Cours de probabilité Pour les 4èmes aées sectios scietifiques Dhaouadi Nejib Probabilité discrète LYCEE DE SBEITLA ------------ Avril 009 ------------- Page:
Cours de probabilité Pour les 4èmes aées sectios scietifiques Dhaouadi Nejib I. Défiitio d'ue probabilité - Probabilité uiforme. Rappels Expériece aléatoire Ue expériece aléatoire est ue expériece dot le résultat est soumis au hasard et est doc impossible à prévoir. L'uivers est l'esemble des résultats d'ue expériece aléatoire. Ces résultats sot appelés des cas possibles. Exemples Lacer d'ue pièce de moaie peut doer pile ou face, doc l'uiversω= {P,F}. Lacer d'u dé cubique dot les faces sot umérotées de jusqu'à 6, l'uivers Ω={,,3,4,5,6}. Évéemet U évéemet A lié à ue expériece aléatoire peut être réalisé ou e pas être réalisé. Il est représeté par la partie de Ω formée par les cas possibles pour lesquels cet évéemet est réalisé (appelés cas favorables). est appelé évéemet impossible. Ω est appelé évéemet certai. U évéemet réduit à u seul élémet est appelé évéemet élémetaire. Si A et B sot deux évéemets, l'évéemet «A et B» représeté par A B est réalisé lorsque A et B sot réalisés e même temps. Si A B= Ω o dit que A et B sot icompatibles. Si A et B sot deux évéemets, l'évéemet «A ou B» représeté par A B est réalisé si l'u au mois des évéemets A ou B est réalisé. O dit que des évéemets A, A,..., A formet u système complet si :. Les évéemets Ai sot deux à deux icompatibles.. La réuio de tous les évéemets Ai est égale à l'uivers Ω. Si A est u évéemet, A=Ω\A est appelé évéemet cotraire de A Formules de Morga Si A et B sot deux évéemets o a: A = A, A B = A B et A B = A B. Probabilité Défiitio (Adrei Kolmogorov 930) Soit Ω u esemble fii O appelle probabilité défiie sur P ( Ω) (esemble des parties de Ω) toute applicatio p : P ( Ω) 0, verifiat : ) p( Ω = ) Si A et B sot deux évéemets icompatibles alors p(a B) = p(a) + p(b) Vocabulaire Le triplet ( Ω, P ( Ω),p) est appelé espace probabilisé fii Activité ) Soit A, A,..., A des évéemets deux à deux icompatibles. Motrer, à l'aide d'u raisoemet par récurrece, qu'o a : p(a A... A ) = p(a ) + p(a ) +... + p(a ) ) E déduire que si A est u évéemet alors : ω A ({ }) { } ω Ω ( ) p(a) = p ω e particulier p ω = LYCEE DE SBEITLA ------------ Avril 009 ------------- Page: [ ]
Cours de probabilité Pour les 4èmes aées sectios scietifiques Dhaouadi Nejib Exercice O lace u dé pipé tel que P()=P(3)=P(4)=/8 et P()=P(6)=/4. Calculer P(5) Propriétés Si A et B sot deux évéemets alors : p( A) = p( A) p( ) = 0 p(a\b) = p(a) p(a B) p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) 3. Probabilité uiforme Défiitio Soit { } Ω 3 = w, w, w,..., w et p ue probabilité défiie sur Ω. Lorsque tous les évèemets élémetaires ot la même probabilité d être réalisés, o dit que p est ue probabilité uiforme ou ue équiprobabilité. Das ce cas o a : i {,,} p(w) i = =. card Ω Pour tout évèemet A o a : p(a) =. Vocabulaire card A card Ω Lorsqu'o dit «o tire au hasard u élémet de l'uivers Ω», cela sigifie que Ω est mui d'ue probabilité uiforme. Exercice O lace deux dés cubique bie équilibrés dot les faces de chacu sot umérotées de jusqu'à 6. Détermier Ω et Card Ω Détermier la probabilité de chacu des évéemets suivats : A= «Les deux faces obteues portet le même uméro» B= «Obteir au mois ue face qui porte le uméro» solutios Ω = {,,3,4,5,6 }, CardΩ = 6 = A = (a,a) où a {,,3,4,5,6 }, CardA = 6 { } 6 p(a) = = 6 { } B = "Ne pas obteir la face " =,3,4,5,6 5 p(b) = p(b) = = LYCEE DE SBEITLA ------------ Avril 009 ------------- Page: 3
