OPTIMISATION BIOBJECTIF D ORDONANNACEMENT ET DE MAINTENANCE D UN ATELIER FLOW-SHOP

8 e Conférence Internatonale de MOdélsaton et SIMulaton - MOSIM 10-10 au ma 2010 - Hammamet - Tunse «Evaluaton et optmsaton des systèmes nnovants de producton de bens et de servces» OPTIMISATION BIOBJECTIF D ORDONANNACEMENT ET DE MAINTENANCE D UN ATELIER FLOW-SHOP F. HNAIEN ICD-LOSI / UTT Troyes rue Mare Cure, BP2060, 10010 Troyes Cedex - France Facel.hnaen@utt.fr F. YALAOUI ICD-LOSI / UTT Troyes rue Mare Cure, BP2060, 10010 Troyes Cedex - France Farouk.yalaou@utt.fr RESUME : Nous consdérons smultanément le problème d ordonnancement de la producton et de planfcaton des tâches de mantenance d un ateler Flow-Shop à 2 machnes. Cette méthode permet aux décdeurs ndustrels de trouver des solutons de comproms entre les objectfs de producton et de la mantenance. Les modèles de fablté sont utlsés pour prendre en compte la planfcaton de la mantenance. Les modèles d ordonnancement sont ms en place par le responsable d ordonnancement pour achever les tâches de producton suvant un ou pluseurs crtères. Souvent les deux objectfs sont contradctores. Notre objectf est donc d optmser smultanément les deux crtères. Pour cela nous avons chos d étuder la mnmsaton de makespan «C max» pour le problème d ordonnancement et la mnmsaton des ndsponbltés d ateler au nveau de la mantenance. Nous examnons donc le cas F2/ /(C max, ndsponblté). Deux décsons sont prses à la fos : la recherche de melleure affectaton de n tâches sur les m machnes en vue de rédure au mnmum le C max et de trouver les dates de mantenance préventve afn de rédure au mnmum les ndsponbltés d ateler. Les nombres d actons de mantenance ans que les ntervalles de mantenance ne sont pas fxés à l'avance. Un algorthme génétque a été ms en place pour trouver le front de Pareto. MOTS-CLES : ordonnancement Flow-Shop, mantenance, makespan, b-objectf, ndsponblté, front de Pareto. 1 INTRODUCTION La majorté des études qu s ntéresse à l ordonnancement se place dans un envronnement détermnste et suppose la dsponblté totale des ressources. Cependant dans la réalté généralement ce n est pas le cas. En effet, les ressources matérelles et humanes peuvent être ndsponbles pour dfférentes rasons. Comme par exemple les pannes machnes ou les opératons de mantenance préventve mses en place par le servce mantenance. L ndsponblté des ressources perturbe et nflue sur l effcacté d ordonnancement. En contre parte les tâches de mantenance mses en place par le responsable de mantenance sont contrantes par le servce d ordonnancement. Ces deux décsons sont généralement contradctores. L optmsaton conjonte de la planfcaton de la mantenance préventve et d ordonnancement de la producton consste en fat à mettre en œuvre une coopératon entre l ordonnancement et la mantenance afn de trouver une soluton de gagnant/gagnant pour les deux servces. L ordonnancement de la producton a pour rôle de satsfare le beson de l entreprse et des clents fnaux. Les tâches de mantenances préventves évtent les arrêts brusques de la producton, coûtent nettement mons que les mantenances correctves et permettent d évter un retard de lvrason non programmé. Les tâches de mantenances sont contradctores aux objectfs de l ordonnancement. En effet, s le crtère à optmser, comme dans notre étude, est le temps d achèvement de tous les jobs sur les machnes (C max ), placer des créneaux horares pour effectuer des tâches de mantenance préventve accrot la valeur du crtère objectf. Dans la lttérature portant sur l optmsaton de l ordonnancement et la planfcaton de la mantenance, le servce d ordonnancement est généralement prortare sur la mantenance préventve. Les tâches de mantenance sont planfées séparément de l ordonnancement et sont généralement placées à des créneaux horares où elles ne perturbent pas l ordonnancement. Cette étude permet de confronter deux approches dfférentes ; l approche détermnste pour la modélsaton de l ordonnancement et l approche stochastque pour la modélsaton de la mantenance. L optmsaton de ces deux objectfs dot être mse en place par une méthode d optmsaton b-objectf. Cette nouvelle méthode d optmsaton nous permet de trouver tous les comproms entre ces deux objectfs contradctores. Ces comproms entre les deux objectfs permettent de donner plus de flexblté au nveau de décsons de deux servces et donc d évter un éventuel conflt entre eux.

