chapitre VIII exercices et problèmes de synthèse algorithmique et turbo-pascal

chapitre VIII eercices et problèmes de sythèse algorithmique et turbo-pascal Algèbre liéaire et probabilités : Chaîes de Marov (esco 93) Partie A 4 3 O cosidère la matrice M = 8 6 ) a) Détermier les valeurs propres de M b) La matrice M est-elle iversible? c) Détermier ue matrice iversible P et ue matrice D diagoale telle que l'o ait M = PDP - d) Pour N, calculer M ) Calculer M ; Eprimer M e foctio de M et retrouver l'epressio de M 3 ) O cosidère les deu suites u et v défiies par leurs premiers termes u =, v =, et par les relatios : ( N) u + = u + v 3 4 v = + + u v 3 u + A l'aide de la matrice M, eprimer u e foctio de v E déduire l'epressio de u et v e + v foctio de, puis les limites de u, v lorsque ted vers l'ifii Partie B Deu pièces A et B sot reliées etre elles de la maière idiquée par le schéma Seule la pièce B possède ue issue vers l'etérieur Ue guêpe iitialemet das la pièce A voudrait sortir à l'air libre A B So trajet obéit au règles suivates : a Lorsqu'elle est e A au temps t =, alors, au temps t = +, elle reste e A avec ue probabilité égale à /3, ou elle passe e B avec ue probabilité égale à /3 b Lorsqu'elle est e B au temps t =, alors, au temps t = +, elle retoure e A avec ue probabilité égale à /4, ou elle reste e B avec ue probabilité égale à /, ou elle sort à l'air libre avec ue probabilité égale à /4 Au temps t =, la guêpe est e A Lorsqu'elle est sortie, elle e reviet plus O ote A (respectivemet B, S ) les évéemets : " à l'istat t =, elle est e A (respectivemet e B, elle sort), et u, v, s leurs probabilités respectives ) a) Calculer u, v, s, u, v, s, s b) Sachat qu'au temps t = elle est e A, quelle est la probabilité qu'elle ait été e B au temps t =? c) E décomposat les évéemets A +, B + selo u système complet, motrer que les suites u, v vérifiet les relatios de récurrece de la questio A, 3 ) d) Iterpréter alors les limites de u, v trouvées das cette questio

) Justifier : : s = 4 v- E déduire s e foctio de 3 ) O ote T la variable aléatoire égale à, si S est réalisé a) Quelle est la loi de T? b) Vérifier que T - suit ue loi géométrique dot o précisera le paramètre E déduire E(T) et V(T) Iterpréter E(T) c) Calculer la probabilité de l'évéemet : "la guêpe met plus de itervalles de temps pour réussir à sortir" (ecricome 9) U distributeur de jouets distigue trois catégories de jouets : T : Les jouets traditioels tels que poupées, peluches ; M : les jouets liés à la mode ispirés directemet d'u livre, u film, ue émissio ; S : les jouets scietifiques vulgarisat ue techique récete Il estime que : (i) Le cliet qui a acheté u jouet traditioel ue aée pour Noël choisira, l'aée suivate, u jouet de l'ue des trois catégories avec ue équiprobabilité (ii) Le cliet qui a acheté u jouet ispiré par la mode optera pour l'aée suivate pour u jouet T avec la probabilité /4, pour u jouet M avec la probabilité /4, pour u jouet S avec la probabilité / (iii) Le cliet qui a acheté u jouet scietifique se décidera l'aée suivate pour u jouet T avec la probabilité /4, pour u jouet M avec la probabilité /, pour u jouet S avec la probabilité /4 Le volume des vetes de ce commerçat viet de se composer d'ue part p = 45/ de jouets de la catégorie T d'ue part q = 5/ de jouets de la catégorie M d'ue part r = 3/ de jouets de la catégorie S O désige par p, q, r les parts respectives des jouets T, M, S das les vetes du distributeur le - ième Noël suivat ) Motrer que le triplet (p +, q +, r + ) s'eprime e foctio du triplet (p, q, r ) au moye d'ue matrice A que l'o formera ) Diagoaliser A 3 ) Eprimer (p, q, r ) directemet e foctio de 4 ) Quelles parts à log terme les trois catégories de jouets représeterot-elles das la vete si l'attitude des cosommateurs reste costate? 3 (ecricome 93) Les produits référecés X, Y, Z se partaget u marché O ote, y, z les proportios de cosommateurs utilisat respectivemet les produits X, Y, Z au -ième mois, où est u etier aturel O observe les doées suivates : * Utilisat le produit X u mois doé, respectivemet 4%, 3%, 3% des cosommateurs ot l'itetio d'adopter les produits X, Y, Z le mois suivat * Utilisat le produit Y u mois doé, respectivemet 3%, 4%, 3% des cosommateurs ot l'itetio d'adopter les produits X, Y, Z le mois suivat * Utilisat le produit Z u mois doé, respectivemet %, %, 7% des cosommateurs ot l'itetio d'adopter les produits X, Y, Z le mois suivat ) Eprimer +, y +, z + e foctio de, y, z,,, ) O cosidère les matrices : A = ; U = ; B = Motrer que l'o a, pour tout,,3 y, etier, l'égalité matricielle : U + = AU + B 3 ) Détermier la matrice C telle que C = AC + B

4 ) O cosidère la matrice V = U - C ; démotrer que, pour tout etier : V = A V 5 ) a) Calculer les valeurs propres de la matrice A b) Trouver ue matrice P iversible telle que la matrice P - AP soit diagoale c) E déduire, pour tout etier aturel o ul, l'epressio de la matrice A 6 ) E déduire les valeurs de, y e foctio de 7 ) Calculer z e foctio de 8 ) Quels sot à log terme les proportios de cosommateurs utilisat respectivemet les produits X, Y, Z? 4 (edhec 96) Partie I O cosidère les matrices : / 3 / 6 / 6 I =, J = et M = / 6 / 3 / 6 / 6 / 6 / 3 ) Eprimer J, puis pour tout etier supérieur ou égal à,j e foctio de J ) E déduire que, pour tout etier aturel : M = I + ( ) J 3 Partie II U mobile se déplace aléatoiremet das l'esemble des sommets d'u triagle ABC de la faço suivate : si, à l'istat, il est sur l'u quelcoque des trois sommets, alors à l'istat +, soit il y reste, avec ue probabilité de /3, soit il se place sur l'u des deu autres sommets, et ceci avec la même probabilité O ote A l'évéemet : "le mobile se trouve e A à l'istat " B l'évéemet : "le mobile se trouve e B à l'istat " C l'évéemet : "le mobile se trouve e C à l'istat " O pose a = P(A ), b = P(B ), c = P(C ) ) Pour tout etier aturel, détermier a + b + c ) a) Eprimer, pour tout etier, a +, b +, c + e foctio de a, b, c b) Déduire de la questio précédete que : c N a + b + = (a b ) et a + c + = (a c ) 3 ) O suppose, das cette questio seulemet, que le mobile se trouve e A à l'istat a) Calculer a, b, c e foctio de a b) Vérifier que b est la première coloe de M c c) Démotrer ce résultat 4 ) Epliquer commet retrouver, grâce à ue méthode aalogue à celle employée das la troisième questio, les deu autres coloes de M (Aucu calcul 'est demadé) 5 (esc 99) Partie A : calcul matriciel O cosidère les matrices de M (R) : 5 4 A =, D = et I = 5 6 (a) Calculer A (b) Détermier les réels a et b tels que A = aa + bi (c) E déduire que A est iversible et eprimer A - e foctio de A et de I (a) Calculer les valeurs propres de A La matrice A est-elle diagoalisable? (b) Détermier les sous-espaces propres de A (c) E déduire ue matrice iversible P de M (R) telle que : A = P D P - Calculer P - 3 (a) Motrer que pour tout etier aturel : A = P D P - (b) E déduire l'epressio de la matrice M, où M = 6 A 3

