ANGLES ORIENTES DE VECTEURS TRIGONOMETRIE I/ ANGLES ORIENTES DE VECTEURS 1.Orientation du plan Orienter un cercle, c'est choisir un sens de parcours sur ce cercle appelé sens direct ( ou positif ). L'autre sens est appelé sens indirect (négatif ou rétrograde) Orienter le plan, c'est orienter tous les cercles du plan dans le même sens. L'usage est de choisir pour sens direct le sens contraire des aiguilles d'une montre, appelé aussi sens trigonométrique. Un cercle trigonométrique est un cercle orienté dans le sens direct et de rayon 1 et sur lequel est fixé un point I appelé origine. A tout point A du cercle trigonométrique, on associe une famille de nombres réels appelés abscisses curilignes de A. Il existe une seule abscisse curiligne appartenant à l interalle ;. Sa aleur absolue est égale à la longueur du petit arc de cercle d extrémités I et A. - au réel 0, on associe le point I - à un réel x 0, on associe le point A tel que l arc IA parcouru dans le sens trigonométrique, ait pour longueur x - à un réel x 0, on associe le point A tel que l arc IA parcouru dans le sens contraire du sens trigonométrique, ait pour longueur x. O A I.Mesure des angles orientés a. Mesure de l angle ( u, ), u et étant deux ecteurs unitaires Sauf ais contraire, les angles sont mesurés en radian. Soient u, deux ecteurs unitaires ( u 1 ) et A et B les points du cercle trigonométrique tels que : OA u et OB. On appelle mesure de l angle orienté ( u, ).. où a est une abscisse curiligne de A et b est une abscisse curiligne de B. Remarques : - Un angle a une infinité de mesures. Deux de ces mesures diffèrent d un multiple de. On écrit : ( u, ) = (se lit modulo ) B (b) O A (a) I www.mfburatti.canalblog.com 1
ou ( u, ) = - La notation usuelle est ( u, ), mais s il n'y a aucun risque de confusion, on notera cet angle orienté seulement ( u, ). - Par abus de langage, on confond un angle et ses mesures. On écrit, par exemple, ( u, ) = signifiant qu une mesure de ( u, ) est ; les autres mesures sont alors de la forme k, k - On définit de même l angle orienté d un couple de deux demi-droites [ Ox ) et [ Oy ) que l on note ( Ox, Oy ). Définition : La mesure principale d un angle orienté ( u, ) est son unique mesure en radians, appartenant à l interalle ;. Remarques : Soit u et deux ecteurs non nuls du plan orienté. u u et sont colinéaires et de même sens si et seulement si, la mesure principale de ( u, ) est égale à 0 (Angle nul ) -u u et sont colinéaires et de sens contraire si et seulement si, la mesure principale de ( u, ) est égale à (Angle plat ) u et sont orthogonaux si et seulement si, la mesure principale de ( u, ) est égale à (Angle droit direct) ou la mesure principale de ( u, ) est égale à (Angle droit indirect) u u Exemple : Pour tout ecteur unitaire u, on a : ( u, u)... ( ) et ( u, u)... ( ). b. Mesure de l angle ( u, ), u et étant deux ecteurs non nuls. La mesure de l angle orienté ( u, ) de deux ecteurs non nuls, est la mesure de l angle orienté ( u 1, 1), u et étant les ecteurs unitaires associés aux ecteurs u et. 1 1 ( u, ) = ( u 1, 1 1 1) ( ) aec u1. u et 1. u www.mfburatti.canalblog.com
c. Angles égaux Deux angles orientés sont égaux si et seulement si une mesure de l un est une mesure de l autre. Soit une mesure de u ; et ' une mesure de u '; '. On note : u' d. Relation de Chasles Quels que soient les ecteurs u,, w : u ' Démonstration : u w O Exemple : Soit u, et w trois ecteurs non nuls du plan orienté tels que 5 ( u, w) et w; 6 3 D après la relation de Chasles On en déduit donc que ( u, ) u w www.mfburatti.canalblog.com 3
e. Conséquences de la relation de Chasles Soit u et deux ecteurs non nuls du plan orienté. (, u ) =- ( u, ) ( ) (Angles opposés) u u ( u, ) ( u, ) et ( u, ) ( u, ) ( ) ( ) (Angles supplémentaires) u u u ( u, ) ( u, ) (Angles égaux) ( ) u u Soit k et k deux réels non nuls : ( k. u, k. ) ( u, ) ( ) pour tout réel k non nul si k et k sont de même signe, alors : ( k. u, k '. ) ( u, ) ( ) u u 3 u - u 3 u si k et k sont de signes contraires, alors : ( k. u, k '. ) ( u, ) ( ) Démonstrations : 1 ) ) www.mfburatti.canalblog.com 4
3 ) 4 ) ; ( ), alors : 4 u ; u ; Exemples : Si u u ; 5 u ; u ;3 f. Angles orientés et angles géométriques AOB ( en radians) aec 0 ( OA, OB) ( ) ( en radians) En prenant la aleur absolue de la mesure principale, on obtient l angle géométrique : Si est la mesure principale de (OA,OB), alors : Exemple : La mesure principale de BA; BC est. La mesure principale de CA; CB est et ACB La mesure principale de AB; AC est et BAC B C A ABC 3 www.mfburatti.canalblog.com 5