MOSIM 10-10 au ma 2010 - Hammamet - Tunse L optmsaton b-objectf de la mantenance et de l ordonnancement trouve ans tout son ntérêt, étant donné que les deux objectfs sont complémentares et contradctores. Dans la lttérature actuelle, les machnes sont souvent consdérées parfates durant l ordonnancement. Lorsque le responsable de mantenance demande à effectuer des tâches de mantenance préventves, cela est généralement mal ressent par le responsable d ordonnancement et vu comme une perturbaton de la producton. Cette décson est généralement prse séparément du plan de l ordonnancement et ne s nsère que rarement dans son créneau horare prévu. Cependant, les nterventons de mantenance préventve offre une bonne dsponblté d ateler à court et long terme. En plus, une panne machne coûte nettement plus chère qu une mantenance préventve et engendre un retard de lvrason aux clents non planfé. Un manque de fablté peut donc engendrer des pertes nternes à l entreprse (des stocks mportant devant la machne en panne, des heures supplémentares pour paller l arrêt de machne et surtout des problèmes de sécurté) et des pertes externes telles que la perte des clents due à un retard de lvrason. Dans un tel contexte, l ordonnancement optmal de la producton et la planfcaton des tâches de mantenance ne dovent pas se fare séparément d où la nécessté d une optmsaton b-objectf de ces deux crtères. 2 ETAT DE L ART L ordonnancement tenant en compte l ndsponblté des machnes peut être classé en deux catégores : les approches détermnstes et les approches stochastques. Dans l approche détermnste, les ntervalles de temps des actons de mantenance préventve ans que leur nombre sont connus et fxés à l'avance. La majorté de la lttérature d ordonnancement avec mantenance adoptent cette approche souvent appelée "ordonnancement avec contrantes de dsponblté des machnes". Toutes les confguratons d'atelers connus ont été étudées par les chercheurs : une seule machne, machnes parallèles, Flow-Shop, Job-Shop, Open-Shop et les systèmes hybrdes. Compte tenu de nombre sgnfcatf d'artcles réalsés dans cette catégore, nous examnons seulement l état de l art concernant les atelers Flow Shop. Pour le cas des tâches préemptves, (Lee, 1997) a étudé le cas d ateler Flow-Shop à deux machnes et comme objectf la mnmsaton de C max. Les deux machnes subssent chacune une seule pérode d ndsponblté. L auteur a montré que le problème est NP-dffcle au sens fable quelque sot la machne concernée par l ndsponblté. (Lee, 1999) a étendu l étude où les machnes peuvent subr pluseurs pérodes ndsponbltés. L auteur a montré que l algorthme de Johnson permet de résoudre le problème d une manère optmale dans le cas où les ndsponbltés se produsent à deux dates dentques. Dans le cas, où les ndsponbltés se produsent à deux dates dfférentes et même s les durées des ndsponbltés sont égales, l auteur a montré que le problème est NPdffcle au sens fable. (Allaou et al., 2003 ) ont étudé la mnmsaton de C max d un ateler Flow Shop à deux machnes dans le cas où la premère machne subt une seule pérode d ndsponblté. Ils se sont ntéressés aux cas de tâches préemptves et non préemptves. Les auteurs ont proposé un algorthme de programmaton dynamque pour résoudre le problème. Pour le cas de tâches non préemptves, (Lee, 1999) a développé une heurstque lorsque la premère machne subt une ndsponblté. L auteur a montré auss que l algorthme de Johnson a une erreur relatve égale à 1 s la pérode d ndsponblté est mposée à la deuxème machne. Pour le cas de Flow Shop à plus de deux machnes. (Aggoune, 2001) a étudé le problème de mnmsaton de C max avec des pérodes d ndsponbltés. Les ndsponbltés sont supposées soent fxes et défnes a pror soent elles varent dans un ntervalle. L auteur a proposé une hybrdaton d un algorthme génétque et une recherche Tabou. A notre connassance l y a que (Aggoune, 2001) qu s est ntéressé au problème à plus de deux machnes et la majorté des études se sont restrentes au cas de deux machnes vu la dffculté du problème. Pour