Séries de Fourier et applications

Dédramathisons TFE Séries de Fourier et applications Rédacteurs : Antoine Etesse Frederic Jacobs Jie-Fang Zhang 1 er avril 11

Sommaire I Introduction et théorie 1 Situation problème 3 1.1 Approximation de cette sinusoïde....................... 6 1. Vers les séries de Fourier............................ 6 Elaborer une théorie à partir de l exemple 8.1 Construction de la théorie........................... 8.1.1 Périodicité............................... 8.1. Calcul d intégrales intéressantes.................... 1.1.3 Calcul des coefficients......................... 11.1.4 Exemple : Fonction carrée....................... 14.1.5 Ecriture complexe des séries de Fourier................ Convergence des séries trigonométriques, des séries de Fourier, et Théorème de Dirichlet................................... 5..1 Convergence simple.......................... 5.. Convergence uniforme......................... 7..3 Convergence normale.......................... 9..4 Convergence des séries trigonométriques............... 9..5 Théorème de Dirichlet.......................... 9..6 Analyse d une fonction qui répond aux hypothèses du théorème de Dirichlet................................. 34.3 Phénomène de Gibbs.............................. 36 II Applications de l analyse harmonique 37 1 Synthèse numérique d un son à partir de l addition des séries de Fourier 38 1

Applications informatiques 39.1 FFT : Fast Fourier Transform......................... 39. Compression JPEG.............................. 4..1 Pourquoi Fourier?........................... 43.. Le JPEG, c est quoi.......................... 43..3 Quelle couleur?............................. 43..4 Alors quelle avancée l analyse de Fourier a-t-elle permis?..... 48 3 Digital Signal Processing, un large domaine d applications 51 3.1 Applications en télécommunications..................... 51 3.1.1 Confondre l information. Sans la mélanger.............. 5 3.1. Compression.............................. 5 3.1.3 Suppression de l écho.......................... 5 3.1.4 La Blue Box.............................. 53 A Joseph Fourier et ses précurseurs 54 A.1 Les précurseurs de Fourier........................... 54 A. Biographie.................................... 54 A.3 Son oeuvre................................... 55

Première partie Introduction et théorie 3

Chapitre 1 Situation problème Comment peut-on produire un son particulier? Tout d abord, on sait qu un son est une onde sonore, plus ou moins périodique, qui se propage dans l air. C est d ailleurs ce qui le différencie de ce qu on appelle communément un bruit. Figure 1.1 Un son, caractérisé par une certaine répétition. Figure 1. Du bruit, rien n est ordonné ou répétitif. Ainsi, la réponse à notre question initiale se déduit aisément : il nous suffit de créer 4

des déformations périodiques dans l air. Cependant, la question s avère être plus complexe car nous désirons obtenir un son spécifique. Par exemple, le son la 44Hz correspond en réalité à 44 déformations par seconde. Pourtant, il existe des milliers de la 44Hz différents, empreints de leur spécificité, et tout le monde peut, par exemple distinguer un son d une fréquence de 44Hz issu d un diapason de celui provenant d un piano. Cette différence sonore que l on perçoit découle de la dissimilitude du timbre des deux notes. L illustration graphique de ces deux sons (amplitude-fréquence), témoigne de la dissemblance des deux notes en questions. Voici la même note jouée sur des instruments différents. Figure 1.3 Une note jouée sur un Piano UNSW c Figure 1.4 Même note jouée sur une guitare UNSW c Remarquez la forte corrélation entre les deux instruments jouant la même note. Ainsi émerge une nouvelle question, de loin plus intéressante : comment peut-on produire un timbre particulier? La réponse est en fait relativement simple, et facilement imaginable. Pour commencer, on peut se pencher sur les instruments de musique. Nous savons que lorsqu on joue une note sur un instrument, on produit non seulement la note jouée, mais également ce qu on appelle les harmoniques de la note. On dira que la note a une fréquence fondamentale f, 5

et que ses harmoniques possèdent des fréquences multiples de celle-ci, nf avec n Z. Il va de soi que l amplitude des harmoniques peut être nulle, ou non-nulle. On peut représenter la note sous un graphique (amplitude-fréquence). Comme ceux utilisés pour représenter les deux sons ci-dessus. Nous pouvons facilement déduire que dans ce cas, les notes que l on peut entendre correspondent bien à la superposition de l onde fondamentale et ses harmoniques. La forme de l onde, donc son timbre, concorde avec la somme des amplitudes de toutes les harmoniques de l onde. Aussi la fréquence de deux sons peut-elle très bien être similaire, chacun possédant ses harmoniques spécifiques, la forme de l onde diffèrera clairement. Figure 1.5 Concept d addition de sinusoïdes par Denis Auquebon La méthode expérimentale de représentation d un son quelconque consiste donc à ajouter à l onde sonore fondamentale de fréquence déterminée f, les ondes harmoniques de fréquence f, 3f, 4f,... et ainsi de suite. La combinaison de la fondamentale et des harmoniques forment le son, parfois simple, souvent compliqué, dont la fréquence est évidemment celle du son fondamental. Nous pouvons ainsi créer tout une gamme de sons, suivant que l on omette l harmonique de fréquence f, 5f,... ou que l on prenne deux fois l harmonique de fréquence 3f quatre fois celle de fréquence 8f,... Nous arrivons donc à la conclusion que nous pouvons créer toute une série de son à l aide d une addition d onde fondamentale et des ses harmoniques. Mais inversement, peut-on décrire tout son comme la somme d harmoniques? Afin d apporter une réponse, nous devons nous pencher sur les séries de Fourier. 6

Figure 1.6 My normal approach is useless here 1.1 Approximation de cette sinusoïde 1. Vers les séries de Fourier Revenons quelque peu à l historique, afin d en savoir un peu plus sur l émergence de cette idée géniale. Joseph Fourier, qui travaillait sur la propagation de la chaleur sur des corps solides, a remarqué que la propagation de la chaleur sur un anneau ressemble à un mouvement harmonique. En physique, nous donnons une expression plus générale à ce phénomène y(x, t) = A sin( πx λ πt T + φ) où y est le déplacement périodique de la vibration de l objet, λ la période dans l espace, T la période dans le temps et φ la phase, qui est constante. En fait, lors d une expérience simple, il a remarqué que la source de chaleur passe cycliquement, mais brusquement, d une valeur extrême à une autre. Il a été ainsi amené à soupçonner le rôle très important des fonctions trigonométriques et admettre qu elles pouvaient être les constituants élémentaires de tout Si nous fixons la variable x, nous avons ici une fonction f(t) périodique de période T. L idée de Fourier fut alors d approximer le phénomène observé par une somme finie, constituée des harmoniques de la période fondamentale T. 7

L approximation est N A n sin( πn T t + φ n) où N un naturel et A n et φ n deux constantes qui varient en fonction de n. Nous pouvons développer le sinus, ce qui nous donne : A n sin( πn T t + φ n) = A n (sin( πn T t) cos(φ n) + cos( πn T t) sin(φ n)) = A n sin(φ n ) cos( πn T t) + A n cos(φ n ) sin( πn T t) = a n cos( πn T t) + b n sin( πn T t) puisque A n sin(φ n ) et A n cos(φ n ) sont constantes, on peut alors poser que a n = A n sin(φ n ) et b n = A n cos(φ n ), et si on ajoute un terme constant a, on obtient, N a + (a n cos( πn T t) + b n sin( πn T t)) On a choisi le terme constant comme étant a détaillera au moment convenu. pour une raison bien précise que l on 8

