CAPES SÉRIE DOCUMENTS DE TRAVAIL DT CAPES N 2005 26

CAPES SÉRIE DOCUMENTS DE TRAVAIL DT CAPES N 5 6 STATISTIQUE. (Deuxème are.) Les dsrbuos à deux caracères. Quelques alcaos à l'écoome burabè. Novembre 5 Seglaro Abel SOME seglaro.some@uv ouaga.bf / seglaro@ecourrer.com 595, Aveue Charles de Gaulle, BP 99 Ouagadougou Bura Faso Tél. : 5 36 96 4/3 Fax : 5 36 96 33 courrer@caes.bf www.caes.bf

AVERTISSEMENT Le Docume de Traval du Cere d'aalse des Polques Écoomques e Socales (CAPES) es cosué des ravaux de recherche (ravaux sem fs, drafs d'arcles, commucaos dverses ) des exers du Cere, qu les soumee de la sore au déba scefque. Les aueurs des ravaux ublés das la Sére Docume de Traval so eèreme resosables de leur coeu. Le Docume de Traval araî chaque fos que des ravaux so reçus à la Dreco du Cere.

3 TABLE DES MATIÈRES AVERTISSEMENT... LISTE DES TABLEAUX...6 LISTE DES GRAPHIQUES... 7 INTRODUCTION GÉNÉRALE... 8 DÉFINITIONS ET NOTIONS DE BASE... 8 Poulao, uvers sasque... 8 Idvdu, ué sasque... 8 Caracère, varable sasque... 8 Caracère quaaf...9 Caracère qualaf...9 Modalé...9 Varable sasque dscrèe...9 Varable sasque coue...9 Dsrbuo sasque, sére sasque...9 CHAPITRE V... LES DISTRIBUTIONS MARGINALES ET CONDITIONNELLES... SECTION... LE TABLEAU DE CONTINGENCE... SECTION... LES DISTRIBUTIONS MARGINALES.... LA DISTRIBUTION MARGINALE DE X..... EFFECTIFS MARGINAUX ET FRÉQUENCES MARGINALES DE X..... LA MOYENNE MARGINALE DE X...3..3 LA VARIANCE MARGINALE DE X...3. LA DISTRIBUTION MARGINALE DE Y...3.. EFFECTIFS MARGINAUX ET FRÉQUENCES MARGINALES DE Y... 4.. LA MOYENNE MARGINALE DE Y... 4..3 LA VARIANCE MARGINALE DE Y... 4 SECTION 3...5 LES DISTRIBUTIONS CONDITIONNELLES...5 3. LES DISTRIBUTIONS CONDITIONNELLES DE X SELON Y...5 3.. LES FRÉQUENCES CONDITIONNELLES DE X SELON Y...5 3.. LA MOYENNE CONDITIONNELLE DE X SELON Y...6 3..3 LA VARIANCE CONDITIONNELLE DE X SELON Y...6 3. LES DISTRIBUTIONS CONDITIONNELLES DE Y SELON X...6 3.. LES FRÉQUENCES CONDITIONNELLES DE Y SELON X...7 3.. LA MOYENNE CONDITIONNELLE DE Y SELON X...7 3..3 LA VARIANCE CONDITIONNELLE DE Y SELON X...7 SECTION 4...8 RELATIONS ENTRE DISTRIBUTIONS MARGINALES ET CONDITIONNELLES...8 4. RELATIONS ENTRE EFFECTIFS PARTIELS ET MARGINAUX...8 4. RELATIONS ENTRE FRÉQUENCES MARGINALES ET CONDITIONNELLES...8 4.3 RELATIONS ENTRE MOYENNES MARGINALES ET CONDITIONNELLES...8