les lecteurs qu veulent approfondr l état de l art, (Kaab, 2004) présente un excellent état de l art sur le sujet. L ordonnancement avec contrantes de dsponblté des machnes pour le cas d ateler Flow-Shop a été étudé par pluseurs chercheurs. Cependant les travaux sont lmtés à des approches détermnstes, c'est-à-dre un nombre de tâches de mantenance connu et fxé à l avance où varable dans un ntervalle. Le cas d approche stochastque n est pas suffsamment étudé vue la dffculté de problème. Le cas d approche stochastque, le début de tâche de mantenance préventve est consdéré comme varable de décson comme l ordre des tâches de producton et l ordonnancement et la mantenance sont consdérés conjontement. Il y a peu d artcles qu s ntéressent à cette approche. (Kaab et al., 2003) ont étudé le cas de Flow-Shop de permutaton où les pérodes de mantenance dovent être effectués dans un ntervalle prédéfn. Cette étude a l'avantage de dmnuer le conflt entre les deux servces, mas ls favorsent la mantenance, au détrment de la producton. (Ruz et al., 2007) proposent une optmsaton conjonte d ordonnancement et mantenance pour le cas Flow-Shop de permutaton afn de mnmser le temps d'exécuton. Les auteurs ont utlsé des modèles de fablté pour détermner les pérodes de mantenance en

MOSIM 10-10 au ma 2010 - Hammamet - Tunse conservant un nveau mnmum de fablté au cours de l'horzon de planfcaton. Cependant, les pérodes de mantenance sont étables sans tenr compte des exgences de l ordonnancement. Elles sont fxées à l'avance pour chaque machne séparément. Jusqu à présent, nous pouvons noter que toutes ces études ne se sont ntéressées qu à l ordonnancement au détrment de mantenance. Dans (Kaab et al. 2003), la foncton objectf est une somme pondérée de deux crtères : la somme de retard total de producton et de retards et avances de mantenance. Les auteurs n'ont pas utlsé des modèles de fablté dans leur étude, mas ls sont les premers à avor essayé d'examner conjontement un crtère lé à l ordonnancement et un autre lé à la mantenance. Récemment (Berrch et al., 2007) ont étudé un modèle b-objectf du problème de machnes parallèles en utlsant des modèles de fablté pour prendre en consdératon l'aspect mantenance. Les deux crtères utlsés sont la mnmsaton d ndsponblté des machnes et la mnmsaton du temps d exécuton des tâches. Pour le crtère de la mantenance, c'est l ndsponblté de l'ensemble du système qu est optmsée au leu de fxer un seul de fablté pour chaque machne comme dans (Ruz et al., 2007). Deux algorthmes génétques ont été ms en place pour obtenr une approxmaton de Pareto optmal. Un algorthme génétque qu utlse la pondératon de deux objectf et un algorthme génétque de type NSGA II (Non domnated Sortng Genetc Algorthm). Les ntervalles de pérodes mantenance ans que leur nombre de tâches de mantenance pour chaque machne sont optmsés au cours du processus d'optmsaton globale ans que la séquence d ordonnancement. À notre connassance, l y a que cette étude de (Berrch et al., 2007) qu s ntéresse à l optmsaton bobjectf de l ordonnancement et de la mantenance en consdérant comme crtère de mantenance la mnmsaton d ndsponblté de système. Dans le présent paper, nous utlsons la même dée que (Berrcch et al., 2007) mas pour le cas d un ateler Flow-Shop de permutaton. Nous consdérons comme crtère d ordonnancement la mnmsaton de C max. Pour le crtère de mantenance nous consdérons le même crtère qu est la mnmsaton des ndsponbltés d ateler. 