ère S Contrôle du lundi novembre (3 heures) ) On considère l algorithme suivant, rédigé en langage naturel Variables : et y deu nombres réels Le barème est donné sur On répondra directement sur la copie ournie avec le sujet Un certain nombre de questions nécessite une recherche préalable au brouillon On ne rédigera sur la copie qu après avoir eectué cette recherche I (8 points) Cet eercice est un QCM composé de 8 questions indépendantes les unes des autres Pour chaque question, trois réponses sont proposées ; une seule réponse est eacte Compléter le tableau ourni sur la copie en complétant avec les lettres a, b, c correspondant au réponses choisies Aucune justiication n est attendue Chaque réponse eacte rapporte point Chaque réponse ausse enlève point Aucun point n est retiré en l absence de réponse Entrée : Saisir Traitement : Si alors y prend la valeur Sinon y prend la valeur FinSi Sortie : Aicher y La onction qui à tout réel saisi en entrée associe le réel y aiché en sortie est déinie par : a b c ) L ensemble des solutions dans de l inéquation est : 5 ) L ensemble des solutions dans de l inéquation 3 est : a ; b ; ) On considère l algorithme suivant, rédigé en langage naturel c ; a ; 3 b ; 3 c ; Variables : a et b deu nombres réels Entrée : Saisir a Saisir b Traitement : a prend la valeur a b b prend la valeur a b Sortie : Aicher a Aicher b Si l on saisit pour valeur de a et 3 pour valeur de b en entrée, les nombres aichés en sortie sont, dans l ordre : A 3 6 ) On pose Pour tout réel, A est égal à : a 6 b 8 c 7 ) L ensemble des solutions dans de l inéquation est : a ; ; b ; ; c ; ; 8 ) La orme canonique de est : a b c a et b et c et 3 ) L équation m d inconnue réelle où m est un réel admet deu racines distinctes si et seulement si : a m b m c m
II (8 points) Partie b * On considère la onction : a déinie sur où a et b sont deu réels tels que b O, i, j On note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère On sait que C passe par les points A; et B ; ) Démontrer que pour tout réel, on a : * ) Compléter sans justiier le tableau suivant permettant d obtenir les variations de sur III (6 points) Un agriculteur veut abriquer une serre pour protéger ses cultures La bâche transparente est soutenue par des arceau en acier ayant la orme de petits arcs de cercles + 3 ) Calculer ; en déduire la valeur eacte de 3 simple possible sans dénominateur) Partie (on donnera le résultat sous la orme la plus On note C ' la courbe représentative de la onction g : déinie sur * dans le repère O, i, j On admet que C et C ' se coupent en un unique point A de coordonnées ; y ) Tracer C et C ' sur l écran de la calculatrice graphique ; en déduire les valeurs arrondies au centième de et y ) Donner les positions relatives de C et C ' par lecture graphique sur la calculatrice 3 ) Dans cette question, on se propose de déterminer la valeur eacte de Former une équation dont est la solution puis résoudre cette équation au moyen du changement d inconnue X On donnera sous la orme d un quotient sans racine carrée au dénominateur A H K B On précise les longueurs suivantes données en centimètres : AB ; HK où H et K désignent respectivement le milieu du segment [AB] et le milieu de l arc AB vériie Le rayon de cintrage en centimètres est noté R Ainsi R OB OK OA K A H B R ) Démontrer que l on a R ) Déterminer la valeur eacte de telle que l on ait R 3 ) Déterminer la valeur de telle que l on ait R 5 ) Dans cette question, on prend Calculer la longueur en centimètres de l arc AB (valeur arrondie au centième) On donnera le résultat directement sans justiier O
IV ( points) Pierre désire entourer sur son terrain une zone rectangulaire adossée à un mur sur trois côtés Il possède 5 mètres de grillage Il se demande quelle est l aire maimale qu il peut ainsi enclore On précise qu il veut utiliser la totalité du grillage qu il possède ) On note la longueur en mètres des côtés perpendiculaires au mur ( 5) Eprimer en onction de l aire A du terrain en m (on donnera une epression développée) ) Former le tableau de variations de la onction : 5 sur l intervalle [ ; 5] Justiier brièvement par une phrase et un calcul 3 ) En déduire pour quelle valeur de l aire A est maimale et donner la valeur de l