4 4.4 RELATIONS ENTRE VARIANCES MARGINALES ET CONDITIONNELLES... 9 CHAPITRE VI... LA RÉGRESSION SIMPLE... SECTION... REPRESENTATIONS GRAPHIQUES.... NUAGE DE POINTS.... COURBES DE REGRESSION... SECTION...3 ANALYSE DE LA LIAISON FONCTIONNELLE...3. LA LIAISON NULLE OU L'INDÉPENDANCE TOTALE...3. LA LIAISON FONCTIONNELLE OU LA DÉPENDANCE TOTALE...4.3 LA LIAISON RELATIVE ET LA CORRÉLATION...4 SECTION 3...5 AJUSTEMENT ET ÉTUDE DE LA CORRÉLATION...5 3. L'AJUSTEMENT LINÉAIRE...5 3.. LA MÉTHODE DE MAYER...5 3.. LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS...6 3. LES PARAMÈTRES DE CORRÉLATION...7 3.. LE COEFFICIENT DE DÉTERMINATION...7 3.. LE COEFFICIENT DE CORRÉLATION LINÉAIRE...8 3..3 LES RAPPORTS DE CORRÉLATION...8 3.3 AUTRES AJUSTEMENTS...3 3.3. AJUSTEMENT EXPONENTIEL...3 3.3. AJUSTEMENT PAR UNE FONCTION PUISSANCE...3 3.3.3 AJUSTEMENT POLYNOMIAL...3 CHAPITRE VII...33 LES SÉRIES CHRONOLOGIQUES...33 SECTION...33 GRAPHIQUES ET COMPOSANTES D'UNE SÉRIE CHRONOLOGIQUE...33. REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES...33. LES COMPOSANTES D'UNE SÉRIE CHRONOLOGIQUE...34.. LE TREND ET LE CYCLE...34.. LES VARIATIONS SAISONNIÈRES...35..3 LES VARIATIONS ACCIDENTELLES...35.3 MODÈLES DE FORMALISATION D'UNE SÉRIE CHRONOLOGIQUE...35.3. LE MODÈLE ADDITIF...35.3. LE MODÈLE MULTIPLICATIF...35 SECTION...36 LA DÉTERMINATION DES COMPOSANTES...36

5. LA DÉTERMINATION DU TREND...36.. MÉTHODES ANALYTIQUES...36.. MÉTHODES EMPIRIQUES...37. LA DÉTERMINATION DES COEFFICIENTS SAISONNIERS...38.. MÉTHODE ANALYTIQUE...38.. MÉTHODE PRATIQUE... 4.3 ÉTABLISSEMENT DE LA CHRONIQUE AJUSTÉE ET PRÉVISION... 4.4 LA DÉTERMINATION DE LA SÉRIE CVS (DÉSAISONNALISATION)... 4.5 LA DÉTERMINATION DES VARIATIONS ACCIDENTELLES... 4 CHAPITRE VIII...43 LES NOMBRES INDICES...43 SECTION...43 LES INDICES SIMPLES OU INDICES ÉLÉMENTAIRES...43. DÉFINITION ET INTERPRÉTATIONS...43. PROPRIÉTÉS DES INDICES SIMPLES... 44.. LA CIRCULARITÉ... 44.. LA RÉVERSIBILITÉ...45..3 ENCHAÎNEMENT...45..4 CHANGEMENT DE BASE ET RACCORDEMENT...45..5 MULTIPLICATION...45..6 DIVISION...46 SECTION...46 LES INDICES SYNTHÉTIQUES...46. L'INDICE DE LASPEYRES...46. L'INDICE DE PAASCHE...47.3 L'INDICE DE FISHER...47.4 L'INDICE DE VALEUR...48.5 PROPRIÉTÉS DES INDICES SYNTHÉTIQUES...48.5. LES INDICES DE LASPEYRES ET DE PAASCHE...48.5. LES INDICES DE FISHER ET DE VALEUR...49 CONCLUSION...5 SUJETS D'EXAMEN POUR S'EXERCER...5 RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES...63