3 MODELISATION DU PROBLEME Cette secton décrt séparément le problème d ordonnancement et le problème de planfcaton de la mantenance préventve. Ensute on propose le modèle b-objectf qu présente les deux problèmes smultanément. De pont de vu ordonnancement, nous examnons le cas de F2/ /(C max, ndsponblté). Nous supposons que les tâches sont dsponbles au début de la producton et les préemptons ne sont pas autorsées. L algorthme de Johnson permet de résoudre le problème F2/ /C max d une manère optmale dans un temps polynomale. Du pont de vue mantenance, nous nous ntéressons à la mantenance préventve. Les actons de mantenance contrbuent à mantenr les outls de producton dans de bonnes condtons d'explotaton (elles augmentent la dsponblté de système) et mnmsent les coûts en évtant les pannes mprévues. Le problème de mantenance est donc de détermner les dates de mantenance pour chaque machne en mnmsant l'ndsponblté du système. La dsponblté A d une machne M est défne à un pont donné dans le temps t comme sut : A( t) P( M fonctonne à t) (1) Le contrare de la dsponblté est l ndsponblté A, elle est défne comme sut: A( t) 1 A( t) (2) La dsponblté d'une machne M (=1, 2) dépend de son taux de panne λ et de son taux de réparaton µ. Ic, on ne consdère que les machnes dont le taux de panne et le taux de réparaton sont constants. En d'autres termes, nous supposons que le temps de panne (resp. le temps de réparaton) d'une machne M est représenté par une lo de probablté à dstrbuton exponentelle ayant le paramètre taux de panne λ (resp. le paramètre taux de réparaton µ ). Nous supposons également que les actons de mantenance préventve sont utlsées pour restaurer la machne à "comme neuve". En tenant compte de ces hypothèses, à partr du premer nstant t = 0, la dsponblté d'une machne M à l nstant t est donnée par l'expresson suvante (Ebelng, 1997) et (Vllemeur, 1991) : A ( t) exp ( ) t (3) La dsponblté A (t) d une machne M est une foncton décrossante de temps t, par contre l'ndsponblté A( t) 1 A ( t) est une foncton crossante de temps. Ensute, s aucune acton de mantenance préventve n'est effectuée sur M, son ndsponblté va augmenter. S T est le temps d achèvement d'une acton de mantenance préventve sur la machne M, l'expresson de la dsponblté A (t) à l nstant t est donnée par l'expresson suvante : A ( t) ( ) Et (4)

MOSIM 10-10 au ma 2010 - Hammamet - Tunse Avec : E t exp ( )( t T ) La dsponblté du système dépend de la structure du système (parallèle, sére ou hybrde) ans que les caractérstques de ses composants. Pour le cas d un ateler Flow-Shop, chaque machne M a une foncton de dsponblté A (t). Le système est dsponble à l nstant t s toutes les machnes sont dsponbles à cette date. L équaton de la dsponblté du système A s (t) est donc la suvante : s A ( t) A ( t) (5) m 1 L ndsponblté de système est donc : m A ( t) 1 A ( t) (6) s 1 Le modèle proposé tent en compte les deux objectfs en même temps : la mnmsaton de C max et la mnmsaton d ndsponblté de système A s (t). Ans, deux décsons dovent être prses smultanément. La premère décson est de trouver la melleure affectaton de n tâches sur les m machnes afn de rédure au mnmum le C max. L'autre décson est de décder du moment d effectuer les actons de mantenance préventve afn de rédure au mnmum l'ndsponblté du système. Le nombre d'actons de mantenance, sur chaque machne n est pas fxé à l'avance. Ces deux objectfs contrbuent à la productvté du système mas ls sont contradctores. En effet, s les actons de mantenance sont accomples, l'ndsponblté du système va dmnuer, mas le C max va augmenter. Inversement, s nous ne pouvons pas effectuer les actons de mantenance, l'ndsponblté du système augmente, mas le C max dmnue. Sot c 2 le temps d achèvement de chaque tâche sur la machne 2 et Cmax le temps d achèvement maxmal de toutes les tâches (le makespan) : C 2 max max c 1,..., n Sot 0, t, t,..., t C t t. T j 1, j 2, j, j, n, j avec t 1, j, 2, j,..., n, j les temps de début des actons de mantenance préventve sur la machne j (j=1ou 2). Sot T={T j }, j=1, 2. [ 1, j s, j L'ndsponblté est une foncton crossante de t t s, t ] ( s 1,..., n ). Il est supposé que chaque machne revenne à l état neuf à la fn de chaque acton de mantenance. La valeur moyenne de chaque acton de mantenance est égale à 1/µ. Les deux objectfs à mnmser sont donc les suvants (7) et (8) : Mnmser le makespan : F Mn, (7) 1 C max Mnmser l ndsponblté de système : F Mn Max As ( ) tt 2 t Les deux fonctons objectf n'ont généralement pas la même soluton optmale (en fat, ls sont contradctores). Mnmser dans ce contexte sgnfe dentfer un ensemble de solutons de comproms. 