Corrigé du ème problème de Mies-Pots PSI 00 Détermiats et formule de codesatio Partie I. Prélimiaires Questio ) L espace vectorielm R est de dimesio fiie et toutes les ormes y sot équivaletes. Pour toute matrice M M R l esemble M i,j, i, j,, est fii, costitué de réels positifs. Il admet u maximum, qui est u réel positif. Doc N est défiie dem R das R et positive. De plus NM 0 sup M i,j 0 i, j,,, M i,j 0 M 0 i,j,, et N est séparable. Puis, M RM R, N M sup i,j,, Efi M, P M R, NM P sup i,j,, M i,j sup d où NM P sup i,j,, Aisi N est ue orme surm R i,j,, M i,j sup i,j,, M i,j P i,j sup i,j,, M i,j NM N est homogèe. M i,j P i,j P i,j NM NP et N est sous-additive. Questio ) O motre l existece d ue telle décompositio das l étude du rag de M et r rgm. Questio ) Si r, et M iversible, o a M lim k P. J k. Q suite costate de matrices iversibles, avec J k J. Si M o iversible et r, soit k N et J k I r 0 r,r 0 r,r diag,,, I k r k,, carrée, k diagoale, avec r fois, puis r fois k sur la diagoale. Alors J k est iversible, car detj k k r. Cosidéros la suite M k kn avec M k P. J k. Q. Si A, B, et C sot des matrices carrées avec C A B, alors C i,j A i,k. B k,j k doc C i,j A i,k. B k,j. NA. NB pour tout i, j doc NA. B. NA. NB surm R. k Aisi NM M k NP.J J k. Q. NP. NQ. NJ J k or NJ J k k, doc NM M k 0 quad k et M est la limite de la suite de matrices iversiblesp. J k. Q kn Questio 4) O peut développer le détermiat e utilisat les permutatios du groupe symétrique S. detm M p,p où est la sigature de la permutatio S, doc vaut ou. S p Le détermiat est doc ue somme de produits des coefficiets de la matrice M affectés d u sige. Chaque applicatio composate pour i, j fixé, M M i,j est cotiue dem R dasr. E effet, elle est -Lipschitziee, puisque M i,j P i,j. NM P pour tout couple de matricesm, P dem R. Par les théorèmes opératoires : l applicatio détermiat est cotiue de M R, N das R, Et de même pour toutes les ormes, puisqu o est e dimesio fiie, elles sot équivaletes. Partie II. Formule de codesatio Questio 5) Pour tout i, j, ij detm j i est le cofacteur de M i,j das le développemet du detm selo ue lige ou ue coloe. Aisi, selo la ième lige : detm ij j M i,j detm i i j M i, detm i M i, detm i M i, detm i Et M i, detm i M i, detm i M i, detm i i detm pour tout i,, Questio ) Cosidéros la matrice A i,j obteue e remplaçat la ième lige de M par ue répétitio de la jème. Le détermiat de A i,j est doc ul, puisque la matrice a deux liges idetiques : deta i,j 0. Mais o peut calculer ce détermiat de A i,j selo sa ième lige qui doe : deta i,j ik A i,j i,k deta i,j k i i M j, detm i M j, detm i M j, detm i k
Si o supprime la ième lige das deta i,j i k, o supprime la lige que l o a modifié pour passer de M à A i,j, o retrouve doc detm i k. Aisi M j, detm i M j, detm i M j, detm i 0 Questio 7) Notos C M. t ComM, alors pour tout j, i : C j,i M j,k. t ComM k,i M j,k.comm i,k M j,k. ik k detm i k k k i M j, detm i M j, detm i M j, detm i doc C j,i 0 si i j et C i,i detm, aisi C detm. I et M. t ComM detm. I Questio 8) M detm 0 0 0 detm detm 0 0 detm detm 0 0 detm detm 0 0 detm detm 0 0 0 detm O peut calculer so détermiat e développat selo la ère lige. Aisi detm égale : detm det 0 0 detm 0 0 detm 0 0 detm 0 0 0 detm detm det detm 0 0 detm 0 0 detm 0 0 detm 0 0 0 (das le secod terme, a disparu devat detm Le premier détermiat est triagulaire et vaut detm. O développe le secod selo la derière