I ESPACES METRIQUES. d : E E R +

I ESPACES METRIQUES 1. Espaces métriques 1.1 Définitions Soit E un ensemble non vide. On appelle distance sur E toute application vérifiant les propriétés suivantes : d : E E R + a) x, y E, d(x, y) = 0 x = y ; b) x, y E, d(x, y) = d(y, x) ; c) x, y, z E, d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire). On appelle espace métrique tout ensemble non vide E muni d une distance d et on le note (E, d). 1.2 Exemples a) Notons K = R ou C. L application d : K K R + définie par d(x, y) = x y est une distance sur K, appelée distance usuelle. b) L application d : ]0, + [ ]0, + [ R + définie par d(x, y) = ln(x/y) est une distance sur ]0, + [. c) Soit E l ensemble des fonctions continues sur un segment [a, b] de R à valeurs réelles. Alors l application d : E E R + définie par d(f, g) = sup x [a,b] f(x) g(x) est une distance sur E. d) Soit E un ensemble non vide ; on définit l application d : E E R + par d(x, y) = 1 si x y et d(x, x) = 0 pour tout x E. Alors d est une distance sur E appelée distance discrète. cf. exercice. 1.3 Distances sur K p (K = R ou C) Soit p un entier 1 ; on pose pour tous x = (x 1,, x p ) et y = (y 1,, y p ) dans K p, ( p p ) 1 d 1 (x, y) = x i y i, d 2 (x, y) = x i y i 2 2, d (x, y) = max x i y i. 1 i p alors d 1, d 2 et d sont des distances sur K p ; d 2 est appelée distance euclidienne classique sur K p. Il est immédiat de vérifier que d 1 et d sont des distances sur K p. Pour d 2, le seul point délicat est de prouver l inégalité triangulaire ; pour ce faire, on utilise le résultat suivant : 1

Lemme a) (inégalité de Cauchy-Schwarz) Soient a 1,, a p, b 1,, b p des réels, alors on a ( p p a i b i a 2 i ( ) 1 2 p b 2 2 i. b) (inégalité de Minkowski) Soient a 1,, a p, b 1,, b p des réels, alors on a ) 1 ( p ) 1 (a i + b i ) 2 2 ( p a 2 i ) 1 ( 2 p ) 1 + b 2 2 i. L inégalité de Cauchy-Schwarz a été vue dans le cours d algèbre bilinéaire ; l inégalité de Minkowski s en déduit comme suit : or on a d après Cauchy-Schwarz, donc p p p p (a i + b i ) 2 = a 2 i + b 2 i + 2 a i b i ( p p p a i b i a i b i a 2 i ( p p p (a i + b i ) 2 a 2 i + b 2 p i + 2 a 2 i ) 1 ( 2 p b 2 i ) 1 ( 2 p b 2 i ) 1 ) 1 2 Ñ ( 2 p = a 2 i d où l inégalité de Minkowski par passage à la racine carrée. On en déduit aussitôt l inégalité triangulaire : pour tous x, y, z K p, ( 2 p ) 1 é 2 + b 2 2 i ( p ) 1 ( x i z i 2 2 p ) 1 ( ( x i y i + y i z i ) 2 2 p ) 1 ( x i y i 2 2 p ) 1 + y i z i 2 2 c est-à-dire d 2 (x, z) d 2 (x, y) + d 2 (y, z). ) 1 2 Topologie d un espace métrique 2.1 Définition On appelle espace topologique tout ensemble E non vide muni d une famille de sousensembles, appelés ouverts de E, vérifiant les conditions suivantes : a) et E sont des ouverts de E ; b) toute réunion d ouverts de E est un ouvert de E ; c) toute intersection finie d ouverts de E est un ouvert de E. 2

2.2 Exemples a) Soit E un ensemble non vide ; alors on peut définir une topologie sur E, dite topologie grossière, en prenant pour famille d ouverts de E la famille composée de et E. b) Soit E un ensemble non vide ; alors on peut définir une topologie sur E, dite topologie discrète, en prenant pour famille d ouverts de E la famille de tous les sous-ensembles de E. On va maintenant montrer que tout espace métrique est un espace topologique en définissant une famille d ouverts : 2.3 Définitions Soit (E, d) un espace métrique et soient a E et r un réel > 0. a) On appelle boule ouverte de centre a et de rayon r le sous-ensemble de E, noté B(a, r), défini par B(a, r) = {x E / d(a, x) < r}. b) On appelle boule fermée de centre a et de rayon r le sous-ensemble de E, noté B(a, r), défini par B(a, r) = {x E / d(a, x) r}. c) On dit qu un sous-ensemble U de E est un ouvert de E s il est vide ou si pour tout a U, il existe une boule ouverte de centre a contenue dans U. 2.4 Exemples a) Toute boule ouverte d un espace métrique E est un ouvert de E. b) Tout intervalle ouvert I de R est un ouvert de R. c) Dans l espace métrique (R 2, d 2 ), le demi-plan A = {(x, y) R 2 / y > 0} est un ouvert de R 2. a) Soit (E, d) un espace métrique et considérons une boule ouverte B(a, r) de E : soit x 0 B(a, r), alors d(x 0, a) < r donc il existe ε > 0 tel que d(x 0, a) < r ε < r alors B(x 0, ε) B(a, r), en effet : Pour tout x B(x 0, ε), d(x, x 0 ) < ε donc d(x, a) d(x, x 0 ) + d(x 0, a) < ε + r ε = r, d où x B(a, r) et ainsi B(a, r) est un ouvert de E. b) prenons, par exemple, I =]a, b[ où a et b sont des réels tels que a < b, alors pour tout x ]a, b[ il existe ε > 0 tel que a < x ε < x < x + ε < b donc la boule ouverte B(x, ε) =]x ε, x + ε[ est contenue dans ]a, b[ (démonstration analogue pour ], a[ et ]a, + [). c) Soit (x 0, y 0 ) A, alors y 0 > 0 donc il existe ε > 0 tel que y 0 > y 0 ε > 0, alors B((x 0, y 0 ), ε) A, en effet : pour tout (x, y) B((x 0, y 0 ), ε) on a y y 0 Ä (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2ä 1 2 < ε donc 0 < y 0 ε < y d où (x, y) A et ainsi A est un ouvert de E. 3

2.5 Théorème Tout espace métrique (E, d) est un espace topologique pour la famille d ouverts définie en 2.3. Il est clair que E et sont des ouverts de E au sens de la définition 2.3. Considérons une famille (U i ) i I d ouverts de E et montrons que i I U i est un ouvert de E : soit x i I U i, alors il existe i 0 I tel que x U i0, or U i0 est un ouvert de E donc il existe r > 0 tel que B(x, r) U i0, et par conséquent B(x, r) U i, donc U i est un i I i I ouvert de E. Considérons maintenant une famille finie (U i ) i I d ouverts de E et montrons que i I U i est un ouvert de E : soit x i I U i, alors pour tout i I, x U i, or U i est un ouvert de E donc il existe r i > 0 tel que B(x, r i ) U i. Posons alors r = min r i : comme I est fini, i I r est l un des r i donc r > 0 et ainsi B(x, r) U i, donc U i est un ouvert de E. i I i I Remarque Une intersection quelconque d ouverts n est pas nécessairement un ouvert : en effet ε>0] ε, ε[= {0} qui n est pas un ouvert de R puisqu il n existe aucune boule ouverte de centre 0 contenue dans {0}. 2.6 Définition Soit E un espace métrique ; on dit qu une partie F de E est un fermé de E si et seulement si le complémentaire de F dans E est un ouvert de E. 2.7 Proposition a) et E sont des fermés de E ; b) toute réunion finie de fermés de E est un fermé de E ; c) toute intersection de fermés de E est un fermé de E. a) E = E et E E = sont des ouverts de E, donc et E sont des fermés de E. b) Considérons une famille finie (F i ) i I de fermés de E, alors E F i = F i ) qui i I i I(E est un ouvert de E comme intersection finie d ouverts, donc F i est un fermé de E. i I 4