4 OPTIMISATION En rason de l'exploson combnatore, l'énumératon explcte de l'espace de recherche tout enter devent mpossble quand la talle du problème est grande. Dans ce que sut, une méta-heurstque basée sur l'algorthme génétque AG améloré par la recherche locale a été suggérée. Cette procédure peut résoudre les problèmes à grande échelle. Les résultats expérmentaux montrent l'effcacté de l AG avec recherche locale dans une autre étude d optmsaton combnatore et l ajout de la recherche locale a perms d accélérer la convergence de l AG (Hnaen et al., 2009). L'dée de cet artcle est d'utlser cet AG embarqué dans une procédure paramétrée pour effectuer successvement et de manère ndépendante la recherche sur des dfférentes fonctons pondérées, menant à dfférents comproms entre les deux fonctons objectf. Une telle approche a été mentonnée par (Jaszkewcz, 2004) comme une alternatve concurrentelle à une pure métaheurstque d un problème mult-objectf. On peut donc utlser l'ag pour résoudre le problème suvant (9) : Pour 0,1 : (8) F Mn 1 ( 1 ) F2 (9) BS Fn Pour BS est une borne supéreure de la F 1 qu est utlsé pour normalser la foncton objectf. Les valeurs de F 2 sont déjà dans l'ntervalle [0,1]. L'ensemble des solutons qu sont dans la populaton fnale pour l'un des valeurs du consdérés sont conservés. Ensute, nous gardons les solutons non domnées au sens de Pareto (.e, l n'y a pas d'autres solutons dans l'ensemble qu est melleur sur les deux fonctons objectf). L algorthme consdéré dans notre étude prend les prncpes de base d un algorthme génétque. Toutefos, en rason de son comportement stochastque, un algorth-

MOSIM 10-10 au ma 2010 - Hammamet - Tunse me génétque peut souffrr d une convergence lente, et de l'nstablté des résultats. Donc, nous avons prs en consdératon cet aspect en proposant des procédures de recherche locale pour accélérer la convergence de l'algorthme. Ans, l'algorthme génétque proposé est classé dans la classe des algorthmes «Memetc» selon (Moscato et al., 2000). L algorthme proposé c est présenté dans la fgure 1. Les dfférentes étapes qu le composent sont présentées en détal par la sute. Algorthme génétque Foncton Sous-ensemble_Melleur (A, n) retourne S A, S n et s S, s A\ S, Ftness( s) Ftness(s) Fn Foncton Ensemble_ Populaton Populaton _Intale (N) Ensemble_ Optmum_Local O Pour dans 1,, Max_génératon // Sélecton de reproducton // Ensemble_Parents Sous-ensemble_Melleur (Ensemble_Populaton, N/2) //Opérateurs de reproducton // Ensemble_Fls Crosement (Ensemble_Parents) Ensemble_Fls Mutaton (Ensemble_Fls) // Recherche Locale // Melleure_Soluton Sous-ensemble_Melleur (Ensemble_Parents Ensemble_Fls \ Ensemble_ Optmum_Local,1) Melleure_Dans_Vosnage (Melleure_Soluton, Soluton_RL) S Soluton_RL = Melleure_Soluton Fn S Ensemble_ Optmum_Local Ensemble_ Optmum_Local { // Sélecton de Remplacement // Soluton_RL } Ensemble_Populaton Sous-ensemble_Melleur (Ensemble_Parents Fn Pour Fn Algorthme Ensemble_Fls { Soluton_RL \{ Melleure_Soluton }, N) Fgure 1 : Algorthme génétque Le AG commence par la créaton d une soluton de départ populaton ntale générée d une manère aléatore. Chaque soluton (chromosome) est évaluée et son coût (Ftness) est calculé. Le mécansme de producton permet de sélectonner les parents. Ensute, une nouvelle génératon est crée en utlsant les opérateurs de reproducton (crosement et mutaton). 4.1 Codage des solutons et foncton Ftness La premère étape d'un AG est de représenter convenablement les varables de décson du problème à trater. Dans notre cas d étude, les varables de décson du problème consdéré sont l ordre des tâches et la fréquence de mantenance préventve (varables de décson entères), donc chaque chromosome peut être codé avec un tableau de nombres enters. Les n premers gènes d'un chromosome représentent l ordonnancement et le (n+) ème gène suvant représentent les fréquences de mantenance (respectvement) sur les machnes j (j=1, 2). La longueur du chromosome est donc égale à n+m (n : nombre de tâches, m : nombre de machnes). Par conséquent, ce codage garantt que toutes les solutons du problème pussent être représentées. Cec reprend le même schéma que (Berrch et al., 2007) La fgure 2 présente un exemple des solutons pour le problème avec n = 5 et m=2. 