L'ensemble de producton est noté Z n : l s'agt de l'ensemble des paners de producton possbles dans l'économe (= ce que l'on peut produre) On chost des paners de producton : l s'agt d'une sute ordonnée des productons nettes de tous les bens de l'économe ; c'est z = (z 1 z z n ) On peut écrre l'output NET (producton nette) ans : z = q - v 2 cas de fgure se présentent : s q > v alors z > 0 donc nous avons un OUTPUT net s q < v alors z < 0 donc nous avons un INPUT net En résumé Pour le consommateur, la CB est lnéare ---------- Pour le producteur c'est le proft qu est lnéare Nous allons fare des hypothèses sur Z n : on va essayer de représenter Z n * on peut produre qu'en foncton de la technologe dsponble * on ne peut pas produre de montants nfns * on ne peut pas produre sans utlser d'nputs Je peux produre tout ce qu est hachuré Un ben peut être à la fos un nput ou un nput Le paner z peut être produt car l appartent à Z n Tous les paners de la lmte appartennent à l'espace de producton (lmte comprse) Notes de cours FGéraud sur le cours de mcroéconome de PhDarreau 2000-2001 Page 14
Mas on peut se poser la queston de savor s les paners z, ˆ z et z' sont tous "ntellgents à produre" B/ Problème d'effcence technque Un ngéneur peut dre que z n'est pas technquement effcent CAR pour ce paner, l exste des productons nettes supéreures pour au mons un ben A est un paner technquement effcent car l n'exste pas de productons nettes supéreures pour au mons un ben C/ La maxmsaton du proft Le producteur achète les nputs v ce qu lu cause des dépenses et l vend les outputs q ce qu engendre des recettes D'où : π = recettes - dépenses = p q p v = p (q v ) ) (z Je fas l'hypothèse que le producteur est RATIONNEL : l chost un paner appartenant à Z n ; celu-c lu permet d'obtenr le maxmum de proft Représentaton du proft : Notes de cours FGéraud sur le cours de mcroéconome de PhDarreau 2000-2001 Page 15
π = p 1 z 1 + p 2 z 2 z 2 = π p 2 p 1 p 2 z 1 HP1 Le producteur chost dans Z n le paner d'équlbre z* lu procurant un nveau de proft maxmum pour des prx donnés (l est prce-taker) ; c'est-à-dre : n π * = p z * > p z = π =1 n =1 Le chox du producteur est explqué et dépend des PRIX Ce sont les prx qu ndquent à chaque producteur ce qu'l dot fare [27/10/2000] D/ Exstence du paner d'équlbre z* Nous avons touours l'hypothèse de dvsblté, nous devons aouter HP2 ndquant que Z n est fermé et HP3 : Z n est borné (cf graphque page 14) E/ Uncté de z* HP4 dot être vérfée (c'est la même que dans la théore du consommateur) à savor que l'ensemble de producton Z n est strctement convexe Notes de cours FGéraud sur le cours de mcroéconome de PhDarreau 2000-2001 Page 16
Rappel : z 1 est un nput et z 2 un output On veut des rendements d'échelle et factorels décrossants (cf page 22) F/ La foncton de producton et la maxmsaton du π Dans la théore du consommateur, nous avons TMS / Pour le producteur, l nous faut également une foncton : c'est la foncton de producton C'est la parte effcente de la lmte de Z n que nous allons consdérer ; celle-c est caractérsée par la foncton de producton nette F(z) = 0 Lecture du graphque : pour 1 z 1, l n'y a qu'un z 2 correspondant L'ensemble des paners de producton effcents peut être représenté par une foncton On écrt : z 2 = f(z 1 ), ce qu permet de dre que F(z) = z 2 - f(z 1 ) = 0 Par conventon, F(z) = 0 ; c'est ce que l'on appelle la foncton de producton F(z) = 0 représente l'ensemble des paners de producton technquement effcents Nota : l'effcence technque ne consdère pas les prx ; c'est dfférent du concept d'effcence économque qu prend en compte les prx car l y a maxmsaton Comme le producteur maxmse son proft sous la contrante de la foncton de producton (de l'ensemble des paners effcents), e ne peux m'ntéresser qu'à cet ensemble : e consdère donc seulement les paners se trouvant sur la lmte supéreure de l'ensemble de producton (ce qu est en rouge sur le graphque c-dessus) HP5 : la foncton de producton est contnue et dfférentable usqu'au deuxème ordre (F(z) est dérvable 2 fos) car on fat un calcul d'optmsaton Remarque : en premère année, on appelat la foncton de producton q = f(v) ; cette année on l'écrt z 2 = f(z 1 ) ou q 2 = f(v 1 ) Notes de cours FGéraud sur le cours de mcroéconome de PhDarreau 2000-2001 Page 17
Résultat de la théore : Mun de ces outls (foncton de producton) et de ces hypothèses, le problème du chox de producton peut être posé par l'économste ans : Max π = p z sous F(z) = 0 n =1 On calcule le Lagrangen (sans oubler d'ndquer les varables de contrôle ; c, l s'agt de z et de λ) Le Lagrangen du problème est L(z,λ) = Les condtons du 1 er ordre sont : L = p z 1 λ F = 0 1 z 1 L = p z λ F = 0 z L z n = p n λ F z n = 0 L λ = F(z) = 0 n =1 p z λ(f(z)) La soluton nous donne la proprété de l'équlbre du producteur : F(z)/ z ---- On peut rapprocher ce résultat de la théore du consommateur ; on se rappelle en effet que l'on trat U(x)/ x U(x)/ x Par le théorème des fonctons mplctes, on écrt que x x = U(x) / x U(x)/ x D'où x x = TMS ---- Dans la théore du producteur, c'est la même démarche, on dot nterpréter le rapport des dérvées partelles Applquons donc la méthode c-dessus avec le théorème des fonctons mplctes (TFI) On repart de F(z)/ z pus par le TFI, on écrt que z z = F(z)/ z Que sgnfe z z? C'est la varaton de l'output net consécutve à une pette varaton de l'nput Mas cec n'est pas vrament ntéressant, on va chercher davantage Notes de cours FGéraud sur le cours de mcroéconome de PhDarreau 2000-2001 Page 18