Partie B : probabilités O dispose de deu ures U et U aisi que d'ue pièce de moaie o truquée Iitialemet, l'ure U cotiet ue boule blache et deu boules oires et l'ure U cotiet deu boules oires O cosidère l'épreuve ε suivate : * o lace la pièce * si o obtiet pile o tire ue boule de U, sio o tire ue boule de U * si la boule tirée est oire elle remise das la même ure, sio elle est remise das l'autre ure Pour etier aturel o ul, o désige par X la variable aléatoire égale au uméro de l'ure das laquelle se trouve la boule blache à l'issue de répétitios de ε I) Das cette questio o effectue ue seule fois ε La otatio PB sigifiat : "la pièce a doé pile et o a tiré la boule blache de U " (o l'a doc remise das U ), calculer la probabilité de l'évéemet {PB } E utilisat la même otatio, décrire tous les résultats possibles de ε 3 Détermier la loi de la variable aléatoire X 4 Calculer E(X ) et V(X ) II) O répète maiteat l'épreuve ε (a) Motrer : P(X + = X = ) = 6 5 et P(X+ = X = ) = 6 (b) Calculer égalemet P(X + = X = i) pour i = et pour i = (c) E déduire P(X + = ) puis P(X + = ) e foctio de P(X = ) et P(X = ) P(X = ) O pose V = P(X = ) (a) Vérifier que V + = MV où M est la matrice défiie das la partie A e 3(b) (b) Motrer alors que pour tout etier aturel o ul : V = M - V (c) A l'aide de la partie A, e déduire la loi de X 6 (ecricome )Das cet eercice o étudie l évolutio au cours du temps d u titre das ue bourse de valeurs ) Le but de la première partie est de calculer les puissaces successives de la matrice : a a a M(a) = a a a où a représete u ombre réel a a a Motrer que pour tous réels a, b, o a : M(a)M(b) = M(a + b - 3ab) E déduire les valeurs de a pour lesquelles la matrice M(a) est iversible et eprimer so iverse 3 Justifier le fait que M(a) est diagoalisable 4 Détermier le réel a o ul tel que [M(a )] = M(a ) 5 O cosidère les matrices : P = M(a ) et Q = I P, où I désige la matrice carrée uité d ordre 3 a) Motrer qu il eiste u réel α, que l o eprimera e foctio de a, tel que : M(a) = P + α Q b) Calculer P, PQ, QP, Q c) Pour tout etier aturel o ul, motrer que [M(a)] s écrit comme combiaiso liéaire de P et de Q d) Epliciter alors la matrice [M(a)] ) Evolutio d u titre boursier au cours du temps Das la suite de l eercice, o suppose que a appartiet à ], 3 [ O défiit les suites (p ) IN*, (q ) IN*, (r ) IN*, par leur premier terme p, q, r, et les relatios p + = ( a)p + aq + ar de récurrece : q + = ap + ( a)q + ar r + = ap + aq + ( a)r 4

a) Eprimer p, q, r e foctio de, p, q, r b) Etudier la covergece de ces suites Das ue bourse de valeurs, u titre doé peut moter, rester stable ou baisser Das u modèle mathématique, o cosidère que : - le premier jour le titre est stable - si u jour le titre mote, le jour + il motera avec la probabilité 3, restera stable avec la probabilité 6 et baissera avec la probabilité 6 - si u jour le titre est stable, le jour + il motera avec la probabilité 6, restera stable avec la probabilité 3 et baissera avec la probabilité 6 - si u jour le titre baisse, le jour + il motera avec la probabilité 6, restera stable avec la probabilité 6 et baissera avec la probabilité 3 O ote M (respectivemet S, respectivemet B ) l évéemet «le titre doé mote (respectivemet reste stable, respectivemet baisse) le jour» a) Eprimer les probabilités de hausse, de stabilité, et de baisse au jour + e foctio de ces mêmes probabilités au jour b) E déduire les probabilités de hausse, de stabilité, et de baisse au jour c) Quelles sot les limites de ces probabilités quad ted vers l ifii? 7 edhec, problème Partie : étude d'u esemble de matrices O cosidère les matrices suivates de M 4 (R) : I = ; J = ; K = ; L = O ote E l'esemble des matrices M s'écrivat M = a I + b J + c K + d L, où a, b, c et d décrivet R ) a Motrer que E est u espace vectoriel b Motrer que la famille (I, J, K, L) est libre c Doer la dimesio de E ) a Motrer, e les calculat eplicitemet, que J, K, L, J 3 et K 3 appartieet à E b) E déduire, sas aucu calcul matriciel, que JK, KJ, KL, LK, JL et LJ appartieet aussi à E c) Etablir efi que le produit de deu matrices de E est ecore ue matrice de E 3 ) amotrer que L est diagoalisable b Détermier les valeurs propres de L aisi que les sous-espaces propres associés à ces valeurs propres 4) O cosidère les vecteurs : u = ; u = ; u 3 = ; u 4 = a Motrer que (u, u, u 3, u 4 ) est ue base de M 4, (R) b Vérifier que u, u, u 3 et u 4 sot des vecteurs propres de L et de J + K Partie : étude d'u mouvemet aléatoire Das cette partie, p désige u réel de ], [ Les sommets d'u carré sot umérotés,, 3 et 4 de telle faço que les côtés du carré reliet le sommet au sommet, le sommet au sommet 3, le sommet 3 au sommet 4, le sommet 4 au sommet, les diagoales reliat elles le sommet au sommet 3 aisi que le sommet au sommet 4 5

U pio se déplace sur les sommets de ce carré selo le protocole suivat : Le pio est sur le sommet au départ Lorsque le pio est à u istat doé sur u sommet du carré, il se déplace à l'istat suivat vers u sommet voisi (relié par u côté) avec la probabilité p ou vers u sommet opposé (relié par ue diagoale) avec la probabilité p O ote X la variable aléatoire égale au uméro du sommet sur lequel se trouve le pio à l'istat O a doc X = ) a Ecrire la matrice A, carrée d'ordre 4, dot le terme situé à l'itersectio de la i ème lige et de laj ème coloe est égal à la probabilité coditioelle P(X + = i / X = j) b Vérifier que A s'écrit comme combiaiso liéaire de J + K et L ) a Pour tout i de {l,, 3, 4}, calculer A u i E déduire qu'il eiste ue matrice D diagoale et ue matrice P iversible telles que A = PDP Epliciter D et P b Calculer P puis e déduire P 3) Pour tout de N, o pose P(X = ) P(X = ) C = P(X = 3) P(X = 4) a Motrer, à l'aide de la formule des probabilités totales, que C + = A C b E déduire que C = (/4) P D P C, puis doer la loi de X pour tout etier aturel supérieur ou égal à 8 edhec 3, problème U joueur participe à u jeu se jouat e plusieurs parties Ses observatios lui permettet d affirmer que : s il gage deu parties cosécutives, alors il gage la prochaie avec la probabilité 3 s il perd ue partie et gage la suivate, alors il gage la prochaie avec la probabilité s il gage ue partie et perd la suivate, alors il gage la prochaie avec la probabilité s il perd deu parties cosécutives, alors il gage la prochaie avec la probabilité 3 Pour tout etier aturel o ul, o ote A l évéemet : «le joueur gage la ème partie» De plus, pour tout etier aturel supérieur ou égal à, o pose : E = A A ; F = A A ; G = A A ; H = A A ) O admet que ( E, F, G, H ) est u système complet d évéemets a Motrer, e utilisat la formule des probabilités totales, que : IN *, P(E +) = 3 P(E ) + P(F ) b Eprimer de la même faço (aucue eplicatio est eigée) les probabilités P(F +), P(G +) et P(H +) e foctio de P(E ), P(F ), P(G ) et P(H ) 6

