Energéique du poin maériel e du solide en ranslaion I. TRAVAIL D UNE FORCE I.A.1 Inroducion : approche inuiive du ravail. Dans nore vie de ous les jours nous uilisons souven le erme de ravail en disan «aujourd hui j ai ravaillé (bossé) dur. Je suis épuisé, ec «. Cee erminologie s applique à beaucoup de siuaions, mais à chaque fois elle se radui par une faigue de nore organisme qui demande du repos e une bonne alimenaion pour «recharger les baeries». Il fau resiuer nore réserve d énergie. Le sysème pris en compe es ici nore organisme. On verra au cours des prochains chapires commen ce problème de ravail e d énergie son raiés par les physiciens, d une manière plus universelle e plus précise. En voici une première approche : Imaginons que nous ayons à soulever une charge de masse m sur une haueur h selon deux siuaions différenes présenées ci-dessous : Que se passe--il dans la siuaion (1)? L opéraeur doi exercer une force F 1 au moins égale (en inensié) au poids de l obje. Si F 1 compense P alors l obje sera soulevé à viesse consane jusqu à aeindre la haueur h. On a ici F 1 = m.g. Que se passe--il dans la siuaion (2)? Supposons pour simplifier que le plan soi lisse (exemple une pene verglacée) don on peu négliger les froemens devan les aures forces. Alors l opéraeur devra exercer une force F 2 qui compense l acion conjuguée de P e R, ce qui revien à écrire F 2 = m.g.sinα. Dans ce cas aussi, l obje parviendra à la haueur h animé d un mouvemen uniforme, mais en ayan parcouru une longueur l. Comparons le produi F 1.h avec F 2.l. On consae que F 1.h = m.g.h =m.g.l.inα = F 2.l! Ainsi on a obenu une grandeur qui se conserve : le produi d une force par un déplacemen. Ce que l on a gagné en force (on «ire» moins for sur l obje), on le perd en déplacemen : on doi agir plus longemps. C es ce produi force x déplacemen qu on appelle ravail en physique. I.A.2 Travail d une force consane lors d un déplacemen. Rappel : Une force F es consane si seul son poin d applicaion peu varier au cours du emps. Sa direcion, son sens e son inensié resen consans. I.A.2.a Cas d une force don le poin d applicaion effecue un déplacemen reciligne. I.A.2.a.1 Illusraion : Dans l illusraion ci-conre, le raceur ire un ronc d arbre sur une roue reciligne. La force de racion peu se décomposer en deux composanes, l une perpendiculaire au déplacemen, l aure dans le sens du déplacemen souhaié. Seule la seconde aura un effe sur le déplacemen longiudinal du ronc, c es de cee composane qu on ire profi. Si le poin d applicaion de F se déplace d un poin A à un poin B, son ravail effecif sera alors W = F T.AB. Mais F T = F.cosα où α es l angle enre les deux forces. Le ravail peu alors s écrire W = F. AB Page 1 / 9
I.A.2.a.2 D où la définiion : Le ravail d une force consane F, lors d un déplacemen reciligne de son poin d applicaion d un poin A vers un poin B es égal au produi scalaire du veceur force par le veceur déplacemen e s écri : W AB ( F ) = F. AB ou W AB ( F ) = F.AB.cosα avec α angle enre F e AB Uniés : F en N ; AB en m ; W AB en J Rem, la noaion W provien du erme anglais work signifian ravail. I.A.2.a.3 Propriéés : Le ravail es une grandeur algébrique, c es à dire que W peu êre posiif, négaif ou nul. Un ravail moeur es el que W > 0. Dans ce cas, la force appore de l énergie au sysème. Cela se produi lorsque l angle α es aigu ( 0< α <90 ), ce qui se radui par cosα > 0. Un ravail résisan es el que W < 0 ; Dans ce cas, la force reire (absorbe) de l énergie au sysème. Cela se produi lorsque l angle α es obus ( α >90 ), ce qui se radui par cos α <0. Un ravail nul, lorsque W = 0, ce qui se produi quand α = +/- 90. La force agi perpendiculairemen au déplacemen. Sa conribuion énergéique au sysème es nulle. I.A.2.b Cas d une force consane don le poin d applicaion effecue un déplacemen quelconque. Illusrons ceci par la figure ci-conre : Le poin d applicaion de F se déplace sur une rajecoire curviligne d un poin A à un poin B en resan consan. Pour calculer son ravail, on décompose la rajecoire curviligne en auan de peis segmens recilignes nécessaires pour appliquer la définiion vue dans le paragraphe précéden. Effecuons le calcul du ravail de la force F : W AB ( F )=W AA1 ( F )+W A1A2 ( F )+ +W AiAi+1 ( F )+.. = F. AA 1+ F. A 1A2 + + F. A A i i+ 1 = F.