ESPACES DE BANACH, DE HILBERT, DE SOBOLEV.

ESPACES DE BANACH, DE HILBERT, DE SOBOLEV. Alexandre Popier Université du Maine, Le Mans A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 1 / 33

PLAN DU COURS 1 ESPACES DE BANACH 2 ESPACES DE HILBERT Dual d un espace de Hilbert Théorèmes de Stampacchia et Lax-Milgram Bases hilbertiennes 3 ESPACES DE SOBOLEV Premières définitions et propriétés Opérateurs de prolongement Inégalités de Sobolev Espace H 1 0 (Ω) Notion de trace au bord A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 2 / 33

PLAN 1 ESPACES DE BANACH 2 ESPACES DE HILBERT Dual d un espace de Hilbert Théorèmes de Stampacchia et Lax-Milgram Bases hilbertiennes 3 ESPACES DE SOBOLEV Premières définitions et propriétés Opérateurs de prolongement Inégalités de Sobolev Espace H 1 0 (Ω) Notion de trace au bord A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 3 / 33

NORMES, ESPACE DE BANACH. RAPPELS : DÉFINITION Soit E espace vectoriel sur R. Une norme sur E est une application p : E R t.q. 1 x E, p(x) 0 ; 2 x E, λ R, p(λx) = λ p(x) ; 3 (x, y) E 2, p(x + y) p(x) + p(y) (inégalité triangulaire) ; 4 p(x) = 0 x = 0. DÉFINITION Un espace de Banach est un espace vectoriel E muni d une norme p qui le rende complet pour la distance associée d(x, y) = p(x y). A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 4 / 33

EXEMPLES. C([0, 1]) muni de la norme infinie f = max f (t). t [0,1] L p (Ω) muni de la norme. p pour 1 p +. l p, 1 p < + : l : ensemble des suites u = (u n ) n N t.q. norme u p = ( + n=0 u n p ) 1/p. + n=0 ensemble des suites u = (u n ) n N bornées. norme u = sup n N u n. u n p < +. A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 5 / 33

APPLICATIONS LINÉAIRES. THÉORÈME Soient E et F deux espaces normés et T : E F application linéaire. Alors équivalence entre : 1 T est continue sur E ; 2 T est continue en 0 ; 3 T est lipschitzienne ; 4 il existe C T 0 t.q. pour tout x E, Tx F C T x E. DÉFINITION La norme de T est définie par T = sup{ Tx F, x E 1}. A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 6 / 33

APPLICATIONS LINÉAIRES. DÉFINITION La norme de T est définie par T = sup{ Tx F, x E 1}. PROPOSITION. est une norme sur L(E, F), ensemble des applications linéaires continues. PROPOSITION Si F est un espace de Banach, L(E, F) muni de. est de Banach. DÉFINITION L ensemble L(E, R) est l espace dual de E, noté E. A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 6 / 33

PLAN 1 ESPACES DE BANACH 2 ESPACES DE HILBERT Dual d un espace de Hilbert Théorèmes de Stampacchia et Lax-Milgram Bases hilbertiennes 3 ESPACES DE SOBOLEV Premières définitions et propriétés Opérateurs de prolongement Inégalités de Sobolev Espace H 1 0 (Ω) Notion de trace au bord A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 7 / 33

DÉFINITIONS. DÉFINITION Soit H un espace vectoriel. Un produit scalaire u, v est une forme bilinéaire de H H dans R symétrique, définie positive. LEMME Inégalité de Cauchy-Schwarz : (u, v) H 2, u, v u, u 1/2 v, v 1/2. u H u = u, u 1/2 est une norme sur H. Identité du parallélogramme : (u, v) H 2, u + v 2 2 + u v 2 2 = 1 2 ( u 2 + v 2). A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 8 / 33

DÉFINITIONS. DÉFINITION Un espace de Hilbert est un espace vectoriel H muni d un produit scalaire u, v et qui est complet pour la norme u, u 1/2 EXEMPLES H = R d, avec a 1,..., a d réels strictement positifs et d (u, v) (R d ) 2, u, v = a i u i v i. i=1 H = l 2 : ensemble des suites u = (u n ) n N t.q. (u, v) H 2, u, v = + n=0 H = L 2 (Ω) avec u, v = u i v i. u(x)v(x)dx. un 2 < +, avec Ω A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 8 / 33 n=0

THÉORÈME DE PROJECTION. THÉORÈME Soit K H convexe fermé non vide. Alors pour tout u H, il existe v K unique t.q. u v = inf w K De plus v caractérisé par u w = min u w. w K v K, u v, w v 0, w K. DÉFINITION v est appelé la projection de u sur K et noté P K u. PROPOSITION Pour tout (u 1, u 2 ) H 2, P K u 1 P K u 2 u 1 u 2. A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 9 / 33

