ANALYSE Exercices corrigés

Université Hassan II de Casablanca Ecole Normale Supérieure de l Enseignement Technique-Mohammedia ANALYSE Exercices corrigés DUT-GEII FATIHA AKEF Polycopié d exercices corrigés d analyse destinés aux étudiants de la filière : DUT Génie Electrique et Informatique Industrielle

Table des matières Enoncés des exercices... 3 Série d exercices n 1 : Suites numérique... 4 Série d exercices n 2 : Limites-continuité... 6 Série d exercices n 3 : Dérivabilité... 7 Série d exercices n 4 : Fonctions usuelles... 9 Série d exercices n 5 : Développements limités... 11 Série d exercices n 6 : Prémitives-Intégration... 13 Série d exercices n 7 : Equations différentielles... 15 Corrigés des exercices... 17 Série d exercices n 1 : Suites numérique... 18 Série d exercices n 2 : Limites-continuité... 25 Série d exercices n 3 : Dérivabilité... 29 Série d exercices n 4 : Fonctions usuelles... 33 Série d exercices n 5 : Développements limités... 42 Série d exercices n 6 : Prémitives-Intégration... 48 Série d exercices n 7 : Equations différentielles... 51 F. AKEF Page 2

Enoncés des exercices F. AKEF Page 3

Série d exercices n 1 «Suites numérique» Exercice 1 : Donner un exemple d une suite : Exercice 2 : (Nature d une suite) Parmi les suites suivantes, déterminer lesquelles sont majorées, minorées, bornées, croissantes, convergentes, divergentes : Exercice 3 : [ ], - étant la partie entière ; Etudier les suites suivantes : a. Exercice 4 : -, F. AKEF Page 4

Monter que : a. Si b. Si c. Si d. Si e. Si f. Si g. Si h. Applications : Etudier la convergence des suites et Exercice 5 : (Suites adjacentes) a. b. 1 0 c. Montrer que la limite commune est irrationnelle. Déterminer cette limite à Exercice 6 : (Suites récurrentes) prés. Soit, - une fonction continue telle que. Soit la suite définie par Montrer : a. Si est convergente vers l alors b. Si est croissante alors est monotone et convergente. c. Si est décroissante alors, sont monotones et convergentes. d. Applications : Etudier les suites :. F. AKEF Page 5

Exercice 1 : (Définition d une limite) Série d exercices n 2 «Limites - Continuité» En utilisant la définition de la limite avec montrer que : a. Exercice 2 : (Calcul des limites) Calculer les limites suivantes : [ ] Exercice 3 : (Continuité) Etudier la continuité des fonctions suivantes : ( ) { { [ ] { Exercice 4 : Soit une fonction continue telle que. a. Montrer qu il existe tel que b. Montrer que tout polynôme à coefficients réels de degré impair admet au moins une racine réelle. Exercice 5 : (Points fixes) Soit, -, - Montrer que si est continue ou croissante il existe, - tel que F. AKEF Page 6

Série d exercices n 3 «Dérivabilité» Exercice 1 : (Dérivabilité) Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes définies sur. a. 8 Exercice 2 : (Calcul des dérivées). Calculer les dérivées des fonctions suivantes :., - Exercice 3 : Soit {, -, -, - dérivable et telle que Montrer que est continue. A quelle condition est-elle dérivable? Exercice 4 : (Dérivé n-ième) Calculer la dérivée n-ième des fonctions suivantes : Exercice 5 : (Théorème des accroissements finis) On considère les fonctions :, -, -, -, -, - F. AKEF Page 7

a. Etudier, pour chaque fonction, si les hypothèses du théorème des accroissements finis b. sont vérifiées dans leurs intervalles respectifs. c. Etudier l existence et l unicité du point c tel que Exercice 6 : (Problème de la boîte). Pour fabriquer une boite sans couvercle, on prend une feuille carrée en carton ou en métal dont le côté a une longueur donnée a. A chacun des quatre angles, on découpe un carré dont le côté a une longueur égal à x ; on rabat perpendiculairement les quatre bandes qui restent (Fig. 5.1). Déterminer x pour que le volume de la boîte soit maximal. a x Exercice 7 : (Problème de la casserole). On veut fabriquer une casserole en aluminium embouti au moyen d une feuille de métal d aire donnée A. Déterminer le rapport de la hauteur h et du rayon r pour que le volume soit maximal. On suppose qu il n y a aucun déchet de métal, que l épaisseur reste constante et qu il n y a pas de couvercle (Fig 5.2). h Fig 5.2 r F. AKEF Page 8

