GRAPHES ALÉATOIRES D ERDÖS-RÉNYI

GRAPHES ALÉATOIRES D ERDÖS-RÉNYI U grad réseau de commuicatio (iteret, Facebook, etc.) est modélisé par u graphe G = (V, E), dot les sommets v V sot les agets de ce réseau, et dot les arêtes e = {u, v} sot les paires de sommets disticts u et v tels qu existe ue coectio etre les agets u et v. Par exemple, le graphe suivat représete ue partie des coectios du réseau iteret : Figure 1. Coectios etre ue partie des sites du réseau iteret (d après opte.org). Pour u tel graphe, les questios suivates se poset : (1) État doées deux persoes u et v das le réseau, existe-t-il toujours ue suite de coectios {u0, u1 }, {u1, u },..., {ud 1, ud } avec u0 = u et ud = v? Autremet dit, le graphe est-il coexe? () Si le graphe est pas coexe, quelle est la taille typique de ses composates coexes? Ot-elles toutes à peu près la même taille, ou, au cotraire, existe-t-il des composates "géates" etourées d îlots de taille beaucoup plus petite? (3) Si l o fixe ue cofiguratio de voisis (par exemple, quatre voisis a, b, c, d avec a coecté à b, et b, c, d mutuellemet coectés), combie de cofiguratios de ce type peut-o idetifier à l itérieur du réseau? 1

Das ce qui suit, les coectios du réseau état pas forcémet coues, o le remplacera par u graphe aléatoire G = G, dot o va étudier le comportemet lorsque le ombre de sommets ted vers l ifii. 1. Modèles d Erdös-Réyi O fixe u etier 1, et u paramètre p = p [0, 1]. Le graphe aléatoire d Erdös- Réyi G = G(, p) est le graphe dot les sommets sot les etiers i [1, ], et tel que les variables aléatoires { 1 si {i, j} est ue arête de G, X ij = 0 sio avec 1 i < j sot des variables de Beroulli idépedates de même paramètre p : P[X ij = 1] = 1 P[X ij = 0] = p. Autremet dit, chaque arête possible etre les sommets de G apparaît avec probabilité p, idépedammet des autres arêtes. Figure. Trois graphes aléatoires d Erdös-Réyi de taille = 100 et paramètres p = 0.007, 0.015 et 0.05. Lorsqu il y a plusieurs composates coexes, la plus grade est e oir et les autres e gris. Selo la valeur du paramètre p, o observe trois comportemets très différets. Si p est suffisammet petit, alors le graphe a de ombreuses composates coexes, toutes de "petite" taille (par rapport à ). Puis, à partir d ue certaie valeur p 1, le graphe aléatoire a ue uique composate "géate", de taille de l ordre de, et ses autres composates

coexes sot très petites. Aisi, pour = 100 et p = 0.015, sur l exemple précédet, o a ue composate coexe géate de taille 56 : 9 45 0 18 70 17 6 96 0 55 97 94 3 98 44 78 31 9 7 66 4 7 74 79 33 88 60 1 75 85 5 6 49 3 73 71 15 58 6 81 13 87 10 9963 68 36 35 8 1 19 89 61 91 57 Figure 3. La composate coexe géate du graphe d Erdös-Réyi de paramètres = 100 et p = 0.015. et toutes les autres sot de taille plus petite que 3. Efi, si l o augmete ecore la valeur de p, alors à partir d ue certaie valeur p, le graphe est coexe avec très grade probabilité.. Limite d échelle gaussiee Il existe plusieurs limites d échelle pertietes pour les graphes aléatoires d Erdös-Réyi. Das u premier temps, o peut supposer p = p idépedat de, et décrire le comportemet asymptotique de G e utilisat les ombres de sous-graphes, défiis comme suit. Si G = (V G, E G ) et H = (V H, E H ) sot deux graphes, o dit que H est u sous-graphe de G s il existe ue applicatio ijective i : V H V G telle que, si i({v, w}) = {i(v), i(w)} pour e = {v, w} E H, alors e E H, i(e) E G Aisi, o peut ploger H das G. O ote I(H, G) le ombre d ijectios i vérifiat les hypothèses précédetes, et I(H, G) N(H, G) = I(H, H) le ombre de sous-graphes de type H das G. Par exemple, si H = H 3 = alors I(H, H ) = et I(H 3, H 3 ) = 6 sot les ombres d automorphismes des graphes H et H 3 (permutatios des sommets qui sot compatibles avec les arêtes). Pour u autre graphe G, N(H, G) et N(H 3, G) sot respectivemet le ombre d arêtes {i, j} de G ; et le ombre de triagles {i, j, k} tels que {i, j}, {j, k} et {i, k} sot des arêtes de G. 3

