TERINALE S Eléms d corrctio du baccalauréat blac du ludi mars EXERCICE VRAI-FAUX sur ls ombrs compls 5 4 Ls solutios das Cd + = sot i + i z z O put rmplacr z succssivm par i i + das l prmir mmbr, calculr pas trouvr pour + i c qui prouv qu l affirmatio st fauss Ct faço d procédr oblig à ds calculs, sourcs d rrurs 5 4 Résolvos l équatio : Pour z : + = 5 4z + z = z 4z + 5 = ; 6 4 z z L équatio a du solutios compls cojugués Ls ombrs i + i état pas cojugués, l affirmatio st fauss ( o put aussi trouvr ls solutios qui sot i + i ) Si i Z = alors Z = Z + i + i = = < Il suffit d calculr Z Z + i d comparr lur écritur mais sous form algébriqu( l écritur sous form d quoti st pas uiqu) : ( i)( i ) ( )( ) i 9i i i Z = = = = = i + i + i i + 9 Z + i = i + i = i Doc Z = Z + i ; l affirmatio st vrai L ombr compl ( i) st u ombr rél positif doc Z = i = i Tout référc à la parité d st fauss puisqu l ombr compl -i a pas d sig L écritur ( i) doit évoqur la formul d oivr, dor l idé d écrir -i sous form poill ou trigoométriqu π π π i 4 i = i = cos + i si = doc : 4 4 ( i) π i 4 6 5iπ 6 54iπ iπ 6 6 = = = = ( ) = < L affirmatio st fauss 4 L smbl ds poits ( z) tls qu z + i = z + i st u droit passat par l origi O du rpèr Il faut psr ici à itrprétr ls moduls trms d distac grâc à AB = z z B A Soit A( + i) B( i ) alors z + i = z ( i) = A z + i = z ( i ) = B D où : z + i = z + i A = B L smbl ds poits chrchés st l smbl ds poits équidistats d A B c'st-à-dir la médiatric du sgm[ AB ] Il rst à motrr qu ct droit pass par l origi O dot l affi st + i = i = + i = i = doc O apparti à la médiatric L affirmatio st vrai z arg( z) π [ π ] 5 = alors : + z = + z o a toujours : z + z ' z + z ' qui s traduit par AC AB + BC ( iégalité triagulair) mais il put istr ds cas particulirs pour lsquls il y a égalité : + z = + z Si arg( z) = π [ π ] alors i π ( ) Pros z = alors ( ) z = r = r = r où r = z > doc z st u ombr rél strictm égatif + = + = + = doc l affirmatio st fauss O a choisi ici l cotr mpl z = pour lqul la propriété aocé st pas vrai
EXERCICE Suits arithmético-géométriqu suits cojoits PARTIE A : U évolutio frié u st l ombr d adhérs au club l a ( + ) u = Chaqu aé, 5% ds adhérs rouvll pas lur adhésio ouvlls prsos s iscriv 5 5 u = + = 5 u = 5 5 + = 87,5 doc u 88 à l uité près par cès o gééralis ls calculs précéds Ls doés d l éocé s traduis par : 5 u = u + u, 75u + = + doc : u =,75u + pour tout N + o dmad ici d fair u raisom par récurrc ; il faut suivr scrupulusm ls étaps : iitialisatio à, hérédité, coclusio P( ) : u = 4,75 où N Démotros la propriété ( ) Iitialisatio : 4 (, 75) = 4 = = u la propriété st vrai au rag Hérédité : Soit N ; supposos P( ) vrai c'st-à-dir u = 4 (,75) motros qu ( ) D après la qustio l hypothès d récurrc : + P + st vrai, c'st-à-dir ( ) u 4,75 + = ( ( ) ) ( ) ( ) + + u + =, 75u + =, 75 4, 75 + =, 75 4, 75 + = 4, 75 Doc P( + ) st vrai Coclusio : Aisi, P() st