Université Paris 7 Denis Diderot Année L2-51 EM 4 Electromagnétisme. Partiel du samedi 20 mars Texte et corrigé

Université aris 7 Denis Diderot Année 2009-2010 L2-51 EM 4 Electromagnétisme artiel du samedi 20 mars 2010 Texte et corrigé Formulaire En coordonnées clindriques (ρ,, z), repérées par les vecteurs unitaires (ê ρ, ê, ê z ), un vecteur quelconque V s écrit sous la forme V = V ρ ê ρ + V ê + V z ê z. Son rotationnel est alors V = [1 ρ V z z V ] êρ + [ z V ρ ρ V z] ê + 1 [ ρ ρ (ρv ) V ] ρ êz. roblème I Ne pas consacrer plus de 40 minutes à ce problème. Figure 1: Clindre creux de raon intérieur a et de raon extérieur b ; le fil central est parcouru par un courant I constant positif. Un clindre creux et paramagnétique de raon b et de longueur infinie est percé en son axe d une cavité de raon a (voir figure 1). Dans la cavité, sur l axe du clindre se trouve un fil fin infini rectiligne parcouru par un courant d intensité constante positive I. I.1) À partir des propriétés de smétrie de la source de courant, déterminer la direction de l excitation magnétique H et du champ magnétique B en un point quelconque de l espace. I.2) À l aide des propriétés d invariance et du théorème d Ampère, déterminer l expression de l excitation magnétique, H en tout point de l espace. I.3) On suppose le clindre creux magnétiquement linéaire, homogène et isotrope, de susceptibilité χ m. Déterminer le champ d aimantation (l aimantation par unité de volume) M en tout point de l espace. En déduire alors l expression du champ magnétique B. I.4) Exprimer les courants d aimantation volumique et surfaciques dans le clindre creux en fonction des paramètres χ m, a, b, I. I.5) En tenant compte des courants réels et des courants d aimantation, utiliser directement le théorème d Ampère pour retrouver l expression du champ magnétique B en tout point de l espace déterminée à la question I.3. roblème II II.0) Rappeler brièvement comment on calcule le champ magnétique créé par un fil fin rectiligne infini parcouru par un courant d intensité I 1 constante. Quelle est l allure des lignes de champ? 1

remière partie Ne pas consacrer plus de 90 minutes à cette partie du problème. À côté de ce fil rectiligne qui définit la direction Oz, se situe un cadre conducteur rigide, indéformable, rectangulaire MNQ de côtés QM = N = h et MN = Q = l (figure 6). Le cadre et le fil définissent le plan Oz caractérisé par les vecteurs unitaires ê et ê z, les côtés QM et N du cadre rectangulaire étant parallèles au fil et situés respectivement aux distances 0 et 0 + l de celui-ci. Dans un premier temps, le cadre est astreint à se situer dans le plan Oz. z z 0 + h Q I 1 z 0 M N ê z O ê 0 0 + l Figure 2: II.A.1) Donner l expression du flux Φ du champ magnétique B fil créé par le fil infini au travers du cadre dans sa position initiale. II.A.2) On déplace le cadre parallèlement à la direction O à la célérité constante v 0 dans le sens positif. i) réciser qualitativement le sens du courant induit dans le cadre en raison de la présence du champ magnétique créé par le fil infini. ii) Calculer alors la f.é.m. (potentiel électromoteur) induite, e(t), dans le cadre, puis le courant en admettant que la self du cadre, de résistance R 0, est négligeable. On donnera deux évaluations de cette f.é.m., l une reposant sur la variation du flux, l autre sur la circulation du champ électromoteur dans le cadre. iii) réciser ensuite la direction et le sens du champ magnétique, B cadre, induit par ce courant. Est-ce conforme à la loi de Lenz? II.A.3) On suppose maintenant que le cadre à nouveau fixe, le côté MQ étant positionné à l abscisse (voir figure 6), est parcouru par un courant d intensité constante I 2 circulant dans le sens des aiguilles d une montre. i) Montrer que la résultante des forces agissant sur les côtés MN et Q est nulle. ii) Calculer la résultante des forces agissant sur les côtés N et QM. II.A.4) Calculer le travail élémentaire δw que l on doit fournir pour éloigner lentement le cadre perpendiculairement au fil d une distance infinitésimale d, les intensités I 1 et I 2 restant constantes. II.A.5) Exprimer alors la relation entre ce travail élémentaire δw et la variation dφ du flux Φ (calculé nécessairement en II.A.2.ii)) lors du même déplacement infinitésimal d. 2