Cours de probabilité Pour les 4èmes aées sectios scietifiques Dhaouadi Nejib II. Probabilité coditioelle - évéemets idépedats. Probabilité coditioelle Activité U sac cotiet jetos idiscerables au toucher et répartis comme suit: 7 jetos blacs umérotés,,,,,,. 5 jetos oirs umérotés,,,,. O tire au hasard u jeto du sac. ) Calculer la probabilité de chacu des évéemet s suivats: A= «Tirer u jeto qui porte le uméro». B= «Tirer u jeto blac». C= «Tirer u jeto blac, sachat qu'il porte le». p(a B) )Comparer p(c) et p(a) Solutios )Cosidéros la répartitio des jetos selo leur s uméros. Il y a 6 jetos umérotés et 6 jetos umérotés Doc p(a)= 6/ = /. Il y a 7 jetos blacs sur doc p(b) = 7/ Parmi les 6 jetos uméro, il y a blacs et 4 oirs doc p(c) = /6 = /3 ) p(a B) p(a B)= = ; = = = p(c) 6 p(a) 6 3 Défiitio Soit p ue probabilité défiie sur P ( Ω). A et B deux évéemets tels que p(a) 0 p(a B) O appelle probabilité de B sachat A et o ote p(b/a) le réel défii par : p(b/a)= p(a) Coséqueces Si p(a) 0 alors p(a B) = p(a)p(b/a) Cette formule est coue sous le om : Pricipe des probabilités composées De même pour trois évéemets, o motre que: Si p(a) 0 et p(a B) 0 alors o a : p(a B C) = p(a)p(b/a)p(c/a B) Exercice 3 O cosidère ue ure coteat six boules blaches et quatre boules oires. O tire au hasard, successivemet et sas remise, trois boules de l'ure. Calculer la probabilité de l'évéemet suivat: A= «La première boule oire obteue apparaît au troisième tirage» Solutios Cosidéros les évéemets suivats : A : " Le premier tirage doe ue boule blache " A : " Le deuxième tirage doe ue boule blache " A : " Le troisième tirage doe ue boule oire " p(a) = p(a A A ) = p(a )p(a /A )p(a /A A ) 3 3 6 5 4 = = 0 9 8 6 LYCEE DE SBEITLA ------------ Avril 009 ------------- Page: 4
Cours de probabilité Pour les 4èmes aées sectios scietifiques Dhaouadi Nejib Théorème Soiet Ω u uivers et B u évéemet tel que p(b) 0. O a : p ( Ω / B ) =. p( A A / B ) = p( A / B ) + p( A / B), pour tous évèemets icompatibles A et A. p A / B = - p A / B, pour tout évéemet A. ( ) ( ) Pricipe des probabilités totales Soiet Ω u uivers et A et B deux évéemets tels que l évéemet A est i certai i impossible (p(a) et p(a) 0 ). O a : ( ) = ( ) + ( ) p B p(a ).p B/A p(a) p B/A Plus gééralemet: Si A A A... A = Ω et A A = (pour tous i et j tels que i j) et k,,..., 3 i j p(a ) 0 alors pour tout évèemet B o a : p(b) = p(a ).p(b / A ). = k k k k= { } Exercice 4 Das u magasi d électroméager, o s itéresse au comportemet d u acheteur potetiel d u téléviseur et d u magétoscope. La probabilité pour qu il achète u téléviseur est de 0,6. La probabilité pour qu il achète u magétoscope quad il a acheté u téléviseur est de 0,4. La probabilité pour qu il achète u magétoscope quad il a pas acheté de téléviseur est de 0,. ) Quelle est la probabilité pour qu il achète u téléviseur et u magétoscope? ) Quelle est la probabilité pour qu il achète u magétoscope? 