c) Considérons une famille (F i ) i I de fermés de E, alors E F i = F i ) qui est i I i I(E un ouvert de E comme réunion d ouverts, donc F i est un fermé de E. i I 2.8 Exemples a) Toute boule fermée d un espace métrique E est un fermé de E. b) Tout segment [a, b] de R est un fermé de R. De même les intervalles de la forme ], a] et [a, + [ sont des fermés de R. c) Dans l espace métrique (R 2, d 2 ), le demi-plan F = {(x, y) R 2 / y 0} est un fermé de R 2. d) Tout singleton {a} d un espace métrique E est un fermé de E. a) Considérons une boule fermée B(a, r) de E, alors E B(a, r) = {x E / d(x, a) > r} ; montrons que E B(a, r) est un ouvert de E : soit x 0 E B(a, r), on a d(x 0, a) > r donc il existe ε > 0 tel que d(x 0, a) > r + ε > r ; or on a pour tout x B(x 0, ε), d après l inégalité triangulaire d(x, a) d(x 0, a) d(x, x 0 ) > r + ε ε = r donc x E B(a, r), et ainsi B(x 0, ε) E B(a, r) : E B(a, r) est donc un ouvert de E d où B(a, r) est un fermé de E. b) Considérons un segment [a, b] de R, alors R [a, b] =], a[ ]b, + [ est un ouvert de R d après 2.4 et 2.5. On montre de façon analogue que ], a] et [a, + [ sont des fermés de R. c) R 2 F = {(x, y) R 2 / y > 0} est un ouvert d après 2.4 donc F est un fermé de R 2. d) Soit x 0 E {a}, i.e x 0 a, alors d(x 0, a) > 0 donc il existe ε > 0 tel que d(x 0, a) > ε > 0 ; on en déduit que B(x 0, ε) E {a}, en effet : pour tout x B(x 0, ε), on a d(x, a) d(x 0, a) d(x 0, x) > ε ε = 0 donc x a i.e x E {a}. Donc E {a} est un ouvert de E et ainsi {a} est un fermé de E. Remarque Une réunion quelconque de fermés n est pas nécessairement un fermé : en effet ε>0[ε, + [=]0, + [ qui n est pas un fermé de R ; en effet R ]0, + [=], 0] qui n est pas un ouvert de R puisqu il n existe aucune boule ouverte de centre 0 contenue dans ], 0]. 5

2.9 Définitions Soit (E, d) un espace métrique. a) Soit V un sous-ensemble de E et x E : on dit que V est un voisinage de x s il contient une boule ouverte de centre x. b) Soit A un sous-ensemble de E : on dit qu un élément a de E est un point intérieur à A si A est un voisinage de a ou, ce qui est équivalent, s il existe r > 0 tel que B(a, r) A. On appelle intérieur de A et on note Å l ensemble des points intérieurs à A. 2.10 Proposition Soient (E, d) un espace métrique et A et B des sous-ensembles de E. Alors a) A est un ouvert de E si et seulement si A est voisinage de tous ses points ; b) Å est un ouvert de E et Å A ; c) A est un ouvert de E si et seulement si A = Å ; d) Å est la réunion de tous les ouverts de E contenus dans A : ainsi Å est le plus grand ouvert de E contenu dans A ; e) si A B alors Å B ; f) Å B = Å B ; g) Å B Å B mais l inclusion est stricte en général. cf. exercice. 2.11 Exemples a) Soit r > 0 et considérons A = {z C / z r}, alors Å = {z C / z > r}, en effet : notons B = {z C / z > r}, alors B est clairement ouvert et B A, donc B = B Å. Considérons maintenant z 0 Å et supposons que z 0 B, alors z 0 = r, donc il existe θ R tel que z 0 = re iθ. De plus z 0 Å donc il existe ε > 0 tel que B(z 0, ε) A et on peut supposer que ε < 2r, quitte à diminuer ε, posons alors z 1 = z 0 ε 2 eiθ : on a donc z 1 B(z 0, ε) puisque z 1 z 0 = ε Å 2, d où z 1 A, mais z 1 = r ε ã e iθ donc 2 z 1 = r ε 2 < r d où z 1 A, ce qui est absurde. On en déduit donc que, si z 0 Å, alors z 0 B, d où Å = B. b) On considère R 2 muni de la distance euclidienne d 2 : on va montrer que toute droite D de R 2 est d intérieur vide. Considérons donc la droite D d équation ax + by = c où a, b, c R et (a, b) (0, 0) : si D =, alors D contient Ç un point (x0, y 0 ) et il existe donc ε > 0 tel que B((x 0, y 0 ), ε) D. Alors le point x 0 + ε a 2 a2 + b, y 2 0 + ε å b 2 a2 + b 2 appartient à B((x 0, y 0 ), ε) mais n appartient pas à D car Ç a x 0 + ε 2 Ç a å+b y a2 + b 2 0 + ε å b = ax 2 a2 + b 2 0 +by 0 + ε a2 + b 2 2 = c+ ε a2 + b 2 2 c. 6

Donc D =. c) Q est d intérieur vide dans R, en effet si x 0 Q, tout intervalle ouvert centré en x 0 contient au moins un irrationnel. d) L intérieur d une boule fermée B(a, r) n est pas nécessairement la boule ouverte B(a, r) : prenons la distance discrète définie en 1.2 d) sur un ensemble E contenant au moins deux éléments distincts, alors pour tout a E, B(a, 1) = E donc est égale à son intérieur alors que B(a, 1) = {a}. 2.12 Définitions Soit (E, d) un espace métrique et A un sous-ensemble de E : on dit qu un élément x de E est un point adhérent à A si pour tout voisinage V de x, V A ou, ce qui est équivalent, si pour tout r > 0, B(x, r) A. On appelle adhérence de A et on note A l ensemble des points adhérents à A. 2.13 Proposition Soient (E, d) un espace métrique et A et B des sous-ensembles de E. Alors a) A est un fermé de E et A A ; b) A est un fermé de E si et seulement si A = A ; c) A est l intersection de tous les fermés de E contenant A : ainsi A est le plus petit fermé de E contenant A ; d) si A B alors A B ; e) A B = A B ; f)a B A B mais l inclusion est stricte en général. cf. exercice. 2.14 Exemples a) Soit r > 0 et considérons A = {z C / z > r}, alors A = {z C / z r}, en effet : notons B = {z C / z r}, alors B est clairement fermé et A B, donc A B = B ; Considérons maintenant z 0 B et supposons que z 0 A, alors il existe ε > 0 tel que B(z 0, ε) A =, i.e B(z 0, ε) E A = {z C / z r}, donc, en particulier, z 0 E A, d où z 0 = r, il existe donc θ R tel que z 0 = re iθ. Posons alors z 1 = z 0 + ε 2 eiθ : on a donc z 1 B(z 0, ε) puisque z 1 z 0 = ε 2, d où z 1 E A et ainsi Å z 1 r, mais z 1 = r + ε ã e iθ donc z 1 = r + ε > r, ce qui est absurde. On en déduit 2 2 donc que, si z 0 B, alors z 0 A, d où A = B. b) L adhérence d une boule ouverte B(a, r) n est pas nécessairement la boule fermée B(a, r) : prenons la distance discrète définie en 1.2 sur un ensemble E contenant au moins deux éléments distincts, alors B(a, 1) = {a} = B(a, 1) alors que B(a, 1) = E. 7

