MT90/91-Fonctions d une variable réelle

MT90/91-Fonctions d une variable réelle Chapitre 3 : Suites numériques Équipe de Mathématiques Appliquées UTC Juillet 2014

suivant Chapitre 3 Suites numériques 3.1 Définition, convergence, propriétés...................... 3 3.2 Suites particulières................................ 29 3.3 Notions élémentaires sur les séries...................... 37 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 2

chapitre section suivante 3.1 Définition, convergence, propriétés 3.1.1 Définition d une suite numérique..................... 4 3.1.2 Convergence d une suite numérique.................. 6 3.1.3 Exemples de suites et limite........................ 8 3.1.4 Unicité de la limite.............................. 10 3.1.5 Suite majorée ou minorée......................... 12 3.1.6 Suite croissante ou décroissante.................... 14 3.1.7 Somme de suites numériques convergentes............. 16 3.1.8 Comparaison de deux suites....................... 18 3.1.9 Produit de suites numériques convergentes.............. 22 3.1.10 Somme et produit de suites qui tendent vers l infini......... 24 3.1.11 Quotient de deux suites.......................... 26 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 3

section suivant 3.1.1 Définition d une suite numérique Exercices : Exercice A.1.1 Définition 3.1.1. On appelle suite de nombres réels une application de N dans R. Cette application sera souvent notée n u n (au lieu de n u(n)) et on dira que u n est le terme général de la suite, on notera alors (u n ) n N, ou plus simplement (u n ), la suite ainsi définie. Les trois suites ci-dessous sont définies par la donnée de leur terme général : u n = n, u n = 1 n,(n > 0), u n = n n + 1,... Étant donné un réel a, la suite u n = a, est appelée suite constante. On peut aussi définir une suite par une relation de récurrence. Ainsi, a et u 0 étant des réels donnés, la suite u n = a + u n 1 est une suite arithmétique dont le terme général est u n = na+ u 0. Une suite est donc une application particulière. Le point fondamental est que le domaine de définition est N ou N. D autre part, l objectif principal dans l étude d une suite n est pas tant Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 4

section suivant cette application elle-même que son comportement à l infini. Ceci s oppose notamment au cas des applications de R dans R où l on s intéresse aussi à ce qui se passe autour des valeurs finies de la variable. Définition d une suite numérique Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 5

précédent section suivant 3.1.2 Convergence d une suite numérique Exercices : Exercice A.1.2 Exercice A.1.3 Définition 3.1.2. 1. On dit que la suite (u n ) converge ou qu elle est convergente s il existe un réel l (appelé limite) tel que : ε > 0, N N tel que n N, (n > N) ( u n l <ε). On dit que u n tend vers l, et on écrit l = lim n (u n ). 2. Si (u n ) n est pas convergente, on dit qu elle diverge ou qu elle est divergente. 3. On dit qu une suite (u n ) tend vers + si : A R, N N tel que n N, (n > N) (u n > A). On dit qu une suite (u n ) tend vers si : A R, N N tel que n N, (n > N) (u n < A). Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 6

précédent section suivant Remarquons que : 1. La suite (u n ) converge vers l si et seulement si la suite de terme général v n = u n l converge vers 0 2. Pour tout ε (aussi petit soit-il), l intervalle ]l ε,l +ε[, contient tous les éléments de la suite sauf un nombre fini de termes, les N premiers. 3. Il résulte immédiatement de cette définition que la nature d une suite (sa convergence ou non convergence) ne change pas, si l on modifie un nombre fini de termes de la suite, ou si l on démarre la suite par un indice plus grand que 0. 4. La convergence de la suite (u n ) peut s écrire entièrement avec des quantificateurs : Convergence d une suite numérique l R, ε > 0, N N, n N, (n > N) ( u n l <ε). Cette écriture avec uniquement des quantificateurs facilite l expression de la divergence. 5. On peut montrer que la définition de la convergence donnée plus haut est équivalente à : ε > 0, N N tel que n N, (n N) ( u n l ε). Proposition 3.1.1. Si la suite (u n ) converge vers l, alors la suite ( u n ) converge vers l. Pour démontrer ce résultat il suffit d utiliser l inégalité u n l u n l. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 7

précédent section suivant 3.1.3 Exemples de suites et limite Exercices : Exercice A.1.4 Exemples : Exemple B.1.1 Exemple B.1.2 Exemple B.1.3 Donnons quelques exemples : 1. La suite u n = 3n 2 2n+5 a pour limite l = 3 2 car u n l = 3n 2 2n + 5 + 3 2 = 19 4n + 10. Nous voyons alors que pour ε > 0 donné, il suffit de choisir l entier N tel que Alors pour n > N on a : ce qui montre que u n l. 19 4N + 10 ε soit N 19 4ε 5 2. u n l = 19 4n + 10 < 19 4N + 10 ε, Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 8

précédent section suivant 2. Examinons la suite On peut écrire u n = n 2 + 1 n. u n = ( n 2 + 1 n)( n 2 + 1 + n) n 2 + 1 + n = 1 n 2 + 1 + n 1 2n, Exemples de suites et limite puisque n 2 + 1 n. Pour tout ε > 0, on prend N entier tel que N 1 2ε, alors pour n > N on a : ce qui montre que u n 0. u n =u n 1 2n < 1 2N ε, Vous verrez dans les exemples référencés trois méthodes numériques pour calculer, de manière approchée, l intégrale d une fonction dont on ne connaît pas la primitive. Ceci revient à construire des suites dont la vitesse de convergence (notion qualitative ici, définie précisément dans les cours d analyse numérique) dépend de la méthode considérée. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 9

précédent section suivant 3.1.4 Unicité de la limite Exercices : Exercice A.1.5 Proposition 3.1.2. La limite d une suite convergente est unique. Démonstration - Supposons qu il existe deux limites distinctes l 1 et l 2. Sans restreindre la généralité, nous pouvons noter l 1 la plus grande des deux, soit l 1 > l 2. Posons ε = (l 1 l 2 )/2, alors puisque u n converge vers l 1 et l 2 respectivement : N 1 N, tel que (n > N 1 ) ( u n l 1 <ε), N 2 N, tel que (n > N 2 ) ( u n l 2 <ε)) On obtient alors pour n > max(n 1, N 2 ): ce qui est absurde. 2ε = l 1 l 2 = l 1 l 2 = (l 1 u n ) + (u n l 2 ) l 1 u n + u n l 2 <2ε Lorsque vous étudiez la suite u n = ( 1) n, vous avez envie de dire que pour n pair la suite est constante u 2n = 1 donc convergente et pour n impair la suite est aussi constante u 2n+1 = 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 10