3) Le cliet achète u magétoscope. Quelle est la probabilité qu il achète u téléviseur? Exercice 5 O dispose de deux ures u et u. L ure u cotiet trois boules blaches et ue boule oire. L ure u cotiet ue boule blache et deux boules oires. O lace u dé o truqué. Si le dé doe u uméro iférieur ou égal à, o tire ue boule das l ure u. Sio o tire ue boule das l ure u. (O suppose que les boules sot idiscerables au toucher) ) Calculer la probabilité de tirer ue boule blache. ) O a tiré ue boule blache. Calculer le probabilité qu elle proviee de l ure u. Exercice 6 Le quart d ue populatio a été vaccié cotre ue maladie cotagieuse. Au cours d ue épidémie, o costate qu il y a parmi les malades u vaccié pour quatre o vacciés. O sait de plus qu au cours de cette épidémie, il y avait u malade sur douze parmi les vacciés. a) Démotrer que la probabilité de tomber malade est égale à b) Quelle était la probabilité de tomber malade pour u idividu o-vaccié? c) Le vacci est-il efficace? Exercice 7(corrigé) Ue ure cotiet trois dés équilibrés. Deux d etre eux sot ormaux : ils possèdet six faces umérotées de à 6. Le troisième est truqué : il possède deux faces umérotées et quatre faces portat le uméro 6. O pred u dé au hasard das l ure et o effectue de maière idépedate des lacers successifs de celui-ci. O ote : * N l évéemet : «le dé tiré est ormal» ; LYCEE DE SBEITLA ------------ Avril 009 ------------- Page: 5 5 48
Cours de probabilité Pour les 4èmes aées sectios scietifiques Dhaouadi Nejib * U l évéemet : «o obtiet au premier lacer» ; * pour etier o ul, S l évéemet : «o obtiet 6 à chacu des premiers lacers». Justifier les résultats suivats: a. P( U ) =. 9 b. Pour tout etier o ul, o a : P( S ) = +. 3 6 3 3 Pour etier o ul, o ote p la probabilité d avoir tiré le dé truqué, sachat qu o a obteu le uméro 6 à chacu des premiers lacers. c. Pour tout etier o ul, o a : p =. + 4 Correctio a. O trouve facilemet P( N ) =, P(U/N) = 3 6 et P(U/N) =. Repreos les probabilités totales : 6 P( U) = P(U/N).P(N) + P(U/N).P(N) =. +. = 6 3 6 3 9. b. épreuves idépedates répétées doc loi biomiale : les paramètres sot pour le ombre de tirages et p : * si o choisit u dé ormal p =, o a alors 6 P ( tirer 6 fois)=c p ( p) 4 * si o choisit le dé truqué p = =, o a alors P (tirer 6 fois)= 6 3 3. = 6 0 E refaisat le même raisoemet qu au a. o obtiet : P (tirer 6 fois)= + 3 6 3 3. c. P( N S) p = P( N / S) = P( S ) 4. 3 3 6 4 = = = = 4 + 4 + + + 3 6 3 3 6 6 4 ;. Evéémets idépedats Défiitio : Deux évéemets A et B sot dits idépedats (par rapport à P) si : p(a B)=p(A)p(B) Dire que A et B sot idépedats sigifie doc qu'avoir des iformatios cocerat la réalisatio de A e reseige pas sur la réalisatio de B. Exemple :. O lace u dé à 6 faces et o ote A l'évéemet "Obteir u ombre pair", et B l'évéémet "Obteir u multiple de 3". O a : p(a) = /, p(b) = / 3 p(a B) = / 6 = p(a)p(b) Les évéemets A et B sot idépedats.. O lace deux dés rouges et verts, et o ote A l'évéemet "La somme des uméros fait 6" et B l'évéemet "Sur le dé rouge, o obtiet u ombre pair". U petit déombremet de tous les cas possibles motre que : p(a) = 5/, p(b) = 8/ p(a B) = / p(a)p(b) Les évéemets A et B e sot pas idépedats. LYCEE DE SBEITLA ------------ Avril 009 ------------- Page: 6
Cours de probabilité Pour les 4èmes aées sectios scietifiques Dhaouadi Nejib III. Variable aléatoire. Défiitio Activité O lace deux dés cubique bie équilibrés dot les faces de chacu sot umérotées de jusqu'à 6. O désige par X la somme des uméros obteus. Quelles sot les valeurs prises par X? solutios Détermier les probabilités correspodates. Les valeurs prises par X sot,3,4,5,6,7,8,9,0,,. Les évéemets correspodates, otés (X=k) où k est l'ue des valeurs prises par X, formet u système