2.15 Proposition Soient (E, d) un espace métrique et A un sous-ensemble de E. alors on a : a) E A = E Å ; b) E A = E A. a) On a x E A r > 0, B(x, r) (E A) r > 0, B(x, r) A x E Å. Donc E A = E Å. a) On a x Donc E A r > 0, B(x, r) (E A) r > 0, B(x, r) A = x E A. E A = E A. 2.16 Définition et proposition Soit (E, d) un espace métrique et A un sous-ensemble de E. Alors les trois conditions suivantes sont équivalentes : a) A = E ; b) pour tout ouvert U non vide de E, U A ; c) E A est d intérieur vide. Si l une de ces trois conditions est vérifiée, on dit que A est dense dans E. l équivalence a) b) est une conséquence immédiate des définitions. L équivalence a) c) provient de 2.15. 2.17 Exemple Q et R Q sont denses dans R ; en effet tout intervalle ouvert de R contient au moins un rationnel et un irrationnel. 2.18 Définition et proposition Soit (E, d) un espace métrique et A un sous-ensemble de E. On appelle frontière de A, et on note F r(a), l ensemble A Å. L ensemble A et son complémentaire E A ont même frontière. D après 2.15, E Å = E A et E A = E A, donc F r(a) = A Å = A (E Å) = A E A = E A (E A) = E A E A = F r(e A). 8

2.19 Exemple a) F r(q) = R puisque Q = et Q = R. b) Si a < b dans R, F r(]a, b]) = F r([a, b]) = F r([a, b[) = F r(]a, b[) = {a, b} puisque les quatre intervalles considérés ont pour adhérence [a, b] et pour intérieur ]a, b[. c) Si a R, F r([a, + [) = F r(]a, + [) = {a}. d) La frontière d une boule ouverte B(a, r) d un espace métrique (E, d) n est pas nécessairement égale au disque {x E / d(a, x) = r} : avec la distance discrète, on a F r(b(a, 1)) = {a} {a} = alors que {x E / d(a, x) = 1} = E {a}. 3 Suites dans un espace métrique 3.1 Définition Soit (x n ) n N une suite d éléments d un espace métrique (E, d) ; on dit que la suite (x n ) n N converge ou est convergente s il existe l E tel que ε > 0, N N, n N, n N = d(x n, l) < ε. Dans ce cas, on dit que la suite (x n ) n N converge vers l. On dit que la suite (x n ) n N diverge ou est divergente si elle n est pas convergente. 3.2 Proposition Soit (E, d) un espace métrique. a) Si une suite (x n ) n N d éléments de E converge vers l E, alors l est unique : on dit alors que l est la limite de la suite (x n ) n N ; b) on peut énoncer la définition de la convergence d une suite avec le langage des voisinages : une suite (x n ) n N d éléments de E converge vers l E si pour tout voisinage V de l, N N, n N, n N = x n V c) une suite (x n ) n N d éléments de E converge vers l E si et seulement si la suite de réels positifs (d(x n, l)) n N converge vers 0. cf.exercice. 3.3 Définitions Soient (E, d) un espace métrique, A et B des sous-ensembles non vides de E et x un élément de E ; a) on appelle distance de x à A et on note d(x, A) le réel positif défini par d(x, A) = inf d(x, a); a A 9

b) on appelle distance de A à B et on note d(a, B) le réel positif défini par d(a, B) = inf d(a, b); a A,b B c) on appelle diamètre de A et on note δ(a) l élément de R + {+ } défini par On dit que A est borné si δ(a) est fini. 3.4 Proposition δ(a) = sup d(x, y). x,y A Soient (E, d) un espace métrique, A un sous-ensemble non vide de E et x un élément de E. Alors les trois conditions suivantes sont équivalentes : a) x A ; b) d(x, A) = 0 ; c) il existe une suite (a n ) n N d éléments de A qui converge vers x. a) b) : si x A, alors pour tout entier n 1, la boule ouverte B(x, 1/n) rencontre A, i.e il existe a A tel que d(x, a) < 1/n, donc d(x, A) < 1/n pour tout n 1, on en déduit d(x, A) = 0 quand n +. b) c) : si d(x, A) = 0 alors, pour tout entier n 1, 1/n n est pas un minorant de {d(x, a) / a A} donc il existe a n A tel que d(x, a n ) 1/n ; on en déduit que la suite (d(a n, x)) n N converge vers 0, i. e que la suite (a n ) n N d éléments de A converge vers x. c) a) : soit (a n ) n N une suite d éléments de A qui converge vers x ; alors pour tout ε > 0, il existe N N tel que d(a n, x) < ε dès que n N, donc B(x, ε) A contient {a n / n N}, en particulier B(x, ε) A, on en déduit que x A. 3.5 Définition Soit (x n ) n N une suite d éléments d un espace métrique (E, d) ; on appelle sous-suite (ou suite extraite) de la suite (x n ) n N toute suite de la forme (x ϕ(n) ) n N où ϕ est une application strictement croissante de N dans N. 3.6 Proposition Soit (x n ) n N une suite d éléments d un espace métrique (E, d). Alors on a a) si (x n ) n N converge vers l E, toute sous-suite de (x n ) n N converge vers l ; b) si (x n ) n N possède deux sous-suites convergeant vers des limites distinctes, alors (x n ) n N diverge ; c) si les deux sous-suites (x 2n ) n N et (x 2n+1 ) n N convergent vers la même limite l alors (x n ) n N converge vers l. 10