6 LISTE DES TABLEAUX Tableau Réaro d'u esemble de cosommaeurs selo leurs reveus e leurs déeses de cosommao... Tableau Chffres d'affares rmesrels d'ue ererse sur ros aées... 33 Tableau Prx de vee moe au déal (e FCFA) e quaés rodues (e mllers de g) du beurre de aré, du maïs e du ml à Ouagadougou, de 983 à 99... 43

7 LISTE DES GRAPHIQUES Grahque 3 Nuage de os de la dsrbuo des cosommaeurs selo leurs reveus e leurs déeses de cosommao... Grahque 4 Courbes de régresso de la dsrbuo des cosommaeurs selo leurs reveus e leurs déeses de cosommao... Grahque 5 Nuage de os e courbes de régresso d'ue dsrbuo où la laso ere les deux varables es ulle... 3 Grahque 6 Nuage de os e courbes de régresso d'ue dsrbuo où la laso ere les deux varables es focoelle...4 Grahque 7 Courbes de régresso das les cas de corrélao o récroque... 5 Grahque 8 Evoluo des chffres d'affares rmesrels d'ue ererse sur ros as... 34

8 INTRODUCTION GÉNÉRALE DÉFINITIONS ET NOTIONS DE BASE La sasque eu êre défe comme u esemble de méhodes scefques ulsées das la collece, l'orgasao, la réseao, l'aalse de doées umérques, af de commeer ou d'erréer les fas auxquels ces doées so relaves. Il es souve de couume de dsguer la sasque descrve qu cocere la collece, l'orgasao e la réseao des doées umérques, de l'férece sasque qu rae de la maère ar laquelle o re des coclusos géérales à roos d'u héomèe, sur la base de fas ou doées observés. Ce docume ore rcaleme sur la sasque descrve qu es ue are morae de la sasque. Les âches qu relève de la sasque descrve cosue la remère éae de oue aalse sasque. E effe, l aalse des doées (chffrées) accumulées ar les orgasaos (ererses, admsraos ublques, assocaos, ec.) sera fasdeuse s les doées 'éae as orgasées e correceme réseées. Le docume s'efforcera égaleme de fare ue grade ar aux commeares : erréaos, sgfcao cocrèe des résulas, brèves aalses. Ue boe maîrse de la sasque commece ar ue coassace clare e récse de ceraes aures défos e coces. Ce so les oos de base do l'assmlao arfae erme de collecer correceme les doées, de les réseer de faço arorée, de déermer des résulas sgfcafs e de rocéder à des commeares eres. Nous les éudos doc à ce veau ava de déveloer le rese du docume. Poulao, uvers sasque Ue oulao, ou u uvers sasque, es u esemble f d'élémes, comme ar exemle les frasrucures de saé au Bura e 993, les dfféres bes vedus ar ue écere au cours d'ue érode doée, la oulao burabè e 996, ec. La oulao e sasque 'es doc as seuleme u esemble d'êres humas (comme e démograhe), mas eu êre auss u esemble d'obes cocres ou o, u flux, ec. Idvdu, ué sasque U dvdu, ou ue ué sasque, es u éléme d'ue oulao. As, u hôal au Bura e 993, u be vedu ar ue écere, u haba du Bura e 996, so des dvdus. Comme ces obes ou êre huma, u évéeme eu égaleme êre u dvdu. Caracère, varable sasque Le caracère, ou la varable sasque, es la roréé caracérsque d'u dvdu. Le coû de cosruco ou la zoe d'mlaao géograhque d'ue frasrucure de saé au Bura e 993, le ods ou le rx d'u be vedu ar ue écere, le sexe, l'âge ou la relgo d'u haba du Bura e 996 so des exemles de caracère. Comme le suggère ces exemles, u dvdu eu êre caracérsé ar u ou luseurs caracères. Le caracère eu êre de aure quaave ou qualave. Les sasques (au lurel) e so que les doées umérques elles mêmes ou les résulas umérques ssus de l'alcao des méhodes de la sasque.