vrai P( ) st héréditair à partir du rag D après l pricip d récurrc, la propriété ( ) P st vrai pour tout N ; ( ) u = 4,75 pour tout N PARTIE B : Itractio r du suits a+ =,8a +,b Ls suits ( a ) ( b ) sot défiis par : a = 6, b = 4 pour tout N, b + =, a +,9b La suit ( s ) st défii par s = a + b Pour motrr qu la suit st costat il suffit d prouvr : s = s pour tout + N s+ = a+ + b + =,8a +,b +, a +,9b = a + b = s doc : s+ s s = s = a + b = 6 + 4 = la valur d ct costat st v st défii par v = a b pour tout N La suit ( ) = pour tout N ( s ) st costat a Pour motrr qu la suit ( v ) st géométriqu o m évidc la rlatio caractéristiqu v = q v où q st u rél + v = a b = (,8a +,b ) (,a +,9b ) =,6a +,b,a,9b =,4a,7b =,7 ( a b ) =,7v + + + Doc : v,7v + = pour tout N La suit ( ) v st géométriqu d raiso, 7 b l cours sur ls suits géométriqus do alors : v = v q v = a b = 4 = 8 doc v = 8,7 ls trms s = a + b v = a b sot parfaitm cous prmt alors d détrmir a b pour tout N : a + b = a b = 8,7 doc, par somm : a = + 8,7 d où : 8,7 8 8 a = + Alors : b = a =, 7 =, 7 8 Pour tout N :,7 8 a = +,7 b = 4 Pour détrmir ls limits ds suits, o utilis l résultat : si < q < alors lim q = Comm <, 7 < alors lim, 7 = doc + + 8 lim, 7 = fi : + lim a + =
D la mêm faço : lim b = + EXERCICE Equatio différill Soit g la foctio défii sur R par g( ) = ( + ) Parti A Etud d g Pour étudir lim g( ) o utilis ls résultats du cours : lim = > lim = > alors : lim = lim = + ; comm lim ( + ) = alors, par produit, lim g( ) = Pour étudir lim g( ), la méthod précéd coduit à u form idétrmié (ifii zéro) O pourrait alors ivoqur l fait + qu l poill l mport sur ls foctios polyôms mais après avoir bi présé la form idétrmié La solutio choisi ici st d trasformr g() pour appliqur l résultat du cours sur ls forms idétrmiés : lim = + + Pour > : g( ) = + = + = + Or : lim = + = lim + + doc, par ivrs somm, lim g( ) = + = + Ls foctios +, sot dérivabls sur R doc g g '( ) = + ( + ) ( ) = = ; Comm st dérivabl sur R, pour tout R : ( ) > o obti : g '( ) = = g '( ) > ] ;[ g '( ) < ] ; + [ ; La foctio g st strictm croissat sur ] ;] strictm décroissat sur [ ;+ [ g () = st l maimum d f sur R 4 a g st cotiu (puisqu dérivabl) strictm croissat sur ] ;] doc g réalis u bijctio d ] ;] sur lim g( ); g() = ] ;], alors l équatio g( ) = a u sul solutio das Comm ] ;] ] ;] g st cotiu strictm décroissat sur [ ;+ [ doc g réalis u bijctio d [ ;+ [ sur ] ] lim g( ); g() = ; + L équatio ( ) Comm ] ;], l équatio g( ) = a pas d solutio das [ ;+ [ g = a doc u sul solutio α α ] ;] 4b Par balayag, la calculatric do succssivm: g( ) 7, <, g( ) = > g(, 7),8 < g(, 6), 5 < g(, 64), 4 <, g(,6),9 > g(, 6),9 > g(, 6),99 >,64 < α <,6 doc : PARTIE B Résolutio d u équatio différill Soit ( E) : y ' + y = ( F ) : y ' + y = D après la qustio A : pour tout R, g '( ) + g( ) = + ( + ) = + + = doc g st solutio d (E) Si f st u solutio d (E) alors, pour