a) Soit (x ϕ (n)) n N une sous-suite de (x n )) n N : l application ϕ étant strictement croissante de N dans N, on montre facilement par récurrence que pour tout n N, ϕ(n) n. Ecrivons que (x n ) n N converge vers l E : ε > 0, N N, n N, n N = d(x n, l) < ε or si n N, on a ϕ(n) n N donc d(x ϕ(n), l) < ε, on en déduit donc que (x ϕ(n) ) n N converge vers l. b) n est autre que la contraposée de a). c) Considérons ε > 0 ; comme les deux sous-suites (x 2n ) n N et (x 2n+1 ) n N convergent vers l, il existe N 1 et N 2 N tels que n N 1 = d(x 2n, l) < ε et n N 2 = d(x 2n+1, l) < ε. Soit k N : si k est pair, alors k 2N 1 = d(x k, l) < ε et si k est impair, alors k 2N 2 + 1 = d(x k, l) < ε, donc si on pose N = max (2N 1, 2N 2 + 1), on a donc (x n ) n N converge vers l. k N = d(x k, l) < ε 3.7 Définition Soit (x n ) n N une suite d éléments d un espace métrique (E, d) et soit l E. On dit que l est une valeur d adhérence de la suite (x n ) n N s il existe une sous-suite de (x n ) n N qui converge vers l. 3.8 Exemple Les valeurs d adhérence de la suite x n = ( 1) n sont 1 et 1 ; en effet, la sous-suite x 2n = 1 converge vers 1 et la sous-suite x 2n+1 = 1 converge vers 1 donc 1 et 1 sont des valeurs d adhérence de la suite (x n ) n N. Réciproquement, si l est une valeur d adhérence de (x n ) n N, il existe une sous-suite (x ϕ(n) ) n N qui converge vers l : alors pour tout ε ]0, 1[, il existe N ε N tel que n N ε = l ε < x ϕ(n) < l + ε. Si ϕ(n ε ) est pair, alors x ϕ(nε) = 1 donc l ε < 1 < l + ε d où 1 ε < l < 1 + ε ; on en déduit alors que pour tout n N ε, ϕ(n) est pair, sinon on aurait l ε < 1 < l + ε d où 1 ε < l < 1 + ε, ce qui est impossible puisque ] 1 ε, 1 + ε[ ]1 ε, 1 + ε[=. Donc la suite (x ϕ(n) ) n Nε est la suite constante égale à 1, d où l = 1. De même, si ϕ(n ε ) est impair, on prouve que l = 1. 4 Distances équivalentes 4.1 Définition Soient d 1 et d 2 deux distances sur un ensemble non vide E ; on dit que d 1 et d 2 sont topologiquement équivalentes si elles définissent la même topologie sur E, c est-à-dire si la famille des ouverts de E pour d 1 coïncide avec la famille des ouverts de E pour d 2. 11

4.2 Proposition a) Soient d 1 et d 2 deux distances sur un ensemble non vide E ; si on note B i (x, r) la boule ouverte de centre x E et de rayon r > 0 pour la distance d i (1 i 2), alors les distances d 1 et d 2 sont topologiquement équivalentes si et seulement si x E, r > 0, r 1 > 0, r 2 > 0 tels que B 1 (x, r 1 ) B 2 (x, r) et B 2 (x, r 2 ) B 1 (x, r). b) Soient d 1 et d 2 deux distances sur un ensemble non vide E topologiquement équivalentes ; alors si une suite (x n ) n N d éléments de E converge vers une limite x pour la distance d 1, (x n ) n N converge également vers x pour la distance d 2 et réciproquement. a) Supposons que les distances d 1 et d 2 sont topologiquement équivalentes. Considérons x E et r > 0, alors la boule ouverte B 2 (x, r) est ouverte pour la distance d 2 donc aussi pour la distance d 1 par hypothèse, donc il existe r 1 > 0 tel que B 1 (x, r 1 ) B 2 (x, r). De même, il existe r 2 > 0 tel que B 2 (x, r 2 ) B 1 (x, r). Réciproquement, supposons que x E, r > 0, r 1 > 0, r 2 > 0 tels que B 1 (x, r 1 ) B 2 (x, r) et B 2 (x, r 2 ) B 1 (x, r). Soit U un ouvert de E pour d 2 ; alors, pour tout x U, il existe r > 0 tel que B 2 (x, r) U, or il existe r 1 > 0 tel que B 1 (x, r 1 ) B 2 (x, r) donc B 1 (x, r 1 ) U et ainsi U est un ouvert pour d 1. De même, on montre que tout ouvert pour d 1 est un ouvert pour d 2. Donc les distances d 1 et d 2 sont topologiquement équivalentes. b) découle immédiatement de a). 4.3 Corollaire et définition Soient d 1 et d 2 deux distances sur un ensemble non vide E. On dit que d 1 et d 2 sont métriquement équivalentes si il existe deux réels α et β strictement positifs tels que x, y E, α d 1 (x, y) d 2 (x, y) β d 1 (x, y). Des distances d 1 et d 2 métriquement équivalentes sont topologiquement équivalentes. Avec les notations de 4.2, on vérifie facilement que pour tout x E et tout r > 0, on a B 1 (x, r/β) B 2 (x, r) et B 2 (x, αr) B 1 (x, r), donc d 1 et d 2 sont topologiquement équivalentes d après 4.2. 12

Remarque La réciproque de la proposition 4.3 est fausse : on peut trouver des distances d 1 et d 2 topologiquement équivalentes qui ne sont pas métriquement équivalentes (cf.exercice). 4.4 Proposition Soit p un entier 1 ; alors les distances d 1, d 2 et d définies sur K p vérifient x, y K p, d (x, y) d 1 (x, y) p d 2 (x, y) p d (x, y). Ainsi les distances d 1, d 2 et d sont métriquement donc topologiquement équivalentes. Seule l inégalité d 1 (x, y) p d 2 (x, y) n est pas évidente : d après l inégalité de Cauchy- Schwarz, on a ( p p ) 1 ( ) 1 d 1 (x, y) = x i y i 1 2 2 p x i y i 2 2 = p d2 (x, y). 5 Sous-espaces métriques - produit d espaces métriques 5.1 Proposition et définition Soient (E, d) un espace métrique et A un sous-ensemble non vide de E ; alors on peut définir une distance d A sur A, appelée distance induite sur A par d, en posant x, y A, d A (x, y) = d(x, y.) Ainsi (A, d A ) est un espace métrique, appelé sous-espace métrique de (E, d) et la topologie définie sur A par d A est appelée topologie induite par celle de (E, d) sur A. 5.2 Proposition Soient (E, d) un espace métrique et A un sous-ensemble non vide de E muni de la distance d A induite par d, alors a) Une partie U de A est un ouvert de (A, d A ) si et seulement s il existe un ouvert O de E tel que U = A O. b) Une partie F de A est un fermé de (A, d A ) si et seulement s il existe un fermé G de E tel que F = A G. a) Remarquons d abord que pour tout a A et tout r > 0, la boule ouverte B A (a, r) de centre a et de rayon r pour la distance induite d A n est autre que l intersection avec A de la boule ouverte B A (a, r) : B A (a, r) = A B(a, r). Soit U une partie de A telle qu il existe O un ouvert de E vérifiant U = A O ; alors pour tout a U, a O ouvert donc il existe r > 0 tel que la boule ouverte B(a, r) de E soit contenue dans O. On en déduit que B A (a, r) = A B(a, r) A O = U, d où U est un ouvert de A. 13

