MECANIQUE DYNAMIQUE DES SOLIDES 1 Cinétique 1.1 Principe de conservation de la masse Enoncé du principe : Un ensemble matériel (E) vérifie le principe de conservation de la masse si tout sous ensemble (e) de cet ensemble matériel (E) a une masse m(e) constante au cours du temps Ce qui donne avec une écriture mathématique : ( e) ( E) t m( e), = constante emarque : Ce modèle (principe) n est plus vérifié dans le modèle de mécanique relativiste. Conséquence pratique pour nos applications futures : ϕ P; t un champ quelconque de vecteur défini et différentiable en tout point P d un Soit ( ) ensemble matériel (E) qui vérifie le principe de conservation de la masse. Alors on peut écrire la relation suivante : d dϕ ( P, t) ϕ ( P, t) = P E P E La masse étant constante au cours du temps, on peut à souhait rentrer ou sortir les dérivées par rapport au temps des intégrations sur les ensembles matériels (intégration sur des volumes, des surfaces ou des lignes) appel : Un champ de vecteur est une répartition (fonction) de vecteurs en tout point de l espace. Définition : 1.2 Torseur cinétique d un ensemble matériel On appelle torseur cinétique d un ensemble matériel (S) en mouvement dans C( S / ), le torseur défini en un point un référentiel d étude, et on note : { } A quelconque de l espace de la façon suivante : C ( S / ) = V ( P S / ) { C( S / ) } = A ( S / ) = AP V ( P S / ) A Avec la masse élémentaire. En générale pour un volume homogène (constitué du même matériaux sur tout son volume : = ρ dv avec ρ la masse volumique du matériaux constituant l ensemble matériel et dv un volume élémentaire de cet ensemble matériel. Page 1 Emmanuel FAGES EduKlub S.A.
( S / ) C ( ) est la résultante cinétique de l ensemble matériel S dans son mouvement par rapport à. A S / est le moment cinétique en A de l ensemble matériel S dans son mouvement par rapport à. S / Déterminons la résultante cinétique : ( ) On reprend la définition de cette résultante : S / = V P S / Or d après la définition du vecteur C ( ) ( ) C dop vitesse : V ( P S / ) = avec O, l origine du repère d étude. Donc on a : dop C ( S / ) =. Or d après le principe de conservation de la masse, on peut sortir la dérivation par rapport au temps de l intégrale, ce qui nous donne l écriture suivante : d OP C ( S / ) = Or la définition du centre d inertie G d un ensemble matériel (E) étant : m OG = OP, on trouve l expression suivante pour la résultante cinétique : ( / ) C S m dog = Soit : ( S / ) = m V ( G S / ) C avec m la masse totale de l ensemble matériel (S) et G son centre d inertie. Vérifions que ce champ de vecteur est bien un torseur : Nous devons vérifier que le champ de vecteur défini ci-dessus a bien une structure de torseur, c est à dire que nous devons retrouver la relation caractéristique d un torseur qui relie les moments de ce torseur en deux points quelconque de l espace. On considère donc 2 points A et B quelconque de l espace. On part de la définition énoncée ci-dessus du moment cinétique en A de l ensemble matériel S dans son mouvement par rapport au repère d étude : A S / = AP V P S /. D après la relation de Chasles, on peut écrire : A ( ) ( ) S AB BP V P S = BP V ( P S / ) + AB V ( P S / ) ( / ) = + ( / ) B ( S / ) Page 2 Emmanuel FAGES EduKlub S.A.
