Feuille 7 : Etude locale des fonctions, développement limités. Fonctions usuelles. Préparation au CAPES de mathématiques - Analyse Conseils Lors de la prochaine séance nous corrigerons l exercices 12 de la feuille 6, et finirons les exercices 1 et 2 de cette feuille. Mardi 12, nous travaillerons les exercices 4, 9, 6 et 11. Lundi 18 nous travaillerons les exercices 6, 7, 8, 14 et 15. Mardi 19, nous travaillerons la première partie du capes externe 21 sur l équation fonctionelle de l exponentielle. I Mise en pratique des développements limités. Cours 1. Il faut absolument maîtriser les points de cours suivants. On considère un intervalle d intérieur non vide I R, une fonction f : I R et un élément n N. Définir un développement limité de f en a I à l ordre n. Connaître le théorème de Taylor-Young et sa démonstration. Connaître le lien entre le développement limité et les dérivées successives. Connaître les opérations algébriques autorisées pour les développements limités. Connaître précisément les théorèmes de dérivation et d intégration concernant les développements limités. Connaître une interprétation graphique du développement limité. Savoir énoncer un théorème mettant en jeu les dérivées successives en un point et les extremas locaux. Faire le lien avec les développements limités. Pour pratiquer. Exercice 1. : Donner, lorsqu ils existent, les développements limités des fonctions suivantes a x 1 2+x en à l ordre 4, b x e x en 1 à l ordre 3, c x sinx en π 3 à l ordre 3, d x ln1+x sinx tanx x en à l ordre 4, e x e sinx en à l ordre 5, f xe cosx en à l ordre 5, g x 1 + x 1 x en à l ordre 3, h x cosx en à l ordre 4 et i x x sinx en à l ordre 5. IUFM Toulon - La Seyne 1/7 Fabien Herbaut
Calculs de limite. Exercice 2. Etudier les limites des fonctions 1 : a x x2 sin 2 x en, x 3 b x x 2 1 x sinx 1 1 cosx 2 en, c x chx shx en +, d x x 2 e 1 x e 1 x+1 en et en +, e x sin πx 2x+1 x2 en, f x sin πx 2x+1 x2 en +, g x x tanx 1 x 2 en. Applications des développements limités. Exercice 3. On considère la fonction définie sur R par fx = 2x 3 e 2 x 1 + 3 sin 1 x. 1. Obtenir un développement limité en 1 x à l ordre 4 de la parenthèse de l expression précédente. 2. En déduire l équation d une parabole asymptote en + et à la courbe C d équation y = fx. 3. Préciser les positions de la courbe et de l asymptote. Exercice 4. On considère la suite de terme général u n = nsh 1 n n 2 1. Calculer la limite l de la suite u n. 2. Donner la nature de la série de terme général u n l. Exercice 5. On considère la suite u n définie par son premier terme u R et la relation de récurrence u n+1 = sinu n. 1. Etudier la monotonie de la suite u n en fonction de u 1. 2. Montrer que la suite u n converge 2 vers. 3. On suppose u R \ Zπ. Montrer que l on peut définir une suite a n par l égalité a n = 1 u 2 n+1 1 u 2 n 4. Montrer que la suite a n converge 3 en calculant sa limite. En déduire un équivalent de u n. 5. On suppose u 1 >, et on cherche un développement asymptotique de u n. Trouver deux constantes α et β telles que 6. Démontrer que 1 u 2 n a n = α + β n + o 1 n. = αn + β lnn + o lnn. 1 En fait, comment construire des exemples intéressants? 2 Cette suite u n est déjà une vieille amie. Elle nous donne envie de reprendre la feuille 2... 3 Coup de théâtre : on va pouvoir déduire de l étude de a n un équivalent de u n. Sauriez-vous démystifier ce tour de magie, expliquer comment a été choisi le 2 de a n = 1 1? A ce propos on peut reprendre l exercice u 2 u n+1 2 n 16 de la feuille 3. IUFM Toulon - La Seyne 2/7 Fabien Herbaut