Réciproquement, si U est un ouvert de A, alors, pour tout a U, il existe r a > 0 tel que B A (a, r a ) U ; or U = a U où O désigne a U B A (a, r a ) = a U (A B(a, r a )) = A B(a, r a ) et est donc un ouvert de E. ( a U B(a, r a ) ) = A O b) Considérons une partie F de A, alors F est un fermé de A si et seulement si A F est un ouvert de A, i.e, si et seulement si il existe un ouvert O de E tel que A F = A O, or A F = A O F = A (E O) et O ouvert de E signifie que G = E O est un fermé de E, donc F est un fermé de A si et seulement s il existe un fermé G de E tel que F = A G. Remarques Soient (E, d) un espace métrique et A un sous-ensemble non vide de E. a) Si A est un ouvert de E alors tout ouvert de (A, d A ) est un ouvert de E, mais la réciproque est fausse : [0, 1[ est un ouvert de [0, 2] ([0, 1[= [0, 2] ], 1[) mais n est pas un ouvert de R. b) Si A un fermé de E alors tout fermé de (A, d A ) est un fermé de E, mais la réciproque est fausse : ]0, 1] est un fermé de ]0, 2] (]0, 1] = [0, 1] ]0, 2]) mais n est pas un fermé de R. 5.3 Définition et proposition Soient (E, d) un espace métrique et A un sous-ensemble non vide de E. Pour toute partie B de A, on notera B A l intérieur de B dans (A, d A ) et B A l adhérence de B dans (A, d A ). On a a) B A = A B ; b) A B B A mais l inclusion est stricte en général : par exemple, en prenant E = R, A = [0, + [ et B = [0, 1[, on a B A = [0, 1[ alors que A B =]0, 1[. a) Soit x A ; si x B A, alors pour tout r > 0, B A (x, r) B, or B A (x, r) = B(x, r) A et A B = B puisque B A, donc B A (x, r) B = B(x, r) B et ainsi B(x, r) B pour tout r > 0, i.e x B. Réciproquement, si x B A, alors pour tout r > 0, B(x, r) B mais A B = B, donc B(x, r) B = B(x, r) A B = B A (x, r) B, ainsi B A (x, r) B pour tout r > 0, i.e x B A. b) A B est un ouvert de A contenu dans B, donc A B B A. 14

5.4 Définitions et proposition On considère p espaces métriques (E 1, d E1 ), (E 2, d E2 ),, (E p, d Ep ) et leur produit cartésien E = E 1 E 2 E p, alors on peut définir trois applications sur E E de la manière suivante : Pour tout x = (x 1,, x p ) E et tout y = (y 1,, y p ) E, on pose p d 1 (x, y) = d Ei (x i, y i ) ( p ) 1 d 2 (x, y) = (d Ei (x i, y i )) 2 2 d (x, y) = max 1 i p d E i (x i, y i ). alors d 1, d 2 et d sont des distances sur E et vérifient les inégalités suivantes : x, y E, d (x, y) d 1 (x, y) p d 2 (x, y) p d (x, y). Donc d 1, d 2 et d sont métriquement équivalentes : elles définissent donc la même topologie sur E. Il est immédiat de vérifier que d 1 et d sont des distances sur E. Pour d 2, le seul point délicat est de prouver l inégalité triangulaire : pour tous x, y, z E, on a ( p ) 1 ( (d Ei (x i, z i )) 2 2 p ) 1 ( (d Ei (x i, y i ) + d Ei (y i, z i )) 2 2 p ) 1 ( (d Ei (x i, y i )) 2 2 p ) 1 + (d Ei (y i, z i )) 2 2 en utilisant l inégalité triangulaire pour chaque distance d i puis l inégalité de Minkowski (cf. 1.3), d où d 2 (x, z) d 2 (x, y) + d 2 (y, z). Les inégalités entre les distances d 1, d 2 et d s obtiennent comme dans la preuve de 4.4. 5.5 Proposition Soient (E 1, d E1 ), (E 2, d E2 ),, (E p, d Ep ) des espaces métriques et E = E 1 E 2 E p leur produit cartésien que l on munit de l une des trois distances métriquement équivalentes d 1, d 2 et d. Pour tout 1 i p, on notera B i (x i, r) la boule ouverte de centre x i E i et de rayon r > 0 pour la distance d Ei. Alors, on a : a) un sous-ensemble U de E est un ouvert de E si et seulement si, pour tout x = (x 1,, x p ) U, il existe r > 0 tel que B 1 (x 1, r) B 2 (x 2, r) B p (x p, r) U; b) si U i est un ouvert de E i pour tout 1 i p, alors U 1 U 2 U p est un ouvert de E (mais les ouverts de E ne sont pas tous de cette forme) ; 15

c) si F i est un fermé de E i pour tout 1 i p, alors F 1 F 2 F p est un fermé de E (mais les fermés de E ne sont pas tous de cette forme) ; d) soit A i un sous-ensemble de E i pour tout 1 i p, alors on a : p p A i = A i et ṗ A i = p Å i ; e) soit (x n ) n N une suite d éléments de E : notons, pour tout n N, x n = (x 1 n, x 2 n,, x p n) où x i n E i pour tout 1 i p, alors la suite (x n ) n N converge dans E si et seulement si, pour tout 1 i p, la suite (x i n) n N converge dans E i et dans ce cas, lim x n = ( lim n + n + x1 n, lim n + x2 n,, lim n + xp n). On va faire la démonstration pour la distance d : on vérifie facilement que, pour tout x = (x 1,, x p ) E et tout r > 0, la boule ouverte B(x, r) de centre x et de rayon r pour la distance d n est autre que le produit cartésien B 1 (x 1, r) B 2 (x 2, r) B p (x p, r). a) U est un ouvert de E si et seulement si pour tout x U, il existe r > 0 tel que B(x, r) U, autrement dit B 1 (x 1, r) B 2 (x 2, r) B p (x p, r) U. b) si U i est un ouvert de E i pour tout 1 i p, considérons x U 1 U 2 U p ; comme pour tout 1 i p, U i est un ouvert de E i, il existe r i > 0 tel que B i (x i, r i ) U i, alors en posant r = min(r 1,, r p ), on obtient B(x, r) = B 1 (x 1, r) B 2 (x 2, r) B p (x p, r) U 1 U 2 U p et ainsi U 1 U 2 U p est un ouvert de E. c) si F i est un fermé de E i pour tout 1 i p, on a E (F 1 F 2 F p ) = (E 1 E i 1 (E i F i ) E p ) 1 i p or pour tout 1 k p, E k est un ouvert de E k et pour tout 1 i p, E i F i est un ouvert de E i puisque F i est un fermé de E i, donc pour tout 1 i p, (E 1 E i 1 (E i F i ) E p ) est un ouvert de E d après b) donc la réunion de tous ces ouverts est un ouvert de E. On en déduit que F 1 F 2 F p est un fermé de E. d) Soit x p A i, alors pour tout r > 0, on a B(x, r) B(x, r) = B 1 (x 1, r) B 2 (x 2, r) B p (x p, r) donc, on a p autrement dit x A i et réciproquement. r > 0, 1 i p, B i (x i, r) A i 16 p A i, or

De même si x p A i, alors il existe r > 0 tel que B(x, r) B(x, r) = B 1 (x 1, r) B 2 (x 2, r) B p (x p, r) donc, on a p A i, or p autrement dit x Å i et réciproquement. 1 i p, B i (x i, r) A i i.e x i Åi e) Soit l = (l 1,, l p ) E, alors on a pour tout n N d (x n, l) = max 1 i p d i(x i n, l i ) le résultat annoncé dans e) s en déduit aussitôt. 6 Applications continues 6.1 Définition Soient (E 1, d E1 ) et (E 2, d E2 ) deux espaces métriques et f : E 1 E 2 une application. On dit que f est continue en un point x 0 de E 1 si ε > 0, α > 0, x E 1, d E1 (x 0, x) < α = d E2 (f(x 0 ), f(x)) < ε. On dit que f est continue (sous-entendu sur E 1 ) si elle est continue en tout point de E 1. 6.2 Proposition Soient (E 1, d E1 ) et (E 2, d E2 ) deux espaces métriques et f : E 1 E 2 une application. Alors les trois conditions suivantes sont équivalentes : a) f est continue ; b) pour tout ouvert U de E 2, f 1 (U) est un ouvert de E 1 ; c) pour tout fermé F de E 2, f 1 (F ) est un fermé de E 1. a) = b) : soit U un ouvert de E 2 : rappelons que f 1 (U) = {x E 1 / f(x) U}. Soit x 0 f 1 (U), alors f(x 0 ) U ouvert donc il existe ε > 0 tel que B 2 (f(x 0 ), ε) U ; or f est continue par hypothèse donc il existe α > 0 tel que x E 1, d E1 (x 0, x) < α = d E2 (f(x 0 ), f(x)) < ε i.e d où x B 1 (x 0, α), f(x) B 2 (f(x 0 ), ε) U B 1 (x 0, α) f 1 (U). Donc f 1 (U) est un ouvert de E 1. 17

