OBJECTIFS M8 CHANGEMENT DE ÉFÉENTIELS Par éfinition, le vecteur vitesse OM v M/, O étant un point fixe u référentiel, épen u référentiel ans lequel on l évalue. De même pour l accélération a M/ v M/ Dans ce chapitre, on se limite aux aspects cinématiques et on cherche à établir le liens entre les vitesses et les accélérations exprimées ans eux référentiels ifférents. Nouveautés e cette leçon : Loi e composition es vitesses. Loi e composition es accélérations. Notion e point coïnciant pour savoir retrouver la vitesse entraînement v e M et l accélération entraînement a e M Expression générale e l accélération e Coriolis a C M.. I Mouvement relatif e eux référentiels I.1 Position u problème la trajectoire e M ans a Q : Si on connaît la vitesse la traj. e M ans e v M/a t l accélération, quelle sont la vitesse v M/e t a M/a t l accélération a M/e t Pour réponre à cette question, il faut connaître le mouvement e e par rapport à a :? Définition : Le mouvement e e par rapport à a s appelle le mouvement entraînement. a s appelle le référentiel fixe ou référentiel absolu. e 1 s appelle le référentiel mobile ou référentiel relatif. Notation : e x, e y, e z et e x1, e y1, e z1 notent les Bases OrthoNormées Directes cartésiennes e et 1 respectivement. I.2 otation relative es eux trières es B.O.N.D. e a et e Définition : Il l existe un vecteur qu on appelle vecteur rotation entraînement e e 1 p/r à a, noté Ω 1 / tel que : Ω 1 / e x1 Ω 1 / e y1 Ω 1 / e z1 I.3 Translation et rotation Le mouvement entraînement e e 1 par rapport a est la superposition : - une rotation à la vitesse angulaire Ω 1 / - et une translation qu on peut caractériser par OO 1 v O1 / Avec O un point fixe ans et O 1 un point fixe ans 1.
M8 I. Mouvement relatif e eux référentiels 2008-2009 I.4 Mouvement entraînement par translation a Translation un solie ans : Définition : n solie est en mouvement e translation par rapport à un référentiel si, pour eux points A et B quelconques e ce solie, le vecteur AB gare toujours les mêmes irection, sens et norme au cours u temps : AB Cte. Propriétés : Les trajectoires e tous les points un solie en translation sont superposables. Si ces trajectoires sont : es courbes e forme quelconque : on parle e translation curviligne es roites parallèles : on parle e translation rectiligne es cercles e même rayon : on parle e translation circulaire. Propriété : AB Cste OBt OAt Cte v B/ t v A/ t Cl : au cours une translation, tous les points un solie ont, à chaque instant t, le même vecteur vitesse v t. q : Bien entenu, ce vecteur vitesse peut varier au cours u temps, en norme comme en irection! b 1 est un solie géométrique qui peut être en translation p/r à : Dans ce cas, tout vecteur lié à e 1 emeure constant ans a 1 ; entre autre : e x1, e y1 et e z1. Donc : Ω 1 / e x1 0 Ω 1 / e y1 0 Ω 1 / 0 Ω 1 / e z1 0 Cl : Lorsqu un référentiel 1 a un mouvement entraînement e translation par rapport à un référentiel, alors, son vecteur rotation entraînement en nul. I.5 Mouvement entraînement par rotation e e par rapport à a Hyp : Supposons que, t : Oz O 1 z 1 et O O 1. le référentiel 1 est en rotation ans le référentiel autour e la verticale. e x1 cos θ e x + sin θ e y Alors : e y1 sinθ e x + cos θ e y e z1 e z Soit, en érivant par rapport au temps ans le référentiel : 2 http ://pcsi-unautreregar.over-blog.com/ Qari J.-Ph.