précédent section suivant donc convergente, ce qui est faux puisque cela donnerait une suite convergente avec deux limites distinctes! L erreur de raisonnement est que vous considérez deux sous-suites et non pas la suite dans sa totalité dont les termes oscillent constamment de 1 à 1. Unicité de la limite Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 11

précédent section suivant 3.1.5 Suite majorée ou minorée Exercices : Exercice A.1.6 Définition 3.1.3. Une suite (u n ) est dite majorée (resp. minorée) s il existe un réel M (resp. m) tel que : n N, u n M (resp. m u n ). Une suite (u n ) est dite bornée, si elle est à la fois majorée et minorée. En reprenant les définitions du chapitre2, on voit que la suite (u n ) est majorée si et seulement si l ensemble A = {u n,n N} est un ensemble majoré, il en est de même pour minorée ou bornée. On a donc un résultat similaire à celui démontré dans le chapitre 2, à savoir : Une suite (u n ) est bornée si et seulement si M R, n N, u n M. D autre part on remarque que pour qu une suite soit majorée, il suffit qu il existe un nombre réel M tel que u n M à partir d un certain rang N. En effet, est alors un majorant de la suite complète. M = max{u 0,u 1,...,u N 1, M } Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 12

précédent section suivant De même une suite est bornée s il existe un réel M positif, tel que, à partir d un certain rang N, on ait : n N, (N n) ( u n M). Suite majorée ou minorée Proposition 3.1.3. Tout suite convergente est bornée. Démonstration - Partons de la définition de la convergence et donnons nous un ε > 0. La suite (u n ) étant convergente, possède une limite l et il existe un N N tel que : (n > N) ( u n l <ε). Comme, par ailleurs : ( u n l <ε) (l ε < u n < l + ε), si on définit les nombres M et m par M = max(u 0,u 1,...,u N 1,l + ε), m = min(u 0,u 1,...,u N 1,l ε) on vérifie bien : n N, m u n M. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 13

précédent section suivant 3.1.6 Suite croissante ou décroissante Exercices : Exercice A.1.7 Exercice A.1.8 Exercice A.1.9 Définition 3.1.4. Une suite (u n ) est dite croissante (resp. décroissante) si : n N, u n u n+1 (resp. u n+1 u n ). Une suite est dite monotone si elle est croissante ou décroissante. Théorème 3.1.1. Toute suite croissante et majorée est convergente. De même, toute suite décroissante et minorée est convergente. Démonstration - Puisque (u n ) est une suite majorée, l ensemble A = {u n,n N} est majoré. D après la propriété de la borne supérieure définie pour tout sous-ensemble non vide borné de R au chapitre précédent, A admet une borne supérieure L. La caractérisation de la borne supérieure permet de dire que ε > 0, L ε n est pas un majorant de A donc ε > 0, N N, tel que L ε < u N L. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 14

précédent section suivant Mais comme la suite est croissante, nous avons : n N, (n > N) (L ε < u N u n ). D autre part, comme L est un majorant de u n, nous avons ainsi montré que : Suite croissante ou décroissante ε > 0, N tel que n N, (n > N) (L ε < u n L), soit ε > 0, N tel que n N, (n > N 0 L u n < ε), ce qui montre le résultat. On démontre de la même manière qu une suite décroissante et minorée est convergente. Proposition 3.1.4. Soit (u n ) une suite croissante convergeant vers une limite l, alors quel que soit n N, on a u n l. Démontrer cette proposition en exercice. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 15

précédent section suivant 3.1.7 Somme de suites numériques convergentes Exercices : Exercice A.1.10 Définition 3.1.5. Soient (u n ) n N et (v n ) n N deux suites de nombres réels. On appelle somme de ces deux suites la suite (s n ) dont le terme général est défini par s n = u n + v n. On peut aussi multiplier une suite (u n ) par un nombre réel λ, ce qui donne la suite (λu n ). Théorème 3.1.2. Soient (u n ) n N et (v n ) n N, deux suites convergentes dont on notera û et ˆv les limites respectives. Alors lim n + v n ) n = û + ˆv, (3.1.1) lim n) n = λû. (3.1.2) Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 16

précédent section suivant Démonstration - La démonstration pour la somme est faite en exercice. Pour le produit par un scalaire, on peut écrire : Si λ = 0, la suite (λu n ) est la suite nulle, elle converge bien vers λû = 0. On suppose maintenant que λ 0. Somme de suites numériques convergentes λu n λû = λ (u n û) La suite (u n ) converge, donc pour tout ε > 0 donné, N, (n > N) ( u n û < ε λ ) Ce qui permet de conclure. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 17

précédent section suivant 3.1.8 Comparaison de deux suites Exercices : Exercice A.1.11 Exercice A.1.12 Exemples : Exemple B.1.4 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 18

précédent section suivant Théorème 3.1.3. (Théorème de comparaison) 1. Si (u n ) n N est une suite convergente de limite û et si Comparaison de deux suites alors û 0. n N, u n 0 2. Si (u n ) n N et (v n ) n N sont deux suites convergentes de limites respectives û et ˆv et si alors û ˆv. n N, u n v n, 3. Si (u n ) n N et (v n ) n N sont deux suites convergentes ayant la même limite l et si (w n ) n N est une suite telle que n N, u n w n v n, alors la suite (w n ) est convergente et a pour limite l. 4. Si (v n ) est une suite convergeant vers 0 et si la suite (u n ) vérifie alors la suite (u n ) tend vers 0. n N, u n v n, Sommaire Concepts Quelques remarques avant de démontrer ce théorème : Les points 1 et 2 ne permettent pas de démontrer que des suites convergent, ils permettent Exemples Exercices Documents 19

précédent section suivant seulement, quand on connait la convergence des suites, d avoir des propriétés sur les limites. Par contre les points 3 et 4 permettent de démontrer que, sous certaines conditions, des suites convergent. Comparaison de deux suites Pour le point 2, même si l on avait l inégalité stricte n N, u n < v n, on n obtiendrait, à la limite, que l inégalité large û ˆv. Cela signifie que l inégalité stricte devient, à la limite, une inégalité large. En effet, soient les deux suites de terme général u n = 0 et v n = 1 n, alors on a bien u n < v n, mais la limite est nulle pour les deux suites. Démonstration - 1. Nous allons raisonner par contraposée et supposons que û < 0. Alors, il existe ε > 0 tel que û < û + ε < 0. Or la convergence de (u n ) implique que pour cet ε on a N N, n N, (n > N) û ε < u n < û + ε. On obtient donc des indices n pour lesquels u n < û + ε < 0 ce qui est la négation de n N, u n 0. 2. La démonstration découle immédiatement du point précédent. En effet, on peut récrire la proposition à démontrer sous la forme n N, v n u n 0 ˆv û 0. En posant w n = u n v n et ŵ = ˆv û, on obtient une suite convergente (somme de deux suites convergentes dont les limites s ajoutent) à laquelle on peut appliquer la proposition précédente, ce qui donne le résultat. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 20