Le ombre d arêtes de G = G(, p) suit ue loi biomiale B( ( ), p), doc satisfait le théorème cetral limite : N(H, G ) ( ) p loi N (0, 1), (1) p(1 p) où N (0, 1) désige ue loi ormale cetrée de variace 1. Pour le ombre de triagles, otos k la factorielle décroissate ( 1)( ) ( k + 1) ; c est le ombre d ijectios d u esemble à k élémets das u esemble à élémets. O peut calculer E[N(H 3, G )] = 3 6 p3 ; () E[(N(H 3, G )) ] = 1 ( 6 p 6 + 9 5 p 6 + 18 4 p 5 + 6 3 p 3), 36 (3) où pour le secod momet o a compté les paires de triagles ({i j k}, {i j k }) selo le cardial de leur itersectio. Par suite, var(n(h 3, G )) = 4 p5 (1 p) + O( 3 ) et l o peut alors raisoablemet cojecturer le théorème cetral limite : N(H 3, G ) ( 6 p 5 (1 p) ) p 3 Cette asymptotique est vérifiée, et plus gééralemet : loi N (0, 1). (4) Théorème 1. Si H est u graphe avec k sommets et h arêtes, et si G = G(, p), alors I(H, G ) k p h h k 1 p h 1 (1 p) loi N (0, 1). 3. Limite d échelle poissoiee Ue autre limite d échelle itéressate est la limite poissoiee, où p = λ avec λ > 0 fixé. Das ce cas, le ombre d arêtes issues d u sommet (degré) suit la loi biomiale B( 1, λ ), doc, das l approximatio poissoiee, deg(u sommet fixé de G ) loi P(λ), λ λk où P(λ) désige la loi de Poisso P[X = k] = e. E particulier, chaque aget du k! réseau a u ombre de voisis/coectios directes qui explose pas avec la taille du réseau, ce qui est pertiet pour modéliser des réseaux réels. Le comportemet asymptotique du ombre N(H, G ) de sous-graphes de type H das G(, λ ) déped maiteat de la forme de H. Supposos H coexe, et otos ex(h) l excès de H, qui est défii par ex(h) = h k = card E H card V H 1. Si H est coexe, alors l excès de H est toujours plus grad que 1, et il est égal à 1 si et seulemet si H est u arbre (graphe coexe sas cycle). 4

Propositio. Si H est u graphe avec h arêtes et k sommets, et si G = G(, λ ), alors ( ) h 1 λ 1 E[N(H, G )] = I(H, H) k I(H, H) λh ex(h). Par coséquet, si ex(h) 1, alors N(H, G ) probabilité 0. Autremet dit, les sous-cofiguratios observables de G das la limite poissoiee sot seulemet celles d excès 0 et 1. Lorsque H a excès 1 et est u arbre, l étude du cas où H = H permet de cojecturer que N(H, G ) E[N(H, G )] var(n(h, G )) loi N (0, 1). Supposos fialemet que H a excès 0. C est par exemple le cas lorsque H = H 3, ou plus gééralemet lorsque H = H k est u cycle de logueur k 3 ; o regardera seulemet ce cas, remarquat qu alors I(H k, H k ) = k. Il existe ue idexatio des sommets de H = H k par les etiers de [1, k], de sorte que les arêtes de H k sot les {j, j +1}, j Z/kZ. D autre part, o otera ((v 1,..., v k )) u esemble de sommets disticts das [1, ], modulo permutatio cyclique et retouremet du cycle. Aisi, ((v 1,..., v k )) = ((w 1,..., w k )) si et seulemet si les esembles { {vj, v j+1 }, j Z/kZ } = { {w j, w j+1 }, j Z/kZ } sot les mêmes. O a pour tout r 1 (N(H, G )) r = ombre de r-uplets de k-cycles disticts das G r = X((v i1,..., v ik )) V 1 V =V r V i =((v i1,v i,...,v ik )) i=1 où X((v 1,..., v k )) est la variable aléatoire qui vaut 1 si l applicatio j V H v j [1, ] est u plogemet du cycle H das G (i.e., {v j, v j+1 } E G pour tout j Z/kZ), et 0 sio. Autremet dit, k X((v 1,..., v k )) = 1 {vj,v j+1 } E G. Or, état doés r esembles cycliques V 1,..., V r, le ombre de paires {v ij, v i(j+1) } distictes est toujours plus grad que le ombre de sommets disticts v ij : j=1 card { {v ij, v i(j+1) }, i [1, r], j [1, k] } card {v ij, i [1, r], j [1, k]}. (5) Notos m le cardial à droite das l iégalité (5), et supposos das u premier temps l iégalité stricte. Alors, la variable aléatoire r i=1 X((v i1,..., v ik )) est ue variable de Beroulli d espérace au plus égale à (p ) m+1 = ( λ m+1, ( ) et d autre part, il y a ) m m choix possibles pour u esemble de sommets {v ij } de taille m. O e déduit que das l égalité [ r ] E[(N(H, G )) r ] = E X((v i1,..., v ik )) (6) V 1 V =V r V i =((v i1,v i,...,v ik )) les termes correspodats à des esembles de sommets V 1, V,..., V r avec l iégalité (5) strictemet vérifiée et card (V 1 V V r ) = m doet ue cotributio d ordre iférieur à ( (λ ) ) m+1 ( ) 1 O m = O. 5 i=1