Or le vecteur AB, ne dépendant pas du point d intégration courant P, on peut le sortir de l intégrale ainsi que le produit vectoriel. On trouve donc la relation suivante : A ( S / ) = B ( S / ) + AB V ( P S / ). Soit la relation caractéristique d un C ( S / ) torseur : Moment en A = Moment en B + AB vectoriel la résultante du torseur : S / = S / + AB S / ( ) ( ) ( ) A B C emarque : On verra plus tard dans le cours comment déterminer (autrement que par intégration) le moment cinétique (en un point A quelconque) d un ensemble matériel (S) dans son A S mouvement par rapport à un référentiel d étude : ( / ) Bilan : Le torseur cinétique est bien un torseur qui s écrit : C ( S / ) = V ( P S / ) = m V ( G S / ) { C( S / ) } =, donc on peut écrire la A ( S / ) = AP V ( P S / ) A A S / = B S / + AB mv G S / relation : ( ) ( ) ( ) 1.3 Torseur dynamique d un ensemble matériel Le torseur dynamique est semblable au torseur cinétique mais au lieu de «parler» de vitesse, on parle d accélération. Il suffit donc de replacer les vitesses des points courants P dans la définition du torseur cinétique par les accélérations de ces mêmes points courants P pour obtenir la définition du torseur dynamique. On obtient ainsi : Définition : On appelle torseur dynamique d un ensemble matériel (S) en mouvement D( S / ), le torseur défini en un dans un référentiel d étude, et on note : { } point A quelconque de l espace de la façon suivante : D ( S / ) = Γ( P S / ) { D( S / ) } = A ( S / ) = AP Γ( P S / ) A Avec la masse élémentaire. En générale pour un volume homogène (constitué du même matériaux sur tout son volume : = ρ dv avec ρ la masse volumique du matériaux constituant l ensemble matériel et dv un volume élémentaire de cet ensemble matériel. ( S / ) D est la résultante dynamique de l ensemble matériel S dans son mouvement par rapport à. A S / est le moment dynamique en A de l ensemble matériel S dans son mouvement par rapport à. ( ) Page 3 Emmanuel FAGES EduKlub S.A.
Déterminons la résultante dynamique : D ( S / ) On reprend la définition de cette résultante : ( / ) = Γ( / ) S P S Page 4 Emmanuel FAGES EduKlub S.A. D Or d après la dv ( P S / ) définition du vecteur accélération Γ( P S / ) = on a : dv ( P S / ) D ( S / ) =. Mais d après le principe de conservation de la masse, on peut sortir la dérivation par rapport au temps de l intégrale, ce qui nous donne l écriture suivante : d V ( P S / ) P S d C ( S / ) dv ( G S / ) D ( S / ) = = = m Avec G centre d'inertie de l'ensemble matériel (E). D où : D ( S / ) = mγ( G S / ) S / = mγ G S / Soit : ( ) ( ) D avec m la masse totale de l ensemble matériel (S) et G son centre d inertie. Vérifions que ce champ de vecteur est bien un torseur : Nous devons vérifier que le champ de vecteur défini ci-dessus a bien une structure de torseur, c est à dire que nous devons retrouver la relation caractéristique d un torseur qui relie les moments de ce torseur en deux points quelconque de l espace. On considère donc 2 points A et B quelconque de l espace. On part de la définition énoncée ci-dessus du moment dynamique en A de l ensemble matériel S dans son mouvement par rapport au repère d étude : A S / = AP Γ P S /. D après la relation de Chasles, on peut écrire : A ( ) ( ) S AB BP P S = BP Γ( P S / ) + AB Γ( P S / ) ( / ) = + Γ( / ) B ( S / ) Or le vecteur AB, ne dépendant pas du point d intégration courant P, on peut le sortir de l intégrale ainsi que le produit vectoriel. On trouve donc la relation suivante : A ( S / ) = B ( S / ) + AB Γ( P S / ). Soit la relation caractéristique d un D ( S / ) torseur : Moment en A = Moment en B + AB vectoriel la résultante du torseur :
( S / ) = ( S / ) + AB ( S / ) A B D Bilan : Le torseur dynamique est bien un torseur qui s écrit : D ( S / ) = Γ( P S / ) = m ( G S / ) Γ { D( S / ) } =, donc on peut écrire la A ( S / ) = AP Γ( P S / ) A A S / = B S / + AB mγ G S / relation : ( ) ( ) ( ) 1.4 elation entre les torseurs cinétique et dynamique On a vu que les définitions des torseurs cinétique et dynamique étaient très semblables. La seule différence est que l on «parle» de vitesse dans le torseur cinétique et d accélération dans le torseur dynamique. Or il y une relation de dérivation entre la vitesse et l accélération. On s attend donc à retrouver cette relation de dérivation entre les composantes (résultante et moment) des torseurs cinétique et dynamique. appelons ce que l on a déjà démontré sur les résultantes des torseurs cinétique et dynamique : C ( S / ) = mv ( G S / ) D ( S / ) = mγ( G S / ) dv ( G S / ) Or Γ( G S / ) =. D après le principe de conservation de la masse, celleci est constante au cours du temps, donc on peut écrire : D ( S / ) = d C ( S / ) Ce résultat n est pas de première importance puisque l on sait calculer aussi bien la vitesse que l accélération d un centre d inertie. On se rend cependant compte de ce caractère de dérivation entre les composantes des torseurs cinétique et dynamique. Qu en est-il sur les moments? On part de la définition du moment dynamique de (S/) en un point A quelconque : A S / = AP Γ P S / et introduisons le fait que l accélération est la dérivée ( ) ( ) dv ( P S / ) S = AP. Or la dérivée d un vecteur résultat d un produit vectoriel est la même que la dérivée d un produit de deux fonctions uv = u v + uv, ce qui donne dans le cas du produit vectoriel : de la vitesse : A ( / ) scalaires : ( ) Page 5 Emmanuel FAGES EduKlub S.A.