Exercice 1 : (fonctions trigonométriques) a. Montrer que si Série d exercices n 4 «Fonctions usuelles» b. Résoudre : c. Résoudre le système : d. Etudier la fonction e. Etudier la fonction Exercice 2 : (fonction logarithme népérien) a. Calculer les limites : b. Montrer que si. c. Montrer que si. d. Résoudre : ( ) e. Etudier les fonctions Exercice 3 : (Fonction exponentielle) a. Montrer que : -, b. Calculer les limites : c. Résoudre : d. Etudier la fonction Exercice 4 : (Fonctions hyperboliques) a. Calculer b. Exprimer en fonction des cosinus (resp. sinus) hyperboliques des arguments multiples de x. c. Résoudre :. d. Résoudre le système :. e. Calculer les sommes : f. Etudier la fonction F. AKEF Page 9

Exercice 5 : (Fonctions trigonométriques inverses) a. Vérifier :. b. Trouver une relation entre : 1. c. Simplifier : d. Résoudre :. Exercice 6 : (Fonctions hyperboliques inverses) a. Montrer que : ( ). / -, b. Simplifier : F. AKEF Page 10

Série d exercices n 5 «Développements limités» TD Analyse Exercice n 1 : Calculer le développement limité (d.l) au voisinage de 0, à l ordre 5, des fonctions suivantes : Somme a. b. ch x cos x. Produit c. Log (1+x). tg x. d. Arc cos x. cos x. Quotient e. f. Fonction composée g. Log(1 + sin x) h. Log cos x Derivation, integration i. j. Exercice n 2 : Calculer le d.l au voisinage de, à l ordre n, des fonctions suivantes : a. b. c. 0 1 d. e. f., - g. Exercice n 3 : Formes indéterminées. Calculer les limites suivantes : Forme Forme f. Forme g. h., i., Forme k.. Forme, m. F. AKEF Page 11

Forme, o. p. Forme q. r. Exercice n 4 : s. ( ) Calculer les limites suivantes : a. b., Exercice n 5 : On considère la fonction a. Calculer b. En déduire le d.l de au voisinage de zéro, à l ordre n. F. AKEF Page 12

Exercice n 1 : Formules de réduction Série d exercices n 6 «Primitives Intégration» a. Soit. Montrer que b. Calculer,, c. Calculer,, d. Soit. Monter que e. Soit. Monter que f. Soit. Monter que Exercice n 2 : Fraction rationnelles. Calculer une primitive des fonctions suivantes : a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. Exercice n 3 : Calculer les intégrales : a. b. c. d. e. Exercice n 4 : Calculer les intégrales : Soit les fonctions F(x) = a. Montrer que F est définie sur et qu elle est impaire F. AKEF Page 13

b. Montrer qu on peut prolonger F par continuité en O c. Montrer que F dérivable sur R. Exercice n 5 : Aire d un domaine. Calculer l aire du domaine limité par les courbes suivantes : a. b. c., a > 0. d. a > 0 e., a > 1. F. AKEF Page 14

Exercice n 1 : (Equation à variables séparées) Série d exercices n 7 «Equations différentielles» a). / b) c) d) Exercice n 2 : (Equation homogènes) a) b) c) d ) e) Etudier les solutions au voisinage de zéro Exercice n 3 : (Equations Linières) a) b) c) d) e) f ) Exercice n 4 : Soit l équation différentielle a. par quels points du plan peut-on affirmer, avant de résoudre. Qu il passe une seule courbe intégrale de (E)? b. Déterminer les solution définies sur chacun des intervalles]-,1[,]0,1[,]1,+ [ c.montrer qu il n existe aucune solution de (E) sur R d.montrer qu il existe une solution unique sur]-,1[ et la déterminer. Exercice n 5 : Soit l équation différentielle a. Intégrer (E) sur chacun des intervalles]-1,0[,]0,+ [ b. Montrer que toute solution de (E) dans ]0,+ [ tend vers une limite finie a, dépendant de y, lorsque x + la position du graphe par rapport a l asymptote y= x F. AKEF Page 15