complet. (X=)={(,)} ; (X=3)={(,),(,)} ; (X=4)={(,3),(,),(3,)} ; (X=5)={(,4),(,3),(3,),(4,)} (X=6)={(,5),(,4),(3,3),(4,),(5,)} ; (X=7)={(,6),(,5),(3,4),(4,3),(5,),(6,)} (X=8)={(,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,)} ; (X=9)={(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)} ; (X=0)={(4,6),(5,5),(6,4)} (X=)={(5,6),(6,5)} ; (X=)={(6,6)} Les probabilités correspodates sot résumées das le tableau suivat: x i 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 5 4 3 P(X=x) Défiitios Soit u uivers Ω fii. O appelle variable aléatoire réelle (ou aléa umérique) défiie sur l uivers Ω, toute applicatio X : Ω IR. x R. ( ) Soit X = x désige l esemble des évetualités ayat la même image x par X. C est-à-dire : ( X = x ) = { ω; ω Ω; X( ω ) = x } Soit u uivers Ω fii. Soit X ue variable aléatoire réelle défiie sur l uivers Ω. O appelle loi de probabilité de X ou distributio des probabilités de X, l applicatio qui à chacue des valeurs x i prises par X, fait correspodre la probabilité p = p(x = x ) i i Remarque Si X( Ω ) = { x,x,...,x } i= Les évéemets (X = x) formet u système complet doc p(x=x ) = i i i LYCEE DE SBEITLA ------------ Avril 009 ------------- Page: 7
Cours de probabilité Pour les 4èmes aées sectios scietifiques Dhaouadi Nejib. Foctio de répartitio Défiitio Soit u uivers Ω fii et X : Ω IR ue variable aléatoire. La foctio de répartitio de X est l applicatio F : IR [0, ] défiie pour tout réel x par : ( ) F(x) = p X x. Pour le réel x, F(x) est la probabilité de l évèemet ( X x ) = { ω Ω / X( ω) x }. Propriétés Soit X ue variable aléatoire discrète défiie sur u uivers fii Ω. Soit F la foctio de répartitio de X. O a : F est croissate sur IR. Si les élémets xi de X( Ω ) sot ordoés : x x... x i {,,..., } alors F est défiie sur IR par : ] [ [ [ 0 si x,x p si x x,x. F(x) = p + p +... + p si x x,x. si x [ x, + [ Exercice 9 (corrigé) [ [ i i i+ < < < et si p(x = x i) = pi pour O dispose d u dé cubique parfait dot les faces portet les ombres : -, 0, 0,,,. O lace ce dé deux fois de suite. O désige par a le ombre apparu sur la face supérieure au premier lacer et par b le ombre apparu sur la face supérieure au deuxième lacer. Soit Y la variable aléatoire qui à chaque couple (a, b) associe la somme (a + b). ) Détermier la loi de probabilité de Y. ) a) Détermier la foctio de répartitio F de Y. b) Représeter graphiquemet F das u repère orthogoal du pla. 3) a) Calculer ( < ) p 0 Y 3 et comparer le résultat avec le réel F (3) F (0). R. x o a: p Y > x = F(x) b) Motrer que ( ) c) Motrer que pour tous réels a et b tels que a < b p a < Y b = F(b) F(a) o a : ( ) solutios ) L expériece aléatoire est le lacer du dé cubique deux fois de suite, o a doc : card Ω = 6 =. ( couples (a,b) ) Soit Y la variable aléatoire qui à chaque élémet de Ω associe la somme des poits obteus. Pour détermier la loi de probabilité de Y, o pourra utiliser le tableau suivat : + - 0 0 - - - - 0 0 0-0 0 0-0 0 0 3 0 3 3 3 4 LYCEE DE SBEITLA ------------ Avril 009 ------------- Page: 8
Cours de probabilité Pour les 4èmes aées sectios scietifiques Dhaouadi Nejib O a Y(Ω) = {-; - ; 0; ; ; 3; 4 }. Le tableau suivat doe la loi de probabilité associée à Y. x i - - 0 3 4 p i 4 8 0 8 4 ) a) La foctio de répartitio F de Y est défiie sur IR par : F(x) = 0 si x, ; ] [ 5 F(x) = p = si x [, [ ; F(x) = p + p = si x [,0 [ ; 3 F(x) = p + p + p3 = si x [ 0, [ ; 3 F(x) = p + p + p3 + p4 = si x [, [ 3 F(x) = p + p + p3 + p4 + p5 = si x [,3 [ 35 F(x) = p + p + p3 + p4 + p5 + p6 = si x [ 3, 4[ F(x) = = si x [ 4, + [. b) Représetatio graphique de F p 0 < Y 3 = p(y = + p(y = + p(y = 3 = 35 3 ) ) ) et o a : F(3) F(0) = =. p 0 < Y 3 = F(3) F(0). 3) a) ( ) D où ( ) b) Motros que x Roa: p Y x F(x).Les évèemets cotraires doc pour tout réel x, o a : p Y x p Y x F(x). Y x et Y x sot c) Pour tous réels a et b tels que a < b o a : ( Y a) ( Y b ) et p ( a < Y b) = p ( Y b) p ( Y a) ( a < Y b) = ( Y b) \ ( Y a).doc = F(b) F(a). LYCEE DE SBEITLA ------------ Avril 009 ------------- Page: 9