Chapitre Elaborer une théorie à partir de l exemple.1 Construction de la théorie.1.1 Périodicité Tout d abord, nous devons définir ce qu est la périodicité d une fonction. Une fonction est périodique de période p s il existe un nombre réel positif le plus petit possible p tel que f(x) = f(x + p). Le nombre p doit être le plus petit possible parce que pour satisfaire cette relation, il nous suffit de prendre tous les multiples entiers de p, ce qui nous donne f(x + np) = f(x) où n Z. Penchons-nous à présent sur la somme des fonctions périodiques. Si on a trois fonctions périodiques de période 1 π, π et 4π respectivement, alors la somme 4 de ces trois fonctions sera-t-elle périodique? Si oui, quelle est sa période? Afin de faciliter la compréhension, nous pouvons représenter cette fonction somme (s(x) = sin(4x) + sin(x) + sin( 1 x)) et ainsi voir facilement que s(x) est périodique de période de 4 4π. Ainsi, nous déduisons que la période de la somme correspond à la plus grande période de ses fonctions initiales, dans ce cas-ci, 4π. Cependant, la somme des fonctions périodiques n est pas toujours périodique. On peut prendre comme exemple s(x) = sin x+sin(πx). Bien que les deux fonctions initiales soient périodiques de période respectives π et, s(x) n est pas périodique. Pour ce genre de cas, on peut approximer s(x) par s (x) = sin x + sin(3, 1415x), qui est périodique. Mais ne nous tracassons pas trop, étant donné que nous allons travailler avec des périodes 9

simples et entières. Démontrons un lemme sur la périodicité, qui nous sera utile par la suite. Soit f une fonction continue par morceau périodique de T. L intégrale a+t a f(x) dx ne dépend pas du réel a. Autrement dit, a+t a f(x) dx = T f(x) dx = T T f(x) dx = Pour démontrer ceci, nous allons exploiter l additivité de l intégrale. a+t a f(x) dx = a T a+t f(x) dx + f(x) dx + f(x) dx T Changeons de variable. Soit x = y + T, ce qui implique dx = dy. Alors on a a+t T On peut voir que f(x) dx = a a f(x) dx + f(y + t) dy = a a+t a a f(y) dy puisque f(y + T ) = f(y). f(y) dy =, ce qui nous donne : f(x) dx = Cette dernière expression est indépendante de a T f(x) dx En vue de ce que l on a pu dire dans l introduction, peut-on dire qu une fonction f(x) périodique de période T peut s écrire sous la forme d une somme f(x) = a N + (a n cos( πn T x) + b n sin( πn T )x)? Certainement pas, car nous n avons pas encore montré les conditions pour que les deux membres soient équivalents. De plus, on n a pas encore trouvé les expressions des constantes a, a n et b n, qui différencient une série d une autre. Pour trouver les expressions de ces constantes, nous allons utiliser les outils d intégrale sur la période de la fonction que l on désire étudier.(et de par le lemme que nous avons démontré, on voit bien que la restriction à une période suffit). Pour faciliter la compréhension, nous allons d abord faire les démonstrations avec une fonction f(x) qui a une période π, puis ensuite étendre la démonstration pour des périodes quelconques. 1

.1. Calcul d intégrales intéressantes Avant de déterminer les expressions de ces constantes, nous devons déterminer certaines relations qui nous seront très utiles par la suite.(mentionnons au préalable que nous utilisons la parité des fonctions sinus et cosinus dans notre développement.) Si n k : cos nx cos kx dx = cos nx cos kx dx sin nx sin kx dx et cos(nx) sin(kx) dx où n, k Z = 1 = ( n + k 1 = ( n + k = cos nx cos kx dx 1 (cos((n + k)x) + cos((n k)x) dx sin((n + k)x) + 1 n k sin((n k)x)) π 1 sin((n + k)π) + sin((n k)π) n k sin nx sin kx dx = = sin nx sin kx dx 1 (cos((n + k)x) cos((n k)x) dx = ( 1 sin((n + k)x) 1 n + k = ( 1 sin((n + k)π) 1 n + k = n k sin((n k)x)) π sin((n k)π) n k 11

Si n = k cos nx cos kx dx = = cos nx dx 1 + cos(nx) dx = ( 1 x + 1 4n sin(nx)) π = 1 π = π sin nx sin kx dx = = sin nx dx 1 cos(nx) dx = ( 1 x 1 4n sin(nx)) π = 1 π = π Et enfin, on voit que cos(nx) sin(kx) est impaire car cos(nx) sin(kx) = cos( nx) sin( kx) Donc, dans tous les cas, En résumé, (n, k Z) cos(nx) sin(kx) dx = { si n k cos nx cos kx dx = π si n = k { si n k sin nx sin kx dx = π si n = k cos(nx) sin(kx) dx =.1.3 Calcul des coefficients Sans avoir montré l existence, on suppose qu une fonction périodique de période π, continue sur R et dérivable sur R est égale à sa série de Fourier. Alors, f(x) = a N + (a n cos(nx) + b n sin(nx)) 1

Pour trouver a, on va prendre l intégrale de à π (une période entière) dans les deux membres, ce qui nous donne f(x) dx = a π dx + N (a n cos(nx) + b n sin(nx)) dx f(x) dx = a π dx + N (a n cos(nx) + b n sin(nx)) dx l intégrale d une somme est égale à la somme de l intégrale a N = dx + N a n cos(nx) dx + b n sin(nx) dx = a x π + = a π = a π N a n N n sin(nx) π + b n n cos(nx) π On a alors, a = 1 π f(x) dx Pour trouver a n, on va multiplier les deux membres de l égalité par cos(kx) où k un entier positif. f(x) cos(kx) = a N cos(kx) + cos(kx) (a n cos(nx) + b n sin(nx)) = a N cos(kx) + (a n cos(nx) cos(kx) + b n sin(nx) cos(kx)) Ensuite, nous prendre l intégrale de à π dans les deux membres, ce qui nous donne f(x) cos(kx) dx = = = a a cos(kx) dx + a cos(kx) dx + N N (a n cos(nx) cos(kx) + b n sin(nx) cos(kx)) dx a n cos(nx) cos(kx) dx + N b n sin(nx) cos(kx) dx N N cos(kx) dx + a n cos(nx) cos(kx) dx + b n sin(nx) cos(kx) dx 13

parmi les n, il existe un et un seul n égal à k tel que N N a n cos(nx) cos(kx) dx = (a n cos(nx) cos(kx) dx) + a k cos (kx) dx,n k Par conséquent, la somme s annule sauf pour terme k qui donne a k π. De plus, a N cos(kx) dx et b n sin(nx) cos(kx) dx donnent aussi On obtient donc que a k = 1 π f(x) cos(kx) dx = a k π pour tout k entier positif ce qui revient à dire f(x) cos(kx) dx, et de façon générale nous avons ainsi : a n = 1 π f(x) cos(nx) dx Pour b n, on va réaliser le même procédé en multipliant les deux membres par sin(kx) où k est un entier positif. f(x) sin(kx) = a N sin(kx) + sin(kx) (a n cos(nx) + b n sin(nx)) = a N sin(kx) + (a n cos(nx) sin(kx) + b n sin(nx) sin(kx)) De même en prenant l intégrale définie de à π, nous avons f(x) sin(kx) dx = = = a a sin(kx) dx + a sin(kx) dx + N N (a n cos(nx) sin(kx) + b n sin(nx) sin(kx)) dx a n cos(nx) sin(kx) dx + N b n sin(nx) sin(kx) dx N N sin(kx) dx + a n cos(nx) sin(kx) dx + b n sin(nx) sin(kx) dx En considérant les résultats qu on a montré auparavant, on peut constater que N N b n sin(nx) sin(kx) dx = (b n sin(nx) sin(kx) dx) + b k sin (kx) dx,n k la somme s annule sauf pour b k sin (kx) dx qui donne b k π. et a sin(kx) dx et N a n cos(nx) sin(kx) dx donnent. 14

Par conséquent, nous avons pour tout k entier positif, b k = 1 π Et donc b n = 1 f(x) sin(nx) dx π f(x) sin(kx) dx Résumons quelque peu. Si une fonction périodique de période π peut s écrire sous forme de série de Fourier, alors f(x) = a N + (a n cos(nx) + b n sin(nx)) Alors, a = 1 π f(x) dx a n = 1 π b n = 1 π f(x) cos(nx) dx f(x) sin(nx) dx On peut tout de suite appliquer ce que l on vient de voir sur exemple..1.4 Exemple : Fonction carrée Prenons l exemple d une fonction carrée périodique de période π. Alors sur l intervalle [; π], on a f(x) = { 1 si x < π 1 si x < Puisqu elle est définie dans R et est périodique de π, on peut alors écrire f(x) = { 1 si kπ x < (k + 1)π 1 si (k + 1)π x < kπ où k Z Si cette fonction peut être écrite sous la forme de série de Fourier, alors cette série est égale à a N + (a n cos(nx) + b n sin(nx)). Maintenant, il faut qu on détermine les coefficients a, a n et b n. Pour cela, nous pouvons directement appliquer ce que nous avons trouvé auparavant, mais on doit traiter les deux parties séparément, puisque f(x) est définie différemment 15