*II.A.6) Le cadre rigide et indéformable, revenu à sa position initiale, est maintenant susceptible de tourner autour d un axe parallèle à l axe Oz et passant par le milieu des segments MN et Q. Il est parcouru par un courant I 3 constant et circulant dans le sens trigonométrique usuel. On remplace le fil infini source du champ inducteur, par une source fournissant un champ magnétique uniforme B 0 orthogonal à l axe de rotation et dirigé selon ê, B 0 = B 0 ê. À un instant t la normale orientée au cadre fait un angle avec la direction du champ magnétique extérieur B 0. i) Quelles sont les forces qui s exercent sur les côtés du cadre? réciser sur une figure leur orientation sur chacun des côtés du cadre. ii) Montrer alors que le cadre est soumis à un couple, somme des moments des forces, dont on donnera l expression. Exprimer ce résultat à l aide du moment magnétique du cadre, dont on rappellera la définition. iii) Y a-t-il une (ou plusieurs) position(s) d équilibre? stable(s) ou instable(s)? **iv) Indiquer qualitativement ce qui changerait si le champ extérieur n était pas uniforme, i.e., par exemple, si la source de champ était le fil infini des questions précédentes. Deuxième partie Ne pas consacrer plus de 80 minutes à cette partie du problème. fil + -D O +D fil - x Figure 3: Deux fils fins, rectilignes et indéformables, infinis, parallèles, distants de 2D, sont parcourus par des courants de sens opposés et de même intensité. Les fils sont rigidement fixés. II.B.1) Les fils s attirent-ils ou se repoussent-ils? Donner l expression littérale de la force par unité de longueur exercée par un fil sur l autre en précisant le sens de son action. II.B.2) En précisant les propriétés de smétrie et d invariance du sstème des deux fils, montrer que le champ magnétique B( r) au point M repéré par le vecteur r ne dépend que des coordonnées x et, i.e., B( r) = B(x, ). Représenter, en les justifiant, les lignes de champ caractéristiques du champ magnétique qu ils créent. II.B.3) Calculer alors les composantes de ce champ magnétique sur un axe médiateur, au point de coordonnées r = (0,, 0). Tracer la courbe représentative de l évolution de la composante B de ce champ en fonction de. II.B.4) On considère une boucle circulaire de raon r 0 parcourue par un courant d intensité i. i) Rappeler l expression de son moment magnétique M. ii) La boucle est placée en de sorte que son moment magnétique soit situé dans le plan x0 et fasse un angle avec l axe 0 (figure 3). Calculer le couple Γ (somme des moments) des forces magnétiques exercées sur la boucle placée dans le champ des deux fils infinis. 3

M fil + -D O +D fil - x Figure 4: iii)tracer l allure de la mesure algébrique de ce moment en fonction de l angle en précisant les positions d équilibre et leur nature, après avoir représenté sur un autre graphe l évolution de l énergie potentielle en fonction de. **II.B.5) Question difficile réservée aux sportifs! i) Rappeler l expression de la force exercée par un champ magnétique extérieur B sur une boucle de moment magnétique M. ii) Établir que la force magnétique F qui agit sur la boucle n a de composantes non nulles que selon Ox et O. iii) Justifier, à l aide des propriétés de smétrie, que la composante B est extrémale par rapport à x pour tout, i.e., B / x = 0. iv) Montrer alors, à partir d une des équations locales de la magnétostatique, qu au point, on a la relation B x / = B / x. v) En utilisant enfin le caractère conservatif du champ magnétique, montrer F x = M B sin et F = M B cos. vi) Quel est en particulier le sens de cette force dans le cas où le moment magnétique M est parallèle et de même sens que B, ou de sens opposé? vii) À quelle valeur de la distance cette force est-elle maximale? 4