d ( u v ) du dv = v + u, ce qui peut encore s écrire : dv d ( u v ) du u = - v. Appliquons cette relation à notre moment dynamique : dv ( P S / ) A ( S / ) = AP d ( AP V ( P S / ) ) d AP = V ( P S / ) Or d après le principe de conservation de la masse énoncé au début du cours, on peut écrire : d AP V ( ( ) ( P S / ) d AP V P S / ) = A ( S / ) = On trouve donc la relation entre moment dynamique et moment cinétique : A ( S / ) d AP A ( S / ) = V ( P S / ) En introduisant l origine du repère d étude notée O par Chasles entre les point A et P dans le vecteur AP = AO + OP = OP OA, on trouve : d AP dop doa = = V ( P S / ) V ( A S / ), en injectant cela dans la relation trouvée ci-dessus, on obtient : Page 6 Emmanuel FAGES EduKlub S.A.
A ( S / ) A ( S / ) = V ( P S / ) V ( A S / ) V ( P S / ) A ( S / ) = + V ( A S / ) V ( P S / ) A ( S / ) = + V ( A S / ) V ( P S / ) A ( S / ) = + V ( A S / ) C ( S / ) A ( S / ) = + V ( A S / ) mv ( G S / ) A ( S / ) = + mv ( A S / ) V ( G S / ) Le moment dynamique en un point A de (S/) n est pas tout à fait la dérivée du moment cinétique en A de (S/). Il ne faut pas oublier de rajouter le terme en produit vectoriel. : A ( S / ) ( S / ) = + m V ( A S / ) V ( G S / ) A Cas particuliers fréquemment rencontrés : Si le point où l on calcule ces moments est : Fixe dans : A fixe dans ( V ( A S / ) = 0), on a la relation de dérivation : A ( S / ) A ( S / ) = Le centre d inertie G : A=G ( V ( G S / ) V ( G S / ) = 0), on a la relation G ( S / ) de dérivation : G ( S / ) = 1.5 Energie cinétique Définition : L énergie cinétique d un ensemble matériel (S) dans son mouvement par rapport 1 au repère est le scalaire positif suivant : T ( S / ) = V ( P S / ) 2 1.6 Moment d inertie d un solide 2 P S Page 7 Emmanuel FAGES EduKlub S.A.
Soit ( O, i ) 1.6.1 Définitions un axe défini par un point O et un vecteur directeur unitaire i dans un repère ( O, x, y, z ). Posons i = α x 0 + β y 0 + γ z avec 1 0 i = 0 0 0 0 x 0 z 0 O y 0 Soit (x, y, z) les coordonnées de P dans le repère 0 : 0 0 0 i S P OP = x x + y y + z z H P Soit (S) un solide quelconque. Soit P un point courant du solide (S). On associé à chaque point P du solide (S), un point de, noté H P tel que la distance entre P et H P soit minimale : PH P minimale Définition : Le moment d inertie du solide (S) par rapport à l axe est le scalaire positif 2 2 homogène à des Kg. m : I ( S / ) = PH P Ces moments d inertie correspondent à la somme (intégrale) des distances minimales des points du solide à l axe au carré Ce scalaire est aussi noté I et une autre définition équivalente pourrait être : ( / ) = ( ; ) 2 I S d P soit la somme sur tout le solide (S) des distances minimales des points du solide à l axe au carré En se plaçant dans le plan passant par le point courant P et les deux vecteurs i et OP, on peut tracer la figure ci-dessous : On remarque que : HP ( ) i PH P = OP sin i ; OP P = OP i sin ( i ; OP) O = i OP Or α x β z γ y i OP = β y = γ x α z, donc : γ z α y β x 2 2 2 2 2 PH P = i OP = ( β z γ y) + ( γ x α z) + ( α y β x). En développant cette expression, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 PH P = α y + z + β x + z + γ x + z 2αβ xy 2αγ xz 2βγ yz. on obtient : ( ) ( ) ( ) Page 8 Emmanuel FAGES EduKlub S.A.