précédent section suivant 3. Pour démontrer que la suite (w n ) est convergente, écrivons les convergences des suites (u n ) et (v n ) vers l : ε > 0, N 1 N, n N, (n > N 1 ) l ε < u n < l + ε, Comparaison de deux suites ε > 0, N 2 N, n N, (n > N 2 ) l ε < v n < l + ε. Donc, pour ε > 0 donné, on pose N = max(n 1, N 2 ) et on obtient n N, (n > N) l ε < u n w n v n < l + ε, soit n N, (n > N) l ε < w n < l + ε, ce qui prouve que la suite (w n ) est convergente de limite l. 4. A démontrer en exercice. Corollaire 3.1.1. Soit (v n ) une suite convergeant vers 0 et soit (u n ) une suite bornée, alors la suite (u n v n ) tend vers 0. Démontrez ce corollaire en exercice. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 21

précédent section suivant 3.1.9 Produit de suites numériques convergentes Définition 3.1.6. Soient (u n ) n N et (v n ) n N deux suites de nombres réels. On appelle produit de ces deux suites la suite (w n ) dont le terme général est défini par w n = u n. v n. On peut remarquer que le produit d une suite (u n ) par un nombre réel λ, est un cas particulier du produit des suites. En effet, on peut considérer avoir formé ainsi, le produit de la suite (u n ) par la suite constante (v n ), dont tous les termes sont égaux à λ. Théorème 3.1.4. Si (u n ) n N et (v n ) n N sont deux suites convergentes dont on notera û et ˆv les limites respectives, alors lim (u nv n ) = û ˆv. (3.1.3) n Démonstration - On peut écrire : u n v n û ˆv = (u n û) v n + (v n ˆv)û. La suite (u n û) converge vers 0. La suite (v n ) converge donc elle est bornée. On utilise le corollaire 3.1.1, la suite ((u n û) v n ) converge donc vers 0. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 22

précédent section suivant û est une constante, la suite (v n ˆv) converge vers 0, donc la suite (û(v n ˆv)) converge vers û 0 = 0. On utilise enfin le théorème sur la somme de suites convergentes, on en déduit que la suite (u n v n û ˆv) converge vers 0, ce qui termine la démonstration. Produit de suites numériques convergentes Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 23

précédent section suivant 3.1.10 Somme et produit de suites qui tendent vers l infini Exercices : Exercice A.1.13 Théorème 3.1.5. 1. La somme de deux suites qui tendent vers + (resp ) tend vers + (resp ). 2. La somme d une suite qui tend vers + (resp ) et d une suite minorée (resp majorée) tend vers + (resp ). 3. Le produit de deux suites qui tendent vers + tend vers +. 4. Le produit d une suite qui tend vers + et d une suite qui tend vers l avec l > 0 (resp l < 0) tend vers + (resp ). La démonstration des 3 premieres propositions est simple, montrons la derniere proposition. (u n ) converge vers l > 0, on peut choisir ε = l 2, alors N 1 N, n N(n > N 1 u n l < l 2 l 2 < u n) Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 24

précédent section suivant (v n ) tend vers l infini donc On a donc : ( A R, N 2 N, n N n > N 2 v n > 2A ) l ( A R, N = max(n 1, N 2 ), n N n > N u n v n > 2A l ). l 2 = A Ce qui termine la démonstration. Somme et produit de suites qui tendent vers l infini Bien sûr les deux théorèmes précédents ne permettent pas de conclure quant à la somme d une suite qui tend vers + et d une suite qui tend vers, c est ce que l on appelle une indétermination du type +. On ne peut pas conclure non plus dans le cas du produit d une suite qui tend vers l infini et d une suite qui converge vers 0 : c est une indétermination du type 0. Théorème 3.1.6. Si la suite (u n ) n N tend vers + (resp ), si n N, v n u n (resp n N, v n u n ), alors la suite (v n ) n N tend vers + (resp ). Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 25

précédent section 3.1.11 Quotient de deux suites Exercices : Exercice A.1.14 Définition 3.1.7. Soient (u n ) n N et (v n ) n N deux suites de nombres réels. Si (v n ) n N est une suite dont tous les termes sont non nuls, on peut définir le quotient de la suite (u n ) par la suite (v n ) comme la suite (d n ) dont le terme général est défini par d n = u n v n. Si la suite (u n ) est telle que u n = 1, pour tout n, alors la suite d n = u n v n = 1 v n, est souvent appelée suite inverse de la suite (v n ). Théorème 3.1.7. Soient (u n ) n N et (v n ) n N, deux suites convergentes dont on notera û et ˆv les limites respectives. Si (v n ) n N est une suite dont tous les termes sont non nuls et dont la limite ˆv est non nulle alors, u n lim = û (3.1.4) n v n ˆv Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 26

précédent section Démonstration - Le principe de la démonstration va être de considérer la suite quotient (u n /v n ) comme le produit de la suite (u n ) par la suite (1/v n ). Il suffit alors de montrer que cette dernière suite converge vers 1/ ˆv et d utiliser ensuite le résultat sur le produit de deux suites convergentes. ( ) ( 1 1 Montrons donc la convergence de la suite vers ( ) v n ˆv 1 est une suite qui tend vers 0. ). Cela est équivalent à montrer que 1ˆv v n Pour cela on calcule 1 1ˆv v = ˆv v n n v n ˆv. Si on montre que v n est minorée par m > 0, on aura alors 1 1ˆv v 1 n m ˆv ˆv v n et le théorème de comparaison des suites permet de conclure. Montrons qu il existe m > 0 tel que n N,m v n. Puisque la suite (v n ) est convergente vers ˆv 0, nous pouvons choisir ε = ˆv 2 ( N N, n N, n > N v n ˆv < ˆv ) 2 < v n 2 v n ˆv < ˆv 2 ˆv ( On peut alors poser m = min v 0,..., v N 1, ˆv ), on aura bien n N,m v n 2 Quotient de deux suites Sommaire Concepts Théorème 3.1.8. Soit ( (u n )) une suite qui tend vers l infini, on suppose que 1 n,u n 0, alors tend vers 0. u n Exemples Exercices Documents 27