aire maimale V (6 points) Soit ABCD un parallélogramme On note E le point tel que BE BD et F le symétrique de D par rapport à C 3 Aucune igure n est demandée ) Eprimer AE en onction de AB et AD Eprimer AF en onction de AB et AD On développera les calculs nécessaires pour répondre à la question ) Démontrer que les points A, E, F sont alignés VI (8 points) Dans le plan muni d un repère O, i, j 9, on donne les points A( ; ), B( ; 5) et C ; On ne demande pas de aire de graphique Les questions sont indépendantes ) Calculer les coordonnées du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme ) Soit la droite d équation cartésienne 6 7y 3 a) Donner sans justiier les coordonnées d un vecteur directeur de On donnera des coordonnées entières b) Démontrer que la droite est parallèle à un côté du triangle ABC 3 ) Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB) en utilisant la colinéarité (seule cette méthode sera prise en compte) du plan ) Dans cette question, on se place maintenant dans le repère A, AB, AC Donner les coordonnées dans ce repère du point D déini à la question ) et du point E déini par l égalité vectorielle AE CA BA en justiiant chaque ois par une égalité vectorielle (sans aire de calculs de coordonnées)
ère S Nom : Prénom : Contrôle du novembre Copie à rendre ) + I (8 points) I II III IV V VI Total/ Total/ Question 3 5 6 7 8 Total Réponse 3 ) II (8 points) Partie ) Partie ) (valeur arrondie au centième) y (valeur arrondie au centième) ) C est strictement au-dessus de C est strictement au-dessous de C et C ' sont sécantes au point A ; y C ' sur C ' sur 3 ) vériie l équation
III (6 points) ) ) 3 ) ) long AB (valeur arrondie au centième) IV ( points) ) ) 5 Calcul justiicati : 3 ) A est maimale pour et la valeur maimale est égale à
V (6 points) ) ) VI (8 points) ) ) a) Le vecteur u ; est un vecteur directeur de b) 3 ) ) Le point D a pour coordonnées ; dans le repère A, AB, AC car Le point E a pour coordonnées ; dans le repère A, AB, AC car
Instructions données à l oral Les élèves gardent impérativement le sujet à la in de l épreuve L énoncé comporte 6 eercices Les élèves doivent écrire au stylo à plume ou encre eaçable Ne rien écrire sur le sujet
I Corrigé du contrôle du -- ) Réponse a Si alors Question 3 5 6 7 8 Réponse b b c a c a b a Si, En prenant par eemple, on obtient en sortie En prenant par eemple, on obtient en sortie ) Réponse b On résout l inéquation On la résout dans Dans, l inéquation est successivement équivalente à : On en déduit que l ensemble des solutions de l inéquation est ) Réponse b Au départ, a et b 3 ; On va suivre pas à pas l évolution des variables au ur et à mesure du déroulement de l algorithme a b 3 a prend la valeur a b 3 3 b prend la valeur Les nombres aichés en sortie sont, dans l ordre, et 3 ) Réponse c L équation m est une équation du second degré On calculer son discriminant m m si et seulement si m La seule onction proposée qui convient est la onction déinie par Autre méthode plus satisaisante : On considère la onction g déinie par On vériier aisément que : g * 5 ) Réponse a g g L inéquation 3 est successivement équivalente à : 3 3 3 3 3 L ensemble des solutions de l inéquation est 6 ) Réponse a A A 3 A A 3 3 6 ; 3
7 ) Réponse a L inéquation est successivement équivalente à : On commence par considérer le polynôme du second degré 8 9 donc ce trinôme admet deu racines distinctes 9 9 et On peut aussi dire que est racine évidente du polynôme + + + + + + + II Partie ) On sait que C passe par les points A( ; ) et B ; On en déduit que b a Ces deu conditions se traduisent par le système b a Ce système est successivement équivalent à : a b b a a b b a b Donc l ensemble des solutions de l inéquation est ; ; 8 ) Réponse c Finalement, ) * + Le programme sur le second degré aidait grandement +
