée de Fourier du signal est analogue dans ce cas. Les expressions (6) et (7) deviennent I(τ 1, τ 2 ) = où 1 2 es 1 2 es (x r,x p,x s) solution of (9) ρ(x r, x p, x s ) exp ( i γk d B z(x r, x p, x s )T E ) 1 1 + 1 dζ, (8) B g r x z(x r, x p, x s ) r x r + B z(x r, x p, x s ) g r = τ 1, x p = τ 2, x s + B z(x r, x p, x s ) g s = ζ. (9)

Algorithmes Nous voulons calculer l intensité de l image I dans (8) pour le pixel (τ 1, τ 2 ) donné. L intégrale est calculée avec une formule de quadrature de Gauss. Nous avons I(τ 1, τ 2 ) = 1 2 es 1 2 es A(τ 1, τ 2, ζ) dζ e s 2 µ d ω k A(τ 1, τ 2, u k ), avec ω k R les poids et u k [ 1, 1] les nœuds. La principale difficulté est de déterminer le(s) point(s) (x r, x p, x c ) dans l échantillon qui sont représentés dans le pixel (τ 1, τ 2 ). Il faut résoudre le système (9). k=1

En combinant les première et troisième équations, le système peut être écrit sous la forme x r + g s (ζ x s ) = τ 1, g r x p = τ 2, x s + B z(x r, x p, x s ) g s = ζ, où ζ [ 1 2 e s, 1 2 e s]. Ainsi nous avons à résoudre le problème non linéaire : trouver x s R solution de où x s + B z(x r, x p, x s ) g s = ζ, x r = τ 1 + g s (x s ζ), g r x p = τ 2, ζ [ 1 2 e s, 1 2 e s]. (1)

Soit F : R R définie par x s F(x s ) = (x s ζ) + 1 g s B z(τ 1 + g s g r (x s ζ), τ 2, x s ), où les paramètres g s, g r, g p, τ 1, τ 2 et ζ sont fixés. Alors résoudre le système (9) revient à trouver les zéros F.

Algorithme 1 For each pixel (τ 1, τ 2 ) do For k = 1,..., µ d do For each x s solution of F(x s ) = do Set x r = τ 1 + gs g r (x s ζ) and x p = τ 2 Compute ρ(x r, x p, x s ), B z(x r, x p, x s ) and x r B z(x r, x p, x s ) Set I(τ 1, τ 2 ) = I(τ 1, τ 2 ) + ρ(x r, x p, x s ) exp ( i γk d B z(x r, x p, x s )T E ) 1 + 1 g r x r B z(x r, x p, x s ) End do End do End do

Introduction Nous avons mis en œuvre l algorithme 1 dans le cas de la sphère où une expression analytique pour F est connue. Nous remarquons que la fonction F n est pas nécessairement continue (ceci est dû au saut de B à l interface) et le nombre des zéros dépend des valeurs de τ1, τ2 et ζ. F IG.: Graphe de la fonction F dans le cas de la sphère. Les paramètres τ1, τ2 et ζ correspondent à un point éloigné (gauche), proche (centre) et intérieur (droite).

Commentaires Le nombre de zéros varie de à 3. Le comportement de F va donc fortement changer en fonction des paramètres g s, g r, g p, τ 1, τ 2 et ζ. En pratique nous n avons pas d expressions analytiques pour B et donc F ne peut être calculé que ponctuellement. Aucun code numérique basé sur l algorithme 1 n est possible. L idée est de parcourir l échantillon et de tester pour savoir si les noyaux d un point donné (x r, x p, x s ) résonent ou non. Nous calculons le pixel de l image où ce point est envoyé et nous ajoutons l intensité correspondante. Nous sommes conduits à l algorithme suivant.