c. Montrer qu il existe une unique solution x de (E) dans ]-1,0[ Calculer son développement limité a l ordre 2 au voisinage de zéro. Exercice n 6 : Equations homogènes Intégrer : a. b. -y -2y=0 c. d. e. f. Exercice n 7 : Intégrer a. b. c. d. e. f. Exercice n 8 : Soit l équation différentielle a. Intégrer b. Etudier le comportement des solutions de quand x + c. Déterminer la solution de telle que Exercice n 9 : Soit l équation différentielle a. Intégrer b. Montrer qu il existe une unique solution de. notée telle que la courbe C d équations paramétriques passe par le point (1,0) et admette comme asymptote la droite y=x. c. En déduire la nature de C Exercice n 10 : Intégrer sur ]-1,1[ l équation différentielle (Effectuer le changement de variable F. AKEF Page 16

Corrigés des exercices F. AKEF Page 17

Série d exercices n 1 «Suites numérique» Exercice 1 : 0 1 (, - est la partie entière de x), [ ] Exercice 2 : - - - -. / Il résulte que : F. AKEF Page 18

Exercice 3 : Et par la suite d après le premier cas. Par conséquent, - 6 7. / F. AKEF Page 19

Mais 4 5 Exercice 4 : * + ( ) ( ) ( ) F. AKEF Page 20

( ) ( ). / Exercice 5 : ( ) ( ) F. AKEF Page 21

. /. / Exercice 6 : F. AKEF Page 22

( ) ( ),, -, F. AKEF Page 23

, -,, y y=x y y=x M 0 M 2 M 4 M 3 M 1 M 0 M 1 M 2 M 3 a u 0 0 u 2 u 4 u 3 u 1 b f décroissante x u 2 a u 0 0 u 3 u 1 f croissante b x F. AKEF Page 24

Série d exercices n 2 «Limites - Continuité» Exercice 1 :. / Exercice 2 : ( ) 0 1 0 1 0 1 entraine 0 1 Si 0 1 Si 0 1 Il s ensuit que On a alors : ( ) Par conséquent, les limites à gauche et à droite existent mais la limite n existe pas. 1 0 F. AKEF Page 25

. Exercice 3 : La fonction f est continue sur -, [ ] 0 1 Par conséquent la fonction -, -,. D après l exercice 2 b. 0 1 Donc est continue en 0. Si 1 0 0 1 Si 1 0 0 1 Par suite : De la même façon on montre que : Conclusion : la fonction -, * + -, F. AKEF Page 26

* + -, exemple la suite fonction h n est pas continue en une suite d irrationnels qui converge vers (On peut considérer par ). On a donc la Soit Soit Alors il existe tel que entraîne. Par suite Exercice 4 : b., - (, - ) { { Exercice 5 :, -, -, -, -. b., - *, - +. F. AKEF Page 27

-, F. AKEF Page 28

Série d exercices n 3 «Dérivabilité» ( ) - - -, [ ], - { } car: F. AKEF Page 29

( ), - { } {,, - - ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] F. AKEF Page 30

( ), - Exercice 6 : L air du fond de la boîte est Le volume de la boîte est donc Pour que le volume soit maximal, il faut que la dérivée de V soit nulle : Equation dont les racines sont : Soit : La dérivée V est positive pour. La dérivée V est négative pour. On déduit le tableau de variation de V : x a/6 a/2 V + 0-0 V M m le maximum de V est atteint pour x = a/6 ; ce maximum est égal à (pour prend la valeur 0 ; la boîte est alors réduite à un point.) Exercice 7 : Le volume est Il y a deux variables, r et h, mais il existe une relation entre ces variables : en effet, l aire totale est constante, soit : D où h Portons dans V : F. AKEF Page 31

Le volume est ainsi exprimé en fonction de la seule variable r ; pour déterminer le maximum, annulons la dérivée de V : On en tire : Compte tenu de la relation (1), nous voyons que : Recherche des maximums et minimums pur des applications pratiques d où. Remarquons que pour la dérivée est positive, et que pour elle est négative. Il s agit donc bien d un maximum de volume. F. AKEF Page 32

Série d exercices n 4 «Fonctions usuelles» Exercice 1 : 1 0 1 0. / 0 1 x 0 π/3 π/2 f 0 0 0 f 1 1 1 F. AKEF Page 33

y 0 π 2π 3π 4π x Exercice 2 : ( ) ( ) F. AKEF Page 34

-, -, -, x 0 1 f f e + f y C f 0 1 e x Exercice 3 : F. AKEF Page 35

. / 4 5 * + x 1 f f e Asymptote : y = x+1. Minimum local en (1,e) Exercice 4 : F. AKEF Page 36