Figure.1 Graphique de la fonction carrée sur l intervalle [, π]. a = 1 π ( = 1 π ( f(x) dx + 1 dx + = 1 (π π) = π f(x) dx) 1 dx) a n = 1 π = 1 π ( f(x) cos(nx) dx cos(nx) dx + cos(nx) dx) = 1 π ( 1 n sin(nx) + 1 n sin(nx) π ) = 1 π ( 1 n (sin() sin( nπ)) + 1 (sin(nπ) sin())) n = b n = 1 π = 1 π ( f(x) sin(nx) dx sin(nx) dx + sin(nx) dx) = 1 π ( 1 n cos(nx) + 1 n cos(nx) π ) = 1 π ( 1 n = 1 π ( 1 n 1 (cos() cos( nπ)) + (cos(nπ) cos())) n 1 (1 cos( nπ)) + (cos(nπ) 1)) n = (1 cos(nπ)) nπ 16

On remarque ici que la valeur de b n dépend de la parité de n. Aussi posons-nous soit n = k, soit n = k + 1 suivant la parité de k Z. Si n = k alors Si n = k + 1, alors Donc on a b n = 1 (1 cos(nπ)) = (1 cos(kπ)) = nπ kπ nπ (1 cos(nπ)) = (k + 1)π (1 cos((k + 1)π)) = 4 (k + 1)π 4 nπ si n est un entier pair si n est un entier impair Nous avons donc trouvé que la série de Fourier de f(x) est N k= 4 sin((k + 1)x) (k + 1)π Figure. Addition de termes de la fonction carrée Mais maintenant, nous pouvons nous poser une question sur le nombre N : de quelle grandeur doit-il être afin d obtenir exactement le graphe de la fonction désirée? De plus, on rencontre une difficulté lorsqu on veut construire cette fonction carrée en l approchant avec la somme des termes consécutifs de la série que l on vient de trouver. 17

En effet, comment peut-on construire une fonction discontinue à chaque x = kπ (où k est un entier) à l aide de la somme de fonctions continues en tout point dans R et dérivables dans tous ses degrés (ses fonctions dérivées de degré 1,, 3,...,etc. sont toutes continues, car les fonctions sinus et cosinus sont de classe C n ). Cependant, nous pouvons observer que plus on ajoute de termes dans cette somme, donc plus le nombre N croît, plus la fonction a l air de coller au graphe de la fonction carrée. Mais elle ne deviendra jamais carrée puisqu il existe toujours des courbes aux extrémités. Par cette idée intuitive, on peut déduire que la série de Fourier associée à cette fonction 4 carrée f(x) est sin((k + 1)x) (k + 1)π k= De même, on peut étendre la série de Fourier vers une écriture plus générale. Si une fonction f(x) périodique de période π peut être écrite sous forme de série de Fourier, alors cette série est égale à a + (a n cos(nx) + b n sin(nx)) Par cet exemple, nous pouvons aussi observer une chose étonnante. Cette fonction carrée peut être simplement écrite par la somme de sinus. En effet, la raison pour laquelle son expression est uniquement sous forme de termes en sinus est simplement due à sa parité. Cette "propriété de parité" nous dit que : si la fonction est paire, alors sa série de Fourier est une somme de cosinus si la fonction est impaire, sa série de Fourier est une somme de sinus Rappelons-nous d abord de certaines propriétés liées a la parité d une fonction. Si une fonction est paire, alors f(x) = f( x) et on peut simplifier l expression de l intégrale sur des intervalles symétriques : f(x) dx = Si une fonction est impaire alors, f(x) = f( x). et f(x) dx = f(x) dx. Finalement, le produit d une fonction paire et d une fonction impaire est impaire, et le produit de deux fonctions de la même parité est paire. 18

Ainsi, si f(x) est paire, alors f(x) sin nx est impaire et f(x) cos nx est paire. a = π a n = π b n = 1 π f(x) dx f(x) cos(nx) dx f(x) sin(nx) dx = Si f(x) est impaire, alors f(x) sin nx est paire et f(x) cos nx est impaire. a = 1 π a n = 1 π b n = π Par conséquent, on voit que f(x) dx = f(x) cos(nx) dx = f(x) sin(nx) dx Si f(x) paire, la serie = a + a n cos(nx) Si f(x) impaire, la serie = b n sin(nx) Maintenant qu on est familier avec la série de Fourier pour une fonction de période π, on peut se demander quelle sera la forme de la série de Fourier pour une fonction périodique de période T quelconque. Étudions cela : Soit f(x) une fonction périodique de période T. On veut la développer en série de Fourier, mais on ne connait que le la série pour une période de π. Nous allons donc effectuer un changement de variable x = T π u tel que f( T u) soit périodique de période π. π On le voit facilement car f(x) = f( T π u) et f(x + T ) = f( T (u + π)). π Et puisque f(x) = f(x + T ) f( T π u) = f( T π (u + π)) donc f( T u) est bien périodique π de π. 19

On connait ainsi la forme de cette série de Fourier et de ses coefficients a + (a n cos nu + b n sin nu) Et on applique le changement de variable x = T π u dx = T π du, ce qui va nous donner comme expression a = 1 π = 1 π = T T T T T f( T u) du π f(x) π T dx f(x) dx = T T f(x) dx a n = 1 π = 1 π = T T T T T f( T u) cos(nu) du π f(x) cos( πnx T )π T dx f(x)cos( πnx T ) dx = T T f(x) cos( πn T ) dx b n = 1 π = 1 π = T T T T T f( T u) sin(nu) du π f(x) sin( πnx T )π T dx f(x) sin( πnx T ) dx = T T f(x) sin( πn T ) dx Et la série de Fourier d une fonction de période quelconque T sera a + (a n cos πn T x + b n sin πn T x) Et cela satisfait également toutes les autres propriétés démontrées auparavant.

.1.5 Ecriture complexe des séries de Fourier Cette manière d écrire la série de Fourier avec la somme de sinus et cosinus n est pas l unique représentation des séries de Fourier : nous pouvons aussi écrire la somme de Fourier sous la forme exponentielle, ce qui simplifiera l écriture et les calculs. suite. Tout d abord, nous devons montrer la relation d Euler qui nous sera très utile pour la e iπ + 1 = Par les séries de Taylor (plus précisément par la série de Maclaurin), on peut écrire la fonction e x sous la forme suivante : e x = 1 + x + x! + + xn n! + Nous pouvons faire la même chose pour sin x et cos x, ce qui nous donne : Et vu que cos x = 1 x! + x4 4! x6 x3 + et sin x = x 6! 3! + x5 5! x7 7! + e iθ = 1 + iθ + (iθ)! = 1 + iθ + θ! + (iθ)3 3! + iθ3 3! + (iθ)4 4! + θ4 4! + + + (iθ)n n! = (1 θ! + θ4 θ3 ) + i(θ 4! 3! + θ5 5! ) = cos θ + i sin θ + Nous obtenons alors que e iθ = cos θ + i sin θ ce qui veut aussi dire que e iπ = cos π + i sin π = 1 ou encore e iπ + 1 = Comme corollaire de la relation e iθ = cos θ + i sin θ, nous pouvons déduire que cos θ = eiθ + e iθ sin θ = eiθ e iθ i Ainsi, on pourrait, sans se préoccuper du terme constant a, remplacer ces expressions 1