roblème I Corrigé du partiel du 20 mars 2010 I.1) Tout plan orthogonal à l axe de révolution est plan d antismétrie de la source de courant ; tout plan qui contient le fil, c est à dire l axe de révolution, est plan de smétrie. L excitation magnétique H ainsi que le champ magnétique B sont donc orthoradiaux (orthogonaux aux plans de smétrie). Il a invariance par translation autour de l axe de révolution et invariance par rotation autour de cet axe. Ainsi où ρ est la distance à l axe. H( r) = H(ρ) ê et B( r) = B(ρ) ê, I.2) Les propriétés d invariance montrent que l excitation magnétique ne dépend que de la distance à l axe : la courbe d Ampère naturelle est donc un cercle, C(O, ρ), centré sur l axe et de raon ρ. Le théorème d Ampère H( r) dl = I donne en tout point de l espace. 0 C(O,ρ) H(ρ) ρ d = I, soit H(ρ) = I ρ I.3) Le clindre creux est magnétiquement linéaire homogène et isotrope de susceptibilité χ m. Le champ d aimantation (l aimantation par unité de volume), M( r), qui ne dépend en raison des propriétés d invariance que de ρ, est nul en dehors du clindre Dans la masse aimantée, a ρ b, on a Il s en suit que le champ magnétique B( r) M( r) = 0 si 0 < ρ < a et ρ > b. M( r) = χ m H( r) = χ m I ρ ê. B( r) = µ0 [ H( r) + M( r) ], a pour expressions : µ 0 I B( r) = ρ ê pour 0 < ρ < a, µ 0 (1 + χ m ) I B( r) = ê ρ pour a ρ b µ 0 I B( r) = ρ ê pour ρ > b. 5

I.4) ar définition, le courant volumique, j Amp ( r), est donné par l expression j Amp ( r) = M( r). Comme seule est non nulle la composante orthoradiale, le rotationnel se réduit à M( r) = 1 ρ M (ρ) z ê ρ + 1 ρ [ρm (ρ)] ρ ê z. Il est donc nul partout et j Amp ( r) = 0. A priori, il a des courants surfaciques sur les surfaces intérieure (ρ = a) et extérieure (ρ = b) du clindre creux. Comme λamp ( r) = M( r) ˆn, où ˆn est le vecteur unitaire normal à la surface dirigée de l intérieur vers l extérieur. Sur la surface intérieure (ρ = a), ce vecteur unitaire est l opposé du vecteur unitaire dans la direction radiale ê r et l on a λamp (a) = + χ m I a êz Sur la surface extérieure où ˆn coïncide avec ê r on a λamp (b) = χ m I b êz I.5) Le théorème d Ampère pour le champ magnétique B s écrit B( r) dl = µ0 I T C(O,ρ) où I T est la somme algébrique des courants (réels et ampériens) enlacés par le contour d Ampère. Ainsi pour 0 < ρ < a et ρ > b (où les courants ampériens surfaciques en a et b se compensent strictement), le champ magnétique est le produit de l excitation magnétique par la perméabilité magnétique du vide B( r) = µ0 H( r) = µ 0 I ρ ê Dans la matière aimantée, a ρ b, seul le courant ampérien intérieur λ Amp (a) est enlacé (en plus du courant de conduction dans le fil infini). B( r) dl = µ0 I + µ 0 Iχ m car On retrouve donc bien C(O,ρ) I Amp = a χ m I a B( r) = µ 0 (1 + χ m ) I ρ ê pour a ρ b. 6

roblème II II.0) Tout plan contenant le fil rectiligne est un plan de smétrie et tout plan orthogonal au fil est un plan d antismétrie. Le champ magnétique B( r) est donc orthoradial. L invariance par translation le long de l axe du fil et l invariance par rotation autour du fil indiquent que le champ ne dépend que de la distance à l axe ρ B( r) = B(ρ) êϕ, où ê ϕ est le vecteur unitaire dans la direction orthoradiale. On utilise alors le théorème d Ampère en prenant un contour circulaire C(0, r) de raon r, centré sur l axe du fil et situé dans un plan orthogonal au fil ; sur un tel contour l intensité du champ est constante, seule change son orientation. Soit dl = r dϕ ê ϕ un élément infinitésimal de la courbe d Ampère C(0,r) B( r) dl = B(r) r dϕ = r B(r) = µ 0 I, 0 soit B( r) = µ 0 I r êϕ. Les lignes de champ sont donc, dans un plan orthogonal au fil, des cercles concentriques. A) remière partie II.A.1) Le flux est donné par l expression Φ Bfil = B fil ˆn d 2 S S cadre où ˆn désigne le vecteur unitaire normal au cadre orienté. z z 0 + h Q I 1 z 0 M N ê z O ê 0 0 + l Figure 5: 7