Pour nterpréter la proprété de l'équlbre, on va dstnguer 3 cas Cas 1 : on consdère que les bens et sont 2 nputs En premère année, on a vu que état un nput d'où l'écrture z = q - v Comme q = 0, on écrt donc que v = - z d'où fnalement z = - v Notatons : z -> v et z -> v avec les prx notés w La 1 ère nterprétaton de la proprété d'équlbre est l'écrture : - dv = w A l'équlbre, on dv w reconnaît la formule du TMST = w /w Ic, maxmser le proft = mnmser les dépenses car e rasonne TCEPA Pour q : la RT (recette totale) est constante d'où RT = p q Comme π = RT - DT (dépense totale), e peux écrre que DT = w v + w v + cste (l y a une constante car e rasonne TCEPA) Nota : c, seuls et varent A l'équlbre, le TMST dot être égal au rapport des prx des nputs En effectuant le produt crosé de - dv = w on peut écrre - dv dv w *w = dv *w, ce qu peut s'nterpréter de la manère suvante : "le proft est maxmum que s la basse des dépenses en bens est égale à la hausse des dépenses de bens " Cas 2 : on consdère que les bens et sont 2 outputs Nous avons touours F(z)/ z (après Max π sous F(z)) pus par le TFI, on écrt que z z = F(z)/ z Comme et sont 2 outputs, nous obtenons : dq dq = TTP Le TTP est l'opposé de la pente de la CPP (courbe des possbltés de producton) Notes de cours FGéraud sur le cours de mcroéconome de PhDarreau 2000-2001 Page 19
Interprétaton : de comben e dos dmnuer la quantté de ben quand 'augmente la quantté produte du ben d'une pette quantté TCEPA Pourquo dq? Car π = p dq p *q + *q - cste TCEPA On a q = π ± cste p q p On vot ben que maxmser le proft c'est pousser l'ordonnée à l'orgne le plus haut possble usqu'à ce qu'l y at tangence En effectuant le produt crosé de - dq on peut écrre - dq dq p * = dq *p, ce qu peut s'nterpréter de la manère suvante : "ce que e vas gagner en vendant mons de bens dot être égal à ce que e vas gagner en vendant plus de bens " Cas 3 : on consdère que (-v ) est un nput et que (q ) est un output Nous avons touours F(z)/ z (après Max π sous F(z)) pus par le TFI, on écrt que z z = F(z)/ z Notatons : z -> q = 0 -> z = - v et z -> v = 0 -> z = q Pourquo dz = dq dz d(-v ) = dq? Avec π = p dv *q - w *v, on trouve q = π ± cste Pus Max π = *q - w *v Max π = *f(v) - w *v D'où π v = q * f v w = 0 Nous obtenons : Pm = w / + w w v Notes de cours FGéraud sur le cours de mcroéconome de PhDarreau 2000-2001 Page 20
Maxmser mon proft revent à pousser le plus haut possble la drote ; la pente de cette drote est ben le rapport des prx : RP = w / Interprétaton : la productvté margnale en valeur de l'nput est égale au prx de l'nput Exemple : s ma dépense supplémentare en engras est de 100F, e le fera usqu'à ce que cela me rapporte 100F de plus en producton ; au delà s ma dépense en engras de 100F condut à 80F supplémentare de producton, e ne sera pas d'accord car la Pm en valeur est décrossante On obtent auss l'écrture : P * Pm = w exemple : l y a du chômage car les syndcats fxent le prx du traval au delà du prx d'équlbre : pour y reméder, l faudrat basser les salares EN RESUME Ces 3 graphques sont des représentatons de F(z) = 0 mas dans des plans dfférents Notes de cours FGéraud sur le cours de mcroéconome de PhDarreau 2000-2001 Page 21
Ce qu serat ntéressant, c'est d'avor une mage de F ; fasons une représentaton en 3-D En 3-D, la foncton de producton (qu est la poche supéreure du ballon) est une surface Nous consdérons z 1 = 0, z 3 > 0 et z 2 < 0 Quel est l'nterprétaton de la convexté du ballon, de la surface? On utlse la noton de rendement D'une part les rendements factorels qu concernent q TCEPA (varatons d'un seul nput) v Et de l'autre, les rendements d'échelle (varatons de tous les nputs q) On fat l'hypothèse de convexté car c'est la seule façon d'attendre la maxmum de proft S les productvtés margnales ne sont pas décrossantes alors l n'exsterat pas d'équlbre concurrentel La productvté margnale est décrossante : c'est une condton du second ordre de l'extence d'un proft d'équlbre concurrentel Max π = *q - w *v = *f(v) - w *v Condton du 1 er ordre : π v = * Pm (v ) w = 0 Condton du 2 ème ordre : 2 π v 2 = Pm (v ) v < 0 Notes de cours FGéraud sur le cours de mcroéconome de PhDarreau 2000-2001 Page 22
Rendements factorels = Pm Il y a ben CONVEXITE Il faut auss que les rendements d'échelle soent décrossants Z est auss convexe avec des RE décrossants RE crossants RE décrossants Notes de cours FGéraud sur le cours de mcroéconome de PhDarreau 2000-2001 Page 23