dans la série de Fourier trigonométrique. e inx + e inx e inx e inx (a n cos(nx) + b n sin(nx)) = (a n + b n ) i = ( a n (einx + e inx ) ib n (einx e inx )) = e inx ( a n ib n ) + e inx ( a n + ib n ) Au lieu de prendre tous les termes n de 1 à, on peut penser qu on peut inverser ceci sans pour autant changer le sens de la somme en prenant tout les n de à 1. = e inx ( a n ib 1 n ) + e inx ( a n + ib n ) n= Nous avons envie de grouper les deux sommes, pour ça, il faut qu on trouve une relation entre les deux. Puisque la série trigonométrique donne une fonction réelle, alors la somme de ces deux sommes doit aussi donner quelque chose de réel. La somme des deux doit donc satisfaire la symétrie complexe : si on veut que la somme de deux nombres complexes soit un nombre réel il faut alors que si l un est z, l autre soit son conjugué z. Si l on pose que C n = a n ib n, donc on peut aussi déduire que C n = a n ib n, alors on a besoin que le terme correspondant de C n soit C n = a n + ib n et que celui de C n soit C n = a n + ib n Pour montrer cela nous devons d abord montrer la relation entre les constantes trigonométriques et a n et b n. On a vu que a n = 1 π f(x) cos(nx) dx alors, a n = 1 π = 1 π = a n f(x) cos( nx) dx f(x) cos(nx) dx

b n = 1 π f(x) sin(nx) dx b n = 1 π = 1 π = b n f(x) sin( nx) dx f(x) sin(nx) dx Par ces deux relations, nous pouvons constater que, C n = a n ib n = a n + ib n = a n ib n = C n Ceci nous montre bien que la somme des deux est bien réelle puisqu elles satisfont C n = C n. Par la même procédure, on peut aussi montrer que C n = C n. Mais avant de pouvoir les écrire sous une seule somme, on peut constater qu il nous manque le terme n =. Puisqu on sait que C n = C n, alors C = C = C. Ca montre que C est un terme particulier car il est toujours réel est égale a a. C est la raison pour laquelle on a choisi, dans la série de Fourier trigonométrique, d introduire la constante comme étant a. Finalement, nous pouvons continuer notre raisonnement, et poser que C n = a n ib n et C n = a n + ib n a + (a n cos(nx) + b n sin(nx)) = a + e inx ( a n ib n ) + = a + C n e inx + 1 n= 1 n= C n e inx et C n = C n et C = C = C, donc = C n e inx e inx ( a n + ib n ) Nous avons donc que si une fonction peut être écrite sous forme de série de Fourier 3

exponentielle, alors sa série de Fourier sera C n e inx n= Il nous faut maintenant trouver les expressions du coefficient C n, à l instar de ce qu on a pu réalisé précédemment. N oublions pas qu on a défini que C n = a n ib n, C n = a n ib n et C = C. Par ailleurs, nous avons aussi montré les expressions de a n et b n, donc pour trouver C n, il nous suffit de substituer les expressions. C n = a n ib n = 1 ( 1 π = 1 π f(x) cos(nx) dx i π f(x)(cos(nx) isin(nx)) dx f(x) sin(nx) dx) Par la relation d Euler, on peut voir directement que cos(nx) isin(nx) = e inx = 1 π f(x)e inx dx Cependant, cette méthode pour trouver le coefficient C n dépend fortement de a n et b n qu on a trouvé auparavant. Donc cette méthode n est pas très pratique. Dans ce cas, nous pouvons aussi montrer un autre moyen pour trouver l expression du coefficient C n. Supposons que f(x) = C n e inx n= alors si on multiplie les deux côtés par e ikx ou k est un entier quelconque, on obtient Pour la partie de droite, on a e ikx n= f(x)e ikx = e ikx n= C n e inx C n e inx = e ikx ( + C e ix + + C 1 e ix + + C k e ikx + ) nous remarquons qu il existe un et un seul terme où n = k qui nous donnera 4

C k e ix(k k) = C k donc nous pouvons écrire de façon équivalente : e ikx C n e inx = n= Donc on a C k = f(x)e ikx n= n k n=,n k C n e i(n k)x On peut intégrer sur une période des deux côtés, C k = f(x)e ikx dx C n e i(n k)x dx n=,n k Prenons un terme dans la somme que nous devons intégrer, C n e ix(n k) dx = C n e ix(n k) dx Finalement, on a = C n i(n k) ei(n k)x π = C n i(n k) (eiπ(n k) e iπ(n k) ) C n e i(n k)x + C k par la relation d Euler, on sait que pour m entier, e iπm = 1 Puisque n et k sont tous les deux entiers, leur différence l est également = C k dx = πc k = f(x)e ikx dx f(x)e ikx dx Pour tout k entier, on peut avoir C k = 1 f(x)e ikx dx. π Donc si on peut écrire f(x) = C n e inx alors, C n = 1 f(x)e inx dx π On obtient bien le même expression que ce qu on a trouve par la première méthode. Tout comme les séries de Fourier trigonométriques, on peut écrire les séries de Fourier exponentielles d une fonction f(x) de période quelconque T. 5

On utilisera aussi le changement de variable x = T π u pour rendre f( T π u). Finalement on obtient que la série de Fourier d une fonction périodique de T est où le coefficient de Fourier f(x) = n= C n e πinx T C n = 1 T T T f(x)e πinx T dx = 1 T T f(x)e πinx T dx. Convergence des séries trigonométriques, des séries de Fourier, et Théorème de Dirichlet Jusqu à présent, nous avons toujours utilisé soit l hypothèse "si la fonction égale à sa série" ou soit le terme "la série de Fourier d une fonction" parce qu on a pas encore montre de manière rigoureuse, l équivalence entre la fonction et sa série de Fourier. Pour cela, nous devons montrer la convergence de la série de Fourier vers la fonction. La convergence est sans conteste l aspect le plus compliqué dans la description mathématique des séries de Fourier. Aussi pouvons-nous seulement, avec notre modeste niveau, en aborder qu une mince partie. Avant toute chose, il convient d introduire certaines notions en ce qui concerne la convergence, afin que le vocabulaire utilisé, qui peut somme toute paraître anodin, prenne tout son sens. En premier lieu, nous devons distinguer les différentes formes de convergence : la convergence simple, la convergente uniforme, la convergence en norme ainsi que la convergence "presque partout". Nous ne nous occuperons pas des deux derniers cas, car trop complexes...1 Convergence simple Définition : Soient I un intervalle de R, (f n ) n Z une suite de fonctions définies sur I, et f définie sur I. On dit que (f n ) converge simplement vers f sur I si x I, la suite (f n (x)) converge vers f(x). Autrement dit : x I, ɛ >, n (ɛ, x) N, n n f n (x) f(x) < ɛ Où la notation (ɛ, x) signifie que le choix du n dépend et de ɛ, et du x déterminé. Exemple : Soit sur [, 1], f n (x) = x n. Il est clair que la fonction f n converge simplement vers la fonction définie par f(x) = si x est dans [,1[ et f(1) = 1. 6

Figure.3 Illustration de la convergence simple On constate dèjà ici l insuffisance de la convergence simple pour les fonctions continues : chaque fonction (f n ) est continue, la suite (f n ) converge simplement vers f, et pourtant f n est pas continue. Ainsi la continuité n est pas toujours préservée par la convergence simple, d où par la suite l idée de convergence uniforme. Une autre insuffisance d une telle notion est que l intégrale de la limite d une suite fonctions intégrables n est pas forcément égale à la limite de l intégrale de la suite de fonctions intégrables. Soit la suite de fonctions définie sur [,1] par f n (x) = n x, x 1 n f n (x) = n ( 1 n x), 1 n x 1 n f n (x) =, x 1 n Montrons la convergence simple de la suite f n (x) sur [,1]. Soit x>. 1 n lorsque n, donc à partir d un certain rang N, on a : 1 n < x. On en déduit donc qu à partir du même rang N, f n (x) = et donc f n (x) lorsque n. Ainsi, la suite (f n (x)) converge simplement vers la fonction nulle sur [,1]. D un autre côté, 1 f n (x) = 1 n n xdx + 1 n 1 n indépendante de n). Ceci prouve que la suite ( n n xdx = 1/4 (L intégrale est donc 1 f n ) ne tend pas vers. Aussi cette intégrale n est-elle pas égale à l intégrale de la fonction nulle, qui est bien entendu nulle, 1 1 et donc, lim f n (x)dx lim f n(x)dx = f(x)dx =. n n Ces insuffisances motivent donc une nouvelle notion de convergence. 1 7