[ ] -, F. AKEF Page 37

Etude aux bornes : 0 1, -, - Tableau de variation : a > 1 a 1 x α D f (x) ( α a ) (f ) f x α f x α f x f (x) x 0 α x 0 f f f + 0 f + f f(α) f Concave Concave F. AKEF Page 38

Exercice 5 : 1 0 1 0 1 0 1 0 ( ) 8 1 0 { 1 0 0 1 {, - y π π π 0 π π x π F. AKEF Page 39

{ 1 0 0 1 0 1, - 0 0,, { 1 1 - - { - -, -,, { -, -, -, 4 5 ( ) - - -, F. AKEF Page 40

8, - {, - 8 -, 8, - Exercice 6 :. / -, * +, - Remarque : On peut aussi utiliser l exercice a4. F. AKEF Page 41

Série d exercices n 5 «Développements limités» Exercice n 1 : 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5, - 6 4 57 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 F. AKEF Page 42

4 5 4 5 4 5 6 4 57 [ ( )] 6 7 Exercice n 2 : a. on pose On a alors : 4 5 4 5 4 5 4 5 ( ). =e F. AKEF Page 43

[ 4 5 4 5 ] c. 2 0. /13 = = et par intégration log0. /1 d.f. /. / = x+ Deuxiéme méthode : ou Remarquant que f est impaire, on voit que d.1. s écrit : f d où En remplacant dant l égalité trouvée, on obtient : =1, 3 u et e. on pose u = =. /. / d où :. / f. sh, - = ( ). / =, - =x- g. = = 1 - + - + 0 et par intégration : = et par intégration :. = x + + + 0. = x + + + + 0. - = + 0. Exercice n 3 : F. AKEF Page 44

a. f = = = log + 0 log b. f = = 1. c. x = 1 - + + 0 ; = 1- - + 0. x = + 0 ; f. d. Log cos u - ; = ; f. e. f = = [ ] = [ ] = ; f. 6. Développements limités solutions f. on pose = u ; = 16. / 0 ; f 0. g. on pose x - = u ; f= = = - + tg -1 h. f=. /. / = =. i. on pose x-1 = u ; ; f. j. soit = log on pose ; f = log = 2u + 0 et alors f. D autre part = log = log = x + log et comme lim log = 0 on a x. Par conséquent f =. x = 2 ; f 2. k. f = sin x log tg x x log x ; f 0. i. f = = 1. m. = = 1. n. log f = ; f. o. log f = log sin x log. On pose x = u ; log f= - log cos u log log 0 ; f = 1. F. AKEF Page 45

p. on pose x 1 = n ; log f = log x = u log f 1. q. log f = x log. / x. = a ; f. r. log f= 1 ; f e. s. on pose = u ; log f= x log. / = log. / = log. /= log. / = [ ] = log + 0 ; f. 6. Développements limités - solutions Exercice n 4 : a. on pose x -1 = u ; Log f = tg log = - = - ( ) = - = - - ; f.. b. = = = 4 5. = = 4 5. = = 4 5 = = 4 5 Exercice n 5 : f= = - 1 a. = - ;. b. Les fonctions ArgSh sont indéfiniment dérivables en 0, par suite d où F. AKEF Page 46

En remplaçant dans l équation trouvée on obtient : Ou F. AKEF Page 47

Série d exercices n 6 «Primitives Intégration» Exercice n 1 : a. I n =. Pour évaluer J, on pose,, d où alors :. En remplaçant on trouve le résultat indiqué. La formule est valable pour. b. c. On pose D après on trouve :. d.. e. (1) En remplaçant dans (1) on obtient le résultat indiqué. f. (1) ; et on remplace dans (1). Exercice n 2 : a.. F. AKEF Page 48

b., - c. D après l exercice 86 a., Exercice n 3 :., alors : a. La fonction f(x) = est impaire, donc = 0 (voir ex. 125b.) b. La fonction est paire, d où. D autre part : (calcul par partie) c., Et alors : d. D où :, ] π 0 e. La fonction est continue, paire et s écrit :, - Si p = q : (voir ex.125 a.), ]π 0 = 0 De la même façon, on montre : F. AKEF Page 49