2008-2009 II. Dérivation un vecteur par rapport au temps M8 θ sin θ e x + cos θ e y θ e y1 θ cos θ e x sin θ e y θ e x1 0 On peut facilement vérifier que : Donc, en posant Ω θ e z, pour i x, y ou z : θ e z1 e x1 θ ei1 Ω e e y1 i1 θ e z1 e y1 θ Alors cf. I.2 Ω représente le vecteur rotation e x1 e θ e z1 e z1 1 par rapport à : 0 Ω 1 / Ω θ e z q : Important à comprenre! La base e x1, e y1, e z1 est une base cartésienne ans le référentiel 1 Mais ces trois même vecteurs sont les vecteurs une base polaire ans le référentiel. Cl : La nature une base cartésienne ou polaire épen u référentiel ans lequel on travaille. II II.1 Dérivation un vecteur par rapport au temps Formule e Varignon Soit un vecteur quelconque. On peut le projeter ans la B.O.N.D. e 1 e : x1 + z1 + z1 On peut ériver ce vecteur par rapport au temps ans le référentiel a : l observateur, pour cette opération, est LIÉ à : x1 + y1 + z1 + x1 + Ω 1 / x1 + z1 + z1 1 + y1 + z1 + Ω 1 / 1 II.2 Composition es vecteurs rotation a elation entre Ω 1 / et Ω /1 + Ω 1 / 1 + Ω /1 1 b Composition es vecteurs rotations : Supposons trois référentiels 1, 2 et 3. On a : 2 3 + Ω 1 / 2 1 2 + Ω 2 / 3 + Ω /1 + Ω 1 / 0 D où : 3 Ω 1 / Ω /1 + Ω 1 / 2 + Ω 2 / 3 1 Ω 1 / 3 Qari J.-Ph. http ://pcsi-unautreregar.over-blog.com/ 3
M8 II. Dérivation un vecteur par rapport au temps 2008-2009 D où : Ω 1 / 3 Ω 1 / 2 + Ω 2 / 3 c Application : cooronnées sphériques Le repère O, e x, e y, e z est le «solie géométrique»lié au référentiel. Le repère O, e, e ϕ, e z est le «solie géométrique»lié au référentiel tel que : Ω / ϕ e z. Le repère O, e r, e θ, e ϕ est le «solie géométrique»lié au référentiel 1 tel que : Ω 1 / θ e ϕ. D après la composition es vecteurs rotation : Ω 1 / Ω 1 / + Ω / θ e ϕ + ϕ e z où : er 0 {}}{ er + Ω 1 / e r 1 où : er eθ θ e ϕ + ϕ e z e r θ e θ + ϕ e z e r sin θ e ϕ θ e θ + ϕ sinθ e ϕ 1 0 { }}{ eθ eθ + Ω 1 / e θ θ e ϕ + ϕ e z e θ θ e r + ϕ 1 θ e r + ϕ cos θ e ϕ 2 0 sin ez e }{{ θ } θ+ π 2 eϕ {}}{ eϕ eϕ où : + Ω 1 / e ϕ θ e ϕ + ϕ e z e ϕ ϕ e z e ϕ ϕ e. 1 Comme : e sinθ e r + cos θ eϕ e θ, on obtient : ϕsin θ e r ϕ cos θ e θ 3 De plus, comme OM r er v M/ ṙ er e r + r q1 : Avec 1 on obtient la vitesse en cooronnées sphériques : v M/ ṙ e r + r θ e θ + r sinθ ϕ e ϕ q2 : On pourrait ériver à nouveau le vecteur vitesse, et, grâce à 1, 2 et 3, obtenir l expression e l accélération en cooronnées sphériques. Dérivée temporelle un vecteur rotation entraînement Supposons que Ω 1 /. Ω 1 / Ω 1 / La formule e Varignon s écrit alors : + Ω 1 / Ω 1 / 1 0 Donc les eux érivées temporelles sont égales. Comme elles sont inépenantes u choix u référentiel ou 1 pour les exprimer, on peut se contenter e noter : Ω 1 / Ω 1 / Ω 1 / 1 4 http ://pcsi-unautreregar.over-blog.com/ Qari J.-Ph..
