Résumé du cours Fonction dérivable Nombre dérivé et fonction dérivée Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant a. On dit que f est dérivable en a et de nombre dérivé f (a) si Définition f (a + h) f (a) lim = f (a) h h Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. On appelle fonction dérivée de la fonction f, la fonction notée f qui à tout réel x associe le nombre dérivée f (x). Dire que f est dérivable en un point a de son domaine de définition signifie donc que le taux d accroissement de f en a a une limite finie lorsque h tend vers. Tableau des dérivées usuelles. f(x) f (x) Intervalle k R Propriété x n nx n I R \ {} si n < et R si n > x ], + [ x x x I R \ {} Dérivation et opérations. Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle ouvert I. Alors les fonctions u + v et u v sont dérivables sur I avec : Propriété (u + v) = u + v et (u v) = u v + u v Si de plus v ne s annule pas sur I alors v et u sont dérivables sur I avec : v ( ) = v v v et ( u v ) = u v u v v Francis CORTADO Sommaire chapitre 3 63
Dérivée de f = u : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de R et soit n un entier relatif. Si pour tout x I, on a u(x) alors la fonction f = u est dérivable pour tout x de I tel que u(x) >, avec f (x) = u (x) u(x) Si n > la fonction f = u n est dérivable sur I Propriété 3 Si n < la fonction f = u n est dérivable en tout point x de I tel que u(x). Dans les deux cas : f (x) = n u (x) u n (x) La fonction f : x u(ax + b) est dérivable sur I avec, pour tout x I f (x) = a u (ax + b) si u et v sont dérivables, il en est de même de la fonction f notée u v, avec [u(v(x))] = v (x) u (v(x)) ou encore (u v) = v u v Propriété 4 Tangente à une courbe Si f est dérivable en a alors la courbe représentative de f admet au point A ( a, f (a) ) une tangente non verticale, de coefficient directeur f (a). Une équation de cette tangente est : y = f (a)(x a) + f (a) Limites d une fonction Limite finie en + : On dit que la limite de f (x) quand x tend vers + est l si, on peut rendre f (x) aussi proche de l que l on veut à condition de prendre x suffisamment grand. Définition Fonction de limite + en a On dit que la limite de f (x) quand x tend vers a est + si, on peut rendre f(x) aussi grand que l on veut à condition de prendre x suffisamment proche de a, on note lim f (x) = + x a 64 Sommaire chapitre 3 Francis CORTADO
Asymptote parallèles aux axes On dit que la droite d équation y = l est une asymptote horizontale à la courbe représentative de f en + si et seulement si Définition 3 lim f (x) = l x + On dit que la droite d équation x = a est une asymptote verticale à la courbe représentative de f si et seulement si lim f (x) = + ou lim f (x) = x a x a Limite en + et + des fonctions inverses Lorsque x tend vers +, les fonctions suivantes x k x ; x k x ; x k x 3 ; ; x k x n ; x k x Propriété 5 ont pour limite Lorsque x tend vers +, les fonctions suivantes x x ; x x ; x x 3 ; ; x x n ; x x ont pour limite + Définition 4 Fonction usuelle On appelle fonction usuelle toute fonction polynôme, fraction rationnelle, racine carrée, valeur absolue ainsi que la somme, le produit et le quotient de deux de ces fonctions. Théorème Soit f une fonction usuelle et x un nombre réel. Si f est définie en x alors la limite de f quand x tend vers x est f (x ) La limite d un polynôme lorsque x tend vers + ou est égale à la limite de son terme de plus haut degré. La limite d une fraction rationnelle lorsque x tend vers + ou est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Méthode pratique : On pose u(x) = X et on exprime v(u(x)) uniquement à l aide de X. On détermine la limite de X = u(x) lorsque x tend vers α, limite que l on notera β. On conclut par lim v (u(x)) = lim v(x) x α X β Francis CORTADO Sommaire chapitre 3 65