En déduire un développement asymptotique de u n. Exercice 6. Etude locale. Soit f l application de R dans R définie par f = et x R, fx = x2. e x e x 1. Montrer que f possède un développement limité à l ordre 3 au voisinage de et le calculer. 2. Montrer que f est dérivable sur R et calculer f. 3. Préciser la position relative de la courbe représentative de f par rapport à sa tangente au voisinage de. Exercice 7. Régularité d une fonction. Soit f l application définie par f = et x R +, fx = ln e x 1 x 1. Montrer que f est continue sur R + et de classe C 1 sur R +. Déterminer f sur cet intervalle. 2. Calculer la limite de f en. En déduire que f C R +, R. Exercice 8. Théorème de division. Soit n N, α R + et f une application de classe C n+1 de ]a α, a + α[ dans C telle que fa =. On définit alors l application gx = fx x a. 1. Montrer que g est prolongeable par continuité en a. On notera également g ce prolongement. 2. Montrer que g est de classe C 1 et calculer g a. 3. Supposons f a =... = f n+1 a =. Montrer que g est de classe C n et que g a =... = g n a =. 4. On ne suppose plus la nullité des dérivées successives de f. Montrer que g est de classe C n et calculer ses dérivées au point a en fonction de celles de f. 5. Donner des exemples. II Questions à se poser au sujet des développements limités. Exercice 9. Soit I un intervalle ouvert, a un élément de I, et une fontion f : I R. 1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu une fonction admette un DL à l ordre en un point. 2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu une fonction admette un DL à l ordre 1 en un point. 3. Que peut-on dire si a n apartient pas à I? 4. En considérant la fonction fx = x 3 cos 1 x 2, remarquer que l existence d un DL à l ordre 2 en un point a n implique pas l existence de f a. 5. Pire : en considérant la fonction nulle sur Q et qui vaut x n+1 pour x R \ Q, expliquer pourquoi même s il existe un développement limité à l ordre n en un point a, la question de l existence de f a ne se pose pas forcément. Exercice 1. Développements limités et équivalents. 4 Soit n un entier, a,..., a n R n+1 et f : R R une fonction telle que fx n k= a kx k au voisinage de. A-t-on fx = n k= a kx k + ox n? 4 On en a déjà parlé dans la feuille 2...mais une deuxième couche ne fera pas de mal! IUFM Toulon - La Seyne 3/7 Fabien Herbaut
Exercice 11. Un grand classique. Etudier le raisonnement suivant. ln1 + x = x + ox d où l existence de ɛ tel que ln1 + x = x + xɛx avec ɛx. sinx = x + ox d où l existence de ɛ tel que sinx = x + xɛx avec ɛx. 1 cosx = x2 2 + ox2 d où l existence de ɛ tel que 1 cosx = x2 2 + x2 ɛx avec ɛx. On a alors ln1 + x sinx + 1 cosx x 2 = x + xɛx x + xɛx + x 2 2 + x2 ɛx x 2 d où ln1+x sinx+1 cosx x 2 tend vers 1 2 ln1 + x sinx + 1 cosx x 2 = quand x tend vers. x 2 2 + x2 ɛx x 2 Exercice 12. Quizz On considère I un intervalle d intérieur non vide dont l adhérence contient et une fonction f : I R. Pour chacune des propositions suivantes, préciser si elle est vraie en la démontrant ou fausse en donnant un contre-exemple : a Si fx = Ax 2 + ox 2, alors f est positive sur I. b La fonction x x admet un développement limité à l ordre en. c La fonction x x admet un développement limité à l ordre 1 en. d On suppose que f est continue sur I et que F est une primitive de f sur I. Si fx = n k= a kx k + ox n, alors F x = n k= e Un Ox n+1 est un ox n. a k k+1 xk+1 + ox n+1. f sinx = x x3 6 + ox5. g On a équivalence entre fx = n k= a kx k + ox n et m [1, n], fx