précédent section ( 1 Théorème 3.1.9. Soit (u n ) une suite qui tend vers 0, on suppose que n,u n > 0, alors vers +. u n ) tend Quotient de deux suites Ces deux théorèmes se démontrent très facilement. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 28

section précédente chapitre section suivante 3.2 Suites particulières 3.2.1 Suites adjacentes.............................. 30 3.2.2 Suites de Cauchy.............................. 32 3.2.3 Suites récurrentes.............................. 35 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 29

section suivant 3.2.1 Suites adjacentes Exercices : Exercice A.1.15 Exemples : Exemple B.1.5 Théorème 3.2.1. Soient (u n ) et (v n ) deux suites de nombres réels, telles que : 1. la suite (u n ) est croissante, 2. la suite (v n ) est décroissante, 3. la suite (v n u n ) tend vers 0. Alors les suites (u n ) et (v n ) convergent toutes deux vers la même limite. Démonstration - La suite (v n ) est décroissante par hypothèse. Comme la suite (u n ) est croissante, la suite ( u n ) est décroissante, de sorte que la suite (v n u n ) est aussi décroissante. Comme en outre, cette dernière suite converge vers 0 par hypothèse, nous en déduisons que tous ses termes v n u n sont positifs ou nuls, soit : n N, u n v n. nous en déduisons aussitôt que : n N, u 0 u n v n v 0. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 30

section suivant Ainsi, la suite (u n ) est majorée par v 0, tandis que la suite (v n ) est minorée par u 0. La suite (u n ), étant croissante et majorée, est convergente et soit l sa limite. De même la suite (v n ) décroissante et minorée est convergente et soit L sa limite. Il reste à démontrer que l = L. Suites adjacentes Sachant que les suites (u n ) et (v n ) convergent respectivement vers l et L, nous en déduisons que la suite (v n u n ) converge vers L l. Sachant par ailleurs que cette suite converge vers 0, nous arrivons à L l = 0, du fait de l unicité de la limite d une suite. Le théorème précédent, très utilisé, nous conduit à la définition suivante : Définition 3.2.1. Deux suites (u n ) et (v n ) possédant les propriétés (1), (2) et (3) du théorème précédent, sont dites adjacentes. Lorsque deux suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes, elles vérifient : m N, n N, u m v n. Autrement dit chaque terme de la suite (u n ) est inférieur à tous les termes de la suite (v n ). Ceci se vérifie en écrivant que : m N, n N, (m n) (u m u n v n v m ). Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 31

précédent section suivant 3.2.2 Suites de Cauchy Exercices : Exercice A.1.16 Exercice A.1.17 Exemples : Exemple B.1.6 Exemple B.1.7 Documents : Document C.1.1 Document C.1.2 Document C.1.3 Lorsque l on ne connaît pas la limite éventuelle d une suite, pour démontrer qu elle est convergente, on peut montrer qu elle est croissante (resp. décroissante) et majorée (resp. minorée) ou utiliser les suites de Cauchy. Définition 3.2.2. La suite (u n ) est une suite de Cauchy si : { ε > 0, N N tel que m N, n N, {(m N) et (n N)} ( u m u n ε). On montrera en exercice que cela est équivalent à : { ε > 0, N N tel que n N, p N, (n N) ( u n+p u n ε). Que signifie cette propriété? Elle signifie que, aussi petit que soit ε, à partir d un certain rang tous les éléments de la suite se trouvent dans un intervalle de longueur ε. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 32

précédent section suivant Proposition 3.2.1. Toute suite convergente est une suite de Cauchy. Suites de Cauchy Démonstration - Cela résulte directement de l inégalité : u n u m = u n l + l u m u n l + l u m. En effet, pour tout ε > 0, il existe N tel que (n N) ( u n l ε 2 ) et donc pour n, m N, on a : u n u m ε 2 + ε 2 = ε. Cette proposition admet une réciproque, que nous démontrons dans le deuxième document référencé. Finalement, nous avons le théorème suivant : Théorème 3.2.2. Une suite de nombres réels est convergente si et seulement si c est une suite de Cauchy. Le résultat précédent est utile aussi bien pour montrer qu une suite est convergente que pour démontrer qu une suite diverge. Ainsi, soit la suite définie par récurrence par : { u0 = 0, u n = u n 1 + 1 n, n 1. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 33

précédent section suivant On a donc : u 1 = 1, u 2 = 1 + 1 2, u 3 = 1 + 1 2 + 1 3,... Suites de Cauchy Montrons que cette suite n est pas une suite de Cauchy. Pour cela on considère u 2n u n = 1 2n + 1 2n 1 + 1 2n 2 +... + 1 n + 1. Comme chacun des n termes du membre de droite de l égalité précédente est minoré par 1 2n on peut écrire : u 2n u n n 1 2n = 1 2. Il suffit alors de prendre ε < 1 2 pour voir que la condition (C.1.3) est contredite, c est-à-dire ε = 1 4, N N, m = 2N, n = N tels que u m u n >ε. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 34

précédent section 3.2.3 Suites récurrentes Exercices : Exercice A.1.18 Exercice A.1.19 Exercice A.1.20 Exemples : Exemple B.1.8 Documents : Document C.1.4 On peut définir une suite (u n ): soit, en donnant une formule explicite exprimant u n en fonction de n, par exemple u n = 1 + 1 n, soit en exprimant u n en fonction de n et de certains termes précédents, par exemple u 0 = 0, u n = u n 1 + 1 n. Un cas particulier de cette deuxième méthode de construction de suites est le suivant : f étant une application de R dans lui-même supposée connue, on pose : { u0 donné, u n+1 = f (u n ), n 0, On dit alors que l on a une suite récurrente d ordre 1 (ordre 1 signifiant que seul le terme u n intervient explicitement dans la définition de u n+1 ). Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 35

précédent section Proposition 3.2.2. Si la fonction f vérifie la condition suivante, dite condition de Lipschitz : (L) K R, x R, y R, f (x) f (y) K x y, Suites récurrentes si de plus 0 < K < 1, et s il existe l R tel que l = f (l), alors la suite récurrente u n+1 = f (u n ) converge vers l. Démonstration - Puisque l = f (l), et que f vérifie une condition de Lipschitz on a u n l = f (u n 1 ) f (l) K u n 1 l. En itérant, on obtient 0 u n l K n u 0 l. Vous montrerez en exercice que K n est une suite qui converge vers 0. En utilisant le troisième point du théorème 3.1.3 sur les comparaisons de suites on en déduit que la suite ( u n l ) converge vers 0. D où la suite (u n l) converge vers 0 et la suite (u n ) converge vers l. Il n est pas nécessaire de connaître la limite l pour montrer que la suite récurrente est convergente, voir le document C.1.4. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 36