lige, il vaut detm d où : detm detm detm detm detm Questio 9) M M M, M, M, M, M, M, M, M, M, M, M, M, M, M, M, M, detm M, M, 0 0 M, M, 0 0 M, M, 0 0 M, M, detm detm 0 0 detm detm 0 detm detm 0 detm detm 0 0 detm les coefficiets de la ère coloe et de la derière sot obteus avec les formules établies questios 5 et avec i e haut à gauche et i e bas à droite, efi j i sio. Questio 0) Par blocs, ou e développat successivemet selo la ère coloe, puis la derière, o obtiet : detm M detm. detm,, (o a supprimé la lige L et la coloe C puis la lige L et la coloe C detm M detm detm detm detm detm detm detm detm,. detm, Si M est iversible, alors detm detm detm detm, detm. detm, Questio ) Si M est pas iversible, M est limite d ue suite de matrices iversiblesp. J k. Q kn (questio ). Pour chacue de ces matrices la relatio () est vraie, et les détermiats des matrices carrées sot des foctios cotiues, doc les détermiats des limites sot les limites des détermiats, la relatio () passe à la limite. Note : quad o passe à la limite des matrices obteues e supprimat des liges et des coloes, o arrive aux matrices obteues e supprimat les mêmes liges et coloes aux matrices limites.
Partie III. Algorithme de Lewis Carroll Questio ) B Si M A 0 d où A 0 4 4 4, et B 0 et B efi A 8 alors A 5 le détermiat de M est detm 8 Questio ) La matrice A k est carrée de dimesio k k. Pour calculer A k e foctio de A k, il faut calculer k détermiats. A partir de A 0 M, le calcul de A dot le seul coefficiet est detm écessite u k calculs de détermiats. p p u p avec p k ou N,, u p p p Questio 4) La formule de développemets successifs par rapport aux liges demade, das le calcul de detm avec M de taille, le calcul de détermiats. Si chacu de ceux-ci demade v calculs de détermiats, alors v v pour tout, avec v. D où N,, v! Lorsque, puisque u o a u ov. L algorithme de Lewis Carroll permet u calcul e temps polyômial de detm, beaucoup plus rapide que le calcul par développemet selo liges ou coloes. Par exemple, pour 0, o a u 0 Questio 5) O a A i,j doc M r,s A r,s M i,j M i,j 0 9 9 k k0 et B i,j M i,j M i,j M i,j A r,s A r,s M r,s 85 et v 0 0! 84 400. A r,s A r,s A r,s où chaque A i,j est u détermiat dot le coefficiet e haut à gauche est M i;j. Mais si A est ue matrice et qu o lui applique la formule de codesatio, o obtiet : deta A A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, doc si A, 0, deta A A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, Doc est le détermiat de la matrice extraite de M dot le coefficiet e haut à gauche est M r,s où il e reste que les liges r, ret ret que les coloes s, set s. Avec les otatios de l éocé : pour r et s, o a,,s,s,, detm,,r,r,, pour r et s, o a A,,s,s,,,s detm 4,, pour r et s. o a A 4,, r, detm,,r,r,, efi A 4,,, detm 4,, Questio ) Notos Dr,s k detm,,s,sk,,,,r,rk,, de taille k k extrait de M, où il e reste que les liges r, r,, rket que les coloes s, s,, sk. (so coefficiet e haut à gauche est M r,s (mêmes adaptatios qu à la questio précédete, si r ou s. O a doc pour tous lesr, s possibles : Dr,s 0 M r,s 0 de même Dr,s et Dr,s Supposos que k,,, et qu o ait assuré l égalité Dr,s m m pour tous les m etre 0 et k et tous lesr, s possibles. Alors k k A r,s k k k k A r,s A r,s A r,s