Si on choisit d orienter le cadre dans le sens horaire MQ NM (et non dans le sens trigonométrique usuel), ce vecteur unitaire est l opposé du vecteur unitaire dans la direction x, ê n = ê x ; il a l avantage de coïncider avec la direction du champ magnétique créé par le fil. On a alors Φ Bfil = z0 +h 0 +l z 0 µ 0 I 1 0 êx ( ê x ) d dz = + µ 0 I 1 h 0 +l 0 d = µ 0 I 1 h ln 0 + l 0. II.A.2) i) Le cadre se déplace parallèlement à la direction O à la célérité v 0 constante. Quand le cadre s éloigne du fil, l intensité du champ magnétique diminue, la surface du cadre étant constante, le flux diminue en valeur absolue. Sa dérivée par rapport au temps est négative et la f.é.m. induite qui apparaît dans le circuit est positive. Le courant induit circule donc dans le sens positif choisit c est à dire le sens horaire ou MQNM ; il crée un champ magnétique induit dirigé dans le même sens que le champ inducteur du fil pour s opposer à sa décroissance. ii) À l instant t, le flux du champ du fil au travers du cadre est donné par l expression avec La f.é.m. induite est alors e(t) = dφ B fil (t) dt Φ Bfil (t) = µ 0 I 1 h (t) = 0 + v 0 t, = µ 0 I 1 h et donc ln (t) + l, (t) { v 0 ((t) + l) v } 0 (t) Si la self est négligeable, le courant induit est simplement d(t) dt i induit = µ 0 I 1 h l R 0 v 0 [(t) + l] (t) = v 0 = + µ 0 I 1 h l v 0 [(t) + l] (t) Le courant induit est bien positif, i.e., avec les orientations choisies, il circule dans le cadre dans le sens horaire. Une autre façon de calculer la f.é.m. induite est d évaluer la circulation du champ électromoteur E m le long du circuit fermé constitué par le cadre e(t) = MQNM E m dl. Le long des côtés NM et Q le déplacement dl et le champ E m sont orthogonaux entre eux puisque On a donc soit E m = v B fil (t) = v 0 ê µ 0 I 1 (t) êx = µ 0 v 0 I 1 (t) êz. e(t) = Q M E m ê z dz + N E m ê z dz, e(t) = µ 0 v 0 I 1 h[ 1 (t) 1 ] µ 0 v 0 I 1 h l = (t) + l 1 (t)[(t) + l], 8

ce qui est bien identique au résultat établi précédemment. iii) Le champ magnétique induit étant orienté dans la direction ê x, sa contribution s ajoute à celle du champ inducteur et tend à ralentir sa décroissance. L effet est donc bien l effet de modération attendu de la loi de Lenz. II.A.3) Le cadre est à nouveau fixe. Le côté MQ est positionné à l abscisse. Le courant I 2 circule dans le sens horaire. i) Sur le côté MN, la force élémentaire df MN agissant sur l élément infinitésimal dl = d ê est, puisque le courant I 2 > 0 circule dans le sens NM, df MN = I 2 d ê B fil ( r) = + µ 0 I 1 I 2 et la force totale agissant sur le côté MN est F MN = µ 0 I 1 I 2 d ê ê x = µ 0 I 1 I 2 ê z +l d. d êz, Sur le segment Q la force élémentaire df Q a la même intensité que sur le segment MN mais est de sens opposé et l on a si bien que F Q = µ 0 I 1 I 2 ê z F MN + F Q = 0. La résultante des forces agissant sur les côtés MN et Q est alors bien nulle. ii) Sur le segment N, puisque le courant I 2 > 0 circule dans le sens N, on a df N = I 2 dz ê z B fil ( r) = + µ 0 I 1 I 2 et la force totale agissant sur le côté N est F N = µ 0 I 1 I 2 ( + l) ê z0 +h z 0 +l d, dz + l êz ê x = + µ 0 I 1 I 2 dz = µ 0 I 1 I 2 h ( + l) ê. dz + l ê, Sur le segment QM, la force élémentaire a la même expression mais le champ magnétique est plus intense et la force est de sens opposé ; on a ainsi F QM = µ 0 I 1 I 2 ê z0 z 0 +h dz = µ 0 I 1 I 2 h ê. La résultante R des forces agissant sur le cadre est finalement R = µ 0 I 1 I 2 h { 1 1 } ê = µ 0 I 1 I 2 + l h l ( + l) ê. La résultante est bien une force résistante comme la loi de Lenz le suggère. La force résultante va tendre à s opposer à la force exercée par l opérateur qui impose un déplacement dans le sens 9