b) = c) : Soit F un fermé de E 2, alors E 2 F est un ouvert de E 2 donc, par hypothèse, f 1 (E 2 F ) est un ouvert de E 1 ; or f 1 (E 2 F ) = E 1 f 1 (F ), on en déduit aussitôt que f 1 (F ) est un fermé de E 1. c) = a) : Considérons x 0 E 1 et ε > 0 ; on a E 1 f 1 (B 2 (f(x 0 ), ε)) = f 1 (E 2 B 2 (f(x 0 ), ε)) or E 2 B 2 (f(x 0 ), ε) est fermé dans E 2 puisque B 2 (f(x 0 ), ε) est ouvert, donc f 1 (E 2 B 2 (f(x 0 ), ε)) est fermé dans E 1 par hypothèse, i.e E 1 f 1 (B 2 (f(x 0 ), ε)) est fermé : on en déduit que f 1 (B 2 (f(x 0 ), ε)) est ouvert dans E 1, donc il existe α > 0 tel que B 1 (x 0, α) f 1 (B 2 (f(x 0 ), ε)) i.e x E 1, d E1 (x 0, x) < α = d E2 (f(x 0 ), f(x)) < ε. et ainsi f est continue en tout point x 0 de E 1. 6.3 Exemples a) Soit (E, d) un espace métrique et f une application continue de E dans R. Alors pour tout a R, le sous-ensemble {x E / f(x) < a} de E est un ouvert de E puisqu il est égal à f 1 (], a[). De même, si a b dans R, le sous-ensemble {x E / a f(x) b} de E est un fermé de E puisqu il est égal à f 1 ([a, b]). b) Dans l espace métrique (R 2, d 2 ), le demi-plan F = {(x, y) R 2 / y 0} est un fermé de R 2, en effet F = f 1 (], 0]) où f désigne l application de R 2 dans R définie par f(x, y) = y qui est manifestement continue. c) Toute droite de R 2 est un fermé, en effet si D est la droite de R 2 d équation ax+by = c, alors D = f 1 ({c}) où f est l application de R 2 dans R définie par f(x, y) = ax + by qui est manifestement continue. Remarques a) L image directe d un ouvert par une application continue n est pas nécessairement un ouvert : si on considère l application constante de R dans R définie par f(x) = 1, alors f(r) = {1} qui n est pas ouvert dans R alors que R l est. b) L image directe d un fermé par une application continue n est pas nécessairement un fermé : l image du fermé R par l application Arctangente est ] π/2, π/2[ qui n est pas fermé dans R. 6.4 Proposition Soient (E 1, d E1 ) et (E 2, d E2 ) deux espaces métriques, f : E 1 E 2 une application et a E 1 ; alors f est continue en a si et seulement si pour toute suite (x n ) n N d éléments de E 1 convergeant vers a, la suite (f(x n )) n N converge vers f(a). 18

Si f est continue en a, alors ε > 0, α > 0, x E 1, d E1 (a, x) < α = d E2 f(a), f(x)) < ε alors, pour toute suite (x n ) n N d éléments de E 1 convergeant vers a, il existe N N tel que n N, n N = d E1 (x n, a) < α d où donc la suite (f(x n )) n N converge vers f(a). n N, n N = d E2 (f(x n ), f(a)) < ε Réciproquement, supposons que pour toute suite (x n ) n N d éléments de E 1 convergeant vers a, la suite (f(x n )) n N converge vers f(a) et raisonnons par l absurde : si f n est pas continue en a, alors ε > 0, α > 0, x α E 1, tel que d E1 (a, x α ) < α et d E2 (f(a), f(x)) ε en particulier, si on prend α = 1/n pour n entier 1, il existe x n E 1 tel que d E1 (a, x n ) < 1 n et d E 2 (f(a), f(x n )) ε autrement dit, on a construit une suite (x n ) n N d éléments de E 1 convergeant vers a et telle que (f(x n )) n N ne converge pas vers f(a), ce qui contredit l hypothèse. Donc f est continue en a. 6.5 Exemple Soit f l application de R dans R définie par f(x) = sin(1/x) si x 0, et f(0) = 1. En prenant la suite x n = 1/2nπ, on a f(x n ) = sin(2nπ) = 0 pour tout n 1 donc la suite (f(x n )) converge vers 0 f(0). Donc f n est pas continue en 0. 6.6 Définition Soient (E 1, d E1 ) et (E 2, d E2 ) deux espaces métriques, A un sous-ensemble de E 1 et f : A E 2 une application. On dit que f est continue en x 0 A si f est continue en x 0 en tant qu application du sous-espace métrique A muni de la distance induite par d 1 dans E 2, i.e si ε > 0, α > 0, x A, d E1 (x 0, x) < α = d E2 (f(x 0 ), f(x)) < ε. On dit que f est continue (sous-entendu sur A) si elle est continue en tout point de A. 6.7 Proposition Soient (E 1, d E1 ), (E 2, d E2 ) et (E 3, d E3 ) trois espaces métriques, A 1 un sous-ensemble de E 1 et A 2 un sous-ensemble de E 2. Soient f : A 1 E 2 et g : A 2 E 3 deux applications telles que f(a 1 ) A 2. 19

Si f est continue en x 0 A 1 et si g est continue en f(x 0 ), alors g f est continue en x 0. On en déduit que si f et g sont continues, alors g f est continue. Supposons que f est continue en x 0 A 1 et g est continue en f(x 0 ), alors pour tout ε > 0, on a et α > 0, y A 2, d E2 (f(x 0 ), y) < α = d E3 (g f(x 0 ), g(y)) < ε donc pour tout x A 1, on a β > 0, x A, d E1 (x 0, x) < β = d E2 (f(x 0 ), f(x)) < α et ainsi g f est continue en x 0. 6.8 Proposition d E1 (x 0, x) < β = d E3 (g f(x 0 ), g f(x)) < ε Soient (G, d), (E 1, d E1 ), (E 2, d E2 ),, (E p, d Ep ) des espaces métriques et E = E 1 E p le produit cartésien que l on munit de l une des trois distances équivalentes d 1, d 2 et d. Soit A un sous-ensemble de G et soit f = (f 1, f 2,, f p ) une application de A dans E ; alors f est continue en un point x 0 de G si et seulement si pour tout 1 i p, l application f i : A E i est continue en x 0. Supposons que f est continue en x 0, alors, pour tout ε > 0 on a or α > 0, x A, d(x 0, x) < α = d (f(x 0 ), f(x)) < ε d (f(x 0 ), f(x)) = max Ä d E1 (f 1 (x 0 ), f 1 (x)),, d Ep (f p (x 0 ), f p (x)) ä donc, pour tout 1 i p, on a donc f i est continue en x 0. x A, d(x 0, x) < α = d Ei (f i (x 0 ), f i (x)) < ε Réciproquement, supposons que pour tout 1 i p, f i est continue en x 0, alors, pour tout ε > 0 on a α i > 0, x A, d(x 0, x) < α i = d Ei (f i (x 0 ), f i (x)) < ε. Posons α = min(α 1,, α p ) : on a alors α > 0 et donc x A, d(x 0, x) < α = d Ei (f i (x 0 ), f i (x)) < ε x A, d(x 0, x) < α = d (f(x 0 ), f(x)) = max Ä d E1 (f 1 (x 0 ), f 1 (x)),, d Ep (f p (x 0 ), f p (x)) ä < ε donc f est continue en x 0. 20