section précédente chapitre 3.3 Notions élémentaires sur les séries 3.3.1 Définition d une série............................ 38 3.3.2 Convergence d une série......................... 39 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 37

section suivant 3.3.1 Définition d une série Nous avons déjà vu des expressions de la forme S n = u 0 + u 1 + u 2 + + u n = n u i i=0 associées à la suite (u n ). À partir d une suite on peut donc constituer une nouvelle suite obtenue en sommant tous les termes jusqu à l ordre n. Définition 3.3.1. Étant donnée une suite (u n ), on appelle série de terme général u n la suite (S n ) dont le terme général est la somme partielle S n = u 0 + u 1 + u 2 + + u n = n u i. i =0 Voici quelques exemples de séries : Série géométrique : Série harmonique : Série de Riemann : S n = 1 + r + r 2 + r 3 + + r n. S n = 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 n. S n = 1 + 1 4 + 1 9 + + 1 n 2. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 38

précédent section 3.3.2 Convergence d une série Exercices : Exercice A.1.21 Documents : Document C.1.5 Document C.1.6 Exemples : Exemple B.1.9 Définition 3.3.2. On dit que la série de terme général u n est convergente (resp. divergente) si la suite (S n ) constituée des sommes partielles est une suite convergente (resp. divergente). Si on note : S = lim n S n alors on dit que S est la somme de la série et on écrit S = u i. i =0 Attention, bien que les expressions de S n et S se ressemblent, elles ne sont pas du tout de même nature S n = n i=0 u i est une somme finie de (n +1) termes, alors que S = i=0 u i par définition est une limite (la limite de la suite S n ). Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 39

précédent section La nature d une série (c est-à-dire sa convergence ou divergence) est, comme celle des suites, inchangée si l on modifie un nombre fini de ses termes. Mais sa somme (quand elle est convergente) sera changée. Il est donc important, dans le calcul de la somme d une série, de préciser le domaine de variation de l indice n. Convergence d une série Soit la série géométrique, le premier document référencé montre que, pour r 1: n N, r R, S n = 1 r n+1. 1 r Ceci montre que la série est convergente si r <1 et que dans ce cas on a r ] 1,+1[, S = n=0 Par contre elle diverge pour toutes les autres valeurs de r. r n = 1 1 r. Comme exemple de suites de Cauchy (Exemple B.1.9), nous avons montré que la suite S n = 1 + 1 4 + 1 9 + + 1 n 2, est convergente. Il s agit de la série de Riemann. On montre, mais cette démonstration sort du cadre de ce cours, que sa somme est égale à π 2 /6. Proposition 3.3.1. Une condition nécessaire de convergence d une série est que son terme général tende vers 0. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 40

précédent section Démonstration - Si la suite (S n ) tend vers une limite S, il est clair qu il en est de même de la suite (S n+1 ), donc la suite (S n+1 S n ) = (u n ) tend vers 0. Dans le deuxième document référencé, on définit les séries absolument convergentes. Convergence d une série Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 41

précédent suivant Annexe A Exercices A.1 Exercices du chapitre 3............................. 43 A.2 Exercices de TD.................................. 65 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 42

chapitre section suivante A.1 Exercices du chapitre 3 A.1.1 Ch3-Exercice1................................ 44 A.1.2 Ch3-Exercice2................................ 45 A.1.3 Ch3-Exercice3................................ 46 A.1.4 Ch3-Exercice4................................ 47 A.1.5 Ch3-Exercice5................................ 48 A.1.6 Ch3-Exercice6................................ 49 A.1.7 Ch3-Exercice7................................ 50 A.1.8 Ch3-Exercice8................................ 51 A.1.9 Ch3-Exercice9................................ 52 A.1.10 Ch3-Exercice10............................... 53 A.1.11 Ch3-Exercice11............................... 54 A.1.12 Ch3-Exercice12............................... 55 A.1.13 Ch3-Exercice13............................... 56 A.1.14 Ch3-Exercice14............................... 57 A.1.15 Ch3-Exercice15............................... 58 A.1.16 Ch3-Exercice16............................... 59 A.1.17 Ch3-Exercice17............................... 60 A.1.18 Ch3-Exercice18............................... 61 A.1.19 Ch3-Exercice19............................... 62 A.1.20 Ch3-Exercice20............................... 63 A.1.21 Ch3-Exercice21............................... 64 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 43

section suivant Exercice A.1.1 Ch3-Exercice1 Soient α et u 0 deux réels donnés. Soit alors (u n ) une suite géométrique définie par u n = αu n 1. Donner le terme général de la suite en fonction de n, α et u 0. Solution Retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 44

précédent section suivant Exercice A.1.2 Ch3-Exercice2 Soit une suite u n et soit la suite v n = u n l, où l est un réel donné. Montrer, en utilisant la définition de la convergence que ((u n ) tend vers l) ((v n ) tend vers 0) Solution Retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 45

précédent section suivant Exercice A.1.3 Ch3-Exercice3 Quelle est la limite d une suite constante? (On fera la démonstration en utilisant la définition). Solution Retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 46

précédent section suivant Exercice A.1.4 Ch3-Exercice4 Utiliser la définition de la convergence pour montrer que la suite u n = 1, n > 0, tend vers 0. n Solution Retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 47

précédent section suivant Exercice A.1.5 Ch3-Exercice5 Écrire, à l aide de quantificateurs, la définition de la divergence d une suite u n. Montrer alors que la suite (u n ) définie par u n = ( 1) n est divergente. Solution Retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 48

précédent section suivant Exercice A.1.6 Ch3-Exercice6 En utilisant le lien entre les suites convergentes et les suites bornées, montrer qu une suite qui tend vers l infini est divergente. Solution Retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 49

précédent section suivant Exercice A.1.7 Ch3-Exercice7 Montrer que la suite u n = n est croissante et majorée. Est-elle convergente? n + 1 Solution Retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 50

précédent section suivant Exercice A.1.8 Ch3-Exercice8 1. Soient (u n ) et (v n ) deux suites croissantes. Montrer que la suite (u n +v n ) est aussi croissante. 2. Soit (u n ) une suite croissante. Montrer que la suite ( u n ) est décroissante. Solution Retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 51

précédent section suivant Exercice A.1.9 Ch3-Exercice9 Soit (u n ) une suite croissante. Montrer que si (u n ) converge vers une limite l, alors quel que soit n N, on a u n l. Solution Retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 52