Algorithme 2 For (x r, x p, x s ) R 3 do : Compute (τ 1, τ 2, ζ) such that τ 1 = x r + B z(x r, x p, x s ) g r τ 2 = x p ζ = x s + B z(x r, x p, x s ) g s If ζ [ 1 2 e s, 1 2 e s] and (τ 1, τ 2 ) belongs to the image then I(τ 1, τ 2 ) = I(τ 1, τ 2 ) + ρ(x r, x p, x s ) exp (i γk db z(x r, x p, x s )T E ) 1 + 1 g r x r B z(x r, x p, x s ) End if End do

Remarques : En pratique un volume entourant l objet est choisi. Ce volume est subdivisé en petits cubes. À l intérieur de chaque cube un point (x r, x p, x s ) est choisi. Le principal désavantage de cette approche est la nécessité de parcourir beaucoup de points qui ne sont pas sur l image. Toutefois nous pouvons nous limiter à un voisinage autour de l objet à imager. L algorithme 2 a été mis en œuvre pour nos calculs.

Introduction Résultats numériques Nous avons fait des calculs sur un implant dentaire. F IG.: Implant dentaire et maillage

Introduction Résultats numériques F IG.: Lignes de niveau de Bz, images simulée et expérimentale obtenues par séquence Spin-Echo (SE 49/25). Le côté de la figure correspond à une longueur de 5 cm

Données Implant : susceptibilité magnétique de 1 3 usi B :.5 Tesla. Le maillage a 1328 triangles. Coupe de 5 cm de large, parallèle au champ B. Les gradients valent 1 2 T/m. L épaisseur de coupe est de 3 mm. Pour obtenir l image expérimentale correspondante, l implant a été placé au centre d une boîte contenant une substance diamagnétique, (CuSO 4 à la concentration de.6 g/l). La coupe a été enregistrée en utilisant une séquence de Spin-Echo avec un temps de répétition de 49 ms et un temps d écho de 25 ms.

Calcul du champ perturbateur Comment calculer le champ magnétique induit par l implant métallique? Ω est un ouvert borné de l espace, de frontière Σ. L implant Ω est plongé dans un champ magnétique B. Soit B = B B alors le problème à résoudre est : trouver B L 2 (R 3 ) 3 tel que div B = dans R 3, rot B = dans Ω et Ω, [ B n ] = µ (M n) à l interface Σ, (11) avec n normale unité extérieure à Σ, [ ] le saut au travers de Σ.

FIG.: Le problème de la magnétostatique div µh = dans Ω, div H = dans Ω, µh Ω n = H n sur Σ, Ω rot H = j dans Ω s, rot H = dans Ω s, H n = H n sur Σ s, Ωs Ωs (12)

Ici n est la normale unité extérieure à Σ ou Σ s H Ω (resp. H, H, H ) dénote la restriction de H Ω Ωs Ωs au domaine Ω (resp. Ω, Ω s, Ω s ). N.B. Comme H n est pas à rotationnel nul dans Ω s, on ne peut pas introduire un potentiel scalaire comme inconnue dans tout l espace. Il est connu que pour résoudre le problème (12) avec un potentiel scalaire, on peut décomposer le problème : calcul du champ source et du champ induit H = H s + H m, voir Simkin - Trowbridge (1979).

H s est solution de div H s = dans R 3, rot H s = j dans Ω s, rot H s = dans Ω s, H s n = H s n sur Σ s, Ωs Ωs (13) H m dû au matériau magnétique est solution de rot H m = dans R 3, div H m = dans Ω et Ω, µh m n H m n = (1 µ) H s n sur Σ. Ω Ω (14)

H s est calculé par la formule de Biot Savart H s (x) = 1 ( j(y) x y ) 4π Ω s x y 3 dy x Ω s. (15) On introduit le potentiel magnétique scalaire (RSP) φ comme inconnue pour résoudre le problème (14). En effet H m est irrotationnel dans tout l espace. On réduit le problème à une inconnue scalaire φ avec g = H s n donné. φ = dans Ω et Ω, φ continu sur Σ, µ φ n φ = (µ 1) g sur Σ, Ω n Ω (16)