c Pour tout etier aturel supérieur ou égal à, o pose U = Vérifier que U + = M U, où M = / 3 / / / 3 / 3 / / / 3 PE ( ) PF ( ) PG ( ) PH ( ) 3 3 3 3 ) a Soit P = et Q = 3 3 3 3 Calculer P Q E déduire que P est iversible et doer so iverse b O ote C, C, C 3, C 4 les coloes de P Calculer M C, M C, M C 3 et M C 4, puis e déduire que 3, 6, et sot les valeurs propres de M c Justifier que M = P D P, où D est ue matrice diagoale que l o détermiera Das toute la suite, o suppose que le joueur a gagé les deu premières parties 3) a Motrer par récurrece que : IN, M = P D P b Motrer, égalemet par récurrece, que :, U = M U c Pour tout etier aturel supérieur ou égal à, doer la première coloe de M, puis e déduire P(E ), P(F ), P(G ) et P(H ) d Motrer que l o a : lim P(E ) = 3 + ; lim P(F ) = + ; lim P(G ) = + ; lim P(H ) = 3 + 4) Pour tout etier aturel o ul, o ote X la variable aléatoire qui vaut si le joueur gage la ème partie et qui vaut sio ( X et X sot doc deu variables certaies) a Pour tout etier aturel supérieur ou égal à, eprimer A e foctio de E et F b E déduire, pour tout etier aturel supérieur ou égal à, la loi de X 5) Pour tout etier aturel supérieur ou égal à, o ote S la variable aléatoire égale au ombre de parties gagées par le joueur lors des premières parties a Calculer P(S = ) e distiguat les cas =, = 3 et 4 b Détermier P(S = ) c Pour tout etier supérieur ou égal à 3, écrire S e foctio des variables X, puis détermier E(S ) e foctio de 7

Turbo-pascal et probabilités 9 (edhec93) O effectue des lacers successifs au hasard d'u dé cubique o truqué jusqu'à ce que certais évéemets soiet réalisés ) O suppose que l'o dispose d'ue foctio PASCAL, otée die, sas paramètre, qui fourit à chaque appel, u etier pris au hasard etre et 6 et o cosidère le programme PASCAL suivat qui simule l'epériece décrite ci-dessus program X; var c, :iteger; begi c:= ; :=; while c <> 6 do begi :=+l; c=die; ed; writel(); ed (a) Quel est l'évéemet qui doit être réalisé pour que l'o arrête les lacers du dé? Que représete l'etier? (b) Eprimer e foctio de la valeur de qui est affichée à la fi le ombre a()d'affectatios et le ombre c() de comparaisos effectuées lors de l'eécutio du programme ) Pour tout etier i compris au ses large etre et 6, o ote X i la variable aléatoire égale au ombre de lacers écessaires pour obteir le chiffre i pour la première fois Motrer que X i suit ue loi usuelle et doer les valeurs de l'espérace et de la variace de X i 3 ) Soit Y la variable aléatoire égale au ombre de lacers écessaires pour obteir le hiffre et le chiffre (a) Quel est l'esemble E des valeurs prises par Y? (b) Motrer que, pour tout etier de E : P(Y =) = P((X =) (X < )) + P((X < ) (X = )), et P(X = ) = P((X = ) (X < )) + P((X = ) (X )) (c) E déduire que, pour tout etier de E : P(Y = ) = [P(X = ) - P((X = ) (X ))] (d) Utiliser l'égalité précédete pour calculer P(Y = ) pour tout etier de E (e) Ecrire u programme PASCAL qui simule les lacers successifs du dé et qui compte le ombre de tirages écessaires pour obteir le chiffre et le chiffre (O pourra utiliser la foctio die aisi que deu variables booléees) die (pldice) sigifie dé e aglais (edhec 97) Das ce problème, désige u etier aturel supérieur ou égal à Partie I O effectue des tirages au hasard das ue ure coteat des boules umérotées de à U tirage cosiste à etraire ue boule de l ure, la boule tirée état esuite remise das l ure O ote N la variable aléatoire égale au uméro du tirage au cours duquel, pour la première fois, o a obteu ue boule déjà obteue auparavat ) O ote N(Ω) l esemble des valeurs que peut predre N Motrer que N(Ω) = [[, +]] A ) Motrer que : [[, ]], P( N > ) = Rappel : A désige le ombre d arragemets de élémets d u esemble à élémets 3 ) a) Motrer que : [[, ]], P(N = ) = P(N > ) P(N > ) 8

b) Calculer P(N = + ) puis e déduire la loi de N A 4 ) Motrer que l espérace E(N) de la variable aléatoire N est : E(N) = = Partie II Soit X ue variable aléatoire, à valeurs das R +, de desité f (ulle sur R - * ) et de foctio de répartitio F O suppose, de plus, f cotiue sur R + O pose, pour tout réel positif : ϕ() = t f (t) dt ) Motrer, grâce à ue itégratio par parties, que : R + ϕ() = [ F(t)]dt P(X > ) ) O suppose, das cette questio, que l'itégrale + [ F(t)]dt coverge a) Calculer ϕ '() et e déduire que la foctio ϕ est croissate sur R + b) Motrer que ϕ est majorée et e déduire que X a ue espérace c) Motrer que : R +, P(X>) + t f (t) dt d) E utilisat le fait que X a ue espérace, motrer que lim + t f (t) dt = E déduire lim P(X > ), puis motrer que : E(X) = + + F () Partie III O cosidère la foctio F, défiie par : F () + [ - F ( t )] dt = si < = + e - si ) Motrer que F est la foctio de répartitio d'ue variable aléatoire à desité T ) a Motrer que pour tout etier aturel, l'itégrale I = + e d coverge b Motrer que I + = ( + )I puis doer la valeur de I 3 ) E déduire, e utilisat la partie II, que T a ue espérace et que E(T ) = E(N) Partie IV O cosidère la déclaratio de foctio suivate, rédigée e turbo-pascal : fuctio f(p,q:iteger):real; var j : iteger ; z : real ; begi if (p <= ) or (q < ) the write ('valeurs icorrectes') else if (q = ) or (q = ) the f := else begi z := ; for j := to (q - ) do z := z * ( - j/p) ; f := z ; ed ; ed ; ) Motrer que, si p est u etier aturel o ul et si q est u etier aturel : q A p f(p,q) = q p ) Utiliser cette déclaratio pour écrire u algorithme e turbo-pascal doat la valeur commue de E(N) et E(T ) lorsque l'utilisateur etre la valeur de au clavier 9