( AA 1+ 1A2 = F. AB! A + + A A i i+ 1 + ) + Conclusion: ou s es passé comme si le poin d applicaion de F s éai déplacé en ligne droie de A vers B. I.A.2.c Travail d une force consane lors d un déplacemen : On reiendra le résula imporan suivan : Le ravail d une force consane pour un déplacemen quelconque de son poin d applicaion es indépendan du chemin suivi. Il ne dépend que du poin de dépar e du poin d arrivée. I.A.2.d Exemples. I.A.2.d.1 Cas du poids : On peu écrire : W AB ( F ) = F. AB quel que soi le raje suivi pour aller de A à B. Soi un obje de masse m, se déplaçan d un poin A siué à l aliude z A vers un poin siué à l aliude z B, alors le ravail du poids de ce corps lors du déplacemen es : W AB = P. AB = m.g.(z A z B ) Avec m en kilogrammes (kg), z A e z B en mères (m), e g = 9,8 m.s 2 Rem : Si z A > z B, le mobile descend lors du déplacemen, dans ce cas le poids appore de l énergie au sysème ce qui se radui par un ravail moeur. Si z A < z B le mobile s élève lors du déplacemen, dans ce cas le poids absorbe de l énergie au sysème, ce qui se radui par un ravail résisan. Page 2 / 9
Monrons sur un exemple commen on obien ce résula. Sur la figure ci-conre, on peu imaginer un chemin différen de celui empruné naurellemen par la pierre. En effe, le ravail du poids éan indépendan du chemin suivi (cf paragraphe précéden) on peu imaginer que la pierre chue vericalemen de A à B puis effecue une ranslaion horizonale de B à B. On a alors : W AB ( P )= P. m.g.(z A z B ) (z B = z B ) AB ' = P.AB.cos(0) = E W B B ( P )= P. B' B = P.B B.cos(90) = 0 D où W AB ( P )= P. AB = P.( AB ' + B' B )=W AB ( P )+W B B ( P )=m.g.(z A z B ). I.A.2.d.2 Travail de la force élecrique. Considérons une charge q raversan une zone où règne un champ élecrique uniforme E Elle es alors soumise à la force élecrique consane F = q. E Son ravail lorsque la charge passe d un poin A à un poin B s écri : W AB ( F )=q. E. AB Mais E. AB = V A V B (par définiion de la différence de poeniel enre A e B) On obien donc le résula suivan : Le ravail de la force élecrique, lorsque la charge se déplace de A vers B es W AB ( F ) = q.(v A V B ) où q es en coulomb (C) e V A ou V B en Vol (V) I.A.3 Travail d une force non consane. I.A.3.a Travail élémenaire: Le calcul du ravail, dans un cas où F es modifié au cours du déplacemen, s effecue de la façon suivane : On suppose que la force rese consane pendan un inervalle de emps bref e que son poin d applicaion se déplace sur une porion de courbe rès peie assimilable à un segmen de droie. Si on noe δ l cee porion de rajecoire, alors le ravail de la force F sera appelé ravail élémenaire e noé δw = F.δ l Le ravail oal sera obenu en somman ous ces ravaux élémenaires sur la rajecoire complèe. Rem : En mahémaique il exise un ouil permean de réaliser cee opéraion facilemen, c es l opéraion inégraion (cf cours de erminale). Page 3 / 9
I.A.3.b Travail d une force élasique : La force de rappel d un ressor es foncion de son allongemen, ce n es donc pas une force consane au cours du déplacemen de son poin d applicaion. Pour calculer son ravail on va donc se servir de la définiion précédene e sommer des ravaux élémenaires. Considérons le ressor de la figure ci-conre, de consane de raideur k e d allongemen à vide l 0.Prenons comme origine O du repère ce allongemen l 0. (cf figure) Pour une posiion quelconque x la force de rappel s écrira alors : F = k.x. i Au cours d un déplacemen élémenaire δx. i le ravail correspondan sera δw= F.δx. i = k.x.δx. On obien alors le résula imporan suivan: Le ravail oal de la force de rappel d un ressor de consane de raideur k es, lorsque son allongemen passe de la valeur x A à la valeur x B : W AB ( F 1 2 2 )=. k.