Le problème (16) est un problème classique de Laplace sur tout l espace avec condition d interface. A priori, on peut le résoudre avec plusieurs méthodes. Pour obtenir H, on somme H m et H s. Difficulté : en général, on a des mauvais résultats! TAB.: H dans Ω calculé par addition de H s et H m puis calculé analytiquement pour des valeurs de µ. µ H s 2 H m 2 H s + H m 2 H 2 exact error (%) 2.795 1 6.1929 1 6.621 1 6.5962 1 6.97 1.795 1 6.5937 1 6.213 1 6.1835 1 6 9.2 1 2.795 1 6.7493 1 6.4568 1 5.2316 1 5 65 1 3.795 1 6.7695 1 6.2551 1 5.2378 1 4 166 1 4.795 1 6.7716 1 6.2343 1 5.2384 1 3 19

Formule pour le potentiel Soit G la fonction de Green donnée par G(x, y) = 1 4π x y pour x, y R 3, x y, et G n (x, y) = x G(x, y).n, x Σ, y R 3 sa dérivée normale sur Σ. On a la représentation suivante pour φ en y Ω, φ(y) = µ 1 µ Σ g(x) G(x, y) dσ x µ 1 µ Σ φ(x) G n (x, y) dσ x. (17)

Formule pour le champ Alors pour y Ω le champ H m (y) = φ(y) est donné par µ 1 g(x) y G(x, y) dσ x + µ 1 φ(x) y G n (x, y) dσ x. µ Σ µ Σ (18) De même pour y Ω le champ H m est donné par (µ 1) g(x) y G(x, y) dσ x +(µ 1) φ(x) y G n (x, y) dσ x. Σ Σ (19)

On décompose le problème sur le domaine intérieur et extérieur : trouver φ i H 1 (Ω) et φ e W 1 ( Ω) tels que φ i = in Ω, φ e = in Ω, φ e = φ i on Σ, 1 φ e µ n φi n = ( 1 1)g on Σ. µ (2) On recherche φ i et φ e de la forme φ i = + k= 1 + µ k φi k et φ e 1 = µ k φe k. (21) k=

Nouvelle formule pour le champ Pour µ dans [1 2, 1 4 ], on vérifie que H peut être approché par H(y) 1 µ H s(y) + 1 φ i 1 µ (x) yg n (x, y) dσ x Σ + 1 ) (φ i µ 2 2 (x) φi 1 (x) y G n (x, y) dσ x. (22) Σ Cela donne un moyen pour approcher H dès que φ i 1 et φi 2 sont connus.

TAB.: Quelques comparaisons fonction de µ µ H 2 exact H 2 1 terme err (%) H 2 2 termes err (%) 1.1835 1 6.2157 1 6 16.2.217 1 6 13.8 1 2.2316 1 5.2349 1 5 1.4.2343 1 5 1.2 1 3.2378 1 4.237 1 4.32.237 1 4.32 1 4.2384 1 3.2372 1 3.5.2372 1 3.5

Introduction Premiers résulats Cas 3D : simulations nume riques Cas 3D : simulations nume riques Cas 3D : simulations nume riques Cas 3D : simulations nume riques Cas 3D : simulations nume riques Cas 3D : simulations nume riques Maillage Maillage Maillage Champ magne tique! Caracte risitiques du maillage :! Caracte risitiques du maillage :! Caracte risitiques du maillage : d e le ments : 131 22, Nombre Nombre d e le ments : 131 22, Type d e le ments Nombre d e le ments : 131 22,(TE1), Type d e le ments :: te trae dres te trae dres (TE1), : Lagrange P1, (TE1), Type d e le ments : te trae dres Interpolation Interpolation : Lagrange P1, de degre s de liberte 996 d.l. Interpolation : Lagrange P1, :: 23 Nombre Nombre de degre s de liberte 23 996 d.l. Nombre de degre s de liberte : 23 996 d.l. Temps de calcul : 39.83u.6s :4.69 99.3 Cas 3D : simulations nume riques Champ magne tique 3e me atelier Me lina 3e me atelier Me lina 3e me atelier Me lina 3e me atelier Me lina 16 mai 25 16 mai 25 16 mai 25 16 mai 25 7 7 7 11 Temps de calcul : 39.83u.6s :4.69 99.3% 3e me atelier Me lina 3e me atelier Me lina 16 mai 25 16 mai 25 8 12 F IG.: Calcul du champ à l intérieur d une antenne cage d oiseau 3e me atelier Me lina 16 mai 25 8