esc 3 O suppose que p est u réel fié de ;[ ] qui représete la probabilité qu'u billet de euros soit fau O dispose d'u détecteur de fau billets imparfait qui allume ue lumière qui est soit bleue lorsqu'il cosidère que le billet testé est vrai, soit rouge lorsqu'il cosidère que le billet testé est fau O ote F : " Le billet testé est fau " et B : " La lumière qui s'allume est bleue " O ote P ( F / B) = α et P ( F / B) = β, et o suppose das tout l'eercice que α + β > (a) E utilisat ue formule des probabilités totales pour eprimer P (F), β p motrer que P ( B) = E déduire que α p β α + β (b) Motrer que la probabilité que le détecteur valide u fau billet est ( / ( α)( β p) P B F) = p ( α + β ) (c) O suppose das cette questio uiquemet que β = α =, 95 et o ote,95 = α + p = p,5 Motrer que P ( B / F) =,9( +,5) E déduire u réel a tel que P( B / F) = a + ε( ) avec lim ε( ) = > O cosidère le programme Turbo-Pascal suivat, où p représete la valeur p citée e itroductio : program ESC3 ; var, v, d, r : real ; begi radomize ; if radom < p the v := else v := ; r := radom ; := r r ; d := ( - ) v + ( - v ) ; ed O rappelle que radom est ue variable à desité qui suit ue loi uiforme et qui fourit à chaque appel u réel choisi au hasard das [ ; ] Les deu appels à la foctio radom sot idépedats O ote V, D, R, les variables aléatoires égales au valeurs de v,d,r lorsque le programme a été eécuté (a) Motrer que P ( V = ) = p (b) Eprimer D e foctio de R et de V (c) Soit s u réel fié de ] ; [, appelé " seuil " E remarquat que R et V sot deu variables aléatoires idépedates, motrer que : P ( D < s / V = ) = s et P( D s / V = ) = s E déduire P( D < s) = p s + ( p )( s ) O utilise ce programme pour simuler u détecteur, avec ( V = ) pour " le billet est fau " et ( D < s ) pour " le rouge s'allume " (d) Motrer que la probabilité que le détecteur se trompe est égale à ( p ) s p s (e) O suppose ici que p = Etudier sur ] ; [ la foctio défiie par f ( t) = 3 t + t 4 E déduire que pour le seuil s = la qualité du détecteur est maimum

turbo-pascal et aalyse (edhec 96) Partie I O cosidère la foctio f défiie sur R +*, par : f() = - l() ) Etudier f et résumer cette étude par u tableau de variatios ) Etudier le sige de f() -, pour tout réel strictemet positif Partie II O cosidère l'algorithme suivat : Program iter ; Var, : iteger ; a, u, p : real ; Fuctio f{ : real) : real ; Begi If > the f := - l() ; Ed ; Begi Readl(,a) ; u := a ; p := a ; For := to do begi u := f(u) ; p := p * u ; ed ; Writel(u, p) ; Ed ) Das le cas particulier où = 3 et a =, doer les valeurs approchées à -4 près par défaut des coteus des variables u et p à la fi de l'algorithme Doréavat, das le cas gééral, o ote u et p les coteus respectifs des variables u et p à la fi de l'algorithme, lorsque leur calcul est possible ) a Pour quelles valeurs de a peut-o défiir la suite (u ) N dot le premier terme est uo = a, et dot le terme gééral u est calculé par l'algorithme précédet? b Pour les valeurs de a trouvées ci-dessus, doer e foctio de le ombre d'appels de foctio utilisés au cours de cet algorithme, aisi que le ombre de soustractios, de multiplicatios et d'affectatios écessaires au calcul de u et de p NB : le symbole := utilisé das l'écriture "for := to " e sera pas cosidéré comme ue affectatio, mais chaque appel de foctio écessite ue affectatio (f:= ) et ue soustractio 3) Lorsque la suite (u ) N est bie défiie, écrire, pour tout etier aturel, la relatio liat u + et u 4) Pour quelle valeur de a la suite (u ) N est-elle costate? 5) O suppose, das cette questio que a > a Motrer que, pour tout etier aturel : u > b Etudier les variatios de la suite (u ) N c E déduire que (u ) N coverge et doer sa limite 6) O suppose, das cette questio, que < a < a Motrer que u > b E déduire que (u ) N est covergete et doer sa limite Partie III ) E cosidérat l(p ), eprimer p e foctio seulemet de a et u +, puis calculer lim p + ) Ecrire alors u ouvel algorithme e Turbo Pascal, e coteat aucue multiplicatio et permettat le calcul de p Partie IV Das cette partie, o choisit a > O pose, pour tout etier aturel : v = u + u f (t)dt ) Vérifier que la suite (v ) N est bie défiie ) a Motrer que, pour tout etier aturel, o a : u + l(u ) v u + l(u ) b E déduire que v est équivalet à l(u ) quad ted vers +

3 (edhec ) Partie O pose, pour tout etier supérieur ou égal à, v = = ) Motrer que : + N *, dt + t ) E déduire que : N *, v l() + Partie O cosidère ue suite (u ) défiie par so premier terme u o = et par la relatio suivate, valable pour tout etier : u =u + u + ) a Motrer par récurrece que chaque terme de cette suite est parfaitemet défii et strictemet positif b E déduire le ses de variatio de la suite (u ) ) a Pour tout etier, eprimer u u e foctio de u + b E déduire que : N*, u = + + = u c Motrer que: N *, u + E déduire la limite de la suite (u ) 3) a A l aide du résultat précédet, motrer que, pour tout etier supérieur ou égal à : u ++ v - b E utilisat la partie, établir que, pour tout etier supérieur ou égal à, c E déduire fialemet que ~ u + 5 l(-) u + + Partie 3 ) Ecrire u programme e Turbo Pascal permettat de calculer et d afficher u lorsque l utilisateur etre la valeur de au clavier ) a Ecrire u deuième programme, toujours e Turbo Pascal, qui permette de détermier et d afficher le plus petit etier aturel pour lequel u b O doe l <,7 et l5 <,6 E déduire u majorat de l 5 c Motrer que l etier trouvé e a) est compris etre 4995 et 5 Aalyse 4 (d'après iscid 9) ) Rappeler le développemet limité de l( + u) à l'ordre au voisiage de l( + ) ) Soit f la foctio défiie sur R par :! f() =, et f() = a) Motrer que f est cotiue et dérivable e b) Quelle est la ature de la courbe représetative de f au voisiage de +? c) Motrer que f est cotiue et dérivable sur R d) Etudier les variatios de f : o motrera que :! f '() = g(), et o détermiera le 3 ses de variatio de g et so sige e) Représeter graphiquemet f das u repère orthoormé 3 ) Soit I = + f (t)dt a) Avec ue itégratio par parties, détermier les primitives de f sur R* + (O rappelle que sur R ue primitive de /( + ) est Arcta() ) b) Calculer I c) Détermier la costate telle que la foctio f soit ue desité de probabilité