9 Caracère quaaf U caracère es d quaaf s'l eu fare exlceme l'obe d'ue mesure. U coû de cosruco, u ods, u rx ou u âge so des caracères quaafs car mesurables. Caracère qualaf U caracère qu e eu fare l'obe d'ue mesure es d qualaf. Ue zoe d'mlaao géograhque ou la relgo d'ue ersoe so des caracères qualafs car o mesurables. Modalé La modalé es la valeur d'u caracère quaaf ou l'éa d'u caracère qualaf. S l'o cosdère le caracère "coû de cosruco", ses modalés sero ar exemle, 4, 5 F ; ads qu'e s'éressa au caracère "zoe d'mlaao géograhque", o aura comme modalés : Nord, Cere, Sud, Oues, ec. O vo c auss que chacu des caracères éudés eu réseer deux ou luseurs modalés. Varable sasque dscrèe Ue varable sasque es de dscrèe lorsque ses valeurs ossbles so des ombres solés, oamme des ombres eers. Par exemle, le ombre d'efas ar méage ou le ombre de salarés ar ererse so des varables sasques dscrèes. Varable sasque coue Ue varable sasque es de coue lorsque ses valeurs so a ror e ombre f e quelcoques das u ervalle de valeurs. C'es as que les modalés d'ue varable sasque coue euve êre gééraleme réseées e classes de valeurs : [, 5[ ; [5, 3[ ; [3, 35[... Dsrbuo sasque, sére sasque Ue dsrbuo sasque, ou ue sére sasque, es l'esemble des modalés d'u caracère e des effecfs des dvdus corresodas. Elle réare la oulao suva le caracère. Elle se résee gééraleme sous la forme d'u ableau aelé ableau sasque ou dsrbuo de P selo x où P rerésee la oulao e x le caracère : x x x M x Toal M x rerésee les modalés de x qu so classées de la lus ee à la lus grade, quad le caracère es quaaf ;, le ombre d'dvdus (ou l'effecf) qu résee la modalé x de x ; e, le ombre d'dvdus oal de la oulao (ou l'effecf oal) :. Ce gere de dsrbuos à u caracère a fa l'obe d'u aure docume de raval (DT CAPES 5 ). Celu c (DT CAPES 5 6), éude les dsrbuos à deux caracères.

E raque, l'o es souve ameé à éuder sur ue oulao doée luseurs varables e même ems (au leu d'ue seule comme ous l'avos fa au veau du DT CAPES 5 ). Le rése docume de raval résee à ravers le chare V, les oos de dsrbuos margales e codoelles qu découle de l'éude de dsrbuos à deux caracères, aelées auss séres doubles. Le chare VI abordera la queso de la régresso smle qu erme d'éuder la relao ere deux caracères. Au chare VII, ous verros les séres chroologques où l u des deux caracères reréseera le ems. Le docume red f avec le chare VIII sur des séres chroologques arculères que so les ombres dces.

CHAPITRE V LES DISTRIBUTIONS MARGINALES ET CONDITIONNELLES Cosdéros ue oulao que l'o éude selo deux caracères x (aa comme modalés x,,, ) e (aa comme modalés,,, ). La réaro des effecfs de cee oulao selo la varable x uqueme cosue ue dsrbuo margale : la dsrbuo margale de x. De même, o déf la dsrbuo margale de : la réaro des effecfs selo la varable uqueme. O e eu défr doc que deux dsrbuos margales our ue dsrbuo à deux caracères. Par core, ue éude smulaée des deux caracères amèe à défr les dsrbuos codoelles : les dsrbuos codoelles de x selo e les dsrbuos codoelles de selo x. Il e a our les remères e our les secodes. Le ableau de cogece (seco ) ous ermera d'defer facleme oues ces dsrbuos (secos e 3) e d'éuder les relaos ere elles (seco 4). SECTION LE TABLEAU DE CONTINGENCE Nous aelleros ableau de cogece ou ableau de corrélao, ou ableau à double erée rerésea ue dsrbuo à deux caracères (où u caracère es marqué e remère lge e l'aure e remère coloe). Cosdéros l'exemle suva : Tableau Réaro d'u esemble de cosommaeurs selo leurs reveus e leurs déeses de cosommao Déeses de cosommao 5 3 35 4 Toal Reveus 4 7 5 5 6 3 3 7 Toal 5 Source : Doées fcves. Aelos x, le caracère scr e remère coloe, e, celu scr e remère lge. Das ore exemle, x rerésee doc les reveus, e, les déeses de cosommao. Remarquos que ces caracères euve êre dscres (comme das ce exemle), mas auss cous ou qualafs, esemble ou séaréme. Das ce e de ableau, les effecfs so oés e aelés effecfs arels. Ce so les ombres d'dvdus qu résee à la fos la modalé x e la modalé. Par exemle, das le ableau, 3 es le ombre de cosommaeurs qu o des reveus vala 5 e des déeses de cosommao vala 35. Il dque as qu'aucu cosommaeur 'es das ce cas ( 3 ). L'effecf oal es oé :.

La fréquece du coule de modalés (x, ) aelée ecore fréquece oale ou fréquece arelle sur effecf oal es oée f : f. C'es la rooro des dvdus qu résee smulaéme les modalés x e. As, f 3 3 es la rooro des cosommaeurs qu o des reveus vala 3 e des déeses de cosommao vala 3, so %. Par alleurs, ous avos f usque f. Cosdéros les varables séaréme af de défr les dsrbuos margales. SECTION LES DISTRIBUTIONS MARGINALES Nous ouvos défr das le cas d'ue dsrbuo à deux caracères, deux dsrbuos margales : la dsrbuo margale selo le caracère x e la dsrbuo margale selo le caracère.. LA DISTRIBUTION MARGINALE DE X Elle es déermée e sola les remère e derère coloes du ableau de cogece. La remère coloe coe les modalés x e la derère, les effecfs corresodas (o e cosdère as le caracère ). Das le ableau, la dsrbuo margale de x cocere les reveus : elle doe la réaro des cosommaeurs selo leurs reveus (sas cosdérer leurs déeses de cosommao)... EFFECTIFS MARGINAUX ET FRÉQUENCES MARGINALES DE X Les effecfs margaux de x so oés. :.. Ils doe les ombres d'dvdus résea la modalé x (déedamme des modalés ). Par exemle,. es le ombre oal de cosommaeurs qu o des reveus vala, so 7. E oure, la somme des effecfs margaux de x es égale à l'effecf oal :.. Les fréqueces margales de x so oées f. : f... Elles doe les fréqueces des dvdus résea la modalé x (déedamme des modalés ). Par exemle, f. es la rooro des cosommaeurs qu o des reveus vala, so 7 35 %. Nous avos auss f. f e f... Comme o le vo das le ableau suva, la dsrbuo margale de x se ramèe à ue dsrbuo à u caracère :

3 x. f. x. f. x. f. M M M x. f. Toal Elle eu doc êre éudée avec ous les ouls réseés e remère are. Nous allos ous éresser c à la moee e à la varace... LA MOYENNE MARGINALE DE X La moee arhméque assocée à la dsrbuo margale de x es aelée moee margale de x e oée x (d'aucus la oe égaleme x ). Sa formule es x ecore x x ( x f x ).. x ( x f. x Pour la dsrbuo doée e exemle, x sera cocrèeme les reveus moes (les reveus ar cosommaeur), so x 7 + 6 5+ 7 3 5...3 LA VARIANCE MARGINALE DE X La varace assocée à la dsrbuo margale de x es aelée varace margale de x e oée V(x). Sa formule es V(x) ( V(x) f (x x) ). (x x). ( V(x) f.(x x) ) ou ecore V(x) ) ou (x x) La relao de Kög ous doe auss que V(x) V(x) x x ( V(x) f x x ).. x x ( V(x) f. x x ) ou ecore Pour ore exemle, V(x) sera la varace des reveus, so V(x). LA DISTRIBUTION MARGINALE DE Y 7 + 6 5 + 7 3 5 7,5. Elle es déermée e sola les remère e derère lges du ableau de cogece. La remère lge coe les modalés e la derère, les effecfs corresodas (o e cosdère as le caracère x). Das le ableau, la dsrbuo margale de cocere les déeses de cosommao : elle doe la réaro des cosommaeurs selo leurs déeses de cosommao (sas cosdérer