( x A x B ) C es un résula rès simple à reenir. On voi qu il ne dépend que de la posiion de dépar e d arrivée. Ce résula es rès facile à rouver en uilisan la méhode de l inégraion (cf erminale). On peu cependan rouver ce résula par une méhode graphique : Sur le graphique ci-conre on a représené un recangle hachuré d aire kx.δx. Cee aire représene la valeur absolue du ravail élémenaire de la force de rappel lors du déplacemen δx. Pour obenir le ravail oal (en valeur absolue) lors d un déplacemen de 0 à x, il suffi de calculer l aire du riangle recangle de base x e de haueur kx, qui correspond à la moiié du recangle de coés kx e x, à savoir ½.k.x 2. Pour un déplacemen de x A à x B on aura W AB = W OB W OA = ½.k.x B 2 ½.k.x A 2 I.A.3.c Travail de la réacion d un suppor : C es une simple applicaion de la définiion d un ravail. Supposons qu un skieur soi enraîné par un irefesses sur une pene d un poin A à un poin B e que la réacion R du suppor se décompose en deux forces, l une perpendiculaire au plan RN e l aure R parallèle au plan, dirigée dans le sens opposé au déplacemen. On suppose le mouvemen du skieur uniforme. A chaque insan R N es perpendiculaire au déplacemen donc son ravail es nul, e R rese parallèle e de sens opposé au déplacemen donc son ravail élémenaire δw( R ) = R.δl. Le ravail de sur la raje A >B sera égal à W AB ( R )= R. s où s représene la disance parcourue sur la courbe AB. Le ravail résulan es négaif car la réacion s oppose au déplacemen. Ici, le ravail dépend du chemin suivi! R I.A.4 Force conservaive : Définiion : Une force es conservaive si son ravail ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquemen de la posiion des poins de dépar e d arrivée. Exemples : Toue force consane lors d un déplacemen (p.e. le poids) ; la force de rappel d un ressor. 2 Page 4 / 9
I.A.5 Puissance d une force : I.A.5.a Inroducion : De deux moeurs produisan le même ravail, le plus puissan es celui qui produi le ravail dans le emps le plus cour. Cela condui naurellemen à définir la puissance d un moeur par le quoien du ravail fourni par le emps mis à le fournir. I.A.5.b Définiions : I.A.5.b.1 Puissance moyenne : On appelle puissance moyenne d une force F, le quoien de son ravail W( F ) fourni en une durée δ : W ( F ) P m = δ où P m es en Wa (W) ; W( F ) en Joules (J), e δ en secondes (s) I.A.5.b.2 Puissance insananée : On appelle puissance insananée une force F la variaion insananée de son ravail au cours du emps : dw ( F) p( ) = d on monre que p() peu s exprimer sous la forme suivane : p() = F. v II. ENERGIE CINETIQUE II.A Energie cinéique d un sysème II.A.1 Inroducion : C es l énergie associée au mouvemen du sysème. Un mareau en déplacemen possède de l énergie cinéique qu il va resiuer au clou frappé. Un couran d eau va mere en mouvemen une roue à aube, ec.. II.A.2 Energie cinéique d un poin maériel : Un poin maériel de masse m e animé d une viesse v a une énergie cinéique Ec= 2 1.m.v 2 Ec es une énergie, donc s exprime en Joules (J), e m en kg e v en m.s 1 II.A.3 Energie cinéique d un solide. Un solide peu êre décomposé en une muliude de poins maériels de masses m i, animées de viesses v i. Son énergie cinéique sera alors la somme des énergies cinéiques de chacun de ces poins maériels. 1 2 E c = 2. m. i vi II.A.4 Energie cinéique d un solide en ranslaion : Un solide de masse m animé d un mouvemen de ranslaion de viesse v a pour énergie cinéique : Ec= 2 1.m.v 2 II.B Théorème de l énergie cinéique : II.B.1 Cas d un solide : II.B.1.a Enoncé : Rappel : un solide es un obje non déformable. Le héorème de l énergie cinéique se formule alors de la façon suivane : Dans un référeniel galiléen, la variaion d énergie cinéique d un solide enre deux insans 1 e 2 es égale à la somme des ravaux de oues les forces exérieures qui lui son appliquées : Ec( 2 ) Ec( 1 ) = ΣW 1 >2 ( F ex) Page 5 / 9