Cours de probabilité Pour les 4èmes aées sectios scietifiques Dhaouadi Nejib 3. Espérace mathématique Défiitio Soiet ( Ω, P ( Ω),p) u espace probabilisé fii et X ue variable aléatoire défiie sur Ω O appelle espérace mathématique de X, le réel oté E(X) défii par : ω { ω }) ou ecore E(X) = i i ω Ω i= E(X) = X( )p( = x p(x x ) où x,x,...,x sot les valeurs prises par X Remarques )L'espérace mathématique de X est la moyee des valeurs xi podérées par les probabilités correspodates P(X=xi). )Das u jeu de hasard, si X désige le gai algébrique (positif ou égatif) alors E(X) désige le gai moye qu'o peut espérer sur u grad ombre de parties 3)Das u jeu de hasard, o dit que le jeu est : équitable si E(X)=0 favorable ou gagat si E(X)>0 défavorable ou perdat si E(X)<0 Exercice 0 Ue ure cotiet sept boules : ue rouge, deux jaues et quatre vertes. U joueur tire au hasard ue boule Si elle est rouge, il gage 0 D, si elle est jaue, il perd 5 D, si elle est verte, il tire ue deuxième boule de l'ure sas avoir remettre la première boule tirée. Si cette deuxième boule est rouge, il gage 8 D, sio il perd 4 D. ) Costruire u arbre podéré représetat l'esemble des évetualités de ce jeu. ) Soit X la variable aléatoire associat à chaque tirage le gai algébrique du joueur (ue perte est comptée égativemet). a) Etablir la loi de probabilité de la variable X b) Calculer l'espérace de X 3) Les coditios de jeu restet idetiques. Idiquer le motat du gai algébrique qu'il faut attribuer à u joueur lorsque la boule tirée au deuxième tirage est rouge, pour que le jeu soit équitable. 4. Variace et écart-type Défiitio Soit X ue variable aléatoire discrète preat les valeurs x i avec les probabilités respectives p i i,,...,. pour { } La variace de X, oté V(X), est le réel positif défii par : ( ) ( ) V(X) = x - X.p +... + x - X.p = ( xi - X).pi i= LYCEE DE SBEITLA ------------ Avril 009 ------------- Page: 0
Cours de probabilité Pour les 4èmes aées sectios scietifiques Dhaouadi Nejib où X = E(X). L écart- type de X, que l o ote σ(x), est le réel positif σ(x) = V(X). 5. Loi biomiale Cosidéros ue expériece aléatoire costituée de épreuves (>) idetiques et idépedates 'ayat que deux issues: succès ou échec otées S et E. Si P(S)= p alors P(E)=-p=q. Si X désige le ombre de succès obteus au cours de ces épreuves o dit que X suit ue loi biomiale de paramètres et p o écrit X Bp (, ). O motre que la loi de probabilité de X est défiie par : k k k k {,,...,} p(x = k) = C pq Espérace mathématique de X : E(X)=p Variace de X : V(X)=pq Exercice O sélectioe les cadidats à u jeu télévisé e les faisat répodre à dix questios. Ils devrot choisir, pour chacue des questios, parmi quatre affirmatios, celle qui est exacte. U cadidat se présete et répod à toutes les questios au hasard. O appelle X la variable aléatoire désigat le ombre de réposes exactes doées par ce cadidat à l issue du questioaire. ) Quelle est la loi de probabilité de X? ) Calculer la probabilité pour qu il fourisse au mois 8 boes réposes, et soit aisi sélectioé. LYCEE DE SBEITLA ------------ Avril 009 ------------- Page: