Probabltés A) Vocabulare.. Expérence aléatore. Défntons : Une expérence est dte aléatore s elle vérfe tros condtons : Elle condut à des résultats possbles qu on est capable de nommer. On ne sat à l avance lequel de ces résultats va se produre quand on réalse l expérence. L expérence dot être reconductble dans les mêmes condtons. Exemples : «On lance une pèce de monnae et on regarde sur quelle face elle tombe.» Cette expérence est ben une expérence aléatore car : ) Il y a deux résultats possbles : «ple» ou «face». 2) Quand on lance la pèce on ne sat pas lequel de ces résultats va se produre. 3) On peut recommencer dans les mêmes condtons cette expérence. «On lance un dé à faces équlbré et on regarde le nombre de ponts nscrts sur sa face supéreure.» Cette expérence est ben une expérence aléatore car : ) Il y a résultats possbles :, «2», «3», «4», «5» ou. 2) Quand on lance la pèce on ne sat pas lequel de ces résultats va se produre. 3) On peut recommencer dans les mêmes condtons cette expérence. Défnton : Chacun des résultats possble d une expérence aléatore est appelée ssue de l expérence. 2. Evénement. Défntons : Un évènement est une condton qu peut être ou ne pas être réalsée lors d une expérence. Un évènement élémentare est un événement réalsé par une seule ssue de cette expérence. Un évènement peut être réalsé par un ou pluseurs évènements élémentares. Exemples : ) Défnton de l expérence : «On lance une pèce et on regarde sur quelle face elle tombe.». «Obtenr un ple» est un évènement élémentare. 2) Défnton de l expérence : «On lance un dé à faces équlbré et on regarde le nombre de ponts nscrts sur sa face supéreure.». «Obtenr un nombre par» : est un évènement qu est réalsé par les évènements élémentares 2, 4 et. «Obtenr 4» est un évènement élémentare. «Obtenr un nombre strctement plus grand que 3» est un évènement qu est réalsé par les évènements élémentares 4, 5 et. Année 204 205
B) Evénements A B, A B et événement contrare. Soent A et B deux événements d une expérence aléatore. Notons Ω l ensemble des éventualtés. Le dagramme de Venn permet de représenter les dfférents événements.. Evénement A B et événements ncompatbles. Défnton : L événement A B est l événement consttué de tous les événements élémentares qu sont à la fos dans A et dans B. Exercce n : On lance un dé parfat dont les faces sont numérotées de à. A est l événement : «sorte de l un des nombres, 2, 3 ou 4». B est l événement : «sorte de l un des nombres 3, 4, 5 ou». ) Explcter l ensemble Ω des éventualtés assocées à cette expérence. 2 Décrre l événement A B. Défnton : Deux évènements A et B sont dts ncompatbles s ls ne peuvent pas être réalsés smultanément (ls n ont pas d évènement élémentare commun) d où A et B sont ncompatbles s : A B =. Exercce n 2 : On lance un dé parfat dont les faces sont numérotées de à. A est l événement : «sorte de l un des nombres, 3 ou 4». B est l événement : «sorte de l un des nombres, 4 ou 5». C est l événement : «sorte de l un des nombres 2 ou». Donner, à l ade des événements A, B et C, deux événements ncompatbles. 2. Evénement A B. Défnton : L événement A B est l événement consttué de tous les événements élémentares qu sont dans l un au mons des événements A ou B. Exercce n 3 : On lance un dé parfat dont les faces sont numérotées de à. A est l événement : «sorte de l un des nombres 2, 3, 4 ou 5». B est l événement : «sorte de l un des nombres 4, 5 ou». Décrre l événement A B. Année 204 205
3. Evénement contrare d un événement. Défnton : L événement contrare d un événement A, noté A, est l événement consttué de tous les événements élémentares qu ne sont pas dans A. Proprétés : L événement contrare de l événement A est A. Deux événements contrares sont ncompatbles ( A A = ). L événement A A est l événement certan Ω. Exercce n 4 : On lance un dé parfat dont les faces sont numérotées de à. A est l événement : «sorte de l un des nombres 2, 3, 4 ou 5». B est l événement : «sorte de l un des nombres 4, 5 ou». Décrre les événements A et B. C) Noton de probablté.. Défnton ntutve. Défnton : Lorsqu on répète n fos, de façon ndépendante, une expérence aléatore, la fréquence d une ssue va avor tendance à se stablser quand n augmente (lo dte des grands nombres). C est cette valeur (stable) p que l on va utlsera comme probablté de l ssue. Exemple : On tre au hasard une boule dans un sac contenant hut boules dont tros sont rouges et cnq sont vertes. On s ntéresse à la couleur de la boule trée. R l évènement : «On tre une boule rouge». 3 Alors la probablté que cet évènement se réalse est : P ( R) =. 8 2. Lo de probablté. Défnton : Posons Ω { x x ;... ; } 0 p p + p2 +... p Année 204 205 =. ; 2 x n Pour défnr une lo de probablté sur Ω on assoce à chaque x un nombre n. = p tel que :
Remarque : Autrement dt, détermner une lo de probablté c est détermner la probablté de tous les événements élémentares. On présente souvent les résultats dans un tableau. Evénements élémentares x Proprété : Probablté x 2 x x n p p = p p p 2 n Un événement dont la probablté vaut 0 est un événement mpossble (noté ( Ø ) = 0 Un événement dont la probablté vaut est un événement certan (noté P ( Ω) = ). Modélser une expérence aléatore c est chosr sur Ω une lo de probablté. P ). Exemple : Défnton de l expérence : «On lance un dé à faces équlbré et on regarde le nombre de ponts nscrts sur sa face supéreure.». On a alors : Ω = { ;2 ; 3 ; 4 ; 5 ; }. La lo de probablté sur Ω donnée dans le tableau suvant : Evénements élémentares x 2 3 4 5 Probablté p D) Calculer une probablté : stuaton d équprobablté. Défnton : Lorsque tous les événements élémentares ont la même probablté d être réalsé, on dt qu l s agt d une stuaton d équprobablté. Proprété : Dans une stuaton d équprobablté la probablté d un événement Ω est donnée par la formule : nombre de cas favorables à l' événement P( V ) = nombre de résultats possbles Exemple : Défnton de l expérence : «On lance un dé à faces équlbré et on regarde le nombre de ponts nscrts sur sa face supéreure.». Il y a sx événements élémentares qu ont la même probablté :. On note A l évènement : «Obtenr un nombre de ponts strctement nféreur à 5». Les résultats favorables à l événement A sont : «Obtenr ; 2 ; 3 ou 4» 4 Alors la probablté que cet évènement se réalse est : P ( A) =. Année 204 205
E) Probablté de A B et de l événement contrare. Théorème : A et B sont deux événements d une même expérence aléatore, alors : P A B = P A + P B P A B. ( ) ( ) ( ) ( ) Remarque : S les événements A et B sont ncompatbles, c est à dre P A B = P A + P B. donc ( ) ( ) ( ) A B =, alors P ( A B) = 0 et Théorème : A est un événement d une expérence aléatore, A l événement contrare de A, alors : P A = P A. ( ) ( ) Exercce n 5 : A et B sont deux événements d un ensemble Ω sur lequel est défne une lo de probablté P. P ( A) = 0, 45 P ( B) = 0, 37 et P ( A B) = 0, 82. ) Peut-on affrmer qu l n y a pas équprobablté? P A B et en dédure que A et B sont des événements ncompatbles. 2) Calculer ( ) Exercce n : A et B sont deux événements d un ensemble Ω sur lequel est défne une lo de probablté P. P A = 0,55 ( A B) = 0, 5 B A B P A B. ( ) Année 204 205 P et ( ) P = 0,82. Calculer P ( ), P ( ) et ( ) Exercce n 7 : Une urne content hut boules rouges et sx boules bleues. Chaque boule a la même probablté d être trée. On tre successvement deux boules sans remse. ) Construre l arbre de probablté assocé à cette expérence. 2) Est-on dans une stuaton d équprobablté? 3) Calculer la probablté des événements suvants : A : «la premère boule trée est rouge». B : «on a tré deux boules de même couleur». C : «on a tré au mons une boule bleue». A B pus en dédure A B
3. Probablté et fréquence (Lo des grands nombres). Proprété : Lo des grands nombres Lorsqu on effectue un très grand nombre de fos une expérence aléatore la fréquence de réalsaton d un événement se rapproche d une «fréquence théorque» qu est la probablté de cet événement. Exemple : Fréquences et lo de probabltés lors du lancer d un dé cubque Défnton de l expérence : «On lance un dé à faces équlbré et on regarde le nombre de ponts nscrts sur sa face supéreure.». On s ntéresse à la fréquence d apparton de chacun des nombres, 2, 3, 4, 5, lors de n lancers de ce dé cubque. Pour cela on smule sur ordnateur 0 séres de 0 000 lancers. Les résultats obtenus sont dans le tableau suvant : Pour 0 000 lancers les fréquences de chacune des sx ssues vont, d après la lo des grands nombres, se stablser vers une fréquence «théorque». Quand n devent grand l exste donc une dstrbuton de fréquences «théorque» vers laquelle tend la dstrbuton des fréquences observées. On a alors : Ω = { ;2 ; 3 ; 4 ; 5 ; }. On remarque que n = et que = 0, ce qu permet n de modélser le lancer d un dé cubque par la lo de probablté sur Ω donnée dans le tableau suvant : Evénements élémentares x 2 3 4 5 Probablté p Année 204 205 Donc ces fréquences «théorque» correspondent en fat aux probabltés.
Exemple : Défnton de l expérence : «On lance smultanément deux dés cubques numérotés de à et on note le total des ponts nscrts sur les deux faces supéreures». Les ssues possbles de cette expérence sont les sommes possbles, c'est-à-dre : 2, 3, 4, 5,, 7, 8, 9, 0, et 2. On s ntéresse à la fréquence d apparton de chacun de ces nombres lors de n lancers de ces dés cubques. Pour cela on smule sur ordnateur 2 séres de 0 000 lancers de deux dés. Les résultats obtenus sont dans les tableaux suvants : Pour 0 000 lancers les fréquences de chacune des sx ssues vont, d après la lo des grands nombres, se stablser vers une fréquence «théorque». Quand n devent grand l exste donc une dstrbuton de fréquences «théorque» vers laquelle tend la dstrbuton des fréquences observées. =. Il y a donc n = ssues possbles. D après les deux smulatons fates l n est pas rasonnable de chosr p = = 0, 09. n Mas alors quel modèle chosr? On peut présenter les sommes obtenues lors d un lancer de deux dés dans un tableau à double entrée. Chaque lancer condut à un couple (d ; d 2 ). Dans la case colorée on a (d ; d 2 ) = (4 ; 5) qu donne comme somme 4 + 5 = 9. Comme le tableau comprend On a alors : Ω { 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ; 7 ; 8 ; 9 ; 0 ; ; 2} 3 cases on peut supposer, a pror, que chaque case a la même probablté d être chose. 3 Étudons s ce modèle correspond aux smulatons. 9 apparaît 4 fos on chost donc On obtent, en fasant de même pour chaque somme, la lo de probablté suvante : 4 P ( 9) =. 3 On constate que les fréquences observées lors des deux smulatons sont très proches des fréquences «théorques» que l on vent de calculer. On décde alors que le modèle chos convent. Année 204 205
Exemple type : Enoncé : Une urne content tros boules numérotées de à 3. On tre au hasard une premère boule que l on remet dans l urne, pus une seconde boule. On forme un nombre à deux chffres qu a pour chffre des dzanes le résultat du premer trage et pour chffre des untés le résultat du second trage. ) Construre l arbre de probablté assocé à cette expérence aléatore. 2) Défnr une lo de probablté sur Ω. 3) Calculer la probablté de l événement A : «le chffre des untés est mpar». 4) Calculer la probablté de l événement B : «le chffre des dzanes est mpar». 5) Calculer la probablté de l événement : A B. ) En en dédure la probablté de l événement : A B. 7) Calculer la probablté de l événement C : «le chffre comporte au mons 3». Année 204 205 Soluton : ) L ensemble E est formé des 9 ssues possbles obtenues dans l arbre c-dessous : 2 2 3 3 2 Ω 2 2 22 3 23 3 3 2 32 3 33 2) On peut consdérer, les trages étant effectués au hasard, toutes les ssues possbles sont équprobables. On chost donc une lo équréparte qu assoce à toutes les ssues la probablté 9. 3) L événement A est consttué des sx événements élémentares : { ; 3 ; 2 ; 23 ; 3 ; 33} qu ont tous pour probablté donc ( ) 2 P A = = =. 9 9 9 3 4) L événement B est consttué des sx événements élémentares : { ; 2 ; 3 ; 3 ; 32 ; 33} qu ont tous pour probablté donc ( ) 2 P B = = =. 9 9 9 3 5) A B est consttué des quatre événements élémentares : { ; 3 ; 3 ; 33} qu ont tous pour probablté donc ( ) 4 P A B = 4 =. 9 9 9 4 8 ) P ( A B) = P( A) + P( B) P( A B) = + =. 9 9 9 9 7) C : «Le chffre ne comporte aucun 3». L événement C est consttué des quatre 4 événements élémentares : { ; 2 ; 2 ; 22} donc P ( C ) = 4 =. 9 9 4 5 D où P ( C) = P( C ) = =. 9 9
