Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la Lue et du Soleil doivet être aligés : Si la Terre est située etre le Soleil et la Lue, il aura éclipse de Lue ; cette derière présete la phase de Pleie Lue ; la Lue etre das le côe d ombre de la Terre. Si la Lue est située etre le Soleil et la Terre, il aura éclipse de Soleil ; ue telle éclipse e peut se produire que lors de la phase de Nouvelle Lue ; la Terre est atteite par le côe d ombre de la Lue. Schémas d éclipses de Soleil : la Lue est située etre le Soleil et la Terre. IMCCE Schéma d ue éclipse de Lue : la Terre est située etre le Soleil et la Lue. CLEA E réalité les coditios pour que se réalise ue éclipse sot plus compliquées que e le laisset supposer les schémas précédets. Les coditios d ue éclipse ) O a vu, das ce qui précède, que pour qu ue éclipse se reproduise, il est écessaire que ce soit lors d ue même phase : soit la phase de Pleie Lue (pour ue éclipse de Lue), soit celle de Nouvelle Lue (pour ue éclipse de Soleil). Cette coditio sur la phase est cepedat pas suffisate.
2) O sait que la Terre orbite autour du Soleil das u pla appelé écliptique qu elle parcourt e u a. Sa trajectoire est très proche d u cercle. De même, la Lue orbite autour de la Terre sur ue trajectoire relativemet elliptique, qui est pas coteue das l écliptique. C est aisi que le pla de l orbite luaire est iclié par rapport à l écliptique (d eviro 5 ). L orbite luaire traverse le pla de l écliptique e deu poits appelés œud ascedat et œud descedat. L aligemet des cetres du Soleil, de la Terre et de la Lue e peut se produire qu au voisiage des œuds. Or la lige des œuds de l orbite luaire est pas toujours aligée avec le Soleil (voir schéma ci-dessous). Coclusio Pour qu il ait éclipse, il est doc écessaire que : la Lue présete ue phase de Pleie Lue, ou ue phase de Nouvelle Lue, la Lue soit au voisiage de l u de ses œuds. Chacu des phéomèes précédets se caractérise par ue période spécifique : l itervalle de temps qui sépare deu phases idetiques porte le om de révolutio sodique. La révolutio sodique de la Lue a ue durée de 29,530 588 853 jours. l itervalle de temps qui sépare deu passages de la Lue au même œud porte le om de révolutio dracoitique. La révolutio dracoitique a ue durée de 27,22 220 87 jours. CLEA O a figuré sur ce schéma le pla de l orbite de la Terre autour du Soleil (e beige), et pour quatre positios de la Terre, le pla orbital de la Lue (e bleu) aisi que la positio de celle-ci sur so orbite (poits gris). La lige des œuds est figurée e vert. E, il a éclipse de Lue : la Lue passe das l ombre de la Terre, E 2 il a pas d éclipse (l ombre de la Terre passe «au-dessus» de la Lue), E 3, il a éclipse de Soleil : la Lue passe etre le Soleil et la Terre et projette so ombre sur cette derière, E 4 il a pas d éclipse (l ombre de la Terre passe «au-dessous» de la Lue). O ote égalemet que la lige des œuds (e vert) garde ue directio fie das l espace et qu elle passe par le Soleil à eviro 6 mois d itervalle. Le retour d ue éclipse Après ue éclipse doée, pour qu ue ouvelle éclipse de même ature et se produisat das les mêmes coditios ait lieu, il est écessaire qu u itervalle de temps qui permettet à la fois le retour d ue même phase et u passage au même œud, se produise. Mathématiquemet, cela se traduit par ue durée qui sera le plus petit multiple commu à la période sodique et à la période dracoitique. E d autres termes, cet itervalle de temps d (eprimé e jours) doit satisfaire à la fois au deu coditios suivates : d = 29,530 588 853 et d = 27,22 220 37 m, où et m sot des etiers. 2
Remarque Cette recherche s apparete à celle d u PPCM. La différece proviet de ce que le PPCM est défii das l esemble des etiers, alors que das le cas qui ous occupe ici, les périodes sodiques et dracoitiques sot des réels quelcoques. E raiso de cette différece, la méthode de recherche du plus petit multiple commu au deu périodes e pourra s effectuer par ue décompositio e produits de facteurs premiers, comme das le cas du PPCM. Calcul d ue valeur de d O remarque que si = 242, alors d = 27,22 220 37 242 = 6 585,357 36 74 et que si m = 223, alors d = 29,530 588 853 223 = 6 585,32 34 29 O costate que la partie etière est commue à ces deu résultats, ce qui est égalemet vrai pour la première décimale. U calcul précis de d se fait e