tout R, o a succssivm : f '( ) + f ( ) = doc f '( ) + f ( ) = g '( ) + g( ) doc f '( ) g '( ) f ( ) g( ) f g '( ) + f g ( ) = + = doc ( ) ( ) La foctio f g st doc solutio d (F) Pour étudir ls variatios d u foctio, il st rcommadé das la plupart ds cas d étudir l sig d sa dérivé suivat ls étaps : dérivabilité, dérivé, sig, variatios, tablau si écssair L calcul d la dérivé s fait appliquat ls règls basiqus ls variatios trouvés doiv êtr cohérs avc ls limits + Sg(g () + - Var(g) O utilis das ct qustio la otio d bijctio qui écssit la cotiuité la strict mootoi d la foctio sur u itrvall Il faut bi motrr qu la solutio st uiqu sur R pas sulm sur ] ; ] Il faut démotrr ici u équivalc «si sulm si» : Ss dirct ss idirct qui put aussi s rédigr dirctm par utilisatio d
Réciproqum, si f ( ) ( ) g st solutio d (F) alors, pour tout R, o a succssivm : f g '( ) + f g ( ) = doc f '( ) + f ( ) = g '( ) + g( ) f '( ) + f ( ) = doc f st solutio d (E) f st solutio d (E) si sulm si f g st solutio d (F) y ' + y = y ' = y Ls solutios d (F) sot ls foctios s( ) = K où K st u costat réll ; 4 f st solutio d (E) si sulm si f g = s c'st-à-dir : f ( ) = g( ) + s( ) = ( + ) + K = ( + + K) ls solutios d (E) sot f ( ) = ( + + K), R K u costat réll EXERCICE 4 Par lctur dirct : Triagl d air miimal das l spac I ; ; J ; ; N st l miliu d [ ] 49 7 AN = + + ( ) = + + = = 4 9 6 6 4 6, [ ] DI = DE, GJ = GF, I = IJ ; IJ doc + + + N ; ; = N ; ; CN = + + ( ) = + + = AN CN doc l triagl ACN st pas isocèl 4 9 6 N = ( ) = a Soit ( ; y; z) alors I y IJ I = IJ y = y = doc z z = z = ; ; b ( ) ( ) A = + + = + + = + 9 9 4 C = ( ) + + ( ) = + + + = + 9 9 A = C + = + = = AC st isocèl 9 9 9 4 V ( ABC ) = Air( ABC) BE Comm l triagl ABC st rctagl B AB BC alors : V ( ABC ) = = = qui st idépdat d 6 pour = L volum d u tétraèdr st égal au tirs d l air d bas multiplié par la hautur corrspodat Il st possibl d écrir qu l pla a u équatio d la form a + by + cz + d = d résoudr l systèm d icous a, b, c d obtu avc ls coordoés ds poits A, B C systèm adm u ifiité d solutios E choisissat u N coaissat pas d vctur ormal au pla ( AC ) la caractérisatio avc l produit scalair st difficil ici
valur particulièr d d o obti l équatio proposé 5a Ls poits A, B u pla ; il suffit d vérifir qu lurs coordoés vérifi l équatio A(;; ) C ( ;; ) sot pas aligés défiiss bi + y + z = proposé : + + = ; + + = ; ; ; + + = + + = + y + z = U équatio d ( AC ) st bi 5b + + ( ) d( ) = = = 9 + + ( ) + ( ) + 9 6 V ( ABC ) = Air( AC ) d( ) = doc Air( AC ) 6 = d( ) L air d AC st ivrsm 9 proportioll à d ( ) ; ll st miimal lorsqu d ( ) st maimal c'st-à-dir lorsqu f ( ) = + st 9 st positif doc f miimal pour [ ;] f st u foctio triôm du scod dgré l coffici d attit so miimum pour = = O appliqu l cours Il faut psr ici à écrir l volum du tétraèdr avc u bas u hautur différ d clls d la qustio 4 O put aussi étudir ls variatios d f avc sa dérivé