Figure.4 Illustration de la convergence uniforme.. Convergence uniforme Définition : Soient I un intervalle de R, (f n ) n Z une suite de fonctions définies sur I, et f définie sur I. On dit que (f n ) converge uniformément vers f sur I si : ɛ >, n (ɛ) N, x I, n n, f n (x) f(x) < ɛ. La convergence uniforme est donc une forme de convergence beaucoup plus exigeante que la convergence simple, qui ne demandait que, pour chaque point x, la suite (f n (x)) ait une limite. La convergence uniforme veut que toutes les suites (f n (x)) avancent vers leur limite respectives avec un certain mouvement d ensemble, autrement dit, la convergence a lieu à la même vitesse pour chaque point x, d où le fait que l on puisse déterminer une valeur unique n à partir de laquelle toutes les f n (x) dont le n est supérieur à n soient inférieures à un ɛ donné, ce indépendamment de x. A l inverse, pour la convergence simple, le rang à partir duquel la distance devient très petite peut fortement varier d un x à l autre. De façon imagée, on peut dire que pour que la convergence uniforme, il est possible, selon le n, de former un tube plus ou moins petit autour de la fonction vers laquelle la suite converge dans lequel tous les f n, n > n se trouvent. Pour la convergence simple, on aurait, toujours de façon imagée, certaines fonctions qui ferait des pics, dépassant ce tube imaginaire, pour ensuite revenir vers la fonction vers laquelle la suite tend. Ceci se retrouve bien entendu dans la définition ci-dessus avec f n (x) f(x) < ɛ. 8

Figure.5 Exemple de convergence uniforme vers la fonction y = x Il semble assez intuitif que toute suite de fonction qui converge uniformément converge simplement. Nous n allons pas le démontrer formellement. La réciproque est en général fausse, sauf cas exceptionnels. Réglons de suite la seconde insuffisance pour les fonctions intégrables : la définition de convergence uniforme nous permet une majoration indépendante de x, d où nous obtenons l inégalité suivante : b a f n (x) f(x) dx (b a)max f n f Ceci nous permet dès lors de permuter la position de limite sans affecter le résultat, et la limite de l intégrale est bien égale à l intégrale de la limite. (Quand n tend vers l infini, le second membre tend vers, d où le premier également - du fait de la valeur absolu - et b lim n a f n (x)dx = b a f(x)dx ) Mais qu en est-il de la première insuffisance en ce qui concerne les fonctions continues : si une suite de fonction (f n ) continues sur I converge uniformément vers f, f est-elle continue sur I? La réponse est oui (on s en doute), en voici la preuve : Nous savons que : ɛ >, n (ɛ) N, x I, n n f n (x) f(x) < ɛ. Prenons x I, qui répond donc à l inégalité, et fixons un nombre entier N qui caractérise la fonction f N. Nous savons d autre part que (f N ) est continue en x, donc : x I, δ(ɛ, x) >, x x < δ f N (x) f N (x ) < ɛ Et l inégalité triangulaire achève la démonstration puisque f(x) f(x ) < f(x) f N (x) + f N (x) f N (x ) + f N x f(x ) < 3ɛ. 9

..3 Convergence normale Soient I un intervalle de R et (f n ) n Z une suite de fonctions définies sur I. On dit que (f n ) converge normalement sur I si la série sup f n (x), x I est convergente. n La convergence normale est encore plus exigeante que la convergence uniforme, dans le sens où toute fonction qui converge normalement converge uniformément. Nous ne le démontrerons pas...4 Convergence des séries trigonométriques Proposition 1 Si les séries numériques a n et b n co,nvergent, alors la série trigonométriques S(t) = a n cos( πn T t) + b nsin( πn t) converge normalement (et donc uniformément) T n sur R Preuve Cela découle directement de l inégalité : a n cos( πn T t) + b nsin( πn T )t) a n + b n Corollaire Si les séries numériques a n et b n convergent, alors la série trigonométrique S(t) est continue sur R. Si les séries n a n et n b n convergent, alors la somme S(t) est continue sur R, à dérivée continue. Proposition Si les suites numériques (a n ) et (b n ) sont décroissantes et tendent vers, alors la série trigonométrique S(t) est convergente pour t k.t où k Z Nous ne démontrons pas cette proposition...5 Théorème de Dirichlet. Avant d entamer la démonstration, il convient de repréciser les différents types de convergence qui interviennent dans le cadre des séries de Fourier : la convergence simple, que traite le théorème de Dirichlet, la convergence uniforme, la convergence en norme, et la convergence presque partout. Chacune de ces notions de convergence requiert des hypothèses différentes sur la fonction f(x), ainsi que différents types de preuves. Les preuves des trois derniers cas de convergence cités sont inabordables car elles nécessitent des notions d analyse fonctionnelle très avancées. Quelques notations et définitions 3

Notation Nous noterons pour la suite f(a + ) la limite à droite en a et f(b ) la limite à gauche en b. Fonction continue par morceau Une fonction f : [a, b] C est dite continue par morceau sur [a,b] si f est continue sur [a,b] sauf éventuellement en un nombre fini de points qui admettent des limites à gauche et à droite. En particulier, f(a + ) et f(b ) existent. Fonction lisse par morceaux Une fonction f : [a, b] C est dite lisse par morceau sur [a,b] si f et f sont continues par morceaux sur [a,b]. En particulier, f (a + ) et f (b ) existent. Extension sur R Une fonction f : R C est continue (respectivement lisse) par morceau sur R si elle est continue (respectivement lisse) par morceaux sur tout intervalle borné [a,b] R Introduction au théorème Expression du noyau de Dirichlet : D n (x) = n k= n Nous allons calculer cette somme dans un cas général afin d alléger l écriture. Soit donc la somme symétrique (car allant de n à n) de termes d une suite géométrique de raison q. Nous allons utiliser la symétrie de la somme afin de modifier l écriture : n n q k = q n q k n qn+1 = q q 1 k= n k= Pour obtenir un terme plus homogène, multiplions numérateur et dénominateur par q 1, ce qui nous donne : q n 1 q n+1 1 = qn+ 1 q n 1 q 1 q 1 q 1 q 1 En remplaçant maintenant q par e ix, nous trouvons : e i(n+ 1 )x e i(n+ 1 )x e i( 1 )x e i( 1 )x Et en utilisant les formules d Euler, nous pouvons transformer l expression en : sin((n + 1 )x) sin( x ) Cependant, nous aurons besoin pour notre démonstration de l intégrale de à π (qui équivaut soit disant passant au double de l intégrale de à π, la fonction déterminé par le noyau étant paire) de la fonction D n (x). La primitive de l expression trouvée étant e ikx extrêmement ardue, nous devons trouver une autre expression du noyau. Sachant que le noyau est une fonction réelle, il nous suffit en fait de prendre en compte n uniquement les parties réelles de la somme e ikx, ce qui nous donne : k= n 31

k=n D n (x) = 1 + cos(kx) (Deux fois la somme car cosx est paire, 1 car nous considérons à part le cas où k=) Aussi trouvons-nous aisément que : des sinus, qui s annulent pour x = k.π. En résumé, D n (x) = n k= n e ikx = 1 + k=1 D n (x)dx = π, les termes en cosinus devenant n k=1 cos(kx) = sin((n + 1 )x) sin( x ) Et son intégrale de à π équivaut à π. Passons maintenant au théorème de Dirichlet en lui-même. Théorème(Dirichlet, 184) Si f : R C est π-périodique et lisse par morceau sur R, alors : lim N Sf N (x) = 1 (f(x+ ) + f(x )) pour tout x. En particulier, lim N Sf N (x) = f(x) pour tout x où f est continue, avec S f N (x) la série de Fourier correspondant à la fonction. Nous pouvons dès lors dire qu une fonction qui vérifie les hypothèses du théorème de Dirichlet converge simplement. Remarque :Il peut exister des fonctions continues dont la série de Fourier associée diverge pour certaines valeurs de x. Preuve Nous allons utiliser la notation complexe, et choisir le cas particulier T = π afin p d alléger l écriture. Notons S p (x) = c k e ikx la somme partielle de la série de Fourier en un point x fixé. k= p 1. Calcul de S p (x) 1 (f(x+ ) + f(x )) Calculons la somme partielle S p (x), et précisons que f(t) correspond à la fonction que l on a représenté sous forme de série. x étant fixé, nous utilisons la variable t afin de ne pas prêter à confusion ; il ne s agit en quelque sorte que d une variable muette : p S p (x) = e ikx 1 π e ikt f(t)dt π k= p 3