THÉORÈME DE PROJECTION. THÉORÈME Soit K H convexe fermé non vide. Alors pour tout u H, il existe v K unique t.q. u v = inf w K De plus v caractérisé par u w = min u w. w K v K, u v, w v 0, w K. COROLLAIRE Soit M H sev fermé et u H. Alors v = P M u caractérisé par v M, u v, w = 0, w M. u v M et P M est un opérateur linéaire, dit projecteur orthogonal. A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 9 / 33

IDENTIFICATION DE H AVEC H. THÉORÈME DE RIESZ Soit φ H. Il existe u H unique t.q. v H, φ(v) = u, v. De plus u = φ H. DÉFINITION Une suite (x n ) n N de H converge faiblement vers x H si y H, lim x n, y = x, y. n + THÉORÈME De toute suite bornée de H, on peut extraire une sous-suite faiblement convergente. A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 10 / 33

THÉORÈME DE STAMPACCHIA. DÉFINITION Une forme bilinéaire A : H H R est continue s il existe C t.q. pour tout (u, v), A(u, v) C u v ; coercive s il existe α > 0 t.q. pour tout u, A(u, u) α u 2. THÉORÈME Soit A bilinéaire continue et coercive. Soit K convexe fermé non vide. Pour φ H, il existe u K unique t.q. v K, A(u, v u) φ(v u). Si A est symétrique, alors u caractérisé par u K, ( ) 1 1 A(u, u) φ(u) = min A(v, v) φ(v). 2 v K 2 A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 11 / 33

THÉORÈME DE LAX-MILGRAM. THÉORÈME Soit A bilinéaire continue et coercive. Pour φ H, il existe u H unique t.q. v H, A(u, v) = φ(v). Si A est symétrique, alors u caractérisé par u H, ( ) 1 1 A(u, u) φ(u) = min A(v, v) φ(v). 2 v K 2 A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 12 / 33

SOMMES HILBERTIENNES. DÉFINITION Soit (E n ) n N une suite de sous-espaces fermés de H. H est somme hilbertienne des (E n ), noté H = E n si n les E n sont 2 à 2 orthogonaux : u, v = 0 pour tout u E m, v E n, m n ; et Vect (E n, n N) = H. THÉORÈME Soit H = n E n. Soit u H et u n = P En u. Alors + k 1 u = u n = lim u n, 2 u 2 = n=0 + n=0 k + n=0 u n 2 (égalité de Bessel-Parseval). A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 13 / 33

BASES HILBERTIENNES. DÉFINITION Une base hilbertienne est une suite (e n ) n N d éléments de H t.q. e n = 1, n ; e m, e n = 0 si m n. et Vect (e n, n N) = H. THÉORÈME Tout espace de Hilbert séparable admet une base hilbertienne. EXEMPLES Dans H = L 2 (0, π), base formée des fonctions 2 sin nx, π 2 cos nx. π A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 14 / 33

PLAN 1 ESPACES DE BANACH 2 ESPACES DE HILBERT Dual d un espace de Hilbert Théorèmes de Stampacchia et Lax-Milgram Bases hilbertiennes 3 ESPACES DE SOBOLEV Premières définitions et propriétés Opérateurs de prolongement Inégalités de Sobolev Espace H 1 0 (Ω) Notion de trace au bord A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 15 / 33

INTRODUCTION. PROBLÈME : pour c L (Ω) et f L 2 (Ω) : { u(x) + c(x)u(x) = f (x), x Ω, u(x) = 0, x Ω. INTÉGRATION PAR PARTIES : si u et Ω sont assez réguliers, pour φ Cc (Ω) : u(x). φ(x)dx + c(x)u(x)φ(x)dx = f (x)φ(x)dx. Ω Ω RÉGULARITÉ de u : u L 2 (Ω) et u (L 2 (Ω)) d espaces de Sobolev. Ω A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 16 / 33

PREMIÈRES DÉFINITIONS. Soit Ω R d ouvert. DÉFINITION L espace de Sobolev H 1 (Ω) est défini par { H 1 (Ω) = u L 2 (Ω), g 1,..., g d L 2 (Ω) t.q. u φ } = g i φ, φ Cc (Ω). Ω x i Ω On pose u x i = g i. NORME : pour u H 1 (Ω), u H 1 (Ω) = u 2 + d u x. i 2 i=1 A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 17 / 33

REMARQUES. H 1 (Ω) est muni du produit scalaire : d u, v H 1 (Ω) = u, v L 2 (Ω) + u, v x i x L 2 (Ω). i Si u L 2 (Ω) C 1 u (Ω), et si L 2 (Ω), alors les deux définitions x i de dérivée coïncident. ( ) 1/2 d Norme équivalente : u 2 2 + u 2 x. i i=1 i=1 Espaces de fonctions-tests : C 1 c (Ω) convient aussi. C c (Ω) H 1 (Ω) et si Ω borné, C 1 (Ω) H 1 (Ω). 2 A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 18 / 33