6.9 Définition et proposition Soient (E 1, d E1 ) et (E 2, d E2 ) deux espaces métriques, A un sous-ensemble de E 1 et f : A E 2 une application. On dit que f est uniformément continue si ε > 0, α > 0, x, y A, d E1 (x, y) < α = d E2 (f(x), f(y)) < ε. Toute application uniformément continue est continue. Remarque Une application continue n est pas nécessairement uniformément continue : l application f : R R définie par f(x) = x 2 n est pas uniformément continue. (cf.exercice) 6.10 Définition et proposition Soient (E 1, d E1 ) et (E 2, d E2 ) deux espaces métriques, A un sous-ensemble de E 1 et f : A E 2 une application. On dit que f est k-lipschitzienne (où k est un réel strictement positif) si x, y A, d E2 (f(x), f(y)) k d E1 (x, y). Toute application lipschitzienne est uniformément continue. immédiate. Exemple Soit (E, d) un espace métrique ; alors l application d est lipschitzienne de l espace métrique produit E E muni de la distance d 1 dans R + : en effet pour tous x 0, x 1, y 0, y 1 E on a, d après l inégalité triangulaire et de même on en déduit d(x 1, y 1 ) d(x 1, x 0 ) + d(x 0, y 0 ) + d(y 0, y 1 ) d(x 0, y 0 ) d(x 0, x 1 ) + d(x 1, y 1 ) + d(y 1, y 0 ) d(x 1, y 1 ) d(x 0, y 0 ) d(x 1, x 0 ) + d(y 0, y 1 ) = d 1 ((x 1, y 1 ), (x 0, y 0 )). 6.11 Proposition Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R à valeurs dans R possédant une dérivée bornée sur I ; alors f est lipschitzienne. Il suffit d appliquer le théorème des accroissements finis à f entre deux points quelconques de I. 21

Exemple Les fonctions sinus et cosinus sont lipschitziennes. 6.12 Définition et proposition Soient (E 1, d E1 ) et (E 2, d E2 ) deux espaces métriques et f : E 1 E 2 une application. On dit que f est un homéomorphisme si f est bijective et si f et f 1 sont continues. On dit que E 1 et E 2 sont homéomorphes s il existe un homéomorphisme entre E 1 et E 2. La relation "est homéomorphe à " est une relation d équivalence sur l ensemble des espaces métriques. Montrons que la relation "est homéomorphe à " est une relation d équivalence sur l ensemble des espaces métriques : a) la relation est réflexive car Id sur un espace métrique E est un homéomorphisme de E sur lui-même. b) la relation est symétrique : en effet, s il existe un homéomorphisme f d un espace métrique E 1 sur un espace métrique E 2, alors f 1 est un homéomorphisme de E 2 sur E 1. c) la relation est transitive : en effet s il existe un homéomorphisme f d un espace métrique E 1 sur un espace métrique E 2 et un homéomorphisme g de E 2 sur un espace métrique E 3, alors g f est un homéomorphisme de E 1 sur E 3. 6.13 Proposition Tout intervalle ouvert de R est homéomorphe à R. ò L application tangente est un homéomorphisme de π 2, π ï sur R. De plus tout intervalle ò 2 ]a, b[ où a < b est homéomorphe à π 2, π ï par l application x π ñ x a + b ô, 2 b a 2 donc est homéomorphe à R par transitivité. Considérons maintenant l intervalle ouvert ]a, + [ : il est homéomorphe ò à ]0, + [ par la translation x x a ; de plus ]0, + [ est homéomorphe à π 2, π ï par l application 2 x 2Arctgx π donc est homéomorphe à R. On en déduit que ]a, + [ est homéomorphe à R. Enfin l intervalle ], a[ est homéomorphe à ]a, + [ par l application 2 x 2a x, donc est homéomorphe à R. 6.14 Proposition Soient d et d deux distances sur un ensemble E ; alors d et d sont équivalentes si et seulement si l application Id est un homéomorphisme de (E, d) sur (E, d ). C est une conséquence immédiate de 6.2. 22

6.15 Définition et proposition Soient (E 1, d E1 ) et (E 2, d E2 ) deux espaces métriques et f : E 1 E 2 une application. On dit que f est une isométrie si x, y E 1, d E2 (f(x), f(y)) = d E1 (x, y). Toute isométrie est clairement injective et lipschitzienne, donc uniformément continue. 6.16 Exemple Toute translation de R 2 muni de la distance euclidienne est une isométrie. 7. Espaces vectoriels normés - Applications linéaires continues Dans ce paragraphe, K désignera R ou C. 7.1 Définitions Soit E un espace vectoriel sur K ; on appelle norme sur E toute application notée. définie sur E et à valeurs dans R + vérifiant les conditions suivantes : a) x E, x = 0 x = 0 ; b) x E, λ K, λx = λ. x ; c) x, y E, x + y x + y (inégalité triangulaire). On appelle espace vectoriel normé tout espace vectoriel sur K muni d une norme. Exemples L espace vectoriel R muni de la valeur absolue est un espace vectoriel normé ; de même C muni du module est un espace vectoriel normé. 7.2 Proposition Soit E un espace vectoriel normé ; alors l application d définie sur E E par : x, y E, d(x, y) = x y est une distance sur E, appelée distance associée à la norme sur E : ainsi tout espace vectoriel normé est un espace métrique. On a alors a) pour tout sous-espace vectoriel F de E, F est un sous-espace vectoriel de E ; b) l application norme de E dans R + est 1-lipschitzienne (donc uniformément continue) : x, y E, x y x y c) pour tous x E et r > 0, l adhérence de la boule ouverte B(x, r) n est autre que la boule fermée B(x, r) et l intérieur de la boule fermée B(x, r) n est autre que la boule ouverte B(x, r). d) pour tous x E et r > 0, la boule ouverte B(x, r) et la boule fermée B(x, r) ont pour frontière commune le disque {y E / d(x, y) = r}. 23