pair.] = 1 π π = 1 π = 1 p k= p π π x e ik(x t) f(t)dt D p (x t)f(t)dt D p (u)f(u + x)du π x [Changement de variable (t=u+x) + utilisation du fait que le noyau de Dirichlet est = 1 π D p (u)f(u + x)du f périodique de période π, donc, comme on a pu le démontrer, π = = k+π Ceci nous permet dès lors d écrire en se souvenant que l intégrale du noyau sur la période est π : S p (x) 1 (f(x+ ) + f(x )) = 1 π 1 π D p (u)f(x )du 4π D p (u)f(u + x)du 1 D p (u)f(x + )du 4π Ce qui nous donne en utilisant la parité du noyau de Dirichlet : 1 π D p (u)f(u + x)du 1 D p (u)f(x + )du 1 D p (u)f(x )du π π π = 1 ( D p (u)(f(u + x) f(x ))du + D p (u)((f(u + x) f(x ))du) + π k Il ne nous reste donc plus qu à prouver que ces deux intégrales tendent vers lorsque p tend vers l infini, et nous aurons gagné. La démonstration étant quasi identique pour chaque intégrale, nous ne le démontrerons que pour une seule.. Calcul de lim p D p (u)((f(u + x) f(x + ))du Nous avons vu dans l introduction au théorème que D p (x) = sin((p + 1 )x) sin( x ) Choisissons α, < α < π, tel que f soit lisse par morceau sur ]x; x + α[ (sans oublier que x est fixé), et décomposons en α +.1 Traitons d abord le cas de la première intégrale α α 33

Notons M la borne supérieure de f sur [; α] et remarquons que u πsin( u ) pour tout u [, π] Nous appliquons le théorème des accroissements finis à f sur [x; x + u] : f(u + x) f(x + ) Mu. Et donc, en réinjectant dans l intégrale dont on a pris la valeur absolu, tout en se rappelant que u πsin( u ), nous obtenons : α sin((p + 1 )u) α sin( u ) ((f(u + x) f(x + sin((p + 1 )) du )u) sin( u ) Mudu Mπα Ainsi, l intégrale peut être rendue arbitrairement petite pour autant que l on choisisse bien α.. Cas de la seconde intégrale α Nous allons utiliser le lemme suivant afin de démontrer cela (remarquons que ce lemme marche tout aussi bien pour le premier cas) : Lemme Toute fonction f lisse par morceau sur [a, b] vérifie : lim b n a b lim n a n 1 1 n Preuve f(x)sin(nx)dx = f(x)cos(nx)dx = Il nous suffit d intégrer par partie : k= (f(α + k )cos(nα k) f(α k+1 )) + 1 n b a αk+1 n 1 α k f(x)sin(nx)dx = f (x)cos(nx)dx k= n 1 αk+1 k= α k f(x)sinxdx = Et l on constate bien que lorsque n, l expression (Rappelons-nous bien que l hypothèse de départ est que f est lisse par morceau, d où le fait que sa dérivée soit continue, et a fortiori bornée, ce qui justifie le fait que la seconde partie de l expression tende vers.) Revenons-en au traitement de notre second cas. Posons g(u) = f(x+u) f(x+ ) sin( u ). Il suffit maintenant simplement de constater que g(u) est lisse par morceau sur [α; π], ce qui implique que lim p α g(u)sin((p + 1 )u) = d après le lemme précédent, ce que l on cherchait à 34

démontrer. 3.Synthèse de la démonstration du théorème de Dirichlet. Nous avons donc démontré que lim p S p(x) 1 (f(x+ )+f(x )) =, pour une fonction f lisse par morceau, ce qui nous assure que qu en tout point de discontinuité, la fonction converge vers une valeur, et qu en tout autre point où f est continue, la limite de la série de Fourier correspondant à la fonction pour p très grand tend vers la fonction...6 Analyse d une fonction qui répond aux hypothèses du théorème de Dirichlet. On se propose d étudier la fonction f(x) = e x si x ] π; π[, fonction qu on étend par la suite sur l ensemble des réels. D après ce qu on a pu démontrer sur la périodicité, nous pouvons nous contenter d étudier la fonction sur ] π; π[ Figure.6 Graphique de f(x) = e x si x ] π; π[, fonction qu on étend par la suite sur l ensemble des réels. Remarquons tout de suite que la fonction est discontinue aux points x = π + k.π, qu elle est de période de π et qu elle vérifie les hypothèses du théorème de Dirichlet puisqu elle est clairement lisse par morceau. Ainsi, nous pouvons légitimement écrire cette fonction sous forme de série de Fourier, c est-à-dire f(x) = a + (a n cos(nx) + b n sin(nx)) n= Calcul de a a = 1 e x dx = eπ e π π Calcul de a n a n = 1 π Pour trouver e x cos(nx)dx. intégration par partie, ou e x cos(nx)dx, deux méthodes-entre autres- s offrent à nous : la double e x(ni+1), en considérant ensuite la partie réelle de l intégrale. Nous allons utiliser la première pour la recherche de a n et la seconde pour la recherche de 35

b n. ( A la seule différence près que cos(nx) étant subsitué par sin(nx) pour la recherhce de b n, nous devrons considérer la partie imaginaire de l intégrale.) Soit I = e x cos(nx)dx. Après la première intégration par partie, nous trouvons : I = ex sin(nx) 1 e x sin(nx) n n Intégrons maintenant par partie J = e x sin(nx) ; nous trouvons : J = ex cos(nx) + 1 n n Ainsi, I = ex sin(nx) n I(1 + 1 n ) = ex sin(nx) n I = n.ex sin(nx) + e x cos(nx) Dès lors, e x cos(nx) 1 n ( ex cos(nx) n + ex cos(nx) n n + 1 e x cos(nx)dx = eπ.cos(nπ) n + 1 + 1 n I) Et finalement, a n = 1 π (cos(nπ) n + 1 (eπ e )) e.cos(nπ) n + 1 = cos(nπ) n + 1 (eπ e ) b n = 1 π Calcul de b n e x sin(nx)dx = I( 1 π e x(ni+1) ) 1 e x(ni+1) = eπ(ni+1) π ni + 1 e(ni+1) ni + 1 = ni + 1 n + 1 (eπ e nπi e e nπi ) En prenant uniquement la partie imaginaire, en considérant bien que sin(nπ) est de toute façon nul, nous trouvons : b n = 1 π ( n n + 1 (eπ cos(nπ) e cos(nx))) Et finalement, b n = 1 π (ncos(nπ) n + 1 (e e π )) Et en groupant le tout, nous trouvons l expression de la série. (En considérant bien que suivant que n est pair ou impair, cos(nπ) équivaudra à 1 ou -1) Série de Fourier associée à la fonction f(x) = eπ e π + ( 1) n π(n + 1) (eπ e )(cos(nx) nsin(nx)) 36

= eπ e ( 1 π + ( 1) n π(n (cos(nx) nsin(nx)) + 1).3 Phénomène de Gibbs Nous avons vu lors de l analyse de la fonction carrée qu au plus on additionne des termes trigonométriques, au plus la fonction tend vers une forme carrée. Mais nous remarquons aussi que sur les points anguleux de la fonction, bien qu on puisse ajouter un grand nombre de termes, défaut d approximation persistera. Figure.7 Illustration du phénomène de Gibbs Etant donné que tout terme de la série de Fourier est une fonction continue, il est normal que la série ne puisse approcher uniformément la fonction aux points de discontinuité. Des études ont déjà montré que l amplitude d oscillation autour des discontinuités est toujours plus importante. Quantitativement, il en ressort que très régulièrement, l oscillation y est 18% plus importante que sur le reste la fonction continue. C est le cas dans la fonction carrée. Nous verrons dans la partie traitant des applications l importance de cette fonction carrée qui est incontournable en électronique lorsque l on manipule des informations binaires qui ne s expriment qu à l aide de deux valeurs uniques. 37