II.B.1.b Exemple : En ravaux praiques lors de l éude de la chue libre d une bille lâchée sans viesse iniiale, on avai obenu le résula suivan : Ec(J) 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 On consae bien que la variaion d énergie cinéique es égale au ravail du poids W(J) II.B.2 Cas d un sysème déformable : L énoncé rese idenique au précéden, à ceci près que des forces inérieures au sysème peuven le déformer e mere en mouvemen une ou plusieurs de ses paries. Imaginons par exemple un élasique éiré, que l on lâche. Les forces responsables de sa remise en forme, son inérieures à l élasique. En reprenan sa forme iniiale, les exrémiés prennen de la viesse. Penser aussi au ressor lanceur de billes d un flipper, en se déendan, il appore de l énergie cinéique à la bille en conac avec une de ses exrémiés. Voici l énoncé : Dans un référeniel galiléen, la variaion d énergie cinéique d un sysème enre deux insans 1 e 2 es égale à la somme des ravaux de oues les forces exérieures e inérieures qui lui son appliquées : Ec( 2 ) Ec( 1 ) = ΣW 1 >2 ( F ex) +ΣW 1 >2 ( F in) Cee dernière relaion s applique donc à ous les cas de figure. On peu rerouver le cas de figure cié dans le paragraphe précéden en prenan comme sysème l associaion {bille-terre}.ce sysème es alors déformable. Le poids devien une force inérieure. Une aure force inérieure serai l acion de la bille sur la Terre, exacemen opposée au poids (principe de l acion e de la réacion). Mais la Terre ne bougera pas au cours de l expérience du fai de son inerie. Donc seul le poin d applicaion du poids se déplace e fourni un ravail. Page 6 / 9
III. ENERGIE POTENTIELLE III.A Noion qualiaive III.A.1 Exemples -Considérons un élasique : Pour le déformer nous lui apporons de l énergie par un ravail fourni par nos muscles. Cee énergie pourra êre resiuée par l élasique si nous le laissons reprendre sa forme. Le forces d ineracion enre molécules au sein de l élasique on permis cee libéraion d énergie. Considérons un ressor de pisole à fléchee ou de lanceur de bille de «flipper» : Pour le comprimer on lui a apporer de l énergie qu il a mis en réserve. Celle ci sera resiuée à la fléchee ou à la bille, sous forme d énergie cinéique, lorsque le ressor rerouve sa forme iniiale. La force de rappel élasique du ressor a permis cee libéraion d énergie. Considérons un compresseur à gaz : Le gaz comprimé a accumulé de l énergie, qu il va pouvoir resiuer plus ou moins rapidemen en cédan son énergie à un pison. Les chocs des molécules de gaz conre le pison on permis cee libéraion d énergie. Un condensaeur chargé accumule de l énergie élecrique provenan du ravail élecrique uilisé pour amener les charges sur les armaures. Cee énergie pourra êre resiuée au rese du circui élecrique. Les forces élecriques son responsables de cee libéraion d énergie. EdF uilise les barrages pour accumuler de l énergie liée au poids de l eau, e la resiuer quand le besoin se fai senir. La force d ineracion graviaionnelle appelée aussi pesaneur, a permis cee resiuion d énergie. Prenons un clou en fer e plaçons le au voisinage d un aiman. Une aracion se produi e le clou ou l aiman se meuven. Du fai de l ineracion magnéique, il y a eu libéraion d énergie. III.A.2 Définiion qualiaive. La qualiaif «poenielle» du lain poens :puissan, signifie qu un sysème possède iniialemen une énergie «en puissance» suscepible de se libérer sans dès qu on lui en laissera la possibilié. Un obje soulevé possède une énergie liée à la pesaneur qui sera libérée dès qu on le lâchera. On proposera la définiion qualiaive suivane : L énergie poenielle d un sysème es l énergie qu il possède du fai de sa posiion. III.B Expressions de l énergie poenielle. III.B.1 Déerminaion de l énergie poenielle. Une énergie poenielle éan liée à une déformaion d un sysème, elle es relaive, c es à dire qu il fau aribuer au sysème une posiion de référence. L énergie poenielle n es définie qu à une consane près. Ce qui es inéressan pour le physicien, c es la variaion d énergie poenielle au cours de la déformaion, car elle donne l énergie récupérable. On dira qu un sysème déformable possède de l énergie poenielle si au cours des déformaions dues aux ineracions enre les différenes paries du sysème, le ravail des forces inérieures ne dépend pas du chemin suivi (on