α désigne soit un réel, soit un des symboles ou +, et l est un réel quelconque. f, u sont deux fonctions définies au voisinage de α. Théorème de comparaisons et des gendarmes α désigne soit un réel, soit un des symboles ou +, et l est un réel quelconque. f, u, v sont trois fonctions définies au voisinage de α. Si pour x voisin de α, on a f (x) u(x) avec lim x α u(x) = +, alors lim x α f (x) = + Théorème Si pour x voisin de α, on a f (x) u(x) avec lim x α u(x) =, alors lim x α f (x) = Si pour x voisin de α, on a u(x) f (x) v(x) avec lim u(x) = lim v(x) = l x α x α alors lim f (x) = l x α Continuité et applications Définition 5 Fonction continue sur un intervalle. On dit qu une fonction f est continue sur un intervalle I inclus dans son domaine si sa courbe représentative ne présente pas de "coupures" c est à dire si on peut la tracer sans lever le crayon. Propriété 6 Continuité des fonctions usuelles. Les fonctions usuelles sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition. Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle. Théorème 3 Théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I. Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b) il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f (c) = k On dit que f prend toute valeur intermédiaires entre f (a) et f (b) Corollaire 3 Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a, b]. Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l équation f (x) = k admet une unique solution dans l intervalle [a, b] 66 Sommaire chapitre 3 Francis CORTADO
Corollaire 4 Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle ]α, β[, où α désigne un réel ou le symbole et β désigne un réel ou le symbole +. On suppose que f admet une limite finie ou infinie en en α notée L α, ainsi qu une limite finie ou infinie notée L β en β. Pour tout réel k de l intervalle d extrémités L α et L β, l équation f (x) = k admet une unique solution dans l intervalle [a, b] Fonctions trigonométriques M(cos x, sin x) x O u x cos(x) sin(x) 6 3 4 3 3 x X = x X = + x X = x X = + x cos(x) cos x sin x sin x cos x cos x sin(x) sin x cos x cos x sin x sin x cos x + sin x = cos(a b) = cos a cosb + sin a sinb Propriété 7 cos(a + b) = cos a cosb sin a sinb sin(a + b) = sin a cosb + cos a sinb sin(a b) = sin a cosb cos a sinb sin(a) = sin a cos a cos(a) = cos a sin a = cos a = sin a Francis CORTADO Sommaire chapitre 3 67
cos x = cosα Sur R cette équation est équivalente à x = α + k ou x = α + k Propriété 8 ce qui donne une infinité de solutions dont les représentations sur le cercle trigonométrique occupent deux positions distinctes sin x = sinα Sur R cette équation est équivalente à x = α + k ou x = α + k ce qui donne une infinité de solutions dont les représentations sur le cercle trigonométrique occupent deux positions distinctes Définition 6 On appelle fonction sinus et cosinus les fonctions qui a tout réel x associent cos ( x et sin x, c est à dire l abscisse et l ordonnée du point M du cercle trigonométrique tel que u ), OM = x Pour tout x R Propriété 9 cos(x + k) = cos x sin(x + k) = sin x On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période ou -périodiques Pour tout x R Propriété cos( x) = cos x sin( x) = sin x On dit que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire La fonction sinus est dérivable sur R avec Théorème 4 sin (x) = cos x La fonction cosinus est dérivable sur R avec cos (x) = sin x x sin (x) + sin(x) 68 Sommaire chapitre 3 Francis CORTADO
x cos (x) cos(x) y = cos x y = sin x Propriété sin x cos x cos x lim = lim = lim x x x x x x = Soient f et g les deux fonctions définies sur R par f (x) = cos(ax + b) et g (x) = sin(ax + b) Propriété Ces deux fonctions sont dérivables sur R avec f (x) = a sin(ax + b) et g (x) = a cos(ax + b) Ces deux fonctions sont périodiques de période a Francis CORTADO Sommaire chapitre 3 69