m 1 k= a mx m. h Soit a,..., a n R n+1. Il existe une unique fonction f I : R telle que fx = n k= a kx k + ox n. i Si f admet en des développements limités de tout ordre, alors f est développable en série entière 5 en. III Fonctions usuelles. Cours 2. Il faut absolument maîtriser les points de cours suivants. Connaître plusieurs définitions des fonctions trigonométriques et leurs propriétés. Savoir très précisément définir les fonctions réciproques, calculer leurs dérivées. Connaître plusieurs définitions des fonctions hyperboliques et leurs propriétés. Savoir très précisément définir les fonctions réciproques, calculer leurs dérivées. Savoir tracer les graphes de toutes ces fonctions en plaçant les points importants, les tangentes. Pour les fonctions trigonométriques et hyperboliques, connaître les formules d addition, de linéarisation, de factorisation et de duplication. 5 Au fait, quel est le sens précis de cette expression? IUFM Toulon - La Seyne 4/7 Fabien Herbaut
Cours 3. La résolution de l équation fonctionnelle fx + y = fx + fy fait partie du cours. Remarquer qu une fois la méthode comprise, la difficulté est liée aux hypothèses de régularité que l on prend sur f. Il faut savoir faire le lien avec les équations fonctionnelles des fonctions exponentielles, logarithmes 6 et puissances. Pour s entraîner, on pourra revoir la première partie du sujet d analyse du capes externe de 21 dans les pages qui suivent. Exercice 13. Représenter graphiquement la fonction f suivante après avoir simplifié son expression : 1 + sinx 1 + cosx fx = arccos arcsin. 2 2 Exercice 14. Définir précisément les fonctions Argsh, Argch et Argth comme fonctions réciproques puis en donner des expressions simples. Exercice 15. Démontrer précisément les égalités suivantes : 1 x [ 1, 1], arccossinx = 1 x 2, 2 x [ 1, 1], arctanx + arctan 1 x = ɛ π 2 avec ɛ = 1 si x >, ɛ = 1 sinon, 3 a, b R 2 tel 7 que ab 1, arctana + arctanb = arctan a+b 1 ab + kπ où k { 1,, 1}. 4 Vérifier 8 que 9 arctan 1 2 + arctan 1 3 = π 4. Pour pratiquer. Exercice 16. Montrer que pour tout x R + on a arctanx + arctan 1 x = π 2. Etudier le cas où x R. Exercice 17. Equivalents. Donner dans chacun des cas un équivalent simple de la fonction proposée : 1. de x chx en +, 2. de x shx en +, 3. de x argchx en +, 4. de x arccos1 x en, 5. de x argch1 + x en et de 6. de x argch1 + x arccos1 x en. Exercice 18. Fonctions rationelles ou pas? 1. Démontrer que les fonctions sin, cos, tan ne sont pas polynomiales 1. 2. Démontrer que les fonctions x lnx et arctanx ne sont pas des fonctions rationnelles 11. 6 Au fait, comment la fonction logarithme est-elle apparue? 7 et si ab = 1 alors? 8 Une telle formule est utile : en utilisant le développement en série entière de la fonction arctan on peut π procéder au calcul numérique de π. Signalons également la formule de Méchin : = 4 arctan 1 arctan 1. 9 4 5 239 Pouvez-vous donner une interprétation géométrique de cette égalité? En déduire une interprétation géométrique de l égalité π = = arctan b a b + arctan pour < b < a. 1 4 a a+b Quel sens précis donner à cette assertion? 11 A nouveau, quel sens précis donner à cette assertion? IUFM Toulon - La Seyne 5/7 Fabien Herbaut