> 0. II.A.4) Le travail est résistant δw() = R dl = µ 0 I 1 I 2 h l ( + l) d et l opérateur devra fournir ce travail pour assurer le déplacement. II.A.5) Revenons au flux établi en II.A.2.ii) Φ Bfil () = µ 0 I 1 h ln + l, et calculons sa variation dans un déplacement d On retrouve alors la relation dφ Bfil () = dφ B fil () d d = µ 0 I 1 h δw() = I 2 dφ Bfil (), l ( + l) d. dite théorème de Maxwell (valable pour un champ magnétique et un courant stationnaires). *II.A.6) Le cadre rigide et indéformable, revenu à sa position initiale, est maintenant susceptible de tourner autour d un axe parallèle à l axe Oz. Il est parcouru par un courant I 3 constant, circulant dans le sens trigonométrique usuel. On remplace le fil source du champ inducteur, par une source fournissant un champ magnétique uniforme B 0 orthogonal à l axe de rotation et parallèle à l axe O B 0 = B 0 ê. À l instant t la normale orientée au cadre fait un angle avec la direction du champ magnétique extérieur B 0. i) Le long du côté MN, on a d F MN = I 3 dl B 0 = I 3 ( cos ê x + sin ê ) B 0 ê = I 3 B 0 dl cos ê z, et donc F MN = I 3 B 0 l cos ê z, force portée par l axe de rotation. Il n est pas difficile de voir que sur le côté Q la force F Q est aussi portée par l axe de rotation, F Q = +I 3 B 0 l cos ê z. Ainsi F MN = F Q. Le long du segment N d F N = I 3 dl B 0 = I 3 dz ê z B 0 ê = I 3 B 0 dz ê x, et F N = I 3 B 0 h ê x. 10

F Q F N z Q R S C ˆn B 0 N O B 0 M F QM I 3 F MN x Figure 6: Cadre tournant O F N B 0 Q ˆn x F QM Figure 7: Vue de dessus La force est ainsi parallèle à la direction ê x. On obtiendra à l évidence pour le segment QM F QM = +I 3 B 0 h ê x = F N. ii) Le cadre est soumis à un couple, somme des moments des forces. En effet si le moment des forces le long des segments MN et Q est nul, ce sont les moments des forces agissant sur les côtés N et QM qui vont construire le couple (voir figure 6). On a Γ = CR F N + CS F QM Comme CR = CS et F QM = F N Γ = 2 CR F N, soit Γ = 2 l 2 I 3 B 0 h sin ê z. 11