précédent section suivant Exercice A.1.10 Ch3-Exercice10 Soient (u n ) n N et (v n ) n N, deux suites convergentes dont on notera û et ˆv les limites respectives. En utilisant la définition de la convergence, montrer que la suite (u n + v n ) converge vers û + ˆv (on pensera à utiliser l inégalité triangulaire : u n + v n û ˆv u n û + v n ˆv ). Solution Retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 53

précédent section suivant Exercice A.1.11 Ch3-Exercice11 Soit (v n ) une suite convergeant vers 0 et soit la suite (u n ) telle que n N, u n v n. Montrer que la suite (u n ) tend vers 0. Solution Retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 54

précédent section suivant Exercice A.1.12 Ch3-Exercice12 Soit (v n ) une suite convergeant vers 0 et soit (u n ) une suite bornée, montrer que la suite (u n v n ) tend vers 0. Solution Retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 55

précédent section suivant Exercice A.1.13 Ch3-Exercice13 1. Donner des exemples de suites (u n ) et (v n ) qui tendent respectivement vers + et telles que : (a) (u n + v n ) tende vers. (b) (u n + v n ) tende vers +. (c) (u n + v n ) converge vers l. 2. Donner des exemples de suites (u n ) et (v n ) qui tendent respectivement vers + et 0 telles que : (a) (u n v n ) tende vers +. (b) (u n v n ) converge vers 0. (c) (u n v n ) converge vers l 0. Retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 56

précédent section suivant Exercice A.1.14 Ch3-Exercice14 Soit (u n ) une suite convergente de limite l strictement positive. 1. Montrer qu il existe un entier naturel N tel que, pour tout n supérieur à N, on ait u n > 0. 2. Si on définit la suite (v n ) par v n = 1/u n, pour n supérieur au N précédent, les N premiers termes de la suite étant quelconques, quelle est la limite de la suite (v n )? 3. Peut-on faire le même raisonnement si l < 0? Solution Retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 57

précédent section suivant Exercice A.1.15 Ch3-Exercice15 Soit (a n ) n 1 une suite d entiers compris entre 0 et 9. On associe à (a n ) n 1, les suites de nombres rationnels suivantes : n a k n α n = 10 k, β a k n = 10 k + 1 10 n k=1 Montrer que ces deux suites (α n ) et (β n ) sont adjacentes. [Elles définissent un réel x, leur limite commune, dont α n et β n sont les approximations décimales à 10 n près, respectivement par défaut et par excès.] k=1 Solution Retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 58

précédent section suivant Exercice A.1.16 Ch3-Exercice16 Montrer que est équivalent à ε > 0, N N tel que {(m N) et (n N)} ( u m u n ε), ε > 0, N N tel que {(n N) et (p N)} ( u n+p u n ε). (Une des deux implications est claire, pour l autre il faut voir que si deux entiers sont quelconques, l un est nécessairement supérieur ou égal à l autre). Solution Retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 59

précédent section suivant Exercice A.1.17 Ch3-Exercice17 Montrer, en utilisant les suites de Cauchy, que la suite (u n ), définie par u n = ( 1) n est divergente. Solution Retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 60

précédent section suivant Exercice A.1.18 Ch3-Exercice18 Montrer que la suite récurrente { u0 = 1, u n+1 = Ku n, n 0. où 0 K < 1 est une suite convergente. Puis montrer que sa limite est nulle. Solution Retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 61

précédent section suivant Exercice A.1.19 Ch3-Exercice19 Étudier, selon le nombre réel α, la suite récurrente linéaire d ordre 1 définie par { u0 donné, u n+1 = αu n, n 0. Solution Retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 62

précédent section suivant Exercice A.1.20 Ch3-Exercice20 Soit f une fonction réelle telle que (L) x R, y R, f (x) f (y) K x y, où 0 < K < 1 est donné. Montrer que si l équation u = f (u) a une solution, celle-ci est unique. Solution Retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 63

précédent section Exercice A.1.21 Ch3-Exercice21 Soit la série (u n ), définie par u 0 = 0, u n = 1, pour (n > 0). n Notons (S n ), la suite des sommes partielles associées. 1. Montrer que S n = S n 1 + 1/n, S 0 = 0. 2. Nous avons déjà étudié la convergence de cette suite. Vous souvenez-vous du résultat? 3. Est-ce que la suite (u n ) tend vers 0? Ce résultat permet-il de conclure que la série (u n ) converge? Solution Retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 64

section précédente chapitre A.2 Exercices de TD A.2.1 TD3-Exercice1................................ 66 A.2.2 TD3-Exercice2................................ 67 A.2.3 TD3-Exercice3................................ 68 A.2.4 TD3-Exercice4................................ 70 A.2.5 TD3-Exercice5................................ 71 A.2.6 TD3-Exercice6................................ 72 A.2.7 TD3-Exercice7................................ 73 A.2.8 TD3-Exercice8................................ 74 A.2.9 TD3-Exercice9................................ 76 A.2.10 TD3-Exercice10............................... 77 A.2.11 TD3-Exercice11............................... 80 A.2.12 TD3-Exercice12............................... 81 A.2.13 TD3-Exercice13............................... 82 A.2.14 TD3-Exercice14............................... 83 A.2.15 TD3-Exercice15............................... 85 A.2.16 TD3-Exercice16............................... 86 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 65

section suivant Exercice A.2.1 TD3-Exercice1 Montrer en utilisant la définition que u n = n 1 2n admet 1 2 comme limite. Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 66

précédent section suivant Exercice A.2.2 TD3-Exercice2 Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles. 1. On suppose que (u n ) converge, (v n ) diverge, est-ce que (u n + v n ) converge? 2. On suppose que (u n ) diverge, (v n ) diverge, est-ce que (u n + v n ) converge? Question 1 Aide 1 Question 2 Aide 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 67

précédent section suivant Exercice A.2.3 TD3-Exercice3 Dans chacuns des cas suivants, la suite (u n ) est-elle convergente? Si oui quelle est sa limite? On ne demande pas d utiliser la définition, mais d utiliser précisément les résultats démontrés dans le cours. 1. i) u n = n2 1 2n 2 n, n N 1 1, ii) u n =, n N, n 2. 3. 4. 5. iii) u n = e n 2 +1 e n, n N, iv) u n = n (k + 1), n N, k=0 v) u n = n sin 1 n, n N, vi) u n = 1 n sinn,n N, vii) u n = n 2 sin 1 n,n N viii) u n = ( 1)n n sin 1 n, n N, ix) u n = ( 1 2 ( 1 ) n ( 2 + 1 n 5) ) n+1 ( + 1 n 1, n N. x) u n = 6) n k=0 2 k 3 k+2, n N Sommaire Concepts Réponses : i) tend vers +, ii) converge vers 2, iii) converge vers 1, iv) tend vers +, v) converge vers 1, vi) converge vers 0, vii) tend vers +, viii) converge vers 0, ix) converge vers 2, x) converge vers 1 3. Exemples Exercices Documents 68