Capès 21 - Sujet 1 - Enoncé Notations et objet du problème On désigne par : N l ensemble des entiers naturels; N l ensemble des entiers naturels non nuls; Q le corps des nombres rationnels; R le corps des nombres réels; R + le sous-ensemble de R constitué des nombres réels positifs ou nuls; R + le sous-ensemble de R constitué des nombres réels strictement positifs; CR + l espace vectoriel des fonctions continues de R + dans R. Pour tout réel x, on note [x] la partie entière de x. On rappelle que c est l unique entier relatif défini par : [x] x < [x] + 1. Dans la première partie, on étudie l équation fonctionnelle fx + y = fxfy sur R +. Cette équation fonctionnelle est utilisée pour donner une caractérisation des variables aléatoires dites sans mémoire dans la partie III. Dans la partie II, on étudie quelques propriétés du noyau de convolution des fonctions continues sur R +. Le produit de convolution intervient dans l étude de variables aléatoires dans la partie III. Les trois dernières parties sont consacrées à la modélisation probabiliste d un problème de réception de messages pour un réseau informatique. Dans les parties IV et V, on étudie le comportement asymptotique d une suite de maximum de variables aléatoires indépendantes suivant une même loi de Poisson. Les parties II.1. et II.2. sont indépendantes des parties III, IV, V. - I - L équation fonctionnelle fx + y = fxfy sur R + Pour cette partie, on désigne par f une fonction définie sur R + à valeurs réelles et vérifiant l équation fonctionnelle suivante : x,y R + R +, fx + y = fxfy. 1 I.1. Vérifier que la fonction f est à valeurs positives ou nulles. I.2. Montrer que si f =, alors la fonction f est identiquement nulle. Dans ce qui suit, on suppose que f est non identiquement nulle. I.3. Déterminer la valeur de f. 1
I.4. Soient x un réel positif ou nul, et n un entier naturel non nul. Exprimer fnx et f 1 n x en fonction de fx et n. I.5. Soient x un réel positif ou nul, r = p q un nombre rationel, où p et q sont deux entiers strictement positifs. En calculant fqrx de deux manières, exprimer frx en fonction de fx et r. I.6. Pour cette question, on suppose qu il existe un réel α strictement positif tel que fα =. I.6.1 Construire une suite x n n N de réels strictement positifs convergente vers, telle que fx n = pour tout entier naturel n. I.6.2 Montrer que la fonction f est nulle sur R +. Dans ce qui suit, on suppose que f est à valeurs réelles strictement positives. I.7. On suppose dans cette question que la fonction f est continue à droite en tout point de R +. Montrer qu il existe un réel a tel que fx = e ax pour tout réel x positif ou nul. I.8. On suppose que la fonction f est continue à droite en. Montrer qu elle est continue à droite en tout point de R + et conclure. I.9. On suppose qu il existe deux réels A et B vérifiant A < B, tels que f soit majorée sur l intervalle [A,B]. I.9.1 Montrer que sur l intervalle [,B A], la fonction f est bornée de borne inférieure strictement positive. I.9.2 Montrer que la fonction f est continue à droite en. En conclusion de cette partie, le résultat suivant a été démontré : Si une fonction f à valeurs réelles définie sur R + : vérifie l équation 1, est non identiquement nulle sur R +, est majorée sur un intervalle de longueur strictement positive, alors il existe un réel a tel que fx = e ax pour tout réel x positif ou nul. - II - Produit de convolution On admet le résultat suivant : si R est un réel strictement positif, et ψ une fonction à valeurs réelles définie et continue sur le carré C R = [,R] 2, alors : ψt,xdt dx = ψt,xdx dt. II.1. Soient R un réel strictement positif, et ϕ une fonction à valeurs réelles définie et continue sur le triangle T R défini par : T R = {t,x R 2 ; t x R}. Le but de cette question II.1. est de démontrer l égalité suivante : x ϕt,xdt dx = t ϕt,xdx dt. 2 2