O F N O Q ˆn F QM ˆn B 0 B 0 F N x Q x F QM Figure 8: ositions d équilibre : stable à gauche ( eq = 0), instable à droite ( eq = π). Ce résultat peut donc se réécrire à l aide du moment magnétique du cadre M cadre, M cadre = I 3 S ˆn avec S = l h, et l on a Γ = Mcadre B 0. iii) Le couple s annule pour les positions = 0 et = π. our = 0, la position d équilibre est stable comme on peut le voir en s en écartant un peu. our = π, la position d équilibre est instable, si on s écarte un tout petit peu de cette position le cadre bascule complètement vers la position d équilibre stable (voir figure 8) Ceci est confirmé par l étude de l énergie potentielle du sstème U M = M cadre B 0, qui est minimale pour = 0 et maximale pour = π. **iv) our ce qui est des forces sur les côtés MN et Q, elles sont, comme précédemment, dirigées selon l axe Oz, égales et opposées (l invariance par translation selon z est toujours vérifiée). our les côtés QM et N, les choses changent sensiblement : les deux segments étant à des distances différentes du fil fin infini, le champ magnétique est plus faible sur le côté le plus éloigné et la direction des champs est aussi différente. Les forces exercées sur les côtés QM et N ne se compensent plus. our aller plus loin (ce qui n était pas demandé) on peut calculer le champ en un point quelconque du segment Q (ou NM puisqu il a invariance du champ selon la direction z). Soit donc s l abscisse d un tel point entre et Q ; s varie entre l/2 en et l/2 en Q. On établira sans difficultés majeures B(s) = µ 0 I 1 (D s sin ) ê x + s cos ê (D s sin ) 2 + s 2 cos 2 où D est la distance entre le fil et le milieu du segment Q. Le champ en est donc (a = l/2) et en Q B() = µ 0 I 1 B(Q) = µ 0 I 1 (D a sin ) ê x + a cos ê (D a sin ) 2 + a 2 cos 2 (D + a sin ) ê x a cos ê (D + a sin ) 2 + a 2 cos 2. 12

B B Q Q F QM O F N ˆn O ˆn B Q F N Q F QM B x x Figure 9: Cadre dans un champ non uniforme. Le long du segment N le champ garde la même valeur B() et le courant I 3 dans le cadre circule dans le sens z > 0. La force exercée sur ce côté est alors F N = µ 0 I 1 I 3 h ê z (D a sin ) ê x + a cos ê (D a sin ) 2 + a 2 cos 2 = µ 0 I 1 I 3 h (D a sin ) ê a cos ê x (D a sin ) 2 + a 2 cos 2. Le long du segment QM, le courant I 3 circule dans le sens z < 0 et donc F QM = µ 0 I 1 I 3 h ê z (D + a sin ) ê x a cos ê (D + a sin ) 2 + a 2 cos 2 = µ 0 I 1 I 3 h (D + a sin ) ê + a cos ê x (D + a sin ) 2 + a 2 cos 2. Ces deux contributions, comme attendu, ne se compensent pas. On peut alors calculer le couple exercé sur le cadre Γ () = a (cos êx + sin ê ) [ F N F QM ]. ce qui donne Γ () = µ 0 I 1 I 3 a h [ 1 D cos ê z (D a sin ) 2 + a 2 cos 2 1 ] (D + a sin ) 2 + a 2 cos 2 soit Γ () = 2 µ 0 I 1 I 3 a 2 h D 2 cos sin [(D a sin ) 2 + a 2 cos 2 ] [(D + a sin ) 2 + a 2 cos 2 ] êz. Le couple s annule donc pour = k π et pour = (k + 1) π/2 pour k = 0, 1,..., n. our 0 < < π/2, le couple est positif et fait tourner le cadre dans le sens trigonométrique usuel alors que pour π/2 < < π, il fera tourner le cadre dans le sens inverse (sens horaire). B) Deuxième partie II.B.1) Les fils se repoussent. Désignons par + le fil de gauche que nous supposons parcouru par le courant I positif et par le fil de droite parcouru par le courant I. Le fil est plongé dans le champ B + créé par le fil + B + = µ 0 I 4 π D ê 13