4 ) Soit, pour, S = = f () = f() + f() + + f() = a) Motrer que f() f (t)dt, pour tout etier o ul b) E déduire que la suite (S ) coverge (o e cherchera pas sa limite) c) Ecrire, e turbo-pascal, u programme qui calcule et affiche S, pour ue valeur de doée par l'utilisateur f () = si < 5 (escl 9) O cosidère la foctio défiie sur R par : O se propose d'étudier la f () = si suite réelle (u ) défiie par la doée de so premier terme u et la relatio de récurrece N u + = u + f(t - u ) dt ) Etude du cas u O suppose u a) Motrer que la suite (u ) est décroissate b) Motrer que, si u, alors u + = ( + u ) E déduire que, pour tout etier positif ou ul, u c) Motrer que la suite (u ) est covergete ; détermier sa limite ) Etude des cas u < et u > a) O suppose u < Calculer u E déduire l'étude de la suite (u ) b) O suppose u > Calculer u, puis, pour tout etier positif, u Que dire de la suite (u )? 3 ) Iterprétatio graphique O cosidère la foctio g défiie sur R par : g() = + f (t )dt a) Calculer pour tout ombre réel la valeur de g() Costruire le graphe de g das u repère orthoormé (uité graphique cm) b) Représeter graphiquemet les quatre premiers termes de la suite (u ) das les cas suivats : u = u = u = 6 (edhec 98) La partie I permet d'établir des résultats utiles pour les parties II et III Les parties II et III sot idépedates etre elles O cosidère la foctio défiie pour tout par f() = e Partie I ) a Dresser le tableau de variatio de f b Motrer que : R f(), l'égalité ayat lieu seulemet pour = ) a Motrer que, pour tout etier aturel et pour tout réel : e - ( ) + ( t) t = + ( ) e dt =!! b E écrivat l'égalité précédete pour =, puis pour = 3, motrer que : R + 3 f () 6 Partie II O cosidère la suite (u ) défiie par so premier terme u = et par la relatio : N u + = f(u ) ) a) Motrer que : N u ], ] b) Motrer, grâce à la questio I ), que : N u u + c) Coclure quat à la covergece de la suite (u ) et doer sa limite ) a) Simplifier, pour tout élémet de N, ( u u + ) = b) E déduire que la série de terme gééral (u u + ) est covergete 3

c) E utilisat la questio I ), motrer que u u + ~ + d) Doer efi la ature de la série de terme gééral u Partie III ) O ote ϕ la foctio, défiie sur R, par : ϕ() = et R* + f (), ϕ() = Motrer que ϕ est cotiue sur R + O cosidère la foctio réelle g, défiie par : g() = et R* +, g() = ϕ (t)dt ) a) Motrer que g est bie défiie et cotiue sur R* + b) Motrer que : R* +, g() + 4 4 8 c) E déduire que g est cotiue e, dérivable e, puis doer g'() 3 ) a) Motrer que : ], + [ ϕ (t)dt l() b) E déduire que g a ue limite fiie e + et doer la valeur de cette limite h() 4 ) a) Pour tout réel strictemet positif, calculer g'() et l'écrire sous la forme : g'() = b) Motrer alors que : h'() = ( + )e c) Etudier la foctio, otée, défiie par : R + () = ( + )e - d) Doer le sige de, puis les variatios de h, et efi celles de g e) Dresser le tableau de variatios de g, et tracer l'allure de sa courbe représetative das u repère orthoormé 7 (esc 99) Partie A : étude d'ue foctio Soit f la foctio défiie sur R par : f() = l( + ) O désige par C sa courbe représetative das le pla mui d'u repère orthoormé Motrer que f est ue foctio paire Etudier ses variatios et préciser sa limite e + 3 Motrer que f() est équivalet à l() quad ted vers + E déduire la ature de la brache ifiie de C e + 4 Etudier la cocavité de C et calculer les coordoées des poits d'ifleio 5 Costruire C aisi que ses tagetes à l'abscisse et au poits d'ifleio O doe l(),7 Partie B : étude d'ue itégrale + Pour N, o pose : I = d + Calculer I (a) Calculer I + I (b) E déduire I 3 (a) Quel est le sige de I? (b) Motrer que I + + I = + u (c) E déduire que I + (d) Motrer que la suite (I ) est covergete et calculer sa limite Partie C : étude d'ue série (a) Motrer par récurrece que pour tout etier aturel o ul : (b) E déduire (-) ( ) I = lim + = ( ) = - l 4

(a) A l'aide d'ue itégratio par parties, motrer que : + 3 I = + + + d 4 ( + ) + 3 (b) Etablir les iégalités : d ( + ) + 4 (c) E déduire lim I + ( ) 3 A l'aide des questios précédetes, doer u équivalet de = vers + l quad ted 8 (edhec 99) Pour tout réel a, o cosidère la foctio f a de R das R défiie par : (,y) R R f a (,y) = ( +y + y +a ) e y Partie : étude des etrema de f a Das cette partie, o suppose a et a ) a Calculer les dérivées partielles premières de f a b E déduire que f a possède deu poits critiques (c'est à dire deu couples de R R e lesquels f a est susceptible de préseter u etremum local) et doer leurs coordoées ) Calculer les dérivées partielles secodes de f a 3) a Eamier, pour chacu des deu poits critiques, à quelle coditio portat sur a, f a présete e ces poits u etremum local b Détermier, e distiguat trois cas, si f a présete sur R R u maimum local ou u miimum local et doer sa valeur e foctio de a Partie : étude d'ue foctio défiie à l'aide f a ) a Pour tout réel et tout réel t iférieur à, calculer e y dy E déduire que l'itégrale t I = e y dy coverge et doer sa valeur b Pour tout réel, motrer grâce à ue itégratio par parties que l'itégrale J = ye y dy coverge et doer sa valeur ) a Déduire des deu questios précédetes que l'o défiit bie ue foctio F a de R das R e posat : F a () = f a (, y) dy b Après avoir écrit F a () e foctio de a et de, doer le tableau de variatio de F a (O distiguera les trois cas : a =, a <, a > ) si ],[ ], + [ 9 (iseec ) Soit f la foctio défiie sur ], + [ par f() = O désige par C sa courbe représetative das le pla mui d'u repère orthoormal l() f() = - Partie Etude de f ) Motrer que f est cotiue sur ], + [ ) a) Détermier le développemet limité de f e à l'ordre E déduire la dérivabilité de f e et préciser f '() b) Etudier localemet la positio de C par rapport à sa tagete à au poit d'abscisse 5

3) a) Motrer que f est dérivable sur ], [ ]l, + [ et pour tout réel ], [ ], + [, calculer f '() b) Etudier sur ], + [ les variatios de ϕ : l(), et e déduire le sige de f '() pour apparteat à], [ ]l, + [ c) Dresser le tableau des variatios de f et costruire das u même repère C et (l,7 et l 3,) Partie Etude d'ue série t Soit u etier aturel o ul, o cosidère la foctio f : [, [ R, dt t t dt dt, e déduire : ) a) Soit [, [, motrer que : t t [, [, f () l et : [, /[, f () l() b) E déduire l'eistece de l'itégrale f () d / f () l() c) E utilisat les deu questios précédetes, motrer que d ) Par dérivatio de g : [, [ R et de S : [, [ R l( ) + + K+ f () motrer que: [, [ g() = S () l() / l( u) 3) Justifier l'égalité : d = / du u l() / f () 4) Déduire des questios précédetes l'égalité : d = + / d = 5) a) E raisoat par majoratio motrer que la série b) A l'aide des questios précédetes motrer que : + l() = d / = coverge l >, f () = + f () = ) a Vérifier que f est cotiue sur R + b Etudier le sige de f() ) Motrer que l'o défiit bie ue foctio F sur R + e posat : R, F() + = f(t)dt 3) Pour tout de R +, o pose : g() = F() a Motrer que g est dérivable sur R + et que, pour >, o peut écrire g'() sous la forme h() g'() = + 5 b Etudier les variatios de h, puis e déduire so sige (o doe l, 48) c E déduire le sige de g() (edhec ) O ote f la foctio défiie sur R + par : 6