Deuxième partie Applications de l analyse harmonique 38

Chapitre 1 Synthèse numérique d un son à partir de l addition des séries de Fourier Nous allons voir comment l on peut modéliser des signaux à l aide des séries de Fourier par addition de termes en sinus et cosinus. Nous avons développé une application qui montre visuellement et auditivement l importance de l addition de termes dans les séries de Fourier pour modéliser par exemple la fonction carrée. Il faut cependant différencier plusieurs types de signaux. Les signaux harmoniques, les signaux périodiques qui correspondent à la composition de différents signaux harmoniques et les signaux non périodiques. Chacun de ces signaux seront analysés à l aide d outils différents. Pour les signaux harmoniques, une analyse sinusoïdale suffit. Pour des signaux composés de plusieurs harmoniques, on utilisera les séries de Fourier. Et finalement pour les signaux non périodiques on peut utiliser les transformées de Fourier. 39

Chapitre Applications informatiques.1 FFT : Fast Fourier Transform Nous avons vu que les séries de Fourier sont des outils très pratiques afin de pouvoir modéliser des signaux sous forme d addition de sinusoïdes et cosinuoïdes. Il est donc pratique de disposer de ces séries mais le calcul n est pas toujours simple et efficace. C est pourquoi avec le développement de l informatique sont apparus des algorithmes qui permettent de calculer les coefficients selon une méthode linéaire. Ainsi, nos processeurs binaires savent traiter bien plus rapidement l information. Jusqu ici on s était intéressé à l approche temporelle du son, c est-à-dire que l on se contentait de considérer le signal comme une grandeur évoluant au fil du temps. C est la vision la plus directe mais pas nécessairement la plus intuitive. Lorsque l on écoute un son, l analyse la plus simple, la plus primitive c est, d une part, de savoir s il est fort ou faible en terme de volume sonore et par ailleurs s il est grave ou aigu. 1 Nos oreilles sont essentiellement sensibles à la fréquence et à l amplitude du son. A partir de là, il parait évident que la représentation temporelle n est pas la plus triviale pour visualiser un son de la même manière qu on l écoute. Nous allons donc recourir à une opération qui suit cette logique, la transformée de Fourier. Une transformée est une opération consistant à faire correspondre une fonction à une autre pour représenter la même information d une façon différente. Dans le cas de Fourier, l idée est d exprimer le son comme dépendant de la fréquence et non plus du temps le tout à partir de l hypothèse que tout signal est fondamentalement composé d une somme de sinusoïdes de fréquences différentes. On peut distinguer assez clairement l évolution du volume sonore mais on n a aucune information visible sur la hauteur du son joué. 1. Pour l oreille humaine, des sons très graves oscillent autour des 16Hz alors que des sons très aigus oscillent autour des 16kHz 4

Figure.1 Représentation temporelle d un son Figure. Représentation fréquentielle d un son Comparons les graphes. Sur la Figure. on a donc plus le temps comme abscisse mais la fréquence. Tout de suite, le graphique est nettement moins massif. Pourquoi? On distingue clairement que le son est très simple car composé essentiellement d une seule fréquence (788, 5Hz, c est presque un sol) plus deux petits pics à dans les hautes fréquences ( 3Hz et 7Hz). Par contre il est difficile de savoir comment le son évolue au fil du temps. 41

Les deux représentations ont clairement leurs avantages respectifs en fonction de ce que l on recherche. Nous allons maintenant énoncer la formule de base de la transformée de Fourier, sans la démontrer. F (f) : ν ˆf(ν) = + f(t) e iπνt dt La transformée ainsi calculée est un signal complexe, c est à dire en deux dimensions. Là où chaque échantillon du signal d origine était composé d une grandeur (l amplitude), sa transformée associe à chaque fréquence à la fois l amplitude et la phase. 3 Nous allons maintenant analyser ce qu il se passe lorsque nous composons un son d un la (44Hz) et d un ré (94Hz), respectivement déphasés de.7 et -.. L équation de ce son est : x(t) =.5 cos((π)5t +.7) +.5 cos((π)94t.) Voici ce que donne cette addition graphiquement : Figure.3 Addition du signal du La et du Ré Traçons le graphe de la transformée de cette fonction maintenant. Deux traits sont à nouveau présents sur le graphe de la transformée. En lisant le graphique nous pouvons donc retrouver les deux fréquences avec leur amplitude et phase respective. Il est important de remarquer que l amplitude nous donne une indication sur le volume sonore de chaque fréquence alors que la phase nous renseigne sur le positionnement dans le temps. Nous. L amplitude c est le volume sonore associé à chaque fréquence 3. La phase est un concept un peu plus abstrait, il s agit du retard de chaque fréquence. 4

Figure.4 Transformée des signaux additionnés voyons l utilité des transformées de Fourier dans le but d analyser un signal, par exemple un son. Les transformées de Fourier ont pris un essor incroyable ces dernières années grâce à la révolution en électronique. Beaucoup d appareils doivent être capables d effectuer des transformées de Fourier pour analyser des signaux. C est alors que les électriciens et informaticiens se sont penchés sur la question afin optimiser le temps de calcul de ces coefficients, et permettre ainsi de réduire la puissance des processeurs pour effectuer ces calculs. L algorithme le plus connu et le plus répandu est sans aucun doute l algorithme baptisé F F T, issu de l anglais Fast Fourier Transform. Nous ne pouvons pas développer les opérations qui se cachent derrière cette transformation rapide étant donné la complexité de celles-ci. Cet algorithme a été mis au point par deux ingénieurs américains. D une part, J. W. Cooley d IBM et John W. Tukey de l université de Princeton en 1965, après avoir redécouvert les travaux de Gauss qui avait déjà travaillé sur le problème sans apporter de réponse reconnue publiquement.. Compression JPEG L appareil photo a connu une grande révolution au virage des années et l appareil photo numérique domine maintenant largement le marché. Il faut savoir que la mise en place et le développement aussi rapide de cette nouvelle technologie n aurait pas été possible sans l analyse de Fourier. En effet, lorsqu on déclenche l appareil photo, il produit 43

automatiquement des transformées de Fourier...1 Pourquoi Fourier? Il faut savoir qu un appareil photo stocke les images sur une carte mémoire. Au plus de photos je stocke sur mon appareil photo, au plus de pixels sont conservés sur la carte mémoire. Pour avoir des capteurs de plus en plus précis 4 (en ayant plus de points de détection), il faut aussi une augmentation proportionnelle de la mémoire. Bien entendu, on serait quand même parvenu à utiliser un appareil photo numérique sans se tracasser des séries de Fourier car il ne s agit que de la compression du format de stockage et de traitement postérieur d image. Mais le développement de la qualité des appareils photo numériques aurait été plus lente. Nous quantifierons cette observation par la suite... Le JPEG, c est quoi Il s agit d un format de stockage de photos numériques largement adopté car il a la caractéristique d encoder une image de même résolution en moins de bits 5 que un autre format. Comment cela ce fait-il? Il compresse les données reçues du capteur par le F F T. Il faut savoir que le capteur numérique de l appareil photo est composé de micro-détecteurs qui enregistrent chacun une couleur...3 Quelle couleur? Le tas d informations reçu du capteur est stocké sous forme de matrice. La référence des couleurs de chaque pixel est stocké sous forme de code hexadécimal. Grâce à Newton, on sait que la lumière blanche peut se décomposer en 3 couleurs qui sont le bleu, rouge et vert. C est ce système tri-chromatique là que les ordinateurs utilisent. Baptisé RGB, acronyme de l anglais pour "Red, Green, Blue", ces trois couleurs sont les couleurs primaires en synthèse additive. Elles correspondent en fait à peu près aux trois longueurs d ondes auxquelles répondent les trois types de cônes de l œil humain. Figure.5 Système RGB 4. Certains appareils atteignent maintenant des capteurs de 3 mégapixels. C est à dire 3 1 6 pixels 5. Le bit est un chiffre binaire, c est-à-dire ou 1. Il est donc aussi une unité de mesure en informatique, celle désignant la quantité élémentaire d information représentée par un chiffre du système binaire. On en doit l invention à John Tukey (qui était aussi derrière la découverte du F T T!). Définition de Wikipédia 44