résolvat l équatio au icoues etières m et (décompositio de réels e fractios cotiues ) : S m = D, où S représete la période sodique, et D la période dracoitique. Iterprétatio de la partie commue de d 6 585,3 est ue valeur approchée eprimée e jours : il a doc 6 585 jours 0,3 jour qui vot séparer deu éclipses de même ature et se produisat das les mêmes coditios. Or la valeur e jours (solaires moes) de l aée est : 365,2596. Cherchos combie il a d aées coteues das 6 585,3 jours : 6 585,3 8,029 365,2596 Ceci sigifie que la durée de 6 585,3 jours représete légèremet plus que 8 as. Précisos u peu. O a : 8 365 = 6 570. Il a doc, a priori, u ecédet de 6 585,3 6 570 = 5, 3 jours. Comme das l espace de 8 as o pourra recotrer 3, 4 ou 5 aées bissetiles, il coviet de rajouter 3, 4 ou 5 jours à 6 570. O obtiet e défiitive : 6 585,3 (6 570 3) = 2,3 jours 6 585,3 (6 570 4) =,3 jours 6 585,3 (6 570 5) = 0,3 jours Doc l écart de temps séparat deu éclipses de même ature et de coditios idetiques est : 8 as plus 0, ou 2 jours et 0,3 jour, c est-à-dire eviro 8 heures. Ce derier résultat s iterprète e disat que la Terre aura touré d eviro 8 heures de plus, soit 20, doc que l éclipse e se reproduira pas au même edroit sur la Terre (cette remarque vaut essetiellemet pour les éclipses de Soleil). La méthode de détermiatio emploée ici, et qui s apparete à ue recherche de PPCM, doe ue très boe valeur approchée ; pour obteir ue valeur plus précise de d, o fait iterveir d autres coditios et ue autre méthode de calcul (décompositio d u réel e fractios cotiues). Le saros O désige par saros cette période de 8 as et 0 jours (évetuellemet ou 2, pour teir compte des aées bissetiles) au bout de laquelle les éclipses se reproduiset das le même ordre, au mêmes luaisos avec des caractères très semblables. O igore e réalité (et cotrairemet à ce que l o e dit très souvet) si les Acies coaissaiet ou o le saros. Ce terme a été emploé pour la première fois par Edmud Halle (656-742) qui iterpréta mal u tete acie (la Souda). Chez les Chaldées, le mot saros désige l Uivers, ou bie u ombre période de 222 mois luaires, c est-à-dire 8 as et 6 mois, avec ue aée de 2 mois luaires. Le tete acie emploait le mot saros pour ue durée qui avait rie à voir avec les éclipses. Valeur précise du saros La valeur eacte du saros est de 8 as, 0 ou ou 2 jours et 8 heures. Eemple de table prédictive d éclipses Bie que l erreur de Halle ait été maites fois déocée par d autres astroomes (Ideler e 825, Taer e 893, Schiaparelli e 908, Bigouda e 9 et Paekoek e 97) le mot saros cotiue de os jours à désiger la période de 8 as et 0, ou 2 jours attachée au retour des éclipses. Voir e fi de documet 3
Suites des prochaies éclipses de soleil et de Lue (saros allat de 2000 à 2025) 4
Décompositio d u réel e fractios cotiues Observatoire de Paris La décompositio d'u réel e fractios cotiues permet d'obteir ue approimatio d'u réel positif r sous la forme d'u quotiet de deu etiers. La méthode cosiste à décomposer le réel e partie etière et e partie décimale : r = a 0 u, u état iférieur à, o pred so iverse et o cotiue comme précédemmet e itérat avec les restes successifs : = a u2 u = a u u E remplaçat les u i par leurs epressios, le réel se présete sous la forme de fractios emboîtées qui défiisset la fractio cotiue : r = a0 a a2 a3 a4 a L 5 O obtiet des approimatios successives de r au moe de rapports d'etiers e troquat le développemet de la fractio à des ordres plus ou mois élevés que l'o appelle les réduites d'ordre : P = ( a0; a, a2, a3, a4, a5, K, a ) Q O passe de l'ordre et à l'ordre par la relatio de récurrece du secod ordre suivate : P Q a = a Ces formules de récurrece furet découvertes par le mathématicie Idie Bhascara II au début du XIII e siècle, soit 5 siècles avat que le mathématicie Aglais Joh Wallis e les redécouvre e Europe. La réduite d ordre d u réel r est ue meilleure approimatio de ce réel e ce ses qu il a pas de ombre ratioel plus proche de r et de déomiateur strictemet iférieur à Q. Si 0 < Q < Q, alors, pour tout etier P, o a : P P r > r. Q Q Eemple Représetatio du ombre π O a π = 3,4592 654K Sa forme réduite d'ordre 4 s'écrit : (3; 7, 5,, 293) Les approimatios successives sot : 3, 22/7, 333/06, 355/3, 04348/3325. P Q P Q 5