1 3 5 2 Tâches d ordonnancement Longueur du chromosome = 7 4 10 Fréquence de mantenance Fgure 2 : Représentaton de chromosome Chaque chromosome de l algorthme génétque est évalué à travers une foncton appelée foncton Ftness. F Dans notre cas c est la foncton : 1 ( 1 ) F2 BS (vor équaton 9). La fréquence de mantenance f j est chose comme sut : f j = var ( max ( p ), 1/ λ j ), j=1 ou 2. 1,..., n j Avec var : est une valeur aléatore qu sut une lo unforme. Par la sute, nous utlserons les notatons suvantes : B j : la date de début d une tâche de producton sur la machne j, c j : la date de fn d une tâche de producton sur la machne j, T e : la date de début d une tâche de mantenance. Une tâche de mantenance est nsérée suvant les 4 stratéges suvantes : Stratége à temps : la mantenance est effectuée à une date prévue T e = [f j, 2f j, 3f j, ] ans la tâche de producton sera retardée. Stratége au plus tôt : la tâche de mantenance T e = [f j, T e +f j, ] s elle est perturbée par une tâche de producton elle sera avancée à B j (T e= B j ). Stratége au plus tard : la tâche de mantenance s elle est perturbée par une tâche de producton elle sera retardée à C j (T e= c j ). stratége ratonnelle : s c j -T e T e - B j la mantenance est avancée à la date B j, snon elle est retardée à c j.

MOSIM 10-10 au ma 2010 - Hammamet - Tunse 4.2 Sélecton La sélecton de reproducton et de remplacement garde les melleures solutons à travers leurs fonctons Ftness. Cette sélecton est donc éltste. Nous avons ms en place la sélecton est N/2 éltsme (N la talle de la populaton), elle consste à sélectonner les N/2 melleures solutons dans la populaton courante. Parent 1 Parent 2 1 3 4 2 2 3 1 5 5 10 4 8 10 La sélecton de remplacement concerne l évoluton de la populaton d une génératon à une autre. La talle de la populaton est fxée à N. Donc seulement N melleures solutons sont gardées pour la populaton suvante. Elles sont choses parm les N+N/2 solutons (N parents de la populaton courante et N/2 enfants obtenus par la reproducton. Cette sélecton est donc éltste. Il est à noter que les ndvdus doublons sont supprmés à cette étape afn de mantenr une dversté suffsante de la populaton. 4.3 Opérateur de crosement L opérateur de crosement classque à un seul pont est ms en place pour combner les solutons de l ensemble des parents. L ensemble des N/2 parents sélectonnés est parttonné de manère aléatore en N/4 couples. Le pont de crosement est auss chos de manère aléatore à chaque génératon de l algorthme dans l ntervalle [1,, n+m]. Chaque couple subt une opératon de crosement avec une probablté de crosement. Les couples qu ne subssent pas une opératon de crosement sont mantenus. Chaque couple de parents : 1 1 n 1 2 n, f1, f2 Parent1 ( O,..., O,..., O, f, f ) et Parent2 ( O,..., O,..., O On note par O la tâche et par f j la fréquence de mantenance sur la machne j (j=1, 2). L opératon de crosement à un pont, les deux enfants : fls1 ( O fls1 1 fls2 1,..., O fls1 fls2,..., O fls1 fls1 fls1 n, f1, f2 ) fls2 fls 2 fls2 n, f1, f2 fls2 ( O,..., O,..., O ) sont obtenus comme sut (vor fgure 3): ) Fls 1 Fls 2 1 3 2 5 2 3 1 4 4 8 5 10 Fgure 3 : Opérateur de crosement 4.4 Opérateur de mutaton Dans notre étude, chaque soluton peut subr une permutaton aléatore. On lançant une varable aléatore k entre 1 et n+m on peut avor deux types de mutaton. On peut avor une mutaton sur les gènes de 1 à n (les gènes correspondant à l ordonnancement) comme le montre la fgure 4. Dans ce cas, la mutaton concerne unquement deux gènes k 1 et k 2 (k 1 k 2 =1,, n+m) du chromosome. Les deux gènes sont sélectonnés aléatorement à chaque génératon par une smple dstrbuton unforme. Parent 1 Parent 2 k 1 1 3 4 2 1 5 4 2 k 2 5 10 3 10 Fgure 4 : Opérateur de mutaton Comme on peut avor une mutaton sur les gènes n+1 et n+2 (les gènes qu correspondent aux fréquences de mantenance) et dans ce cas le gène est régénéré aléatorement. 