Aisi, pour calculer l asymptotique de (6), il suffit de regarder les termes tels que (5) soit ue égalité. Cette égalité implique pour u esemble de cycles V 1,..., V r que si i i, alors les cycles V i et V i sot disjoits, ou sot idetiques. Comme la somme porte sur les cycles différets, o coclut que ( ) kr ( ) E[(N(H, G )) r ] (p ) kr = kr λ λ k r. (k) r k V 1,...,V r cycles disjoits V i =((v i1,v i,...,v ik )) Comme l uique distributio discrète dot les momets factoriels E[X r ] sot les puissaces µ r est la distributio de Poisso X = P(µ), o coclut : Théorème 3. Si H est u cycle de logueur k, et si G = G(, λ ), alors ( ) λ N(H, G ) loi k P. k Questios Pour la rédactio des programmes, o pourra soit écrire le code e u lagage de programmatio ( importe lequel), soit doer ue descriptio détaillée de l algorithme (pseudo-code). Les questios difficiles sot sigalées d ue étoile. O regarde das u premier temps des graphes d Erdös-Réyi arbitraires G(, p ), avec u paramètre p = p qui peut varier avec. 1.1 Écrire u algorithme RadomGraph qui costruit u graphe aléatoire d Erdös-Réyi de paramètres et p arbitraires. Le résultat sera ue liste aléatoire de paires (i < j), les sommets de G(, p). 1. À partir de RadomGraph, écrire u programme DrawGraph qui dessie le graphe aléatoire, et u autre programme Compoets qui revoie la liste des tailles des composates coexes du graphe aléatoire G(, p). Dessier u graphe G(50, 1/5). Y-a-t il ue composate coexe géate? 1.3 O admet que le paramètre p 1, tel que pour p > p 1 il y ait avec très grade probabilité ue composate coexe géate, est de la forme p 1 = κ 1. À l aide des programmes précédemmet écrits, cojecturer la valeur de κ 1 (o predra suffisammet grad, etre 100 et 500). 1.4 (*) O ote I = I(G ) le ombre de sommets isolés de G(, p), c est-à-dire, I = 1 deg(i)=0. O ote p = λ. Motrer que si 1 λ, alors ( )) (λ ) E[I ] = e (1 λ + O ; var(i ) E[I ] + λ (E[I ]). λ i=1 6

E utilisat l iégalité de Bieaymé-Chebyshev, e déduire que si λ log, alors G(, λ ) a avec très grade probabilité au mois u sommet isolé, doc e particulier est pas coexe. Aisi, p log. 1.5 O admet que le paramètre p, tel que pour p > p le graphe G(, p) soit avec log très grade probabilité coexe, est de la forme p = κ (d après la questio précédete, κ 1). Écrire u programme qui permette de cojecturer la valeur de la costate κ. Das les questios suivates, p est fixé etre 0 et 1 et e déped pas de (approximatio gaussiee)..1 Démotrer les formules (1), () et (3).. (*) Motrer plus gééralemet que si H est u graphe à k sommets et h arêtes, alors E[I(H, G )] = k p h ; var(i(h, G )) = h k p h 1 (1 p) + O( k 3 ). O pourra itroduire X(H; i 1,..., i k ), qui vaut 1 si l ijectio j [1, k] i j [1, ] est u plogemet de H das G, et 0 sio ; et écrire I(H, G ) comme somme de ces variables..3 Écrire u algorithme NumberTriagles qui compte le ombre de triagles das u graphe aléatoire G(, p). Vérifier par l expériece la loi limite (4). O pourra par exemple dessier u histogramme évaluat la distributio de N(H 3, G ) avec grad, et costruire des estimateurs de E[N(H 3, G )] et de var(n(h 3, G )). Fialemet, o suppose que p = λ avec λ > 0 fixé et qui e déped pas de (approximatio poissoiee). 3.1 Rappeler pourquoi o a la covergece e loi B(, λ ) loi P(λ). 3. Démotrer complétemet la Propositio. Doer des exemples de graphes H avec excès plus grad que 1. 3.3 Décrire u algorithme qui permette de costruire tous les graphes coexes avec k arêtes et qui ot excès 1 ou 0. 3.4 Si X B(, p), calculer les momets factoriels E[X r ] pour r 1. E déduire les momets factoriels d ue distributio de Poisso X P(µ). 3.5 Utiliser l algorithme NumberTriagles pour vérifier par l expériece la loi limite doée par le Théorème 3, das le cas H = H 3 (o dessiera de ouveau u histogramme de N(H 3, G ), et o costruira u estimateur du paramètre de la loi limite). 7