Figure.6 Adapté d un document de Vincent Bockaert/13di.com Un capteur photosensible CCD ou CMOS est constitué d une seule matrice photosensible qui est recouverte d un filtre coloré appelé une grille de Bayer. Contenant des éléments de différentes couleurs, elle permet de sensibiliser les pixels aux 3 couleurs primaire : le rouge, le vert ou le bleu. Le processeur d image associé au capteur photosensible combine ensuite ces trois couleurs primaires RGB pour créer par synthèse additive une image couleur et lui associe une valeur hexadécimale 6. Nous voilà donc avec une matrice pixels horizontaux pixels verticaux. Pour simplifier les calculs nous allons prendre une matrice carrée 8 8 en décimales. Nous avons 64 données différentes 7 relatives aux 64 pixels. A la place d utiliser une échelle des couleurs 4 bits, nous allons utiliser les niveaux de gris (communément appelé "Noir et blanc") qui ne prennent que 8 bits 8 alors que une photo couleur en RGB prend 4 bits 9. Pourquoi avoir choisi une matrice 8 8? Parce que le JPEG sépare une image de plus grande taille en plusieurs matrices 8 8. Quand le standard JPEG a été mis au point, l ordinateur ne pouvait que traiter 8 bytes 1 à la fois. Prenons l image élémentaire : C est à dire la matrice sous forme décimale : 6. Sur ce site internet, vous pouvez convertir une couleur en sa valeur hexadécimale http:// html-color-codes.com 7. Les valeurs hexadécimales sont par convention notées par le préfixe " " 8. Pour un pixel en 8 bits il existe alors 8 = 56 possibilités d encodage. Cette combinaison de 8 bits est tellement fréquente qu elle définit une nouvel unité, le byte 9. Pour un pixel en 4-bit, il existe 4 possibilités d encodage 1. La distinction entre byte et octet est utilisée dans certains textes techniques. Ainsi la description formelle d un langage de programmation utilisera sciemment le mot byte si le langage ne nécessite pas qu un byte ait une taille d un octet. C est par exemple le cas du langage C, où un byte peut contenir plus de huit bits. Source : Wikipédia 45

Figure.7 Une image de 64 pixels correspondant à la matrice 53 51 55 6 66 7 64 73 63 59 54 89 11 85 69 71 63 6 68 113 144 14 66 73 63 58 71 1 154 16 7 69 66 6 68 13 17 88 68 7 79 65 6 7 77 68 58 75 85 71 65 59 55 61 65 83 87 79 69 69 65 76 78 95 Dans cette balance des gris, 55 correspondrait à du noir et à du blanc. Toutes les valeurs intermédiaires ne sont que des mélanges de ces deux couleurs. Afin de compresser l images on utilise les coefficients des séries de Fourier mais aussi le DCT 11. Nous allons transformer la matrice de la balance des gris (8 8) en une matrice de coefficients de DCT (toujours 8 8). Cette matrice ne représente plus l image en soi. 11. La transformée en cosinus discrète ou TCD (de l anglais : DCT ou Discrete Cosine Transform) est une transformation proche de la transformée de Fourier discrète (DFT). Le noyau de projection est un cosinus et crée donc des coefficients réels, contrairement à la DFT, dont le noyau est une exponentielle complexe et qui crée donc des coefficients complexes. On peut cependant exprimer la DCT en fonction de la DFT, qui est alors appliquée sur le signal symétrisé. 46

Chaque coefficient définit l amplitude d une fonction de base. L image est compressée et l ordinateur doit connaître l algorithme de décompression pour pouvoir lire l image. Pour chaque pixel de la matrice de départ nous allons effectuer le calcul suivant. x et y sont les indices spatiaux qui font référence à un certain pixel. L index u et v font partie du spectre fréquentiel qu on a vu précédemment dans ce chapitre. Puisqu on travaille sur un octet, les valeurs de tous les indices peuvent varier de à 7 seulement. b[x, y] = cos (x + 1)uπ 16 cos (y + 1)vπ 16 (.1) Pour calculer le spectre avec le DCT, on calcule la fonction de base appropriée par la matrice 8 8 et on additionne ensuite les produits. Ensuite, il faut multiplier les 15 valeurs dans le premier rang et dans la première colonne par deux. Finalement, on divise toutes les données par 16. 47

Le résultat est le suivant Figure.8 Voici les résultats de la transformée discrète des cosinus Chacun de ces coefficients DCT représentent l amplitude d une fonction de base par rapport aux index v et u en cosinus. Figure.9 Illustration des différentes fonctions de la DCT. Extrait de The Scientist and Engineer s Guide to DSP Les coefficients des basses fréquences se trouvent dans le coin supérieur gauche alors que les hautes fréquences se retrouveront dans le coin inférieur droit. L algorithme inverse du DCT est calculé en faisant correspondre chacune des amplitudes à la fonction de base et on additionne à nouveau les termes afin de retrouver des données similaires à celles de base. La colonne de gauche montre l effet de réduire le nombre de 48

bits utilisés pour représenter le spectre de la fréquence. Cette marge d erreur est obtenue en prenant la DCT inverse de la fonction et en soustrayant l image reconstruite de l image originale. Au moins de bits sont utilisées, au plus cette marge d erreur sera importante et la qualité d image reconstruite mauvaise. Nous remarquons que les chiffres sont nettement moins important après une transformée et nous pouvons remarquer que la matrice contient des nombres beaucoup plus petits. Jusque 1 fois plus petits parfois. La taille de l image est par conséquent divisée par 1! Nous avons perdu les plus hautes fréquences en chemin car elles sont les plus atteintes par la transformée en DCT mais l aspect général de l image est le même. Le rendu reste excellent. La troisième colonne représente la marge d erreur présente à cause de la transformation. Il faut aussi remarquer que cet algorithme est présent partout. Que ce soit l histogramme de visualisation sur Windows Media Player ou sur la chaîne Hi-Fi, ils utilisent tous cet algorithme de transformée rapide de Fourier...4 Alors quelle avancée l analyse de Fourier a-t-elle permis? On l a vu, la compression grâce aux transformées de Fourier permet de diviser par un facteur 1 la taille de stockage sur les appareils photos (entre autres). Mais cette observation est aussi valable pour les sons. Sur nos baladeurs MP3, ipods ou ordinateurs portables, nous stockons des sons au format MP3. Ce format utilise lui aussi les transformations de Fourier afin de garantir une compression sans trop de pertes. On pourrait se poser la question suivante : combien d années plus tard l appareil photo serait-il apparu si l analyse de Fourier n existait pas? En 1965, le co-fondateur d Intel, Gordon Moore prédit que la capacité de stockage binaire allait doubler tous les ans. A l époque ce n était qu une prévision aveugle. Un développement similaire serait exponentiel et donc infini. Pourtant avec une quarantaine d années de recul, nous pouvons admettre que cette prévision est assez proche de la réalité. 1 Ans après avoir proposé ce pari risqué, un professeur de Caltech 1 donne le terme Moore s Law à cette prédiction. On remarque aussi que cette évolution est inversement proportionnelle au prix. Donc pour la même capacité, mon disque dur coûtera fois moins cher l année prochaine! Revenons à Fourier. Nous avons vu que la taille de stockage d une image peut être réduite d un facteur 1. La transformée de Fourier nous a donc permis une évolution de t = 1. Autrement dit, t = log 1 3.3. C est à dire que si je voulais avoir un appareil photo qui n utilise pas la transformée de Fourier, je devrais attendre plus de trois ans afin d avoir la même capacité de photo. Ou je devrai débourser deux fois moins cher pour acheter un ipod de la même capacité un an plus tard (si on admet que les 1. Caltech est l institut universitaire technologique de Californie 49

Figure.1 Illustration de la prédiction de Moore. Le l échelle de l axe vertical est bien entendu logarithmique. Les croix représentent la capacité de stockage des produits sortis aux années respectives. Source : Wikimédia Foundation autres composants suivent la même évolution, ce qui n est pas le cas). D ailleurs, c est ce que Kodak a compris. On retrouve sur leur site internet une page réservée à attirer de nouveaux investisseurs. Ils illustrent à l aide d un graphique que c est un marché en pleine évolution où le prix du pixel diminue chaque année de moitié! 5