PREMIÈRES PROPRIÉTÉS. LEMME Soit une suite (u n ) une suite de H 1 (Ω) t.q. u n u dans L 2 (Ω) et ( u n ) converge dans (L 2 (Ω)) d. Alors u H 1 (Ω) et u n u H 1 (Ω) 0. PROPOSITION H 1 (Ω) est un espace de Hilbert séparable. A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 19 / 33

APPROXIMATION. THÉORÈME (FRIEDRICHS) Soit u H 1 (Ω). Alors il existe une suite (u n ) de C c (R d ) t.q. 1 u n Ω u dans L 2 (Ω) ; 2 u n ω u ω dans (L 2 (ω)) d pour tout ω Ω (i.e. ω ouvert t.q. ω Ω et ω compact). REMARQUE : en général C 1 c (R d ) n est pas dense dans H 1 (Ω). A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 20 / 33

RÈGLES DE DÉRIVATION. PROPOSITION (PRODUIT) Soient u et v dans H 1 (Ω) L (Ω). Alors uv H 1 (Ω) L (Ω) et PROPOSITION (COMPOSITION) (uv) = u v + u v. x i x i x i Soient G C 1 (R) t.q. G(0) = 0 et G (s) M, s R ; et u H 1 (Ω). Alors G u H 1 (Ω) et (G u) = (G u) u. x i x i A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 21 / 33

RÈGLES DE DÉRIVATION. PROPOSITION (CHANGEMENT DE VARIABLES) Soient Ω et Ω deux ouverts de R d et H : Ω Ω une application bijective, x = H(y) t.q. H C 1 (Ω ), H 1 C 1 (Ω), Jac H L (Ω ), Jac H 1 L (Ω). Soit u H 1 (Ω). Alors u H H 1 (Ω ) et j = 1,..., d, y j (u H)(y) = d i=1 u x i (H(y)) H i y j (y). A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 21 / 33

ESPACES H m (Ω). Soit m 2 entier. DÉFINITION Espace de Sobolev H m (Ω) défini par récurrence H m (Ω) = { } u H m 1 u (Ω); H m 1 (Ω) x { i = u L 2 (Ω), α t.q. α m, g α L 2 (Ω) t.q. } u α φ = ( 1) α g α φ, φ Cc (Ω). On pose α u = g α. NORME : pour u H m (Ω), u H m (Ω) = Ω Ω 0 α m α u 2. A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 22 / 33

ESPACES H m (Ω). PROPOSITION H m (Ω) muni du produit scalaire u, v H m (Ω) = α u, α v L 2 (Ω), 0 α m est un espace de Hilbert. A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 22 / 33

PROLONGEMENT. THÉORÈME Soit Ω ouvert de classe C 1 avec Γ = Ω borné (ou Ω = R d +). Alors il existe un opérateur de prolongement P : H 1 (Ω) H 1 (R d ) linéaire t.q. : u H 1 (Ω) 1 Pu Ω = u ; 2 Pu L 2 (R d ) C u L 2 (Ω) ; 3 Pu H 1 (R d ) C u H 1 (Ω) ; C dépendant seulement de Ω. COROLLAIRE Si Ω de classe C 1 et u H 1 (Ω), alors il existe une suite (u n ) de C c (R d ) t.q. u n Ω u dans H 1 (Ω). A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 23 / 33

CAS OÙ Ω = R d ET 2 < d. THÉORÈME (SOBOLEV, GAGLIARDO, NIRENBERG) Si 2 < d, alors H 1 (R d ) L p (R d ), avec 1 p = 1 2 1 d. Il existe C = C(p, N) t.q. u L p (R) C u L 2, u H1 (R d ). COROLLAIRE Si 2 < d, alors H 1 (R d ) L q (R d ), pour tout q [2, p ] avec injection continue. COROLLAIRE H 1 (R 2 ) L q (R 2 ), pour tout q [2, + [ avec injection continue. A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 24 / 33

CAS OÙ Ω = R. THÉORÈME (MORREY) Alors H 1 (R) L (R), avec injection continue. De plus pour tout u H 1 (R) : u(x) u(y) C x y 1/2 u L 2, p.p. x, y R. A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 25 / 33

CAS OÙ Ω = R d. COROLLAIRE (ESPACES H m ) Soient m 1 entier. Avec injections continues : Si 1 2 m d > 0, alors Hm (R d ) L q (R d ) où 1 q = 1 2 m d. Si 1 2 m d = 0, alors Hm (R d ) L q (R d ), q [2, + [. Si 1 2 m d < 0, alors Hm (R d ) L (R d ). De plus si m d > 0 non entier, k = [m d/2] et θ = m d/2 k, 2 H m (R d ) C k (R d ) et : α u L C u H m, α avec α k α u(x) α u(y) C u H m x y θ, p.p. x, y R d. A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 26 / 33