précédent section suivant Question 1 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Aide 5 Question 3 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 4 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 5 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Exercice A.2.3 TD3-Exercice3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 69

précédent section suivant Exercice A.2.4 TD3-Exercice4 Etudier la convergence des suites suivantes et donner leur limite quand elle existe. i) u n = cos(nπ), n N, ii) u n = n + 1 n, n N, n iii) u n = ln(n + 1) ln(n), n N, iv) u n = an + b n k=0 a n b n, n N,0 a < b, n n ( 1) k v) u n = k, n N, vi) u n = 5 k, n N, k=0 vii) u n = n! n n, n N, viii) u n = 2n n!, n N, ix) u n = 2n n n, n N. Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 70

précédent section suivant Exercice A.2.5 TD3-Exercice5 Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 0, u 1 = 0, u n = 1 1 n, lorsque n est pair, strictement positif, u n = 1 1 n 2, lorsque n est impair, strictement plus grand que 1, 1. Calculer les 6 premiers termes. 2. Calculer sup{u n ; n N} (faire une démonstration rigoureuse). 3. Donner la limite de la suite (u n ) (faire une démonstration rigoureuse). 4. La suite est-elle croissante à partir d un certain rang? Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 71

précédent section suivant Exercice A.2.6 TD3-Exercice6 u 0, a,b sont des réels donnés, on définit : u n+1 = au n + b,n N. 1. On choisit b = 1 et successivement a = 1 2, a = 1 2, a = 2, a = 2. Dans chacun de ces cas, étudier graphiquement si la suite est croissante, décroissante, convergente (si oui, vers quelle limite?) 2. (a) Etudier le cas a = 1. (b) Dans le cas a 1,b quelconque, lorsque la suite converge, que vaut sa limite l? (c) Etudier la convergence de la suite (u n ) (on pourra étudier la suite de terme général v n = u n l) Réponse ( : la suite converge ( si et seulement si (a = 1 et b = 0) ou a 1 et u 0 = b ) ) ou ( a <1). 1 a Question 1 Aide 1 Aide 2 Question 2a Aide 1 Aide 2 Question 2b Aide 1 Question 2c Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Aide 5 Aide 6 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 72

précédent section suivant Exercice A.2.7 TD3-Exercice7 Lorsque l on veut étudier une suite récurrente définie par u n+1 = f (u n ), on étudie les variations de f, le signe de f (x) x, on détermine, s il(s) existe(nt), le(s) point(s) fixe(s) de f. 1. On définit f (x) = 2x3 + 2x 1, u 0 étant donné, on définit la suite u n+1 = f (u n ) Etudier la 3 convergence de la suite (u n ). Réponse : la suite diverge sauf si u 0 = 1. x + 1 2. On définit f (x) = 2,0 u 0 1, (u n+1 = f (u n ),n N). (a) Montrer que u n est défini pour tout n N. (b) Etudier graphiquement la suite (u n ). (c) Démontrer les résultats précédents. Réponse :(u n ) converge vers 1. 3. On définit f (x) = 1 2 (x2 + 1), u 0 R,(u n+1 = f (u n ),n N). (a) Etudier graphiquement la suite (u n ). (b) Démontrer les résultats précédents dans le cas u 0 0. (c) Etudier le cas u 0 < 0. Réponse : la suite converge pour u 0 [ 1,+1], elle diverge sinon. Sommaire Concepts Aide 1 Exemples Exercices Documents 73

précédent section suivant Exercice A.2.8 TD3-Exercice8 1. On définit la suite de terme général u 0 > 1, u n+1 = 1 + u n 1, n N. (a) Montrer que u n est défini pour tout entier n. (b) On note f (x) = 1 + x 1. Etudier les variations de f, le signe de f (x) x et montrer que f admet un point fixe α appartenant à ]1,+ [. (c) Etudier graphiquement la suite (u n )(u 0 < α, u 0 > α). (d) Démontrer directement les résultats déduits en (c). 2. Mêmes questions pour la suite u 0 9, u n+1 = 9 + u n, n N, en adaptant la définition de la fonction f et l intervalle sur lequel vous l étudiez. 3. Mêmes questions pour la suite u 0 R, u n+1 = 1 exp( u n ), n N. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 74

précédent section suivant Question 1a Aide 1 Question 1b Aide 1 Question 1c Aide 1 Question 1d Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Question 2 Aide 1 Question 3 Aide 1 Exercice A.2.8 TD3-Exercice8 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 75

précédent section suivant Exercice A.2.9 TD3-Exercice9 Soit f la fonction définie sur ]0,+ [ par f (x) = 1 ( x + a ), où a R + 2 x. 1. Etudier les variations de la fonction f. En déduire que a < f (x) < x si x > a. 2. Soit (u n ) la suite définie par u 1 > a, u n+1 = 1 ) (u n + aun. Montrer qu elle est convergente 2 et calculer sa limite. 3. On pose ε n = u n a. Montrer que ε n+1 = ε2 n ε2 n 2u n 2 a. ( ε1 ) 2 n. 4. On pose b = 2 a. Montrer que ε n+1 b b 5. Application numérique On prend a = 3, u 1 = 2, vérifier que 1 10 > 2 a 2 a et majorer ε 5. Conclure. Question 1 Aide 1 Question 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Question 3 Aide 1 Question 4 Aide 1 Aide 2 Question 5 Aide 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 76

précédent section suivant Exercice A.2.10 TD3-Exercice10 a,b,c,d étant quatre nombres réels, on définit quand c est possible, u n+1 = au n + b cu n + d. 1. Si la suite (u n ) est définie pour tout n et converge vers l, montrer que l vérifie une équation du second degré (E) que l on précisera. 2. Soit u 0 R, u n+1 = u n 9 u n + 1. On suppose que u n est défini pour tout n, est-ce que la suite (u n ) est convergente? 3. Soit la suite de terme général u n défini par u 0 judicieusement choisi, u n+1 = 2u n + 3 u n + 4, n N. (a) Montrer que l équation (E) admet 2 racines α et β que l on explicitera. (b) Montrer qu il existe un réel λ, ne dépendant ni de n ni de u 0, tel que l on ait u n+1 α u n+1 β = λu n α u n β. Sommaire Concepts (c) En déduire une relation entre u n et n. (d) Quelle condition imposer alors sur u 0 pour que la suite (u n ) soit définie pour tout entier naturel n? Exemples Exercices Documents 77

