Trigonométrie et angles orientés A) Angles orientés. 1. Le radian. Le radian est une unité de mesure d un angle comme le degré. Il est défini comme la longueur de l arc entre deux points du cercle unité représenté ci-contre. Le demi-cercle unité a une longueur de, il correspond donc à un angle de radian. On a alors : 180 rad 180 La mesure en degré de 1 radian vaut donc : 1 rad 57. Propriété : Les mesures, en degrés et en radians, d un angle géométrique sont proportionnelles. Méthode de conversion :. Plan et angles orientés. Ce tableau est un tableau de proportionnalité donc on a d les relations : d 180 ou. 180 On appelle «plan orienté», un plan dans lequel on a, par convention, défini un sens positif de «parcours» des angles. On parle alors de «sens direct» quand le sens positif est contraire à celui des aiguilles d'une montre et de «sens indirect» dans le cas contraire. Un angle orienté est défini par deux vecteurs u et v, noté (u ; v ). L angle est alors orienté de u vers v. Ci-dessus, on a représenté deux angles orientés, représentant le même angle (u ; v ). Le premier est orienté dans le sens direct et l autre dans le sens indirect. Année 016 017
. Mesure d un angle, en radian, d un angle orienté. Pour mesurer un angle orienté, il faut une unité (degré ou radian) et un sens de parcours. Un même angle peut avoir des mesures différentes, comme dans la figure précédente. Ces mesures sont alors égales à près, on dit alors qu elles sont égales «modulo». On dit que les mesures (en radian) 1 et d un même angle orienté (u ; v ) sont égales modulo, s il existe un entier relatif k tel que : 1 k on écrit alors 1. 5 7 5 5 5 1 7 car 4. Exemple : 4. Mesure principale d un angle orienté. On appelle mesure principale d un angle orienté (u ; v ), la mesure avec ;. Exemples : 5 Reprenons l angle précédent, la mesure principale de (u ; v ) = est. 5 5 6 En effet, on a : ;. Voici ci-dessous le cercle trigonométrique avec tous les angles remarquables exprimés en mesure principale : Année 016 017
Exercice n 1 : Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, déterminer les réels associés aux points : A, B, C, D, E, F, I et J. Exercice n : Déterminer la mesure principale des angles de mesures : 7 8 1) ; et. 5 111 59 19 1 ) ; et. 8 1 1 Exercice n : 11 4 Associer à chacun de ces dix réels 0 ; ; ; ; 6 un point du cercle trigonométrique ci-dessous : ; 19 ; 4 7 ; ; et 6 6 Année 016 017
B) Propriétés des angles orientés. 1. Angles plats ou nuls. Propriété : Angle nul : (u ; u ) = 0 (π). Angle plat : ( u ; u ) = (u ; u ) = π (π).. Relation de Chasles. Propriété : Soit u, v et w trois vecteurs non nuls, on a alors: (u ; v ) + (v ; w ) = (π). = (u ; w ) (π).. Règles des signes. Propriétés : (v ; u ) = (u ; v ) (π). ( u ; v ) = (u ; v ) (π). ( u ; v ) = (u ; v ) = (u ; v ) + π = (u ; v ) π (π). Exemple : Déterminer, à l aide des propriétés des angles orientés, l angle ( AB ; AC ). (AB ; AC ) = (AB ; BC ) + (BC ; AC ) Relation de Chasles. = [(BA ; BC ) + ] + (CB ; CA ) Règles des signes. 9 =. 6 1 1 4 On aurait pu retrouver cet angle de façon "classique" en faisant le complément à : ( AB ; AC ) =. 6 1 4 Année 016 017
Exercice n 4 : 9. 4 Soit u, v et w trois vecteurs tels que : (u ; v ) = et (u ; w ) = Déterminer la mesure principale des angles : 1) (v ; w ). ) ( u ; v ). ) ( u ; w ). 4) (u ; v ). 5) ( v ; u ). 6) (v ; u ). Exercice n 5 : Dans la figure ci-dessous, ABC est un triangle équilatéral et ADC et AEB sont des triangles rectangles isocèles. Déterminer une mesure des angles orientés ci-dessous : (AB ; AC ) ; (DC ; DA ) ; (EB ; EA ) ; (CB ; CD ) ; (AE ; AD ) et (BC ; BE ). Exercice n 6 : ABC est un triangle rectangle en A direct tel que BC = AC. ACD et ABE sont deux triangles équilatéraux directs. 1) Déterminer une mesure en radian de l angle orienté (CA ; CB ). ) Donner une mesure en radian des angles orientés : a) (AD ; AE ). b) (AD ; CB ). c) (AE ; CB ). Exercice n 7 : Sur la figure ci-dessous les vecteurs AB et DE sont colinéaires. 1) Donner la mesure principale de l angle (AB ; DE ). ) En utilisant la relation de Chasles, déterminer la mesure principale de l angle (DC ; DE ). Année 016 017
C) Trigonométrie. 1. Définitions et premières propriétés. Dans un repère orthonormal direct, α est l angle orienté dans le cercle unité, on a alors : cos projection de l angle sur l axe des abscisses. sin projection de l angle sur l axe des ordonnées. tan projection de l angle sur la droite tangente au cercle. Propriété : Tableau des angles remarquables Propriété : Soit M un point du cercle trigonométrique tel que : IM x. Les coordonnées du point M dans le repère (O ; i ; j ) sont : M cos x ; sin x. Année 016 017