On utilise les règles du cours pour les variations des onctions,, On peut vériier chaque sens de variation à l aide de la calculatrice (vériication «pas à pas») Mettre le (minimum de la onction «racine carrée») et le signe + On doit mettre le et le + sur la ligne correspondant à 3 ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Partie ),6 (valeur arrondie au centième) et y,38 (valeur arrondie au centième) On utilise la onctionnalité de la calculatrice permettant de déterminer les coordonnées d un point d intersection de deu courbes ) C est strictement au-dessus de C ' sur C est strictement au-dessous de C ' sur ; C et C ' sont sécantes au point A ; y 3 ) est la solution de l équation g () s écrit aussi : On pose X ' L équation ' s écrit alors ; X X () Cette dernière équation est équivalente à X Il s agit d une équation du second degré Calculons son discriminant ( ) 5 () X donc l équation () a deu solutions distinctes dans : 5 5 X et X Or X donc l équation () est équivalente à : 5 ou 5 5 6 5 3 5 5 (impossible car )
3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 Conclusion : III ) Il s agit d un problème concret (modélisation mathématique et résolutions d équations du second degré) H OK donc OH OK HK R AB H est le milieu de AB donc HB Dans le triangle OHB rectangle en H, d après le théorème de Pythagore, on a : Cette égalité donne successivement : R R R R R R R R On a pu écrire la e ligne car L énoncé aurait très bien pu demander de démontrer que R La orme R n était pas spécialement utile OB OH HB ) On cherche ; Les questions ) et 3 ) ont été très mal rédigées dans l ensemble Peut-être aurait-il allu donner dans l énoncé des indications de rédaction tel que R () () est successivement équivalente à : 3 3 3 ou (impossible car ) 3 3 3 Or ; 3 Donc la valeur de cherchée est 3 3 ) On cherche ; tel que R 5 () 5 Il s agit d une équation du second degré On calcule son discriminant ; on trouve deu racines distinctes dans : 6 et 5 (on peut utiliser le programme de la calculatrices) Or donc 6
) On commence par calculer R en utilisant la ormule établie à la question ) R R 5 R 5 On note la mesure en radians de l angle AOH AH Dans le triangle AOH rectangle en O, on a : sin AO 5 65 5 3 ) D après la question ), l aire du terrain est maimale pour,5 et l aire maimale est 3,5 m Donc sin,8 Par suite, Arcsin,8 5 5 5 Le triangle AOB est isocèle en O et H est le milieu de [AB] donc AOH On en déduit que : long AB 5 long AB long AB 5 Arcsin,8 63,676 long AB 63,65 cm (valeur arrondie au centième) V ABCD parallélogramme BE BD 3 F D S C D C F E IV A B Il s agit d un «problème concret» (modélisation mathématique et optimisation) ) Notons y la dimension en mètres du terrain parallèle au mur On a : y 5 donc y 5 A y 5 5 On en déduit que ) est une onction polynôme du second degré Le coeicient devant est strictement négati ) AE AB BE AE AB BD 3 AE AB BA AD 3 3 AE AB AD 3 3 AF AD DF On calcule 5 5 (valeur charnière de ) et 5 65 On sait par hypothèse que F est le symétrique de D par rapport à C donc C est le milieu de [DF] d où DF DC De plus, ABCD est un parallélogramme donc DC AB En remplaçant, on obtient AF AD AB ou AF AB AD
) Grâce au résultats de la question ), on remarque que AF 3AE Les vecteurs AE et AF sont donc colinéaires et comme ils ont un point commun, on en déduit que les points A, E et F sont alignés VI ) ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB DC Autre rédaction possible : Pour que ABCD un parallélogramme, il aut et il suit que AB DC () se traduit en coordonnées On obtient 3 D yd D a pour coordonnées ) : 6 7y 3 3 ; 9 3 yd a) Un vecteur directeur de est u 7 ; 6 7 b) BC ; 3 7 det u ; BC y y 7 3 6 u BC u BC On en déduit que u et BC sont colinéaires Ainsi la droite est parallèle à [BC] 3 ) Soit M un point quelconque du plan de coordonnées ; y D () M AB si et seulement si AM et AB sont colinéaires M si et seulement si det AM ; AB AB M AB M 3 si et seulement si y AB y si et seulem t si 3 y si et seulement si y si et seulement si 3 M AB en M AB 3 (AB) a pour équation cartésienne 3y ) ABCD est un parallélogramme donc AC AB AD Par suite, AD AB AC Ainsi dans le repère A, AB, AC, D a pour coordonnées ; AE CA BA donc AE AB AC Ainsi dans le repère A, AB, AC, E a pour coordonnées ; Trouvé dans quelques copies d élèves : Féli Vuillaume : AD AB AC Or AC déinit l ae des ordonnées et AB déinit l ae des abscisses AE AB AC Et on assimile encore AC et AB au aes du repère Ludivine Issenmann : AD AB AC AE AB AC Victor Pearce : soit y y y y D A AC AB D A AC AB car il répond à l égalité AE AB AC avec AB ae des abscisses et AC ae des ordonnées Et on assimile encore AC et AB au aes du repère