Mathématiques Section : La trigonométrie (3 ème partie) Âmes sensibles s abstenir C.F.A du bâtiment Ermont 1
Dans le dossier précédent, nous avons découvert l existence de la trigonométrie comme art de relier angles et côtés d un triangle rectangle : Avec deux longueurs, je trouve les angles. Avec une longueur et un angle, je retrouve les deux autres longueurs. Nous disposons pour cela de 3 formules : Nous avons également appris à choisir la bonne formule parmi ces 3 possibles en fonction du problème posé. Au précédent dossier, nous avons vu comment trouver les longueurs manquantes quand on en connait une et un angle (non-droit) du triangle. Mais nous ne sommes pas encore allés dans l autre sens. Dans ce dossier, nous donc allons voir comment calculer les angles d un triangle rectangle à partir de 2 longueurs. Attention : dans ces dossiers, nous aurons impérativement besoin d une calculatrice, rien ne peut se faire de tête ou sur papier pour remplacer, même pour votre enseignant! 2
Trouver un angle à partir de deux longueurs (dans un triangle rectangle) Situation de départ : Vous désirez poser des panneaux solaires dans votre jardin, et vous devez pour cela respecter un angle compris entre 25 et 35 entre les panneaux et l horizontale. C est une question importante, car il y va de leur rendement, et de leur financement. Problème : Vous avez bien un mètre dans votre trousse à outil, mais pas de rapporteur. Toutefois, pour respecter le bon angle, le vendeur vous a dit de mettre 80 cm entre la base et le haut du panneau. Mais a-t-il raison? Remarque : il faudra penser en outre à mettre la partie basse à 50 cm du sol mais c est un détail qui se règlera à la fin. Les cotes des panneaux et du support sont indiquées sur les figures suivantes: Panneau Support 1600 mm 800 mm 500 mm 850 mm Pour résoudre un tel problème, nous pouvons recourir à la trigonométrie. 3
Méthode : Je définis bien le triangle dans lequel je vais raisonner J identifie bien les deux côtés et l angle à relier par une formule Je donne un nom aux deux côtés en fonction de l angle (opposé, adjacent, hypoténuse) Je choisis la bonne formule parmi les trois : sinus, cosinus ou tangente. tout cela, nous l avons vu au dossier 1, mais ce n est pas terminé Il faut maintenant retrouver l angle qui correspond, et seule la machine va pouvoir le faire c est le principal objet de ce nouveau dossier. Trouvons donc la formule qui va nous être utile pour résoudre notre problème : Commençons par schématiser notre situation et y placer les informations utiles : Choisissons notre formule et écrivons le calcul auquel cela amène. 4
Nous cherchons un angle a, mais nous ne connaissons que la valeur de son sinus (sin a = ). Seule la machine permettra de retrouver l angle a de départ, à condition bien sûr de l utiliser correctement. sin -1 arcsin Asin Asn Oui Sin Non Conclusion : sin a = permet de remonter à l angle a avec la machine a = 5
Exercice 1: 1) Calculez la longueur AC au dixième près 7 m C D 12 m α B 27 A 2) Calculez la valeur de l angle α : C Exercice 2: Une parcelle de terrain a la forme ci-dessous. 60 m Calculez son périmètre. 58 48 A H B 6
Exercice 3: On dit que le côté AC possède une pente h en % si : pour AB = 100, on a BC = h. A cette pente h en % correspond un angle. Attention : h et ne sont pas égaux. C h B 100 m A 1) Exprimer h en fonction de puis en fonction de h : 2) Calculer h pour = 0, 15 et 30 : = 0 : = 15 : = 30 : 3) Calculer pour h = 25 m, 50 m, 100 m : h = 25 m : h = 50 m : h = 100 m : 7
Problème : la cuve cylindrique horizontale : Une cuve cylindrique horizontale est représentée ci-dessous : On donne : d = 1,20 m, L = 2 m d Première partie : L 1) Calculer le volume total V en m 3 de cette cuve : 2) Convertir V en Litres : 3) Calculer le volume de liquide quand cette cuve monte à la moitié du niveau maximal : Deuxième partie : Le réel but de ce problème est de calculer le volume de liquide quand le niveau est quelconque. Cette question difficile est proposée dans la suite avec une suite de questions qui permettront de trouver la solution. On considère à présent que le niveau de liquide monte à la hauteur h = 1m. d h 0 8
Sur le schéma ci-dessous : 1) indiquez les côtes utiles connues 2) indiquez les côtes utiles qui nous manquent (leur donner un nom si besoin) A H B O Calculez le volume d eau dans la cuve en suivant ce plan : 1) Calcul de la longueur HA (ou HB, ou même AB que l on peut ensuite diviser par 2) 2) Calcul de l aire du triangle (OAB) 3) Calcul d un angle intéressant dans ces triangles 4) Déduction de l angle du secteur angulaire 5) Calcul de l aire du secteur angulaire 6) Calcul de l aire totale 7) Calcul du volume d eau 9
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Problème : Nous avons une pizza à partager, mais nous sommes 6. Partager en 4, c est facile, mais en partager en 6, comment faire? Attention, il ne s agit pas d y aller au hasard et de faire des mécontents! Aide : Quand on découpe une pizza en 6 parts égales, quel angle au centre ont-elles chacune? 11