3) Base orthonormale directe, indirecte. Soit ( u, ) une base orthonormale. Si - ( u, ) ( ) on dit que ( u, ) une base orthonormale directe - ( u, ) ( ) on dit que ( u, ) une base orthonormale indirecte Remarques : On parlera aussi de repères orthonormés directs ou indirects. Cette notion s étend aux figures usuelles. 4) Angles orientés et réflexions Théorème (admis) : Une réflexion transforme un angle orienté en son opposé Théorème : Soit A le point du cercle trigonométrique C associé au réel. Par réflexion d axe (OA), le point M de C associé au réel x, a pour image le point M de C associé au réel x ' tel que : x x ' ( ) Démonstration : www.mfburatti.canalblog.com 6
Application : les angles associés Configuration du rectangle Configuration des angles complémentaires Les points associés à : sont les sommets d un rectangle dont (OI) et (OJ) sont les axes de symétrie Les points associés à : sont symétriques par rapport à la première bissectrice II/ TRIGONOMETRIE L unité utilisée est le radian. Le plan orienté est muni d un repère orthonormal direct O; i ; j. On considère le cercle trigonométrique C de centre O. 1) Cosinus et sinus d un angle orienté de deux ecteurs a) Rappels : Pour tout réel x, il existe un point M unique du cercle trigonométrique C tel que x soit une mesure de (OI,OM ). Dans le repère (O,I,J) l'abscisse du point M est le cosinus de x ( noté cos x ) J I l'ordonnée du point M est le sinus de x ( noté sin x ) Pour tout k entier relatif : cos( x k ) cos x et sin( x k ) sin x Pour 0 x, cosx et sinx sont le cosinus et le sinus de l angle géométrique IOM. b) Définition : Soit u et deux ecteurs du plan orienté. Si x est une mesure en radian de l angle orienté ( u, ), alors les autres mesures sont de la forme x k, k. Or cos ( x k ) = cos x et sin ( x k ) = sin x. www.mfburatti.canalblog.com 7
On en déduit la définition suiante : Le cosinus, respectiement le sinus, de l angle orienté de ecteurs ( u, ) est le cosinus, respectiement le sinus, de l une quelconque de ses mesures. On note cos ( u, ) et sin ( u, ). c) Valeurs remarquables 0 6 4 3 cos sin d) Propriétés élémentaires : pour tout x réel 1. et où k. 3. et e) Angles associés Remarque préliminaire : Dans la pratique, on se permet souent quelques légèretés d écriture très utiles pour la clarté des figures et pour retenir les formules. Configuration du rectangle Configuration des angles complémentaires Les formules ci-dessous sont raies pour tout réel x, mais pour faciliter la mémorisation, on se place dans le premier cadran. www.mfburatti.canalblog.com 8
cos ( x ) = cos x cos ( x ) = cos x cos ( x ) = cos x cos ( x ) = sin x sin ( x ) = sin x sin ( x ) = sin x sin ( x ) = sin x sin ( x ) = cos x cos ( x ) = sin x sin ( x ) = cos x 5 Exemple : cos et sin de 6 ) Repérage polaire a) Les coordonnées polaires Le plan est muni d un repère orthonormé direct (O; i; j). A chaque point M, distinct de O, nous pouons associer le couple ( r ; ) tel que : r,j O,i M Réciproquement, étant donné un réel r 0 tel que : OM r ( i ; OM ) ( ) et un réel, il existe un unique point M distinct de O Tout point M du plan distinct de O peut être repéré par un couple (r;) où r est un réel strictement positif et un réel. On dit que le couple ( r ; ) est un couple de coordonnées polaires du point M et on note : M ( r ; ). Remarques : M ( r ; ) possède une infinité de coordonnées polaires. Pour O, on conient que r 0 et quelconque. O est appelé le pôle et [ Ox ) l axe polaire. On dit que r est le rayon polaire du point M et l un de ses angles polaires Un repère polaire étant choisi, à tout couple de coordonnées polaires correspond un unique point du plan. www.mfburatti.canalblog.com 9
Exemples : Coordonnées polaires de I, J, A, B et C B C J o I A b) Coordonnées polaires et coordonnées cartésiennes Le plan est muni d un repère orthonormal direct O; i ; j Soit M, distinct de O, un point de coordonnées polaires ( r ; ). Les coordonnées cartésiennes (x ; y) de M sont : x y aec r Démonstration : y r M sin O N,i cos x Exemples : Trouer les coordonnées cartésiennes des points A( ; 6 ), B( ; 4 ) et C(4 ; 3 ) 10 www.mfburatti.canalblog.com