CHPITRE 7 Rppel sur l intégrle simple. Les prochins chpitres triteront de l intégrtion. Dns un premier temps, nous rppellerons ce qu est l intégrle simple (l intégrtion pour les fonctions d une seule vrible réelle), insi que le théorème fondmentl du clcul. Ensuite nous définirons les intégrles multiples, surtout les intégrles doubles et triples; nous verrons comment les clculer u moyen d intégrles itérées, le théorème de chngement de vribles pour les intégrles multiples, en prticulier pour les coordonnées cylindriques et sphériques. Dns ce chpitre, nous triterons de l intégrle simple. Soient deux nombres réels, b vec < b et une fonction f(x) réelle définie et bornée sur l intervlle fermé [, b], lors l intégrle définie de f sur [, b], que l on note est l limite b lim n mx{δ i 1 i n} 0 f(x), n f(x i ) δ i, pour lquelle nous considérons toutes les subdivisions de l intervlle [, b] en n sous-intervlles [ i 1, i ], dont l longueur de chcun de ceux-ci est notée δ i = ( i i 1 ), en y lissnt n, le nombre de ces sous-intervlles, devenir de plus en plus grnd et le mximum mx{δ i 1 i n} des longueurs de ces sous-intervlles devenir de plus en plus près de zéro; de plus, dns cette définition pour chque i, x i peut être n importe quel point de l intervlle [ i 1, i ]. Il fut noter que l intégrle d une fonction n existe ps toujours. En d utres mots, l limite définissnt l intégrle n existe ps toujours. Cependnt il est possible de démontrer que si l fonction à intégrer f(x) est continue sur l intervlle [, b], lors l intégrle définie b f(x) existe. Ce que nous vons défini est l intégrle de Riemnn et l somme n i=1 f(x i) δ i est une somme de Riemnn. Il existe d utres types d intégrles, notmment l intégrle de Lebesgue. Elles ne sont ps tritées dns ces notes. Nous nous concentrerons que sur les intégrles définies de Riemnn et, u dernier chpitre, sur les intégrles impropres de Riemnn. Dns l prtie grise de l figure 7.1, nous vons illustré l somme n i=1 f(x i) δ i pour une subdivision de [, b]. Si f(x) est une fonction continue sur l intervlle [, b], lors il est possible d interpréter l intégrle b f(x) comme l ire signée de l prtie du pln comprise entre le grphe de f(x) et l xe des x, l prtie u-dessus de l xe des x correspondnt à une ire positive, l prtie u-dessous de l xe des x correspondnt à une ire négtive. Nous vons illustré ceci à l figure 7.2. Noter que l intégrle d une fonction peut être positive, négtive ou nulle. i=1 f(x) f(x) ire positive ire négtive b x b figure 7.1 figure 7.2 51
Le théorème fondmentl du clcul dit que s il existe une fonction F(x) telle que F (x) = f(x) sur l intervlle [, b], lors b f(x) = F(b) F() = ( F(x) ] b. Une fonction F(x) comme ci-dessus est une intégrle indéfinie ou une nti-dérivée ou encore une primitive pour f(x). Il y ussi une seconde forme du théorème fondmentl du clcul. Cette seconde forme est l suivnte: d ( x ) f(t)dt = f(x). L première forme du théorème fondmentl du clcul nous fournit un outil très précieux pour clculer des intégrles définies. Nous illustrerons ceci dns les exemples suivnts. Exemples 7.1: ) Si f(x) = x 2 2x + 1, lors 2 1 f(x) = ( x x 2 + x ] 2 1 = (2 2 2 + 2) (1 1 2 + 1) = 5, cr F(x) = x x 2 + x est une primitive pour f(x). En effet, (x x 2 + x) = x 2 2x + 1. b) Si f(x) = cos(x), lors π/2 0 cos(x) = ( sin(x) ] π/2 0 = sin(π/2) sin(0) = 1, cr F(x) = sin(x) est bien une primitive pour f(x). En effet, (sin(x)) = cos(x). Pour déterminer une primitive d une fonction f(x) donnée, il existe des règles de clcul. Dns ce qui suivr, nous noterons une telle primitive pr f(x) u lieu de F(x) comme précédemment. vec ces nottions, nous vons donc d ( ) f(x) = f(x). Il fut noter que si F(x) est une primitive de l fonction f(x), lors F(x) + c est ussi une telle primitive peu importe l vleur de l constnte c. insi donc si f(x) une