Un élément infinitésimal dl = dz ê z du fil est donc soumis à la force élémentaire df + = I dl B + = µ 0 I 2 4 π D dz ê x Ainsi la force par unité de longueur f + exercée par le fil + sur le fil est donnée par l expression df + f + = = µ 0 I 2 dz 4 π D êx. De la même manière la force par unité de longueur exercée par le fil sur le fil + sera f + = µ 0 I 2 4 π D êx = f +. II.B.2) Le plan médiateur entre les deux fils est un plan d antismétrie de la source de courant comme tous les plans orthogonaux aux deux fils. our tout point de ces plans, le champ magnétique est inclus dans le plan correspondant. ar ailleurs, l invariance par translation suivant la direction Oz implique que le champ ne dépend que des coordonnées dans le plan, soit x et B( r) = B((x, ). Au voisinage de chaque fil les lignes de champs sont des cercles légèrement déformés (orientés dans le sens trigonométrique pour le fil + et dans le sens horaire pour le fil ; l axe, dans le plan médiateur porte une ligne de champ rectiligne. our le reste les lignes de champ sont fermées et doivent satisfaire la relation de conservation B = 0 (voir figure 10). Figure 10: Lignes de champ caractéristiques du sstème des deux fils parcourus par des courants de même intensité mais de sens opposés. II.B.3) Au point sur l axe 0, les composantes B x et B z du champ magnétique sont nulles en raison des propriétés de smétrie du sstème - cet axe est situé à l intersection des deux 14

plans d antismétrie xo et Oz. Les contributions des champs des deux fils sont identiques en grandeur et de direction smétrique par rapport à l axe 0, leurs projections sur l axe 0 sont identiques et s ajoutent B β = π 2 α β B B + α -D O +D x Figure 11: Champ magnétique dans le plan médiateur des deux fils. avec B = 2 µ 0 I l cosβ l = D 2 + 2 et cosβ = sin α = D D2 + 2. Ainsi B = µ 0 I π D 1 1 + (/D) 2 Comme il se doit en qui est situé sur l intersection de deux plans d antismétrie (xo et Oz), le champ magnétique est dirigé selon O. Il est constamment positif, tend vers 0 à l infini et est maximum en = 0 ar définition le moment magnétique M d une boucle plane a pour grandeur le produit de sa surface S par l intensité I du courant qui la parcourt et est dirigé selon la normale ˆn orientée par le sens positif choisi pour la boucle M = I S ˆn. Dans le cas présent la surface de la boucle est S = π r 2 0 Le moment magnétique est situé dans le plan xo et sa direction fait un angle par rapport à O ; ses composantes sont alors M x = M sin et M = M cos, avec M = π r0 2 I. Le couple (moment des forces) agissant sur la boucle est alors Γ () = M B = M sin B () ê z. 15

Γ z Γ 0 Γ 0 = µ 0 I π D M 1+(/D) 2 π O π/2 3π/2 Figure 12: Variation de la valeur algébrique du couple Γ z en fonction de l angle avec la direction du champ magnétique extérieur B 0. Le couple est dirigé selon Oz (orthogonalement au plan xo. Sa composante algébrique Γ z vaut donc Γ z () = µ 0 I M sin π D 1 + (/D) 2 Le couple est nul pour = 0 et π. our = 0, on a une position d équilibre stable ; le couple est un couple de rappel. puisque Si l on s éloigne un peu de la position d équilibre, soit = ǫ > 0, ǫ <<< 1, alors Γ z µ 0 I π D M ǫ 1 + (/D) 2 < 0; et le couple impose un mouvement de rotation dans le sens inverse du sens trigonométrique et il va ramener le cadre à sa position d équilibre. À l opposé, si on l écarte de ǫ, le couple imposera une rotation dans le sens positif, ramenant ainsi le cadre à à sa position d équilibre. our = π, la position d équilibre est instable car si on s en écarte un peu, = π + ǫ alors Γ z + µ 0 I π D M ǫ 1 + (/D) 2 le couple est positif et entraîne le cadre vers la position d équilibre stable. L énergie potentielle est définie par la relation U pot () = M B, soit ici U pot () = M B () cos = µ 0 I π D M cos 1 + (/D) 2. **II.B.5) i) La force est donnée par l expression F = ( M B). Comme M = M sin ê x + M cos ê, 16