Il est immédiat de constater que d est une distance d après la définition d une norme. a) Soit F un sous-espace vectoriel de E ; montrons que F est un sous-espace vectoriel de E : considérons x et y F, alors il existe deux suites (x n ) n N et (y n ) n N d éléments de F telles que x n x et y n y quand n +, donc, pour tous α et β K, αx n + βy n αx + βy quand n +. Or, pour tout n N, αx n + βy n F puisque F est un sous-espace vectoriel de E, donc αx + βy F. b) découle immédiatement de l inégalité triangulaire. c) Montrons que B(x, r) = B(x, r) pour tous x E et r > 0 : Il est clair que B(x, r) B(x, r) puisque B(x, r) est fermé et B(x, r) est le plus petit fermé de E contenant B(x, r). Réciproquement, considérons y B(x, r) et posons pour tout n N, y n = x + (1 1/n)(y x), alors on a n 1, x y n = donc n 1, y n B(x, r). De plus, on a donc la suite (y n ) n N Ç 1 1 å x y < r n n 1, y n y = 1 x y n converge vers y, et ainsi y B(x, r). Considérons maintenant un point y intérieur à B(x, r) : il existe ε > 0 tel que la boule ouverte B(y, ε) B(x, r), en particulier y B(x, r) donc x y r. Supposons que x y = r et considérons z = x + λ(y x) où λ ]1, 1 + ε r [ ; alors y z = (λ 1)(x y) donc y z = (λ 1) x y = (λ 1)r < ε, on en déduit donc que z B(y, ε) B(x, r), d où z x r. Or z x = λ(y x) = λ y x = λr > r, ce qui est absurde, donc x y < r et ainsi y B(x, r) : l intérieur de B(x, r) est donc contenu dans B(x, r). Réciproquement, B(x, r) est un ouvert contenu dans B(x, r), donc il est contenu dans l intérieur de B(x, r). d) découle immédiatement de c). 7.3 Définition et proposition On dit que deux normes. 1 et. 2 définies sur un espace vectoriel E sont équivalentes s il existe deux réels strictement positifs α et β vérifiant x E, α x 1 x 2 β x 1. Les distances associées à deux normes équivalentes sont donc métriquement équivalentes (cf. 4.3). 24

7.4 Proposition On considère p espaces vectoriels normés (E 1,. E1 ), (E 2,. E2 ),, (E p,. Ep ) et leur produit cartésien E = E 1 E 2 E p ; on peut définir trois applications sur E de la manière suivante : Pour tout x = (x 1,, x p ) E, on pose p x 1 = x i Ei ( p ) 1 x 2 = x i 2 2 E i x = max 1 i p x i Ei alors les trois applications. 1,. 2 et. sont des normes sur E et vérifient les inégalités suivantes : x E, x x 1 p x 2 p x. Donc les normes. 1,. 2 et. sont équivalentes et par conséquent les trois distances associées d 1, d 2 et d sont métriquement équivalentes : elles définissent donc la même topologie sur E. En particulier, quand E 1 = E 2 = = E p = K (muni de la valeur absolue ou du module), les applications. 1,. 2 et. définies ci-dessus sur K p sont des normes équivalentes. De façon plus générale, si F est un K-espace vectoriel de dimension finie p p dont (e 1, e 2,, e p ) est une base, pour tout x = x i e i, si on pose ( p p ) 1 x 1 = x i, x 2 = x i 2 2, x = max x i 1 i p alors les trois applications. 1,. 2 et. sont des normes équivalentes sur F. analogue à la preuve de 5.4. 7.5 Exemples a) Soit A un ensemble et (E,. ) un K-espace vectoriel normé : on considère le K-espace vectoriel F(A, E) des fonctions définies sur A à valeurs dans E muni des lois usuelles suivantes : f, g F(A, E), λ K, x A, on pose (f + g)(x) = f(x) + g(x) et (λf)(x) = λf(x). L ensemble B(A, E) des fonctions bornées de A dans E est alors un sous-espace vectoriel de F(A, E) que l on peut munir d une norme notée., appelée norme de la convergence uniforme, définie par : f F(A, E), f = sup f(x). x A 25

b) Soit E l espace vectoriel des fonctions continues sur un segment [a, b] à valeurs dans R : toute fonction continue sur [a, b] étant bornée et intégrable, on peut considérer b f E, f = sup f(x) et f 1 = f(x) dx. x [a,b] a Alors. et. 1 sont des normes sur E qui ne sont pas équivalentes. exercice. 7.6 Théorème Soit T une application linéaire d un K-espace vectoriel normé (E,. E ) dans un K-espace vectoriel normé (F,. F ). Alors les conditions suivantes sont équivalentes : a) T est continue ; b) T est continue en 0 ; c) il existe c > 0 tel que x E, T (x) F c x E ; d) T est lipschitzienne. a) = b) : évident. b) = c) : T étant continue en 0, il existe α > 0 tel que y E, y E < α = T (y) F < 1 alors pour tout x non nul dans E, on a αx = α 2 x E E 2 < α donc d où T Ç αx 2 x E å F < 1 T (x) F < 2 α x E par linéarité de T et par propriété d une norme. Cette inégalité étant encore vérifiée en x = 0, il suffit donc de prendre c = 2 α. c) = d) : par linéarité de T, on a pour tous x, y E, T (x) T (y) F = T (x y) F c x y E donc T est c-lipschitzienne. d) = a) : T étant lipschitzienne, est continue d après 6.10. 26

7.7 Théorème Soient (E,. E ) et (F,. F ) deux K-espaces vectoriels normés ; alors l ensemble L(E, F ) des applications linéaires continues de E dans F est un sous-espace vectoriel de F(E, F ). On pose, pour tout T L(E, F ) T L(E,F ) = T (x) F sup. x E {0} x E Alors. L(E,F ) est une norme sur L(E, F ) et on a pour tout T L(E, F ), T L(E,F ) = sup T (x) F = sup T (x) F. x E =1 x E 1 Il est immédiat de vérifier que. L(E,F ) est une norme sur L(E, F ). Notons M 1 = sup x E =1 T (x) F et M 2 = sup x E 1 T (x) F ; alors, pour tout x E vérifiant x E = 1, on a T (x) F = T (x) F x E T L(E,F ) donc, par passage à la borne supérieure, on a Réciproquement, pour tout x E non nul, or T Ç M 1 T L(E,F ). x x E Ç å x T M x E 1 F x x E å F = T (x) F x E est de norme égale à 1, donc donc, par passage à la borne supérieure, on a T L(E,F ) M 1 d où T L(E,F ) = M 1. Enfin, montrons que M 1 = M 2 : comme {x E / x E = 1} {x E / x E 1}, il est clair que M 1 M 2. Réciproquement, pour tout x E non nul tel que x E 1, on a donc d où M 2 M 1 et ainsi M 2 = M 1. T (x) F x E = Ç å x T M x E 1 F T (x) F M 1 x E M 1 27

7.8 Exemple Soit E l espace vectoriel normé des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs réelles muni de la norme de la convergence uniforme.. On considère l application T : E E définie par Il est clair que T est linéaire, de plus f E, x [0, 1], T (f)(x) = x 0 f(t) dt. f E, x [0, 1], T (f)(x) f x f donc T est continue et T L(E,E) 1 ; d autre part, si on considère la fonction constante f = 1, alors T (f)(x) = x pour tout x [0, 1], donc T (f) = 1 et ainsi T L(E,E) = 1. 7.9 Proposition Soient (E,. E ), (F,. F ) et (G,. G ) trois K-espaces vectoriels normés ; alors pour tous T 1 L(E, F ) et T 2 L(F, G), T 2 T 1 L(E, G) et on a T 2 T 1 L(E,G) T 2 L(F,G) T 1 L(E,F ). Si T 1 et T 2 sont linéaires continues, alors la composée T 2 T 1 est linéaire continue ; d autre part, pour tout x E, on a (T 2 T 1 )(x) G = T 2 (T 1 (x)) G T 2 L(F,G) T 1 (x) F T 2 L(F,G) T 1 L(E,F ) x E d où l inégalité voulue. 28