4) O défiit la suite (u ) par la doée de so premier terme u = et la relatio de récurrece, valable pour tout de N : u + = F(u ) a Etablir par récurrece que : N, u + [, ] b Motrer, e utilisat le résultat de la troisième questio, que (u ) est décroissate c E déduire que la suite(u ) coverge et doer lim + (u ) (eml 3) O ote e = ep() et R * +=], + [ O ote, pour tout ombre réel a o ul, l applicatio f a : R * + R * + R défiie par : (,y) R * + R * e y +, f a (,y) = y a Les deu parties de l eercice sot idépedates etre elles Première partie Das cette partie, o pred a = e et o ote g à la place de f e Aisi, l applicatio g : R* + R* + R est défiie par : e y (, y) R* + R* +, f a (, y) = + y e Motrer que g est de classe C² sur R* + R* + Calculer les dérivées partielles d ordre de g e tout poit (,y) de R* + R* + 3 Motrer qu il eiste u couple uique (,y) de R* + R* + e lequel les deu dérivées partielles d ordre de g s aulet, et calculer ce couple 4 Est-ce que g admet u etremum? Secode partie Das cette secode partie, o pred a = O cosidère, pour tout etier tel que, l applicatio h : ],+ [ > R défiie par : ], + [, h () = f (, e ) = et l applicatio ϕ : ],+ [ >R défiie par : ], + [, ϕ () = e a Motrer que, pour tout etier supérieur ou égal à, ], + [, h () = ϕ () = b E déduire que, pour tout etier supérieur ou égal à, l équatio h () =, d icoue ],+ [, admet ue solutio et ue seule, otée u, et que : < u < a Motrer, pour tout etier supérieur ou égal à : lu = b E déduire : u u U peu de tout (ecricome 98) Das tout le problème, X désige ue variable aléatoire défiie sur u espace probabilisé ( Ω, A, P) et à valeurs das N et E(X) l'espérace de X si elle eiste O ote A l'évéemet «X pred ue valeur paire» (o écrira doréavat pour abréger «X est pair») O rappelle que est pair O pose a = P( A ) * O dit que X a la propriété P si et seulemet si a> / O défiit deu variables aléatoires X et X : X si X est pair X si X est impair X = X = sio sio * O dit que X a la propriété Q si et seulemet si E(X ) > E(X ) Prélimiaires ) Détermier X + X 7

si X est pair ) O ote Y la variable aléatoire qui vaut si X est impair Motrer les relatios : X = ( + Y) X et X = ( Y) X Partie A Das cette partie o suppose que X suit la loi géométrique de paramètre p ( < p < ) et o pose q = -p q ) Motrer que a =, puis que X e vérifie pas la propriété P q + q + ) Motrer que X admet ue espérace doée par E (X ) = ( + q)( q ) 3 ) Motrer que X admet aussi ue espérace que l'o précisera, puis que X vérifie la propriété Q Partie B ) Pour tout etier aturel, o pose p = P(X = ) et o suppose que la suite (p ) N est strictemet décroissate E écrivat P(A) et P( A ) à l'aide des ombres p, motrer que X vérifie P ) O suppose maiteat que X admet ue espérace a) Motrer que X et X admettet aussi des espéraces b) Motrer, à l'aide des prélimiaires, que X vérifie Q si et seulemet si E(YX) < Partie C O suppose ici que la variable aléatoire X est e fait à valeurs das l'itervalle d'etiers [, ] et doc que, pour tout etier >,p = O défiit u type : TYPE TABLE=ARRAY[O] OF REAL ; et o demade d'écrire u programme e Turbo Pascal : -coteat ue procédure ENTRE_LOI (à écrire ) qui permet à l utilisateur d'etrer das ue variable T de type TABLE les ombres P(X = )pour =,,, - calculat E(YX) et idiquat par u message Si X vérifie Q ou o Partie D Le but de cette partie est d'étudier le cas où X suit la loi biomiale B(, p) avec > et < p < / ) Soit f la foctio de deu variables défiie sur l ouvert U = ], + [ ], [ de R par : (, y) f(, y) = y( y) - = yep[( )l( y)] f a) Motrer que f admet e tout poit (,y) de U des dérivées partielles premières (,y) et f (,y) Les calculer et les mettre sous forme de produits Motrer que f est de classe C sur U y b) Motrer que pour tout élémet de ], [ l( u) < -u E déduire que f a pas d etremum sur U ) Das cette questio, p est u réel vérifiat : < p < O réalise ue suite d'épreuves de Beroulli idépedates, de probabilité «de succès» p et de probabilité «d'échec» q = p Pour tout élémet de N* o défiit l'évéemet F = «au cours des premières épreuves, o obtiet u ombre pair de succès» et o pose u = P(F ) a) Motrer que pour tout élémet de N *, u + = ( p)u + p( u ) O pose par covetio u = Vérifier que la relatio précédete est ecore vraie pour = b) Doer l epressio géérale de u e foctio de pour tout etier aturel 3 ) O se place maiteat das le cas aocé au début de la partie D : X suit la loi biomiale B(,p) avec > et < p < a) E repreat la défiitio du réel a associé à la variable X, motrer que a = u Motrer que X vérifie la propriété P 8

b) Calculer E(YX) E déduire que E(X ) - E(X ) = f (, p) (où f est la foctio itroduite e D-) puis que X a la propriété Q c) O cosidère l applicatio partielle g : y g(y) = f(, y) défiie sur ], /[ ( > ) Motrer que g admet u maimum M = /((-)/) - d) Motrer que la foctio φ : ( ) l( /) est de classe C sur [, + [, que sa dérivée secode est strictemet positive sur [, + [, et que lim + φ () = E déduire que la suite (M ) > est strictemet décroissate e) Motrer que la suite (M ) > coverge, préciser sa limite et motrer que pour tout etier supérieur ou égal à : /(e) < M < /4 4 ) O suppose que deu joueurs Alai et Béatrice jouet à pile ou face avec ue pièce déséquilibrée, la probabilité d obteir «face» état égale à p ( < p < /) Ue pièce est lacée fois ( > ), les lacers successifs sot idépedats Alai empoche u gai égal au ombre de faces apparues si ce ombre est pair, et Béatrice u gai égal au ombre de faces apparues si ce ombre de faces est impair a) Quel est celui des joueurs qui a le plus de chaces de gager? b) Quel est celui des joueurs qui a la plus forte espérace de gai? c) Commet iterpréter l ecadremet obteu à la questio 3 )e) de cette partie? 3 (edhec 99) Les parties et sot idépedates Partie O pose, pour tout élémet de N* : u = dt ) a Motrer que : p N*, t p + p b E déduire que : N*, u + l() ) O cosidère la foctio ϕ défiie sur R + par : p+ Motrer que ϕ est cotiue sur R + p= ϕ ϕ p () = () = ( + l()) si > 3) Pour tout réel positif et pour tout etier aturel o ul, o pose : ϕ + () = ϕ (t) dt (O rappelle que ϕ a été défiie à la questio ) a Motrer que pour tout élémet de N* la foctio ϕ est parfaitemet défiie et cotiue sur R + Que vaut ϕ ()? b Vérifier qu'il eiste deu suites (a ) N* et (b ) N* telles que : N*, R* + ϕ () = (a + b l ) a b b O motrera que : N* a + = et b + = + ( + ) + 4) Ecrire u programme e turbo Pascal qui calcule et affiche les premiers termes de chacue des suites (a ) N* et (b ) N* pour ue valeur de etrée par l'utilisateur 5) Calculer b 6) Pour tout élémet de N*, o pose : c =! a a Motrer que c = - u b E déduire que pour tout etier supérieur ou égal à : c + l() c Coclure que lim a = + d Motrer efi que la série de terme gééral a est absolumet covergete 9