U pot U 0 U 0 = µ 0 I π D M 1+(/D) 2 1 3π/2 O π 1 Figure 13: Variation de l énergie potentielle U pot en fonction de l angle avec la direction du champ magnétique extérieur B 0. on a M B = M B x sin + M B cos, et la force exercée sur la boucle a pour composantes F x = M x B x sin + M x B cos, F = M B x sin + M B cos, F z = M z B x sin + M z B cos. En effet, bien que sur l axe O la composante B x soit nulle, cela n implique aucunement que ses dérivées soient nulles a priori. ii) La composante z de la force est cependant nulle puisque nous savons que le sstème est invariant par translation le long de l axe Oz et B ne dépend pas de z F z = 0. iii) Le plan (ê, ê z ) est un plan d antismétrie de la source de courant. Le champ magnétique dans le plan (ê x, ê ) (qui est aussi un plan d antismétrie) est donc bien dirigé selon ê le long de l axe O. Il est évidemment smétrique de part et d autre du plan (ê, ê z ) : la composante B x (x, ) change de signe de part et d autre de x = 0 tandis que la composante B (x, ) reste identique. Quand on s éloigne de ǫ > 0, on a B (ǫ, ) = B (0, ) + ǫ B (0, ), x mais si l on éloigne de la même quantité dans le sens des x négatifs, on aura B ( ǫ, ) = B (0, ) ǫ B (0, ). x Comme les composantes selon ê doivent être identiques en raison de la smétrie par rapport au plan (ê, ê z ), on a nécessairement B x = 0. ce qui établit bien que le point (0, ) est un extrémum de la composante B du champ magnétique pour fixé. Quand on s éloigne de x = 0, par exemple dans le sens des x croissants, 17

la contribution au champ dû au fil + diminue, B + (x, ) décroît continuement. Il en est de même de la contribution de la composante B (x, ) du champ due au fil - ; noter que pour x = D, distance minimale au fil, cette composante due au fil est nulle. Il est donc clair que la composante B (x, ) du champ est en fait maximale le long de l axe O pour une valeur de fixée et x courant de à (voir figure 14) B B B B + M B ρ + ρ B + Y + -D O +D X x Figure 14: Champ magnétique dans le plan (ê x, ê ) pour fixé. Un calcul rapide (non demandé) permet de confirmer cela. Soit le point M repéré par ses coordonnées (X, Y ) où Y est fixé. Le champ magnétique en M s écrit B(X, Y ) = B (X, Y ) + B + (X, Y ), soit explicitement B(X, Y ) = µ 0 I [ 4 X Y D êx + 2 D {Y 2 + D 2 X 2 } ê ]. {(X + D) 2 + Y 2 } {(X D) 2 + Y 2 } On retrouve bien pour X = 0 B(0, Y ) = µ 0 I [ 2 D ] ê D 2 + Y 2. Ce qui nous intéresse particulièrement ici c est la composante B du champ soit B (X, Y ) = µ 0 I 2 D {Y 2 + D 2 X 2 } {(X + D) 2 + Y 2 } {(X D) 2 + Y 2 }. On peut alors calculer explicitement la dérivée partielle de B (X, Y ) par rapport à x ; celle-ci est proportionnelle à X, donc bien nulle en X = 0 où B (0, Y ) est maximale. iv) Le champ magnétique répond au postulat B = µ0 j mais en un point de l espace où la densité volumique de courant est nulle on a B = 0 18

Ainsi, en x = 0, doit on avoir, puisque le champ magnétique ne dépend que de x et B x B x = 0, les composantes x et du rotationnel étant automatiquement nulles. v) Le champ magnétique étant conservatif, il doit vérifier en tout point de l espace B = 0, soit ici explicitement on a donc B x x + B = 0. F x = +M B sin = 4 µ 0 I M sin, π D (D 2 + 2 ) 2 F = +M B cos = 4 µ 0 I M cos, π D (D 2 + 2 ) 2 F z = 0. vi) Si M est parallèle à B et de même sens, on a = 0 et donc F x = 0 F = 4 µ 0 I M π D D 2 + 2 et F z = 0. La force exercée su le dipôle par le sstème des deux fils est attractive. Si au contraire M est parallèle à B mais de sens opposé, on a = π et F x = 0 F = 4 µ 0 I M π D D 2 + 2 et F z = 0. La force exercée sur le dipôle est alors répulsive. vii) Le module de la force, le long de l axe O, sera extrémal quand sa dérivée par rapport à s annule, i.e., quand [ ] = 0, (D 2 + 2 ) 2 c est à dire si Ainsi, le module de la force est maximal pour D 2 3 2 (D 2 + 2 ) 3 = 0. = ± D 3. 19