Exercce n 8 : On tre au hasard une carte d un jeu de 32 cartes. On désgne par : R l événement : «trer un ro» et C l événement : «trer un cœur». ) Calculer P (R) et P (C). 2) Calculer la probablté de l événement : «trer un ro ou un cœur». Exercce n 9 : Dans un club, pluseurs actvtés sont proposées dont le tr à l arc et le golf. Parm les 50 adhérents, 30 pratquent le tr à l arc, 8 le golf et pratquent les deux sports. Quelle est la probablté qu un adhérent chos au hasard : ) Pratque le tr à l arc? Le golf? 2) Pratque l un au mons des deux sports? 3) Ne pratque n le tr à l arc n le golf? Exercce n 0 : Une roue représentée c-après est partagée en 24 secteurs dentques regroupés en zones de couleurs dfférentes. Une expérence aléatore consste à fare tourner la roue et à noter la zone sur laquelle elle s mmoblse. La roue étant ben équlbrée, on assoce à chaque ssue une probablté proportonnelle à l are de la zone correspondante. ) Recoper et compléter le tableau suvant : 2) Calculer la probablté des évènements suvants : A : «le numéro du secteur est mpar». B : «le numéro est un multple de 3». C : «le numéro est nféreur ou égal à 4». A B pus en dédure A B Année 204 205
Exercce n : Effcacté d un vaccn Dans un lycée de 470 élèves, 350 élèves ont été vaccnés contre la grppe au début de l hver. 0% des élèves ont contracté la malade pendant l épdéme annuelle dont 4% des élèves vaccnés. ) Dresser un tableau à double entrée et le compléter. 2) On chost au hasard l un des élèves de ce lycée, tous les élèves ayant la même probablté d être choss. a) Calculer la probablté des événements : V : «l a été vaccné» ; G : «l a eu la grppe». b) Calculer la probablté de l événement : V G. c) Calculer la probablté de l événement : V G. d) Décrre par une phrase l événement V. 3) On chost au hasard un élève parm ceux qu ont été vaccnés, quelle est la probablté qu l at eu la grppe? 4) On chost au hasard un élève parm ceux qu n ont pas été vaccnés, quelle est la probablté qu l at eu la grppe? 5) Explquer pourquo le vaccn est effcace. Exercce n 2 : Un relevé de casse de magasn a fourn les rensegnements suvants concernant les modes de paement et les montants des achats : 80% des achats sont payés par chèque. 70% des achats sont d un montant nféreur à 50euros. 20% des achats nféreurs à 50euros sont réglés en espèces. 2% des clents règlent avec une carte de paement mas cette dernère n est acceptée que pour un montant supéreur à 50euros. Compléter le tableau suvant : Résultats Montant Inféreur à 50 euros Supéreur strctement à 50 euros TOTAL En espèces Par chèque Par carte TOTAL 00 ) Une cassère enregstre un achat. Calculer la probablté de chacun des événements suvants : A : «c est un achat supéreur strctement à 50euros». B : «c est un achat supéreur strctement à 50euros et payé en espèces». C : «c est un paement en espèces ou un achat supéreur strctement à 50euros». 2) Un achat est payé en espèces. Quelle est la probablté de l événement : D : «cet achat est nféreur à 50euros». Année 204 205
Exercce n 3 : Le schéma suvant représente les optons suves par 280 élèves de seconde. Les effectfs de chaque groupe sont ndqués. On chost au hasard un élève de seconde de ce lycée. On note E et L les évènements : E : «l élève a chos espagnol». L : «l élève a chos latn». ) Comben d élèves n ont chos n latn n espagnol? 2) Calculer la probablté des évènements suvants : E, L et E L. 3) Identfer sur le schéma l évènement E L et calculer sa probablté de deux façons dfférentes. Exercce n 4 : Une entreprse possède tros usnes de fabrcaton d alarmes : une à Bordeaux, une à Grenoble et une à Llle. Un contrôleur qualté s ntéresse au nombre d alarmes (défectueuses ou non) produtes en ma 200 dans chacune des tros usnes. Il a relevé les données suvantes : ) Recoper et compléter le tableau c-dessous : 2) On prend une alarme au hasard et on consdère les évènements suvants : B : «L alarme provent de l usne de Bordeaux». L : «L alarme provent de l usne de Llle». G : «L alarme provent de l usne de Grenoble». D : «L alarme est défectueuse». a) Calculer la probablté de B et de D. b) Défnr en une phrase l'événement B D, pus calculer sa probablté. c) Défnr en une phrase l'événement B D, pus calculer sa probablté. 3) Quelle usne semble la plus effcace en terme de qualté de producton? Argumenter. 4) Une alarme est défectueuse. Quelle est la probablté qu elle provenne de l usne de Llle? Année 204 205
