Chapitre 12 - Les nombres complexes : épisode 2 (Géométrie polaire) Lycée Jaufré RUDEL - BLAYE 3 avril 2017 Reprenons tranquillement
Argument d'un nombre complexe On considère toujours un nombre complexe z = a + ib d'image M(a; b) dans le plan complexe muni du repère (O; u, v), comme représenté ci-contre. Dénition Si z C, alors on appelle argument ( de z, noté arg(z) = ϑ, la mesure de l'angle orienté u, ) OM, à 2kπ près.
Détermination d'un argument Théorème Si z = a + ib est un nombre complexe d'image M(a; b) dans le plan complexe muni du repère (O; u, v), de module z = a 2 + b 2 et d'argument ϑ, alors : a cos(ϑ) = a2 + b 2 b sin(ϑ) = a2 + b 2
Propriété Si z = a + ib est un nombre complexe de module z et d'argument arg(z) = ϑ (mod 2π), alors on peut écrire : z = z (cos(ϑ) + i sin(ϑ)). Cette écriture est appelée écriture trigonométrique d'un nombre complexe.
Un exemple simple Exemple Considérons le nombre complexe z = 1 + i. On a alors : a = Re(z) = 1 et b = Im(z) = 1. Son module est alors : z = a 2 + b 2 = 1 2 + 1 2 = 2. D'après le théorème, on a : 2 cos(ϑ) = 1 2 sin(ϑ) = 1 = = 2 2 z = 2 Or l'angle ϑ qui vérie ceci est le suivant : ϑ = π 4 2 2 Ainsi, l'écriture trigonométrique de z est : ( ( π ) cos + i sin 4 ( π 4 )) (mod 2π)
Propriétés de calcul Propriétés de calcul La forme exponentielle Si z 1 et z 2 sont deux nombres complexes non nuls et n N, alors on a les règles de calcul suivantes : Produit z 1 z 2 = z 1 z 2 arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) (mod 2π) Puissance z1 n = z 1 n arg(z1 n) = n arg(z 1) (mod ( ) 2π) 1 Inverse z = 1 1 arg = arg(z 2 ) (mod 2π) 2 z 2 z 2 Quotient z 1 z = z ( ) 1 z1 arg = arg(z 1 ) arg(z 2 ) (mod 2π) 2 z 2 z 2
Propriétés de calcul La forme exponentielle Lien avec l'exponentielle En s'intéressant à la fonction f : ϑ cos(ϑ) + i sin(ϑ), dénie pour tout ϑ R, on constate que f (ϑ) est un nombre complexe de module 1 et d'argument ϑ (mod 2π). On a de plus : ϑ 1, ϑ 2 R, f (ϑ 1 ) f (ϑ 2 ) a pour module 1 et pour argument ϑ 1 + ϑ 2 On en tire : f (ϑ 1 ) f (ϑ 2 ) = f (ϑ 1 + ϑ 2 ). (mod 2π). Comme f (0) = cos(0) + i sin(0) = 1, et que par dérivation (en admettant que l'on peut l'étendre à C) on a : f (ϑ) = sin(ϑ) + i cos(ϑ) = i(cos(ϑ) + i sin(ϑ)) = i f (ϑ), on retrouve ainsi des propriétés de la fonction exponentielle réelle, étendues à l'ensemble des nombres complexes.
Propriétés de calcul La forme exponentielle La forme exponentielle Dénition Si ϑ est un nombre réel, alors on note e iϑ = cos(ϑ) + i sin(ϑ). Il s'agit du nombre complexe de module 1 et d'argument ϑ (mod 2π). Conséquence Le nombre complexe non nul z = z (cos(ϑ) + i sin(ϑ)) se note z = z e iϑ.
Exemples Propriétés de calcul La forme exponentielle Exemples On a les cas particuliers suivants : e iπ = cos(π) + i sin(π) = 1 ; ( e π π ) ( π ) i 2 = cos + i sin = i ; ( 2 2 e π i 2 = π ) ( cos 2 + i π ) sin 2 = i ; ( e π π ) ( π ) 3 i 6 = cos + i sin = 6 6 2 + 1 2 i.
Propriétés de calcul La forme exponentielle Propriétés de la forme exponentielle Propriétés À partir de la forme exponentielle, on peut retranscrire des propriétés déjà démontrées auparavant, pour tous ϑ 1, ϑ 2 R, n N : e iϑ 1 e iϑ 2 = e i(ϑ 1+ϑ 2 ) ; e iϑ 1 e iϑ 2 = ei(ϑ 1 ϑ 2 ) ; (e iϑ 1 ) n = e inϑ 1 ; e iϑ 1 = e iϑ 1.
Propriétés de base L'inégalité triangulaire Propriétés géométriques des nombres complexes Théorème Si A, B, C et D sont quatre points du plan complexe,d'axes respectives z A, z B, z C et z D tels que z A z B et z C z D, alors : 1 AB = z B z A ; ( 2 u, ) AB = arg(z AB ) = arg(z B z A ) (mod 2π) ; ( ) ( ) zd z C 3 AB, CD = arg (mod 2π). z B z A
Propriétés de base L'inégalité triangulaire L'inégalité triangulaire Théorème L'inégalité triangulaire. Si z 1 et z 2 sont deux nombres complexes, alors z 1 + z 2 z 1 + z 2.
La formule de MOIVRE La formule de MOIVRE Les formules d'euler Théorème Si ϑ R et n N, alors (cos(ϑ) + i sin(ϑ)) n = cos(nϑ) + i sin(nϑ).
Les formules d'euler La formule de MOIVRE Les formules d'euler Théorème Si ϑ R, alors cos(ϑ) = eiϑ + e iϑ 2 et sin(ϑ) = eiϑ e iϑ 2i.