{ La fonction x est impaire. Alors (Voir ex. 125 b.) Exercice n 4 : a. La fonction est définie et continue sur R *. Notons qu on peut la définir en 0, en posant. Par conséquent F est définie sur R. On pose Alors : ; F est impaire. b. D après le théorème de la moyenne, il existe -, tel que ainsi. On posera c. Soit G une primitive de f, pour On a, donc : Enfin : D après le théorème de la moyenne. Par la suite. Exercice n 5 : a. = - ; + x f = 1. b. les foncions Arg sh x et sont indéfiniment dérivables en 0, par suite f admet un d.l. de n importe quel ordre. D autre part f étant impaire son d.l. est de la forme f =, d où =. En remplaçant et dans l équation trouvée on obtient : + = 1 Ou : F. AKEF Page 50

Série d exercices n 7 «Equations différentielles du second ordre» Exercice n 1 : a. ; y(x) = c b. ; y(x) = ; y 0 (x) =. c. ;. Pour on a, donc. /, d où car y(0) = 1>0 ; d. ;y(x) = c Log(x).D aprés y(e) = 1, on obtient Exercice n 2 : a. Pour. /. /.on pose y = t x, d où donc.on obtient,d où singulière ).. Pour t=1, on a y(x) = x (courbe b. Pour,. /. /.on pose y = tx, d où et, d où, ou t = 2 Arc tg cx et par suite. c. Pour,. /. /, et en posant y=tx on obtient d où puis. d.., e. On pose, d où et.par la suite Lorsque. Par conséquent les courbes intégrales passant par O et sont tangentes a l axe Oye b ce point. Exercice n 3 : On notera y 0 la solution de l équation homogène associée ; y 1 la solution particulière et la solution générale. a. Solution de l équation homogène :. Solution particulière. Par la méthode de la variation de la constante, on a,et en remplaçant dans l équation on obtient, d où, d où ; en remplaçant dans (1) il vient y 1 (t) = -x 2, la solution particulière cherchée. F. AKEF Page 51

Par conséquent, la solution générale est :. La courbe intégrale qui passe par le point (1,0) a pour équation Exercice n 4 : a. Soit : * + *( + * Dans U la fonction ( est continue et admet une dérivée partielle ) qui est continue. Par conséquent par tout point U passe une solution maximale unique de (E) ; autrement dit : Il existe une fonction unique définie sur un intervalle ouvert contenant, dérivable et telle que : pour tout. Il n existe pas l intervalle contenant strictement, et de onction sur qui soit solution de (E) et telle que = pour tout b. Solution de l équation homogène : ;. Solution particulier : Solution générale : Dans -, Dans -, Dans -, c. On a et par conséquent une telle solution ne serait pas définie. Exercice n 5 : Solution particulière. Par variation de la constante, on et la solution particulière :. F. AKEF Page 52

a) Solution générale : - Sur ] [ : - Sur ] [ : b) au-dessus de son asymptote, et si alors si elle est au-dessous. la courbe se trouve c) Il faut que * + Par conséquent est la solution unique de (E) sur ],. Exercice n 6 : a. b. c. d. e. ( ) 4 5 f. ( ) ( ) Exercice n 7 :, - F. AKEF Page 53

. a.. b. c. En intégrant deux fois on obtient : d. e. f.. Exercice n 8 : est la solution de l équation homogène associée. On pose et on obtient : solutions particulières de : La solution particulière de (E )est sommes des F. AKEF Page 54

Ou la solution particulière de. On remarque que est racine du polynôme caractéristique de :ainsi la solution particulière de. Est de la forme En identifiant on trouve par suite edt une solution particulière de (E). Solution générale : b. Puisque l expression dabs la parenthèse de la solution reste bornée à l infini, on a c. On trouve Exercice n 9 : a.. b. les courbes d équations : { Lorsque on a une direction asymptotique. Lorsque on a une direction asymptotique. Pour que soit asymptote il faut et il suffit que, ou ( ), ou encore. Dans ce cas on a : { Supposons que la courbe passe par (1, ) à l instant t. On a et, d oû et. Dans ce cas on a,. La solution unique de (E) vérifiant les hypothèses est alors. c. On a ; il s agit d une hyperbole équilatère. Exercice n 10 : F. AKEF Page 55

On pose -,, d où. En remplaçant on trouve dont les solutions sont de la forme Ainsi : F. AKEF Page 56