Exercce n 5 : Défauts de fabrcaton: Une usne fabrque 000 artcles et constate que 80 des artcles fabrqués ont unquement un défaut d assemblage, 0 ont unquement un défaut de dmenson et 20 ont les deux défauts. On chost au hasard un artcle et on note : A l évènement : «Un artcle prélevé au hasard présente un défaut d assemblage» ; B l évènement : «Un artcle prélevé au hasard présente un défaut de dmenson» ; A et B les évènements contrares de A et B. ) Recoper et compléter avec les valeurs données dans l énoncé le dagramme c-dessous : A B 2) Donner les probabltés P ( A) et P ( B). 3) Donner la probablté P( A B) et en dédure la probablté ( A B) 4) Détermner ( B ) P. P. 5) Un artcle présente un défaut d assemblage. Quelle est la probablté qu l at auss un défaut de dmenson? Exercce n : Un sondage réalsé auprès de 350 femmes, a donnée les résultats suvants : 8% d'entre elles sont des femmes au foyer, les autres sont salarées. % d'entre elles ont dépensé entre 40 et 200 euros. Parm les femmes salarés, 7 4 ont dépensé entre 40 et 200 et deux ont dépensé plus de 200. Aucune femme au foyer n'a dépensé plus de 200 euros. Compléter le tableau suvant : Année 204 205 On chost au hasard une de ces personnes nterrogées. On consdère les événements suvants : A : «elle est salarée». B : «elle a dépensé mons de 40 euros». C : «elle est salarée et a dépensé mons de 200 euros». ) Calculer la probablté des événements A, B, et C. 2) Tradure par une phrase l'événement A B pus calculer sa probablté. 3) Quel est le pourcentage de femmes nterrogées ayant dépensé mons de 40 euros?
Exercce n 7 : Le stand du foran. Deux roues sont dsposées sur le stand d un foran. Elles sont toutes deux partagées en 0 secteurs dentques. La premère comporte 5 secteurs rouges, 3 bleus et 2 verts. La deuxème comporte 7 secteurs nors et 3 jaunes. Quand on fat tourner une de ces deux roues, un repère ndque, lorsqu elle s arrête, un secteur. Pour chacune des deux roues, on admet que les 0 secteurs sont équprobables. Le foran propose le jeu suvant : on fat tourner la premère roue et, lorsqu elle s arrête, on consdère la couleur du secteur ndqué par le repère. S c est le rouge, le joueur a perdu et la parte s arrête. S c est le bleu, la parte contnue ; le joueur fat tourner la deuxème roue : s le repère ndque un secteur jaune, le joueur a gagné un lot et s l ndque un secteur nor, le joueur a perdu. S c est le vert, la parte contnue ; le joueur fat tourner la deuxème roue : s le repère ndque un secteur nor, le joueur a gagné un lot et s l ndque un secteur jaune, le joueur a perdu. Le joueur fat une parte. On note les évènements suvants : R : «Le repère de la premère roue ndque la couleur rouge» ; B : «Le repère de la premère roue ndque la couleur bleue» ; V : «Le repère de la premère roue ndque la couleur verte» ; N : «Le repère de la deuxème roue ndque la couleur nore» ; J : «Le repère de la deuxème roue ndque la couleur jaune» ; G : «Le joueur gagne un lot». ) Construre un arbre pondéré décrvant la stuaton. 2) Calculer la probablté P( B J ) de l événement B J. 3) Démontrer que la probablté P ( G) que le joueur gagne un lot est égale à 0,23. Exercce n 8 : Une boîte content 50 gâteaux, qu sont chocolatés ou merngués. Ces gâteaux sont sot de forme carrée, sot de forme ronde. Dans cette boîte, l y a : 30% de gâteaux chocolatés et parm ceux-c 0 sont carrés. 0% des gâteaux de la boîte sont ronds. ) Recoper et compléter le tableau c-dessous (aucune justfcaton n est demandée). Gâteaux ronds Gâteaux carrés Total Gâteaux chocolatés Gâteaux merngués Total 50 2) Une personne chost au hasard un gâteau de la bote. Chacun des gâteaux ayant la même probablté d être chos. Calculer la probablté des événements suvants : A : «La personnes a chos un gâteau carré». B : «La personnes a chos un gâteau merngué». 3) Décrre en une phrase l évènement B 4) En dédure P( A B) A pus calculer ( A B) P. 5) La personne a chos un gâteau rond. Chaque gâteau rond a la même probablté d être chos. Quelle est alors la probablté que ce gâteau sot chocolaté? Année 204 205