leurs reveus). 4.. EFFECTIFS MARGINAUX ET FRÉQUENCES MARGINALES DE Y Les effecfs margaux de so oés. :.. Ils doe les ombres d'dvdus résea la modalé (déedamme des modalés x ). Par exemle,. es le ombre oal de cosommaeurs qu o des déeses de cosommao vala 5, so. E oure, la somme des effecfs margaux de es égale à l'effecf oal :.. Les fréqueces margales de so oées f. : f... Ils doe les fréqueces des dvdus résea la modalé (déedamme des modalés x ). Par exemle, f. es la rooro des cosommaeurs qu o des déeses de cosommao vala 5, so 6 %. Nous avos auss f. f e f... Comme o le vo das le ableau suva, la dsrbuo margale de se ramèe à ue dsrbuo à u caracère :. f.. f.. f. M M M. f. Toal Elle eu doc êre éudée avec ous les ouls réseés e remère are. Nous allos ous éresser c à la moee e à la varace... LA MOYENNE MARGINALE DE Y La moee arhméque assocée à la dsrbuo margale de es aelée moee margale de e oée (d'aucus la oe égaleme ). Sa formule es ecore ( f ).. ( f. Pour la dsrbuo doée e exemle, sera cocrèeme les déeses de cosommao qu'effecue e moee chacu des cosommaeurs, so..3 LA VARIANCE MARGINALE DE Y 5 + 5 3 + 35 + 4 8. La varace assocée à la dsrbuo margale de es aelée varace margale de e oée ) ou

5 V(). Sa formule es V() ( ). ( V() f ( ) ou ecore V(). ) ( ) ( V() f ( ) ). La relao de Kög ous doe auss que V() V() ( V() f )... ( V() f ) ou ecore Pour ore exemle, V() sera la varace des déeses de cosommao, so V() 5 + 5 3 + 35 + 4 8 8,5. Evsageos maea ue éude smulaée des deux caracères. Nous sommes ameé das ce cas à éuder les dsrbuos codoelles. SECTION 3 LES DISTRIBUTIONS CONDITIONNELLES Ue dsrbuo à deux caracères résee deux es de dsrbuos codoelles : les dsrbuos codoelles de x selo, e les dsrbuos codoelles de selo x. 3. LES DISTRIBUTIONS CONDITIONNELLES DE X SELON Y Elles so au ombre de usqu'l a modalés our. Elles so déermées ar la remère e oues les aures coloes du ableau de cogece, sauf la derère. Pour chaque dsrbuo, ue coloe comredra les modalés x e l'aure les effecfs ( éa fxé) comme le more le ableau suva, our : x f x f x f M M M x f Toal. E revea à ore ableau de cogece (ableau ), cee dsrbuo codoelle de x selo quad, cocere les reveus des cosommaeurs qu o obeu des déeses de cosommao égales à 5. 3.. LES FRÉQUENCES CONDITIONNELLES DE X SELON Y La fréquece oée f e qu se l : "f s " es aelée fréquece codoelle de la modalé x selo : f.. C'es la rooro des dvdus qu résee la modalé x, arm les dvdus résea uqueme la modalé.