Partie O cosidère les foctios e, e, e 3 et e 4 défiies par : R* + e () =, e () =, e 3 () = l() et e 4 () = l() O ote E l'espace vectoriel egedré par e, e, e 3 et e 4 ) O suppose das cette questio que a, b, c et d sot 4 réels tels que : (*) R* + a + b + c l() + d l() = a Motrer que a + b = a b c b Etablir que : > + + + d = E déduire que d = l() l() a l() c Etablir esuite que : R* + + b + c = E déduire que b = d Motrer fialemet que a = b = c = d = ) a Déduire de la questio précédete que (e, e, e 3, e 4 ) est ue famille libre b Motrer que (e, e, e 3, e 4 ) est ue base de E 3) O ote u l'applicatio qui à toute foctio f de E associe la foctio g = u(f) défiie par R* + g() = f '() a Motrer que u est ue applicatio liéaire b Détermier u(e ), u(e ), u(e 3 ) et u(e 4 ) c E déduire que u est u edomorphisme de E 4) a Doer la matrice A de u das la base (e, e, e 3, e 4 ) b Motrer que u est u automorphisme de E 4 (ecricome 99)Toutes les matrices de cet eercice sot des élémets de l esemble E des matrices carrées d ordre à coefficiets réels Soit O la matrice ulle, I la matrice uité, H = {M E / il eiste α R tel que M = αi }, et, a b avec M = : τ(m) = a + d, δ(m) = ad bc c d a b Questio O dit que la suite de matrices (A ), où A =, coverge vers la matrice O si c d (a ), (b ), (c ), (d ) sot des suites réelles de limite ulle Justifier les résultats suivats : a) Soiet (A ), (B ) deu suites de matrices, λ u réel et M ue matrice : si (A ), (B ) coverget vers la matrice O, alors (A + B ), (λa ), (MA ) et (A M) coverget aussi vers O λ b) Si D = avec λ < et µ <, la suite de matrices (D ) coverge vers O µ c) Si ue matrice A est diagoalisable, de valeurs propres λ et µ avec λ < et µ <, alors la suite (A ) coverge vers O Questio Das toute cette questio, A désige u élémet de E tel que δ(a) < O se propose de motrer qu ue telle matrice est diagoalisable a) Motrer que A est pas u élémet de H b) Vérifier par le calcul que pour tout élémet M de E, o a : M = τ(m) M - δ(m) I (*) c) Motrer qu il eiste deu réels disticts λ et µ tels que : λ +µ = τ(a) et λ µ = δ(a) d) O pose M = A - λ I et N = A - µ I Motrer que M N = O et e déduire que l hypothèse «M est iversible» coduit à ue cotradictio Motrer de même que N est pas iversible e) E déduire que A est diagoalisable et qu il eiste ue matrice P de E iversible telle que : A = P D P - λ avec D = µ

Questio 3 O ote U l ouvert de R défii par U = ], 3 3 [ ],[ et f l applicatio défiie sur U par : (,y) f(,y) = + y y 3 a) Motrer que f est strictemet égative sur U 3 b) Motrer (e rédigeat soigeusemet) que f admet u uique etremum sur U et que celui-ci est u miimum dot o doera la valeur 5 E déduire que pour tout (,y) de U: f(,y) < 64 Questio 4 Soiet a et b deu réels tels que (a,b) soit u élémet de l ouvert U défii précédemmet a b O pose Q = O se propose de motrer que la suite de matrices (Q ) coverge vers a( b) a O 4 a) Calculer τ(q) et δ(q) Vérifier que les résultats de la questio s appliquet pour A = Q et e déduire que Q admet deu valeurs propres distictes λ et µ telles que : 5 < λ + µ < et λ µ 3 3 64 4 b) Eprimer λ + µ e foctio de λ + µ et λ µ et e déduire que λ + µ < Pourquoi peut-o affirmer que la suite (Q ) coverge vers O? 5 (ecricome ) T est l'esemble des couples (, y) de réels solutios du système d'iéquatios 4, y 4, + y 4 3 O otet ' " l ' itérieur " de T, à savoir l'esemble des couples (, y) solutios du système d ' iéquatios > 4, y > 4, + y < 4 3 Soit f la foctio défiie sur T par : f(, y) = + y + y ) Représeter sur u même graphique T et T ' ) O admet que T ' est u ouvert de R a) Détermier les dérivées partielles d'ordre sur T ' de la foctio f b) Motrer que f 'admet pas d'etremum local ( et doc a fortiori absolu) sur T ' 3) Démotrer par de simples cosidératios sur des iégalités que l'o a pour tout couple (, y) de T : 6 f(, y) 3 O cosidère ue ure coteat des boules blaches (e proportio p), des boules rouges (e proportio r) et des boules vertes (e proportio u) O suppose que p 4, q 4, u 4 et que p + r + u = O effectue idéfiimet des tirages successifs d'ue boule das cette ure avec remise etre deu tirages Pour tout etier aturel supérieur ou égal à, o ote B (respectivemet R, V ) l'évéemet : " Tirer ue boule blache (respectivemet rouge, verte) au - ième tirage" O appelle X (respy) la variable aléatoire égale au rag d'apparitio de la première boule blache (resp rouge) O défiit alors la variable D = X - Y égale au ombre de tirages séparat la sortie de la première blache et de la première rouge 4) Détermier la loi et l'espérace de X Faire de même pour Y