di que ces forces son conservaives). D où la définiion suivane : La variaion d énergie poenielle d un sysème enre deux posiions (i) e (f) es égale à l opposé du ravail des forces conservaives inérieures au sysème enre ces mêmes posiions, ce qui s écri plus prosaïquemen sous la forme : Ep = Ep f Ep i = W i->f ( F in) L énergie poenielle s exprimera uniquemen en foncion de paramères de posiion els que : abscisse, aliude, angle,.. III.B.2 Exemples III.B.2.a Energie poenielle de pesaneur : Considérons le sysème {obje-terre} el que représené ciconre : Lorsque ce sysème se déforme, par exemple si l obje passe d une aliude z i à une aliude z f, le ravail du poids, seule force inérieure considérée es : W i->f (P)=mg(z i z f ) Page 7 / 9
La variaion d énergie poenielle correspondane sera Ep f Ep i = m.g.(z i z f ). Si z i < z f, Ep f > Ep i, le sysème se rerouve dans un éa d énergie poenielle finale supérieure. Essayons de rouver une écriure commode pour l énergie poenielle de pesaneur : Celle-ci n éan définie qu à parir d un ravail donc à parir d une variaion, il es commode de se choisir l origine des énergies poenielles à l aliude minimale aeine par l obje au cours de l éude de sa déformaion. Au lieu de choisir le sol comme origine des posiions, on posera z i =0. Pour oue posiion z mesurée à parir de cee nouvelle origine on aura donc : Ep(z) = Ep(0) +mgz avec m en kg, z en m, g en m/s 2 e Ep en J C es une expression facile à reenir. voir figure ci-conre où l on éudie le pendule Pour simplifier, on prendra même Ep(0) = 0J III.B.2.b Energie poenielle élasique. Ici le sysème à considéré es le ressor e l obje fixé à une de ses exrémiés mobile. Nous savons que lorsque sa longueur passe de l 0 (longueur au repos) à l 0 +x, le ravail de la force de rappel élasique vau W= 1/2.k.x 2. La variaion d énergie poenielle correspondane sera, par définiion : Ep(x) Ep(l 0 ) = W d où Ep(x) = ½.k.x 2 + Ep(l 0 ) (où x es en m). on remarque que Ep(x) oujours >0 Ep(l 0 ) es l énergie poenielle du ressor au repos ; on la pose égale à zéro III.B.2.c Energie poenielle élecrique : Le sysème considéré es par exemple {paricule de charge q e condensaeur}. Le ravail de la force élecrique sur la charge se déplaçan de A en B es W = q..(v A V B ) = (Ep(B) Ep(A)) D où Ep(B) = Ep(A) +q.(v A V B ). Prenons comme éa de référence V A = OV e Ep(A) = OJ, e posons V=V B, alors on obien l expression simple : Ep (V) = q.v où V es le poeniel correspondan à la posiion de la paricule. III.B.2.d Energie poenielle d un sysème soumis à plusieurs forces conservaives : Il suffi d addiionner les énergies poenielles correspondans aux différenes ineracions. Illusraion à l aide dus sysème suivan {objeressor-erre} : On choisi comme origine de l énergie poenielle de pesaneur e élasique, la posiion où le ressor a sa longueur à vide l 0. Monrer qu à la posiion x l énergie poenielle du sysème vau : Ep(x) = ½.k.x 2 m.g.x.sinα Page 8 / 9
IV. ENERGIE MÉCANIQUE : IV.A Définiions IV.A.1 Energie mécanique : On appelle énergie mécanique d un sysème, la somme de son énergie poenielle e de son énergie cinéique. E m = Ep + Ec IV.A.2 Sysème isolé : C es un sysème qui n échange pas d énergie avec l exérieur. IV.A.3 Sysème conservaif : C es un sysème don l énergie mécanique se conserve. IV.A.4 Sysème dissipaif : Son énergie mécanique diminue au cours du emps. IV.B Propriéés : IV.B.1 Cas d un sysème non déformable : Si le sysème n es pas déformable (cas d un solide), le ravail des forces inérieures es nul, il n y a pas variaion d énergie poenielle. On la pose égale à zéro. D où : L énergie mécanique d un solide es uniquemen sous forme cinéique. IV.B.2 Cas d un sysème déformable e isolé. IV.B.2.a.1 Soumis uniquemen à des forces conservaives : Dans ce cas, son énergie mécanique se conserve : E m =cse. IV.B.2.a.2 Soumis à des forces non conservaives C es le cas des forces de froemen, leurs ravaux dépenden du chemin suivi. Dans ce cas, l énergie mécanique diminue au cours du mouvemen. L énergie perdue es ransformée en chaleur. Page 9 / 9