CAS OÙ Ω R d. HYPOTHÈSES : Ω ouvert de classe C 1 avec Ω borné, Ω = R d + = {x = (x 1,..., x d ) R d, x d > 0}. COROLLAIRE Avec injections continues : Si 2 < d, alors H 1 (Ω) L p (Ω) où 1 p = 1 2 1 d. Si d = 2, alors H 1 (Ω) L q (Ω), q [2, + [. Si d = 1, alors H 1 (Ω) L (Ω). De plus si d = 1 pour tout u H 1 (Ω) : u(x) u(y) C u H 1 x y 1/2, p.p. x, y Ω. Donc H 1 (Ω) C(Ω). A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 27 / 33

CAS OÙ Ω R d. HYPOTHÈSES : Ω ouvert de classe C 1 avec Ω borné, Ω = R d + = {x = (x 1,..., x d ) R d, x d > 0}. COROLLAIRE Les conclusions du corollaire (Espaces H m ) restent vraies en remplaçant R d par Ω. A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 27 / 33

CAS OÙ Ω R d. DÉFINITION Une application T L(E, F) est compacte si T (B E (0, 1)) est relativement compacte dans F. THÉORÈME (RELLICH-KONDRACHOV) Soit Ω ouvert de classe C 1 borné. Avec injections compactes : Si 2 < d, alors H 1 (Ω) L q (Ω) pour tout q [1, p [, où 1 p = 1 2 1 d. Si d = 2, alors H 1 (Ω) L q (Ω), q [1, + [. Si d = 1, alors H 1 (Ω) C(Ω). REMARQUE : H 1 (Ω) L 2 (Ω) avec injection compacte. A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 28 / 33

DÉFINITION. DÉFINITION H 1 0 (Ω) désigne la fermeture de C1 c (Ω) dans H 1 (Ω). PROPOSITION H 1 0 (Ω) muni de la norme induite par H1 (Ω) est un espace de Hilbert séparable. REMARQUE Si Ω = R d, H0 1(Rd ) = H 1 (R d ). En général, H0 1(Ω) H1 (Ω). H0 1(Ω) est aussi la fermeture de C c (Ω). A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 29 / 33

COMPORTEMENT AU BORD. THÉORÈME Soit Ω ouvert de classe C 1. Soit u H 1 (Ω) C(Ω). Alors : PROPOSITION u = 0 sur Ω u H 1 0 (Ω). On suppose Ω de classe C 1. Soit u L 2 (Ω). Alors équivalence entre u H 1 0 (Ω) ; il existe une constante C t.q. : u φ x C φ 2, φ Cc 1 (R d ), i = 1,..., d; i Ω la fonction u(x) = u(x) pour x Ω et u(x) = 0 pour x R d \ Ω est dans H 1 (Ω) et u = u. x i x i A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 30 / 33

INÉGALITÉ DE POINCARÉ. THÉORÈME Soit Ω ouvert borné (ou borné dans une direction). Alors il existe C = C(Ω) t.q. u 2 C u 2, u H0 1 (Ω). Donc u 2 est une norme sur H0 1(Ω) équivalente à la norme u H 1. Autrement dit, u v est un produit scalaire qui induit la norme u 2 équivalente à u H 1. Ω A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 31 / 33

CAS OÙ Ω = R d +. LEMME Il existe une constante C t.q. pour tout u Cc 1 (R d ) : ( u(x, 0) ) 1/2 2 dx C u H 1(Ω). R d 1 DÉFINITION γ 0 : C 1 c (R d ) L 2 ( Ω) qui à u associe u Ω, avec Ω = R d 1 {0}, est continu. Donc se prolonge en un opérateur linéaire continu de H 1 (Ω) dans L 2 ( Ω). Cet opérateur est la trace sur Ω. A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 32 / 33

CAS D UN OUVERT BORNÉ RÉGULIER. Si Ω est une ouvert borné de classe C 1, alors il existe γ 0 : H 1 (Ω) L 2 ( Ω) opérateur linéaire continu t.q. 1 noyau de γ 0 = H 1 0 (Ω) ; 2 image de γ 0 : W 1/2,2 ( Ω) et W 1/2,2 (Ω) = Ω u Ω W 1/2,2 ( Ω) C u H 1 (Ω). { u L 2 (Ω), u(x) u(y) x y (d+1)/2 L2 (Ω Ω) }. 3 Formule de Green : pour u et v dans H 1 (Ω) : u v = u v + (uv)(σ)(ν.e i )(σ)dσ. x i x i Pour u et v dans H 2 (Ω) : ( u)v = Ω Ω Ω Ω u u v Ω ν (σ)v(σ)dσ. A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 33 / 33