primitive, elle lors une infinité de primitives. Mlgré ceci l intégrle définie de f(x) sur l intervlle [, b] une vleur unique (si elle existe). Nous énumérons ci-dessous ces règles de clcul. Proposition 7.1: Soient f(x) et g(x) deux fonctions et et b deux nombres réels. lors: ) (règle linéire) (f(x) + bg(x)) = f(x) + b g(x) b) (règle des puissnces) { x n x = n+1 /(n + 1) + c, si n 1; ln( x ) + c si n = 1 c) (règle du produit) f(x)g (x) = f(x)g(x) g(x)f (x) d) (règle de substitution) f(g(x))g (x) = F(g(x)) où F(x) est une primitive de f(x). e) (primitives de fonctions usuelles) e x = e x + c, sin(x) = cos(x) + c, ln(x) = xln(x) x + c, cos(x) = sin(x) + c. Dns le cs de l règle du produit, on prle plutôt d intégrtion pr prties. C est insi que nous désignerons cette règle pr l suite. Nous llons mintennt illustrer ces règles de clcul dns quelques exemples. 52
) Exemples 7.2: x 4 2x 1 + 5x = x 4 2 x 1 + 5 x = x 5 /5 2 ln( x ) + 5x 2 /( 2) + c pr l règle linéire et les formules pour les fonctions usuelles; b) xexp(x 2 ) = (1/2) 2xexp(x 2 ) = (1/2)exp(x 2 ) + c pr l règle de substitution; c) xcos(x) = x(sin(x)) = xsin(x) sin(x)(x) sin(x) = xsin(x) ( cos(x)) + c = xsin(x) = xsin(x) + cos(x) + c pr intégrtion pr prties; d) tn(x) = sin(x)/ cos(x) = (cos(x)) / cos(x) = ln( cos(x) ) + c pr l règle de substitution; En ce qui concerne l règle de substitution, nous pouvons procéder de l fçon suivnte: f(g(x))g (x) = f(u)du, où u = g(x) et du = g (x); = F(u) = F(g(x)), où F est une primitive de f. Cette fçon de procéder justifie le fit que l on nomme celle-ci de règle de substitution. Nous llons illustrer ceci pr les exemples ci-dessous. ) Exemples 7.: (2x + 1) du (x 2 + x + 1) 2 = u 2 où u = x 2 + x + 1 et du = (2x + 1) = u 2 du = u 1 ( 1) + c = 1 (x 2 + x + 1) + c en substitunt de nouveu u = x2 + x + 1; b) (ln(x)) 2 = u 2 du x = u + c = (ln(x)) où u = ln(x) et du = x 1 + c en substitunt de nouveu u = ln(x). 5
Pour ce qui est de l intégrtion pr prties, nous pouvons procéder de l fçon suivnte: { u = f(x), du = f (x), f(x)g (x) = u dv où dv = g (x), v = g(x), = uv v du, = f(x)g(x) g(x)f (x). Nous llons illustrer ceci pr les exemples ci-dessous. Exemples 7.4: ) xe x = xe x e x où b) (ln(x)) 2 = x(ln(x)) 2 = x(ln(x)) 2 2 = xe x e x + c. { u = x, dv = e x { u = (ln(x)) 2, x(2 ln(x)x 1 ) où dv =, ln(x), = x(ln(x)) 2 2xln(x) + 2x + c. du =, v = e x, du = 2 ln(x)x 1, v = x, Il fut noter que l primitive ln(x) est obtenue ussi pr intégrtion pr prties. Plus précisément, ln(x) = xln(x) = xln(x) xx 1, = xln(x) x + c { u = ln(x), où dv =, du = x 1, v = x, Dns ce cs, nous vons donc utilisé deux fois l méthode d intégrtion pr prties. Nous terminerons ce chpitre en discutnt de l utilistion des frctions prtielles pour clculer une intégrle indéfinie de l forme P(x)/Q(x) pour lquelle P(x) et Q(x) sont des polynômes. près division de P(x) pr Q(x), nous urons à évluer une intégrle de l même forme, mis cette fois vec l condition supplémentire que le degré du numérteur est strictement inférieur à celui du dénominteur. Dns ce qui suivr, nous llons donc supposer que l intégrle indéfinie à clculer est de l forme P(x)/Q(x) vec degré(p(x)) < degré(q(x)). Nous llons exprimer P(x)/Q(x) sous l forme d une somme dont les termes sont d une des formes suivntes: (x + b) k, x + B (x 2 + bx + c) k. Nous serons plus précis à ce sujet ci-dessous. Notons premièrement que le dénominteur Q(x) ser un produit de fcteurs d une des formes suivntes: (x + b) m (x 2 + bx + c) m où, b R tels que 0 et m est un entier positif; où, b, c R tels que 0, b 2 4c < 0 et m est un entier positif. Si (x + b) m est un des fcteurs comme ci-dessus, lors dns l expression de P(x)/Q(x) comme une somme, nous urons prmi les termes de cette dernière, l somme m k=0 k (x + b) k où 1, 2,..., m sont des nombres réels (à déterminer); 54.
si (x 2 +bx+c) m est un des fcteurs comme ci-dessus, c est-à-dire vec entre utres b 2 4c < 0, lors dns l expression de P(x)/Q(x) comme une somme, nous urons prmi les termes de cette dernière, l somme m k=0 ( k x + B k ) (x 2 + bx + c) k où 1, 2,..., m, B 1, B 2,...,B m sont des nombres réels (à determiner). près voir exprimé P(x)/Q(x) sous cette forme de somme, il nous fut intégrer lors des fonctions d une des deux formes suivntes: Pour évluer l intégrle indéfinie (x + b) k, x + B (x 2 + bx + c) k. (x + b) k, il suffit d utiliser l substitution u = x + b. Pour évluer l intégrle indéfinie il fut noter que (x + B) (x 2 + bx + c) k = (x + B) (x 2 + bx + c) k, Nous devons donc considérer deux types d intégrles indéfinies: ( 2 ( ) (2x + b) 2 (x 2 et + bx + c) k ) ( ) (2x + b) + B b 2 (x 2 + bx + c) k. ( ) B b 2 (x 2 + bx + c) k. Dns le premier cs, il suffit d utiliser l substitution u = x 2 + bx + c; lors que dns le second cs, il fut premièrement compléter le crré et ensuite utiliser une substitution trigonométrique. Ce second cs est le plus difficile de tous et les intégrles de ce type que nous considérerons dns ce cours seront prmi les plus simples, c est-à-dire m = 1. Nous llons illustrer tout ce processus pr un exemple. Exemple 7.5: (4x 5 + 12x 4 + 2x + 4x 2 + 2x + 4) (6x + 24x 2 + 21x + 4) (4x 4 + 12x + 17x 2 = x + + 10x + 2) (4x 4 + 12x + 17x 2 près division + 10x + 2) = (x 2 (6x + 24x 2 + 21x + 4) /2) + (4x 4 + 12x + 17x 2 + 10x + 2). Il suffit donc d évluer l intégrle (6x + 24x 2 + 21x + 4) (4x 4 + 12x + 17x 2 + 10x + 2). En schnt que 4x 4 + 12x + 17x 2 + 10x + 2 = (2x + 1) 2 (x 2 + 2x + 2), nous urons lors pr l théorie des frctions prtielles que (6x + 24x 2 + 21x + 4) (4x 4 + 12x + 17x 2 + 10x + 2) = (6x + 24x 2 + 21x + 4) (2x + 1) 2 (x 2 + 2x + 2) = ( ) 55
est tel que ( ) = (2x + 1) + B (Cx + D) + (2x + 1) 2 (x 2 + 2x + 2) = (2x + 1)(x2 + 2x + 2) + B(x 2 + 2x + 2) + (Cx + D)(2x + 1) 2 (2x + 1) 2 (x 2 + 2x + 2) = (2x + 5x 2 + 6x + 2) + B(x 2 + 2x + 2) + C(4x + 4x 2 + x) + D(4x 2 + 4x + 1) (2x + 1) 2 (x 2 + 2x + 2) = (2 + 4C)x + (5 + B + 4C + 4D)x 2 + (6 + 2B + C + 4D)x + (2 + 2B + D) (2x + 1) 2 (x 2. + 2x + 2) En comprnt les numérteurs et prce que les dénominteurs sont les mêmes, nous obtenons un système de qutre équtions linéires à qutre inconnues, B, C, D: 2 + 0B + 4C + 0D = 6, 5 + 1B + 4C + 4D = 24, 6 + 2B + 1C + 4D = 21, 2 + 2B + 0C + 1D = 4. Pr élimintion, nous obtenons que ce système une seule solution: = 1, B = 1, C = 1 et D = 4. En d utres mots, (6x + 24x 2 + 21x + 4) (2x + 1) 2 (x 2 + 2x + 2) = 1 (2x + 1) 1 (2x + 1) 2 + (x + 4) (x 2 + 2x + 2). insi pour évluer l intégrle (6x + 24x 2 + 21x + 4)/(4x 4 + 12x + 17x 2 + 10x + 2), il nous fut donc considérer les trois intégrles suivntes: (2x + 1), (2x + 1) 2 et (x + 4) (x 2 + 2x + 2). Pour l première de ces intégrles, nous vons (2x + 1) = 1 du 2 u où u = 2x + 1, = 1 2 ln( u ) + c = 1 2 ln( 2x + 1 ) + c ; lors que pour l seconde de celles-ci, nous vons en utilisnt l même substitution (2x + 1) 2 = 1 du 2 u 2 où u = 2x + 1, 1 = (2)( 1) u 1 + c 1 = 2(2x + 1) + c. Finlement pour l troisième de celles-ci, nous notons premièrement (x + 4) (x 2 + 2x + 2) = 1 (2x + 2) 2 (x 2 + 2x + 2) + (x 2 + 2x + 2). Il est bon d observer que pour l première intégrle du terme de droite de l éqution, le numérteur est l dérivée du dénominteur. De cette observtion, nous obtenons que (2x + 2) du (x 2 + 2x + 2) = où u = x 2 + 2x + 2 u = ln( u ) + c = ln( x 2 + 2x + 2 ) + c. 56
lors que pour l seconde intégrle du terme de droite de l églité, nous pouvons l intégrer en complétnt le crré. Plus précisément, (x 2 + 2x + 2) = = De tout ce qui précède, nous obtenons lors (4x 5 + 12x 4 + 2x + 4x 2 + 2x + 4) (4x 4 + 12x + 17x 2 + 10x + 2) (x 2 + 2x + 1 + 1) = du (u 2 où u = x + 1 + 1) ((x + 1) 2 + 1) = rctn(u) + c = rctn(x + 1) + c. = 1 2 x2 + 1 2 ln( 2x + 1 ) + 1 2(2x + 1) + 1 2 ln( x2 + 2x + 2 ) + rctn(x + 1) + c. Cet exemple illustre bien ce qu il fut fire pour évluer ce type d intégrle. Trouver l intégrle indéfinie d une fonction est un problème plus difficile que celui de clculer l dérivée d une fonction. Dns certins cs, il est impossible d exprimer l primitive en termes de fonctions usuelles; pr exemple exp( x 2 ) est une telle primitive. Mis dns ce derniers cs, il existe tout de même des tbles pour clculer l intégrle définie b exp( x2 ) quelque soient, b R. Exercice 7.1: Clculer les intégrles définies suivntes: ) 2 1 (x 4x 1 + 5x 2 ); b) 1 0 x 1 + x 2 ; c) 2 0 5x/(2x2 + 1) 2 ; d) 0 x2 e x ; e) 4 2 1/(x 1)(x + 1); f) 1 1/2 1/(4x2 + 4x + 10). Exercice 7.2: Clculer les intégrles indéfinies suivntes: ) cos(x)sin(x); b) sin 2 (x); c) rctn(x); d) (x 4)/(x 2 5x + 6); e) x 5 / 1 + x 2 ; f) cos(x)sin(x). 57
Exercice 7.: En utilisnt l subdivision de l intervlle [0, 1] en n sous-intervlles égux et en prennt pour x i le point le plus à droite du i-ième sous-intervlle, clculer l somme de Riemnn n i=1 f(x i)δ i, insi que l limite n lim n i=1 f(x i)δ i pour les deux fonctions suivntes en schnt que n i = i=1 n(n + 1) 2 et n i 2 = i=1 n(n + 1)(2n + 1) 6 : ) f(x) = x b) f(x) = x 2 58