2008-2009 III. Loi e composition es vitesses M8 III III.1 Loi e composition es vitesses Vitesse absolue et vitesse relative Pour un point M quelconque, on cherche la relation entre : sa vitesse absolue, éfinie ans le référentiel absolu OM a v M/a v a a sa vitesse relative, éfinie ans le référentiel relatif e v M/e v r e Comme OM OO 1 + : v M/a OM a OO 1 + }{{ a} }{{ } e v M/e v O1 /a + D où la Loi e Composition es Vitesses : v M/a v M/e + v O1 / a + Ω e/ a a + Ω e/ a L.C.V. III.2 Point coïnciant et vitesse entraînement Définition : Le point coïnciant, noté M, est le point : 1 fixe ans e i.e. lié à e 2 qui coïncie avec M... 3...à l instant t consiéré q : Bien comprenre que le point coïnciant est un point géométrique, puisqu il est fixe ans e, et non un point matériel comme le point M. Conséquences : 1 v M /e 0 Dès lors, la loi e composition es vitesses appliquée au point M onne : v M / a v M / e + v O1 / a + Ω e/ a O 1 M v e M avec M t Mt Définition : On appelle vitesse entraînement u point M, notée v e M, la vitesse qu aurait le point M ans le référentiel absolu si M était fixe ans e, c està-ire, si M était entraîné par le mouvement entraînement u référentiel relatif e. Propriété : On constate que la vitesse entraînement u point M correspon à la vitesse { v absolue u point coïnciant M : M / a ve M v O1 / a + Ω e/ a Propriété : La Loi e Composition es Vitesses s écrit onc : va v r + v e v M/a vitesse absolue v M/e + vitesse relative ve M vitesse entraînement L.C.V. Qari J.-Ph. http ://pcsi-unautreregar.over-blog.com/ 5
M8 IV. Loi e composition es accélérations 2008-2009 IV Loi e composition es accélérations IV.1 Accélération absolue et accélération relative Puisque v M/a a M/a, on repart e la Loi e Composition es Vitesses a v M/a v M/e + v O1 / a + Ω e/ a qu on érive par rapport au temps terme à terme : v M/a v M/e v O1 / a a a + a + Ω e/ a En introuisant la notation simplifiée Ω Ω e/ a, ces érivées eviennent : v M/e v M/e + Ω v a M/e a M/e + Ω v M/e e v O1 / a a O1 / a a Ω e/ a Ω + Ω a a Ω [ + ] Ω + Ω e D où la Loi e Composition es Accélérations : Ω Ω + Ω + Ω v M/e a a M/a a M/e + a O1 / a + Ω Ω + Ω + 2 Ω v M/e L.C.A. Avec : a M/a l accélération absolue et a M/e l accélération relative. IV.2 Point coïnciant et accélération entraînement Appliquons la L.C.A. au point coïnciant M sachant que par éfinition e M, puisque le point coïnciant est un point fixe u référentiel relatif : v M / e 0 et a M / e 0 on obtient, avec M t Mt : a M / a a M / e + a O1 / a + Ω Ω O 1 M + Ω O 1 M + 2 Ω v M / e Définition : On appelle accélération entraînement u point M, notée a e M, l accélération qu aurait le point M ans le référentiel absolu si M était fixe ans e, c est-à-ire, si M était entraîné par le mouvement entraînement u référentiel relatif e. Propriété : Ainsi, l accélération entraînement e M correspon à l accélération absolue a M / a u point coïnciant M : ae M a O1 / a + Ω Ω + Ω 6 http ://pcsi-unautreregar.over-blog.com/ Qari J.-Ph.
2008-2009 VI. Mouvement entraînement par rotation Cf Cours M8 IV.3 Accélération e Coriolis D après la éfinition e l accélération relative et e l accélération entraînement, la L.C.A. s écrit : a M/a a M/e + a e M + +2 Ω v M/e Définition : Important! Expression à connaître par cœur! On appelle accélération e Coriolis, notée a C M, le terme : a C M 2 Ω e/ a v M/e a C M 2 Ω v r IV.4 Conclusion et remarques importantes Propriété : La Loi e Composition es Accélérations L.C.A. s écrit onc : aa a r + a e + a C a M/a accél. absolue a M/e + accél. relative ae M accél. entraînement + a C M accél. e Coriolis q1 : Dans l accélération e Coriolis, la vitesse mise en jeu est la vitesse relative! q2 : D après le programme, l expression e l accélération e Coriolis est à connaître par cœur. q3 : L accélération entraînement se trouvera en cherchant à exprimer, au cas par cas, l accélération u point coïnciant. q4 : Attention, excepté un cas exceptionnel Cf V, on a : a e v e V VI Mouvement entraînement par translation Cf Cours Mouvement entraînement par rotation Cf Cours Qari J.-Ph. http ://pcsi-unautreregar.over-blog.com/ 7