Avec la formule de codesatio appliquée à la matrice extraite M,,s,sk,,,,r,rk,, de taille k k ayat comme coefficiet e haut et à gauche M r,s o a : Dr,s k k k k k k D r,s D r,s D r,s D r,s D r,s doc Dr,s k k D r,s Dr,s k k k k D r,s D r,s D r,s car les matrices B i e s aulet pas. Les deux suites ot les mêmes valeurs iitiales, et l égalité se trasmet par hérédité double. Par récurrece pour tout k,,, tous r, s,,, k k detm,,s,sk,,,,r,rk,, le détermiat de taille k k avec les liges r, r,, rket les coloes s, s,, sk, ayat comme coefficiet e haut et à gauche M r,s. Pour k, il e reste qu u coefficiet A, detm e preat toutes les liges et toutes les coloes. Partie IV. Le -détermiat M matrice dem R pour laquelle det M est bie défii. Pour o retrouve le détermiat usuel. O peut costater que pour la forme foctio des coloes de M est pas atisymétrique, i alterée, b a car : det d c bc ad det a b c d a a ou det c c ac 0. Pour ou, la forme est -liéaire, mais, au delà, la formule est guère ecourageate. O peut assurer que pour M M R, det t M det M les deux état défiis simultaémet. Car cette égalité est vraie pour ou et que la formule est ivariate par traspositio. Questio 7) Par récurrece avec motros que si det M est bie défii et t 0, alors det M t,j est bie défii et N, det M t,j t det M pour t R0 et j,,, Iitialisatio : c est clairemet vrai pour ou. Hérédité : supposos et la propriété assurée jusqu à l ordre. Pour M dem R : det M t,j. det M t,j,, det M t,j det M t,j det M t,j det M t,j. Distiguos deux cas : Si j, alors det M t,j,, det M,, 0, détermiat d ordre. L égalité est assurée car o supprime la coloe (C ou C multipliée par t. Das les termes de det M t,j det M t,j det M t,j det M t,j o supprime ue fois cette coloe, (si j, das le er et le ème, et si j, das le ème et le 4ème) et das les deux autres termes, o applique otre hypothèse de récurrece, avec des détermiats de taille. Aisi det M t,j. det, M t,j det M t,j det M t,j det M t,j det M t,j, t det, M det M det M det M t det M det M, Si j, tous les termes d ordre ou sot multipliés par t 0, det M t,j,, t det M,, 0 det M t,j. det, M t,j det M t,j det M t,j det M t,j det M t,j, t det t, M det M det M det M t det M det M, Das les deux cas, o a assuré l hérédité. D où le résultat par le théorème de récurrece : N, Questio 8) det M t,j t det M pour t R0 et j,,, O a Vx, x,,x x x x x x x et Vx, x, x x x x x x x Pour : o a det Vx, x x x Pour, avec la formule : det Vx, x, x x det x x x x x x x det det x x x det x x
d où det Vx, x, x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Aisi det Vx, x, x x x x x x x Par récurrece, motros que det Vx, x,,x x j x i. L iitialisatio est assurée pour. ij Hérédité : supposos, et la propriété vraie jusqu à l ordre, e otat V Vx, x,,x, o a V x x x x x x x x x x x x x x x x à qui o va elever des liges et des coloes, pour appliquer : det V det V,, det V det V det V det V x x x Aisi det V,, det x x x x x x x det x x avec le résultat de la questio 7) appliqué à la trasposée : chaque lige est multipliée par t x i 0. x x x De même det V det x x x x x x det V det x x x x x x x det V det x x x x x x x x det x x x x det Vx,,x det Vx, x,,x det V x x x x det x x x x det V x x x det V det x x x det Vx,,x Aisi det V x x det Vx,,x det V x x det V det Vx,,x x x det Vx,,x det V x x x x det Vx,,x det V det Vx,,x x j x i x j x i ij ij Avec otre hypothèse de récurrece : x x x x i x j x i j ij x j x i ij Qui est le résultat escompté à l ordre. Les déomiateurs sot o uls, car x i 0 et x j x i 0. Par récurrece, ous avos doc assuré que det Vx, x,, x x j x i pour tout ij