Recherche de la période du saros Calcul du saros Méthode des fractios cotiues Le saros est ue période qui doit être multiple de : la période de révolutio sodique de la Lue, soit : L = 29,530 588 853 2 jours la période de révolutio dracoitique de la Lue, soit : G = 27,22 220 87 jours. Notos que la période sodique porte ecore le om plus courat de luaiso (retour d ue phase de même ature). L Pour cela o cherche deu etiers et tels que G = L, ou ecore =. G L Or le quotiet approché de L par G est :,08595 840 93. G La méthode des fractios cotiues permet de trouver ue «meilleure approimatio» ratioelle de,085 95 840 93 e ce ses qu il e a pas de plus précise avec u déomiateur iférieur ou égal. 29,530 588 853 2 = 27,22 220 87 2 4 3 5 L L La réduite d ordre 8 de est doc : ( ;,, 2,, 4, 3, 5,) G Les valeurs possibles de et serot successivemet : = = 2 = =,090 909 09 3 =,083 33333 2 38 = =,085 74 285 35 2 5 = =,08506 382 47 2 6
à 242 = =,085 20 794 223 2 4 L Ue première «meilleure approimatio» de est obteue pour = 242 et = 223 (l écart est iférieur G 6 6.0 ). E d autres termes, ue éclipse doée se reproduira après 223 luaisos (ou 242 révolutios dracoitiques). Comme ue luaiso vaut 29,530 588 853 2 jours, cet itervalle sera de : 29,530 588 853 2 223 = 6 585,3234 jours. Remarque Si, au lieu de faire le calcul du saros à partir de la luaiso (révolutio sodique), o était parti de la révolutio dracoitique, o aurait trouvé ue très légère différece (52 miutes), ce qui e uit pas au résultat trouvé cidessus. Évaluatio du saros e jours O costate, par ailleurs, que 8 as se composet de 6 570 jours (e preat ue aée de 365 jours). Pedat 8 as, il peut avoir o 3 aées bissetiles, il coviet de rajouter 3 jours : 6 573, o 4 aées bissetiles, il coviet de rajouter 4 jours : 6 574, o 5 aées bissetiles, il coviet de rajouter 5 jours : 6 575. Les différeces sot alors : o 6 585 6 573 = 2 jours, o 6 585 6 574 = jours, o 6 585 6 575 = 0 jours. Das chacu des cas, il reste ue fractio décimale égale à 0,32 34 jours, ce qui est légèremet iférieur à 8 heures. E 8 heures, la Terre aura touré sur elle-même de presque 20 : doc l éclipse qui se reproduira, e sera plus au même edroit sur la Terre. Coclusio Le saros est ue période désormais bie coue. Pour e évaluer la plus fie valeur, il coviedrait aussi de teir compte d ue troisième période, appelée révolutio aomalistique qui marque le retour de la Lue à so périgée. Il se trouve que cette ouvelle période e cotredit pas, elle o plus, le résultat gééral calculé plus haut. Pourquoi le saros est ue période de récurrece? La pricipale iégalité das la logitude de la Lue, l'équatio du cetre, est foctio de sa distace agulaire au périgée de so orbite, cette distace agulaire porte le om d'aomalie. L'itervalle de temps qui sépare e moee le passage de la Lue par la directio de so périgée, s'appelle la révolutio aomalistique. Sa valeur moee est A = 27,554 549 878 jours. Il est très importat de costater que le saros est égalemet u multiple de cette révolutio aomalistique, aisi après u saros, o seulemet o retrouve la même cofiguratio Soleil Terre Lue mais la plus grosse iégalité das la logitude de la Lue a presque la même valeur, doc o retrouve pratiquemet le même écart etre la Lue vraie et la Lue moee. C'est pricipalemet pour cette raiso que le saros est ue période de récurrece des éclipses. E effet le saros est costruit à partir des révolutios sodiques et dracoitique moees de la Lue. Or l'écart etre la révolutio sodique vraie et la révolutio sodique moee de la Lue peut atteidre plus ou mois sept heures, or e sept heures la positio de la Lue varie e moee de 3,5 e logitude (si l'o tiet compte des perturbatios cet écart peut atteidre 7,5 ). Or comme les diamètres apparets de la Lue et du Soleil sot de l'ordre du demi-degré, il est totalemet impossible de prédire ue éclipse du Soleil uiquemet avec la coaissace de la révolutio sodique moee, seule la coaissace de la luaiso 7
vraie permet cette prédictio. Doc si ue période de récurrece utilise les révolutios sodique et dracoitique moees, il faut égalemet que cette période ramèe la Lue vraie au même edroit par rapport à la Lue moee, doc que la période de récurrece soit aussi u multiple de la période de la plus grosse iégalité das la logitude de la Lue. O a 239 A = 6 585,537 49 jours et saros = 239 A - 0,0079 A ; au bout d'u saros, la Lue se retrouve doc à 2,8 e amot sur sa positio orbitale. 8