. Relations trigonométriques de base. Propriétés : 1 cos x 1 On a les encadrements suivants :. 1 sin x 1 On vérifie, avec le théorème de Pythagore, la relation : cos x sin x 1. sin x On vérifie, avec le théorème de Thalès, la relation : tan x. cos x cosx k cos x On a justifié précédemment dans ce chapitre que : (k Z). sin x k sin x. Relations de symétries. Propriétés : avec l angle opposé Pour tout réel x on a : cos( x) cos x. sin( x) sin x. Propriétés : avec l angle supplémentaire Pour tout réel x on a : cos( x) cos x. sin( x) sin x. Propriétés : avec l angle diamétralement opposé Pour tout réel x on a : cos( x) cos x. sin( x) sin x. 4. Relations de déphasage. Propriétés : avec l angle complémentaire Pour tout réel x on a : cos x sin x. sin x cos x. Propriétés : d un quart de tour Pour tout réel x on a : cos x sin x. sin x cos x. Année 016 017
Exercice n 8 : Simplifier les expressions suivantes : A( x) cos x sin x cos( x) sin( x. ) B( x) cos x 4sin x 5sin( x). Exercice n 9 : 6 1) On sait que sin. Déterminer la valeur exacte de cos. 1 4 1 5 7 11 ) En déduire les valeurs exactes de cos ; cos et cos. 1 1 1 5. Résolution des équations cos x = cos a et sin x = sin a. Propriété : cos x cosa Les solutions, dans R, de l équation cos x cosa sont les nombres : x a k (k Z). x a k Explications : Si M est le point du cercle trigonométrique tel que IM a. Il existe un autre point du cercle et un seul ayant même abscisse (et donc le même cosinus) que M, c'est le point N symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses et donc tel que IN a. Propriétés : sin x sin a Les solutions, dans R, de l équation sin x sin a sont les nombres : x a k x a (k Z). k Explications : Si M est le point du cercle trigonométrique tel que IM a. Il existe un autre point du cercle et un seul ayant même ordonnée (et donc le même sinus) que M, c'est le point N symétrique de M par rapport à l'axe des ordonnées et donc tel que IN a. Année 016 017
Exercice n 10 : Résoudre à l aide d un cercle trigonométrique, les équations suivantes (on dessinera les solutions sur le cercle trigonométrique) : 1 1) cos x dans 0 ;. ) cos x dans 0 ;. 1 ) sin x dans ;. 4) sin x dans 0 ; Exercice n 11 : Résoudre les équations suivantes dans l'intervalle indiqué à l'aide d'un cercle trigonométrique. a) cos 0 1 c) cos cos x dans ; 0. b) cos x dans ;. x dans ; 0. d) e) sin x dans ;. sin x dans ;. Exercice n 1 : O ; I ; J est un repère orthonormé du plan, orienté dans le sens direct. Le carré ABCD est circonscrit au cercle trigonométrique et AB = I I. On construit le carré IJI ' J' de centre O et les demi-cercles de centres respectifs I, J, I ' et J ' passant par le point O. 1) Placer sur le cercle trigonométrique donné ci-dessus les points E, F et G associés 7 respectivement aux réels ; et. 6 4 5 5 ) Donner les valeurs exactes de cos et sin. 6 ) Déterminer la mesure principale en radian des angles orientés dont on donne une mesure en 011 45 radian : et. 6 5 4) Déterminer la mesure principale des angles orientés : a) (OI ; OK ). d) (DC ; IJ ). b) (OH ; OL ). e) (AK ; BJ ). c) (OI ; OL ). f) (II ; DB ) Année 016 017
Exercice n 1 : Sur la figure ci-dessous, ABFG et CDEF sont deux parallélogrammes et AGH un triangle équilatéral direct tels que : (AB ; AG ) et (FG ; FC ). 6 1) Donner une mesure de chacun des trois angles suivants : a) (AH ; AG ). b) (AG ; AB ). c) (GF ; CF ). ) Etablir que (AH ; AB ). Que peut-on déduire de ce résultat? ) Etablir que (AH ; FC ). Que peut-on déduire de ce résultat? Exercice n 14 : Sans calculatrice et avec les détails des calculs. 1) Ecrire, en fonction de cos x et sin x, les expressions suivantes : a) cosx sin x cos x sin x. b) sin x cos x cosx sin x. ) Calculer les expressions suivantes en utilisant les angles associés : 5 11 1 a) sin sin sin sin. 8 8 8 8 1 b) cos cos cos. 1 1 1 ) Ecrire, en fonction de sin x, l'expression : cos x sin x sin x. Exercice n 15 : En remarquant que cette équation peut se ramener à une équation du second degré, résoudre l équation trigonométrique suivante (on dessinera les solutions sur le cercle trigonométrique) : sin sin x 0 ;. x dans Année 016 017
D) Formules d addition et de duplication. 1. Formules d addition. Propriétés : Pour tous réels a et b on a : cos( a b) cosa cosb sin asin b cos( a b) cosa cosb sin asin b sin( a b) sin acosb sin bcosa sin( a b) sin acosb sin bcosa. Formules de duplication. Propriétés : Pour tous réels a et b on a : sin a sin acosa cosa cos a sin a cosa cos a 1 cosa 1 sin a E) Lignes trigonométriques dans le cercle. Année 016 017