4.5 Recherche locale En plus des opérateurs de reproducton classques d un algorthme génétque qu sont décrts précédemment, l est souvent utle d'ntégrer une recherche locale afn d'accélérer la convergence de l algorthme. (Dolgu et al., 2007 ; Caumond et al., 2007, Hnaen et al., 2008). 10 Pour notre problème, on consdère la recherche de vosnage suvante : la procédure commence par une soluton, toutes les solutons avec une permutaton de vosn drect sont explorées. La melleure soluton parm cet ensemble de vosnage est alors chose (vor la fgure 5). Une nouvelle recherche locale est applquée à

MOSIM 10-10 au ma 2010 - Hammamet - Tunse la génératon suvante s à la melleure soluton dans la populaton s elle n est pas un optmum local. Compte tenu du temps de calcul non néglgeable utlsé pour évaluer la foncton Ftness d'une soluton, l applcaton d'une telle recherche locale sur chaque ndvdu de la populaton consommerat beaucoup de temps. Par conséquent, dans la présente étude, la recherche locale n est applquée, à chaque tératon, que sur la melleure soluton qu n'est pas un mnmum local. Foncton Melleure_Dans_Vosnage (Soluton_Intale, Soluton_Fnale ) Fn Foncton Melleure_Ftness Ftness (Soluton_Intale) temp Soluton_Intale Tant que (temp <> Soluton_Fnale) Pour dans 1,..., n-1 Fn Pour Fn Tant que Soluton Soluton_Intale Soluton [] Soluton [+1] S (Ftness (Soluton)< Melleure_Ftness) Fn S Soluton_Fnale Soluton Melleure_Ftness Ftness (Soluton) S (Soluton_Fnale= Soluton_Intale) Fn S temp Soluton_Fnale Fgure 5 : Procédure pour obtenr le melleur vosnage de la soluton 5 RESULTATS EXPERIMENTAUX 5.1 Condtons expérmentales L algorthme génétque décrt dans la secton 4 a été mplémenté en C++. Les tests ont été exécutés avec une fréquence de 4800 Mhz CPU et 4 GB de mémore. Après pluseurs tests prélmnares, les valeurs suvantes ont été choses emprquement comme paramètres de notre algorthme génétque : la talle de la populaton N est égale à 60 chromosomes. La probablté de crosement est égale à 0,80 et la probablté de mutaton est égale à 0,15. Le nombre de génératons «Max_génératon» (.e., le test arrêt est donné par Max_génératon) est égal à 1000. Les résultats concernent 10 nstances à chaque fos (pour chaque type, ç.- à.-d. 10 nstances dfférentes avec le même nombre de tâches). Le tableau 1 représente le nombre moyen (pour les nstances de même talle) des solutons non domnées obtenus en utlsant 20 valeurs dfférentes du. La méthode b-objectf consdérée, malgré qu elle est basque, ne manque pas de performance quand la talle du problème augmente. En plus, elle permet de mettre en évdence que pluseurs dfférents comproms sont obtenus pour un grand nombre d nstances. Ce comportement est llustré à la fgure 6, où les solutons obtenues pour une nstance sont présentées. Un ensemble de 11 dfférentes comproms ont été obtenues dans une large gamme d ndsponblté de système (de 11% à 29%). Indsponblté 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 892 910 73 1689 1710 1792 CMAX Fgure6 : Exemple de compromse pour une run d une nstance de talle 80 Table 1: Nombre moyen de solutons non domnées (Nb_moy) obtenus avec l AG n 10 20 30 40 50 Nb_moy 5 9 10 9 11 n 60 70 80 90 100 Nb_moy 14 6 11 11 10 6 CONCLUSIONS Nous nous sommes ntéressés à l optmsaton conjonte de l ordonnancement et la mantenance pour le cas d un ateler Flow-Shop. Nous proposons une nouvelle méthode d optmsaton pour le cas d ateler Flow-shop. L optmsaton consdérée est b-objectf est non pas mono-objectf afn de trouver un comproms pour le servce d ordonnancement et le servce de mantenance. Nos varables de décson c est l ordre de tâches de producton sur les machnes et la date de mantenance préventve à chaque machne. Nous avons alors développé une méta-heurstque basée sur un algorthme génétque avec recherche locale pour détermner le frond de Paréto.