précédent section suivant (e) On suppose que u 0 vérifie la condition précédente. Montrer alors que la suite (u n ) converge vers une limite l que l on explicitera. 4. Mêmes questions avec Exercice A.2.10 TD3-Exercice10 u 0 judicieusement choisi, u n+1 = u n 3 2u n, n N. 5. Mêmes questions avec u 0 judicieusement choisi, u n+1 = 7u n + 3 u n + 5, n N. 6. On définit la suite (u n ) par u 0 judicieusement choisi, u n+1 = 4 + 4u n 8 u n, n N. Montrer que l équation (E) admet une racine double α. 1 Montrer que la suite : v n+1 = est une suite arithmétique. u n+1 α En déduire la limite de la suite (u n ). Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 78

précédent section suivant Question 1 Aide 1 Aide 2 Question 2 Aide 1 Aide 2 Question 3a Aide 1 Question 3b Aide 1 Aide 2 Question 3c Aide 1 Aide 2 Question 3d Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 3e Aide 1 Aide 2 Question 4 Aide 1 Question 5 Aide 1 Question 6 Aide 1 Exercice A.2.10 TD3-Exercice10 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 79

précédent section suivant Exercice A.2.11 TD3-Exercice11 Soit a [0,1], on considère la suite (u n ) définie par u 0 ] a, a[, u n+1 = u n + 1 2 (a u2 n ), n N. 1. On note f (x) = x + 1 2 (a x2 ). Etudier les variations de f, le signe de f (x) x et montrer que f admet deux points fixes. 2. Etudier graphiquement la suite (u n ). 3. Démontrer les résultats pressentis graphiquement. Question 1 Aide 1 Question 2 Aide 1 Question 3 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 80

précédent section suivant Exercice A.2.12 TD3-Exercice12 1. On considère les suites de termes généraux définis pour n N par v n = n 1 k!, u n = v n + 1 nn!. k=0 Montrer que ces 2 suites sont adjacentes. On peut montrer, par l absurde, que leur limite commune ne peut pas être un nombre rationnel (facultatif). 2. Montrer que les suites de termes généraux u n et v n définis par u 0 > 0, v 0 > 0, u n+1 = u n + v n, v n+1 = 2u nv n, n N 2 u n + v n sont adjacentes. Trouver leur limite en étudiant w n = u n v n. 3. Montrer que les suites de termes généraux u n et v n définis par u 0 > 0, v 0 > 0, u n+1 = u n + v n, v n+1 = u n v n, n N 2 sont adjacentes. [Leur limite, que l on ne demande pas de calculer, est une fonction de u 0 et v 0 appelée moyenne géométrico-arithmétique ]. Sommaire Concepts Question 1 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Aide 5 Question 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Aide 5 Question 3 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Exemples Exercices Documents 81

précédent section suivant Exercice A.2.13 TD3-Exercice13 On suppose 0 < b < a, montrer que les suites définies par sont adjacentes. Déterminer leur limite. u n+1 = au n + bv n, v n+1 = bu n + av n a + b a + b Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Aide 5 Aide 6 Aide 7 Aide 8 Aide 9 Aide 10 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 82

précédent section suivant Exercice A.2.14 TD3-Exercice14 1. (a) i. Chercher toutes les suites géométriques qui vérifient la relation 2u n = 5u n 1 2u n 2,n N,n 2. (A.2.1) ii. Montrer que si deux suites quelconques de terme général v n et v n vérifient la relation (A.2.1), alors la suite w n = v n + v n vérifie également cette relation. (b) Utiliser la question précédente pour trouver une suite (u n ) qui vérifie les conditions : u 0 = 6,u 1 = 9,2u n = 5u n 1 2u n 2,n N,n 2 (A.2.2) (c) i. Montrer que la suite (u n ) ainsi définie est la seule qui vérifie les conditions (A.2.2). ii. La suite (u n ) est-elle convergente? (Réponse : non). 2. Mêmes questions pour la suite définie par u 0,u 1 deux réels donnés,u n = u n 1 + 2u n 2,n N,n 2. 3 Réponse : la suite converge vers 2 5 u 0 + 3 5 u 1 3. (a) i. Chercher toutes les suites géométriques qui vérifient la relation u n = 2u n 1 u n 2,n N,n 2. (A.2.3) Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 83

précédent section suivant ii. Montrer que si la suite géométrique de terme général v n vérifie la relation (A.2.3), alors la suite v n = nv n vérifie également cette relation. (b) Utiliser la question précédente pour trouver la suite u n qui vérifie les conditions : Exercice A.2.14 TD3-Exercice14 u 0,u 1 réels donnés,u n = 2u n 1 u n 2,n N,n 2 (A.2.4) (c) La suite (u n ) est-elle convergente? Réponse : non sauf si u 0 = u 1 = 0 Question 1(a)iAide 1 Aide 2 Aide 3 Question 1(a)iiAide 1 Question 1b Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 1(c)iAide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Question 1(c)iiAide 1 Question 2 Aide 1 Question 3(a)iAide 1 Aide 2 Question 3(a)iiAide 1 Aide 2 Question 3b Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Aide 5 Question 3c Aide 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 84

précédent section suivant Exercice A.2.15 TD3-Exercice15 1. Soit a un nombre réel, soit (u n ) une suite qui vérifie n N u n a 1 n Montrer que la suite (u n ) converge vers a. 2. Soit A un sous ensemble de R, on suppose que A admet une borne supérieure a. Montrer qu il existe une suite d éléments de A qui converge vers a. 3. Soit A un sous ensemble de R, soit a un majorant de A. On suppose qu il existe une suite (u n ) d éléments de A qui vérifie lim n + u n = a. Montrer que a est borne supérieure de A. 4. Enoncer des résultats similaires dans le cas de la borne inférieure. Utiliser ces résultats pour déterminer la borne inférieure de A = {( 1) n + 1 n,n N }. Aide 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 85

précédent section Exercice A.2.16 TD3-Exercice16 La suite de terme général u n = sin(1) + sin(2) 2 2 2 +... + sin(n) 2 n, n N, est-elle convergente? (Etudier la convergence de cette suite permet d étudier la convergence de la série de terme général sin(n) 2. En effet on vient de montrer que cette série est absolument convergente et donc convergente comme il l est dit dans le document n C.1.6. Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 86