5) Soiet i et j des etiers aturels o uls E distiguat les cas i = j, i < j et i > j, eprimer l'évéemet (X = i ) (Y = j ) à l'aide des évéemets décrits das l'éocé E déduire la loi du couple (X, Y) 6) Les variables X et Y sot-elles idépedates? pr 7) Soit u etier aturel o ul, motrer l'égalité P(D = ) = [(l - p) - + ( - r ) - ] p + r 8) Motrer que D admet ue espérace et que E(D) = f(p, r) Ecadrer alors E(D) 6 (edhec ) O désige par u etier aturel supérieur ou égal à O cosidère ue épreuve aléatoire pouvat aboutir à 3 résultats différets R,R et R 3 de probabilités respectives P,P et P 3 O a doc P + P + P 3 = et o admet que, pour tout i de {,,3}, < P i < O effectue épreuves idépedates du type de celle décrite ci-dessus Pour tout i de {,,3}, o ote X i la variable aléatoire qui vaut si le résultat uméro i est pas obteu à l issue des épreuves et sio O désige par X la variable égale au ombre de résultats qui ot pas été obteus à l issue des épreuves ) a Justifier soigeusemet que X = X + X + X 3 b Doer la loi de X i, pour tout i de {,,3} c E déduire l espérace de X, otée E(X) La suite de cet eercice cosiste à rechercher les valeurs des réels P i e lesquelles E(X) admet u miimum local Pour ce faire, o ote f la foctio défiie sur l ouvert ],[],[ de R² par : f(,y) = (-) + (-y) + (+y) ) a O pose P = et P = y Vérifier que E(X) = f(,y) b Motrer que f est ue foctio de classe C² sur ],[],[ 3) a Détermier les dérivées partielles d ordre de f b E déduire que le seul poit e lesquelles les dérivées partielles d ordre de f s aulet simultaémet est le poit (, ) 3 3 4) a Démotrer que f présete u miimum local e ce poit b Doer la valeur de E(X) correspodat à ce miimum l t I = dt t a) Calculer pour A l'itégrale A l t dt et e déduire que I est divergete t b) Motrer grâce à ue itégratio par parties que pour tout etier aturel, l'itégrale I coverge et vaut ( ) l t c) Etudier les variatios de la foctio f défiie sur [ ; + [ par f (t) = et doer sa limite e + t (O doe e, 65) 7 (esc ) ) O pose pour tout etier aturel o ul l'itégrale : + d) E déduire grâce à I que + = l coverge (o e cherchera pas à calculer cette série) g(t) = si t < ) O cosidère la foctio g défiie sur R par : 4l t g(t) = si t 3 t a) Motrer que g est cotiue sur R et costitue ue desité de probabilité (O utilisera les résultats de la questio ) b) ) O omme pour toute la suite X ue variable aléatoire admettat la desité g

b) Etudier l'eistece et la valeur évetuelle de l'espérace E(X) c) La variable X admet-elle ue variace? 3 ) Etude d'ue variable discrète défiie à partir de X G(t) = si t < a) O cosidère la foctio G défiie sur R par l t G(t) = si t t t Motrer que G est dérivable sur R, puis justifier que G est la foctio de répartitio de la variable aléatoire X O ote Z la variable aléatoire discrète défiie par : Z(Ω) = N et Z = [X], partie etière de X O rappelle que si R + et N, [] = < + b) Motrer que pour tout etier aturel, P( Z = ) = G( + ) G() c) E déduire par récurrece sur l'etier aturel que : = P(Z = ) = ( + )[ G( + )] + = ( G( + ) ) l d) Motrer que ( G() ) est équivalet e + à e) Déduire de l'esemble des résultats obteus que Z admet ue espérace 4 8 (iseec ) O cosidère la matrice carrée réelle d'ordre 3 : A = 4 et o ote ϕ l'edomorphisme de R 3 dot la matrice est A, das la base caoique b = (e, e, e 3 ) de R 3 ) Détermier le oyau et l'image de ϕ E déduire que est ue valeur propre de ϕ ) a) Justifier que la matrice A est diagoalisable b) Vérifier que 4 et 6 sot deu valeurs propres de ϕ et détermier les sous-espaces propres associés c) O pose u = e + e + e 3, u = e + e et u 3 = e e + e 3, motrer que b' = (u, u, u 3 ) est ue base de R 3 et détermier la matrice A' de ϕ das cette base α β λ 3) Soiet α, β, γ trois ombres réels o uls et P la matrice défiie par P = α β γ α γ a) Motrer e utilisat la questio précédete que P est iversible b) O rappelle que pour toute matrice A = (a ij ), o appelle trasposée de A la matrice, otée t A, défiie par t A = (a ji ), c'est à dire obteue e permutat les liges et les coloes de A, aisi α α α t P = β β γ γ γ Calculer le produit P t P et e déduire l'eistece de valeurs de α, β et γ telles que t P = P O se placera das cette situatio das la suite de l'eercice c) Justifier que A = PA' t P 4) Soiet, y et z trois réels, o défiit les matrices coloes et liges respectives : X = y et t X = (, y, z) et o pose g(, y, z) = 4 + 4y + z + 4z 4yz z a) Motrer que t XAX = g(, y, z) 3

b) Motrer que la trasposée de la matrice ( t PX) est ( t XP) ' t O pose PX = y', e déduire que : g(, y, z) = 4y' + 6z' z' 5) O cosidère la foctio f : R R, défiie par : (, y) R, f(, y) = g(, y, y ) a) Epliciter f(, y) et calculer p, q, r, s, t b) Détermier les etremums évetuels de f sur R c) Motrer e utilisat la questio 4) que (, ) est u miimum global de f sur R d) Motrer que f présete u miimum local e (, ) e) Des développemets limités à l'ordre e de h f( / + h, + h) et h f( / + h, h) e déduire que f e présete pas u etremum local e 9 (esc ) Das tout l eercice désige u etier aturel supérieur ou égal à O cosidère deu variables aléatoires discrètes idépedates X et Y telles que : X suit ue loi biomiale de paramètres et (otée B(, )) avec ], [ Y suit ue loi biomiale de paramètres et y (otée B(, y)) avec y ], [ O pose alors Z la variable aléatoire discrète défiie par l égalité : Z = X Y ) a) Détermier l esemble Z(Ω) des valeurs possibles de Z b) Eprimer e foctio de, et y les probabilités : P( Z = ) ; P( Z = ) ; P( Z = ) ; P(Z = ) ) a) Doer les espéraces et variaces suivates : E(X), E(Y), V(X), V(Y), et e déduire E(X ) et E(Y ) b) O pose W la variable aléatoire défiie par W = XYZ Motrer que l espérace de W est doée par : E(W) = ( )y( y ) 3 ) O pose D = ],[ ],[ et f la foctio de deu variables défiie sur D par: f(, y) = y( y ) pour tout couple (, y) de D a) Justifier que f est de classe C sur D b) Calculer les dérivées partielles d ordre de f, e déduire le seul poit (, y ) de D (appelé «poit critique») susceptible de réaliser u etremum local pour f c) Calculer les dérivées partielles d ordre de f, et motrer que f admet u maimum local e (, y ) de valeur 8 7 d) Motrer que pour tout couple (, y) de D : f((, y)) 8 = ( y ) ( y 8) y( + y ) 7 4 3 3 E déduire que ce maimum local est u maimum global de f sur D 4 ) O suppose que les variables X, Y défiies plus haut représetet, e cetimètres, la largeur et la logueur d ue brique, dot la hauteur Z est telle que la somme des côtés, X + Y + Z, est toujours égale à 56 cm, et de volume XYZ a) Quelles sot les valeurs que l o doit doer au paramètres et y pour que le volume moye de la brique soit maimal? b) Motrer que ce volume moye maimum est de 67 cm 3 3 (escl ) ) Etude prélimiaire O admet, pour tout etier aturel et pour tout réel de [ ; [, que la série C est covergete et o ote + s () = C = a) Vérifier, pour tout réel de [ ; [ : s () = et s() = ( ) + + b) Pour tout couple d'etiers aturels (, ) tel que <, motrer : C = C C 4 + +