MOSIM 10-10 au ma 2010 - Hammamet - Tunse La méthode d optmsaton mse en place, malgré qu elle sot basque sa performance ne dmnue pas quand la talle du problème augmente. Dans notre future recherche, nous voulons étendre la résoluton par une autre méta-heurstque b-objectve telle que NSGA II (deb et al., 2002). Nous comptant auss étendre l étude pour le cas d un ateler Flow-Shop à plus de deux machnes. REFERENCES A. Berrch, L. Amodeo, F. Yalaou, E. Châtelet and M. Mezghche, 2007. B-objectve optmzaton algorthms for jont producton and mantenance schedulng: applcaton to the parallel machne problem. Journal of Intellgent Manufacturng. 20 (4). pp. 389-400. A. Jaszkewcz, 2004. Evaluaton of multple objectve metaheurstcs. In: Gandbleux X, SevauxM,S orensen K,T'KndtV, edtors. Metaheurstcs for multobjectve optmsaton. Lecture notes n economcs and mathematcal systems, 535, pp. 65 89. A. Vllemeur, 1991. Relablty, avalablty, mantanablty and safety assessment. USA: Wley. and producton Management, Porto, Portugal, ma 26-28 2003. J. Kaab, C. Varner, and N. Zerhoun. Odonnancement de la producton et de la mantenance : cas d un ateler de type flow shop a deux machnes. APII- JESA, 37: pp. 641 660, décembre 2003. J. Kaab, thèse de doctorat. Contrbuton à l ordonnancement des actvtés de mantenance dans les systèmes de producton. Séptembre 2004. P. Moscato, 2000. Memetc algorthms. In P. Pardalos and M. Resende, edtors, Handbook of Appled Optmzaton, Oxford Unversty Press, Oxford. R. Aggoune. 2001. Mnmzng the makespan for the flow shop schedulng problem wth avalablty constrants. In Operatonal Research Perpatetc Post-Graduate Programme, ORP3, Pars. R. Ruz, J. C. García-Daz, and C. Maroto, 2007. Consderng schedulng and preventve mantenance n the flowshop sequencng problem. Computers & Operatons Research, 34(11), pp. 3314 3330. C.Y. Lee, 1997. Mnmzng the makespan n twomachne flowshop schedulng problem wth an avalablty constrant. Operatons Research Letters, 20:pp.9 139. C.Y. Lee, 1999. Two-machne flowshop schedulng problem wth avalablty constrants. European Journal of Operatonal research, 114: pp.420 429. Deb K., Pratap A., Agarwal S., Meyarvan T., 2002. A fast and eltst mult-objectve genetc algorthm: NSGA-II. IEEE Transactons on Evolutonary Computaton. 6(2): pp. 182-197. C. E. Ebelng, 1997. An ntroducton to relablty and mantanablty engneerng. USA: McGraw-Hll. F. Hnaen, X. Delorme, and A. Dolgu, 2009. Multobjectve optmzaton for nventory control n twolevel assembly systems under uncertanty of lead tmes, Computers and Operatons Research (In Press, Avalable onlne 11 June 2009, Scence Drect) H. Allaou, A. Artba, F. Rane, and S.E. Elmaghraby, 2003. On the two machnes flow shop wth avalablty constrants. In Proceedngs for the Internatonal Conference on Industral Engneerng