Classe de 3ème Chapitre 1 Caluls numériques Rappels de 4ème 1. Les frations 1.1.Quotient exat Définition 1 : Le quotient exat de la division du nombre a par le nombre non nul b s érit sous forme frationnaire : a b (a est le numérateur, b est le dénominateur). Définition 2 : Si a et b sont des entiers relatifs (b non nul), on dit que a b est une fration. Exemples : 8 5 et 4 7 en ériture frationnaire. 2,3 sont des frations, mais n est pas une fration, mais un nombre 6 1.2. Ériture déimale. Quotient approhé Lorsque la division de a par b s arrête, le quotient exat a une ériture déimale limitée ; est un nombre déimal. Par exemple, 8 1, 6 5 = Lorsque la division de a par b ne s arrête pas, le quotient exat a une ériture déimale illimitée ; e n est pas un nombre déimal. Par exemple, 4 = 0,57142857 571... Don le quotient exat n a pas d ériture 7 1428 déimale. On garde l ériture frationnaire pour représenter le quotient exat. Le quotient approhé de 4 par 7 arrondi au entième près est 4 0,57 7. On obtient l enadrement du quotient approhé de 4 par 7 au entième près : 4 0,57 < < 0,58 7 0,57 est le quotient approhé de 4 par 7 au entième près par défaut et 0,58 est le quotient approhé de 4 par 7 au entième près par exès. 1.3. Egalité des frations Règle 1 : Deux frations sont égales lorsqu il y a égalité des produits en roix. Autrement dit :
Chapitre N1 Classe de 3ème 2 a b = équivaut à ad = b d Règle 2 : On ne hange pas un nombre relatif en ériture frationnaire en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. Autrement dit, pour tout nombre relatif a et tous nombres relatifs non nuls b et k, on a : a a k b b k = et a = a k b b k Cei nous permet d obtenir différentes éritures frationnaires d un même nombre. On herhe alors la fration la plus simple. 4 4 40 40 5 8 Exemples : = = = = 3,5 3,5 35 35 5 7 8 est une fration simple ou irrédutible. 7 1.4. Règle des signes Règle 2 : Le signe du quotient a b de deux nombres relatifs est le même que le signe du produit ab. On obtient la règle des signes : Le quotient de deux nombres de même signe est positif. Le quotient de deux nombres de signes ontraires est négatif. a = b a b et a a a = = b b b 1.5. Comparaison des frations Règle 3 : 1 ) Si deux frations ont le même dénominateur positif, alors on les range dans le même ordre que leurs numérateurs. Autrement dit, pour tous nombres relatifs a et et tout nombre relatif d > 0, on a a > équivaut à a > d d 2 ) Si deux frations n ont pas le même dénominateur positif, on herhe d abord un dénominateur ommun positif, puis on applique le 1 ).
Chapitre N1 Classe de 3ème 3 1.6. Addition et soustration Règle 4. 1 er as : Pour additionner (ou soustraire) deux frations de même dénominateur, il faut additionner (ou soustraire) les numérateurs et onserver le dénominateur ommun. a a+ + = et d d d a a = d d d 2 ème as : Pour additionner (ou soustraire) deux frations de dénominateurs différents, il faut herher d abord un dénominateur ommun, puis appliquer le 1 er as. Exemple : Caluler ommun. On érit : 5 7. On est dans le 2 ème as. On herhe un dénominateur 8 12 On herhe dans la table de 8, le premier nombre multiple de 12, ou l inverse. Table de 8 : 8 ; ; 24 est aussi un multiple de 12 Ou Table de 12 : 12 ; 24 est aussi un multiple de 8 On a alors : 5 7 5 3 7 2 15 7 15 7 22 = = = = 8 12 8 3 12 2 24 24 24 24 Puis, il faut simplifier 22 2 = 24 2 11 12 1.7. Multipliation des frations Règle 5 : Pour multiplier deux nombres relatifs en ériture frationnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en respetant la règle des signes. a a = b d bd Remarque : Attention! Il est vivement onseillé de déomposer le numérateur et le dénominateur pour simplifier AVANT d effetuer les aluls. Exemple : Caluler et donner le résultat sous la forme d une fration simple : D abord, il y a trois signes moins, don A est négatif. Puis, on a : 9 14 = 9 14 = 9 7 2 2 35 27 35 27 7 5 9 3 = 2 Don : 15 15 9 14 35 27 1.8. Inverse d un nombre relatif Définition : Deux nombres relatifs sont inverses si leur produit est égal à 1. Si x et x' sont des nombres relatifs non nuls, alors x' est l inverse de x si et seulement si x x' = 1. L inverse d un nombre relatif non nul x est le nombre 1 x noté aussi 1 x.
Chapitre N1 Classe de 3ème 4 Remarques : 0 n a pas d inverse! Un nombre relatif et son inverse sont obligatoirement de même signe. Si x est un nombre relatif non nul, alors l inverse de son inverse est égal à lui-même. Si a et b sont deux nombres non nuls, l inverse de a b est b a. On a alors les propriétés suivantes, pour tous les nombres relatifs a, b et x non nuls : 1 x = 1 1 x 1 x x =, 1.9. Division des frations 1 = x 1 et x 1 b = a a b Règle 6 : Pour diviser par un nombre relatif (non nul), on multiplie par son inverse. Don, pour tous nombres relatifs a et b non nuls, on a a 1 a b = = a b b En partiulier, si a, b, et d sont quatre nombres relatifs non nuls, omme l inverse de d s érit 1 d et est égal à d, on a les égalités suivantes : a b a a 1 a d = = = b d b b d d Attention à la position du «trait entrale de fration» et à la plae du signe égal. Exemple : Caluler 3 3 7 2 8 3 12 2 9 14 24 24 5 24 3 7 8 12. On alule d abord le numérateur. 5 24 5 24 5 24 5 8 2 8 3 5 2 1 3
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