6 Das ore exemle, f es la rooro des cosommaeurs aa des reveus vala, arm ceux qu o des déeses de cosommao vala 5, so 4 33,33 %. Nous avos doc l'égalé : f.... Euder ue dsrbuo codoelle de x selo reve à éuder ue dsrbuo à u caracère. Nous réseos, das ce ses, les moees e varaces des dsrbuos codoelles de x selo. 3.. LA MOYENNE CONDITIONNELLE DE X SELON Y La moee codoelle de x selo es oée x. Sa formule es : x x (. x x f ). Das ore exemle, x doe les reveus moes des cosommaeurs qu o des déeses de cosommao vala 5 : x 4 + 5 5+ 3 3 4,58. 3..3 LA VARIANCE CONDITIONNELLE DE X SELON Y La varace codoelle de x selo es oée V (x). Sa formule es : V (x) ) V (x) f (x x ). (x x ) (. Cee formule eu égaleme êre déveloée selo la relao de Kög : V (x) V (x) f x x ). x x (. Par exemle, calculos la varace des reveus des cosommaeurs aa des déeses de 4 5 5 3 3 cosommao vala 5 : V (x) + + (4,58) 4,57. 3. LES DISTRIBUTIONS CONDITIONNELLES DE Y SELON X Elles so au ombre de usqu'l a modalés our x. Elles so déermées ar la remère e oues les aures lges du ableau de cogece, sauf la derère. Pour chaque dsrbuo, ue coloe comredra les modalés e l'aure les effecfs ( éa fxé) comme le more le ableau suva, our : f f f M M M f Toal.

7 E revea à ore ableau de cogece (ableau ), cee dsrbuo codoelle de selo x quad, cocere les déeses de cosommao des cosommaeurs do les reveus so égaux à. 3.. LES FRÉQUENCES CONDITIONNELLES DE Y SELON X La fréquece oée f e qu se l : "f s " es aelée fréquece codoelle de la modalé selo x : f.. C'es la rooro des dvdus qu résee la modalé, arm les dvdus résea uqueme la modalé x. Das ore exemle, f es la rooro des cosommaeurs aa des déeses de cosommao vala 5, arm ceux qu o des reveus vala, so 7 4 57,4 %. Nous avos doc l'égalé : f.... Euder ue dsrbuo codoelle de selo x reve à éuder ue dsrbuo à u caracère. Nous réseos, das ce ses, les moees e varaces des dsrbuos codoelles de selo x. 3.. LA MOYENNE CONDITIONNELLE DE Y SELON X La moee codoelle de selo x es oée. Sa formule es : (. f ). Das ore exemle, doe les déeses de cosommao moees des cosommaeurs qu o des reveus vala : 4 5+ 3+ 35+ 4 7,86. 7 3..3 LA VARIANCE CONDITIONNELLE DE Y SELON X La varace codoelle de selo x es oée V (). Sa formule es : V () V () f ( ). ) ( ). ( Cee formule eu égaleme êre déveloée selo la relao de Kög : V () V () f ) (. Par exemle, calculos la varace des déeses de cosommao des cosommaeurs aa des

reveus vala : V () 8 4 5 + 3 + 35 + 4 7 (7,86) 3,. SECTION 4 RELATIONS ENTRE DISTRIBUTIONS MARGINALES ET CONDITIONNELLES Ces relaos euve êre éables aux veaux des effecfs, des fréqueces, des moees e des varaces. 4. RELATIONS ENTRE EFFECTIFS PARTIELS ET MARGINAUX Das oue sére à deux caracères, comme o l'a vu lus hau, o aura les égalés suvaes :.. 4. RELATIONS ENTRE FRÉQUENCES MARGINALES ET CONDITIONNELLES Pour les fréqueces, ous auros : f. f e f. f (vor sura) ; IJ IJ f f. f f. f usque f. f I. e f. f.... 4.3 RELATIONS ENTRE MOYENNES MARGINALES ET CONDITIONNELLES La moee margale es égale à la moee des moees codoelles, odérée ar les fréqueces margales : x x. ( x f ). x. ( f. ) E effe : x. x x x x. e... Calculos our le ableau, les moees margales à arr des moees codoelles. Il cove de calculer auarava les moees codoelles. Pour x, x 4,58 (vor sura), x + 5+ 3 5, x 3 + 5+ 3 5, e x 4 + 5+ 3 3. Pour, 5 7,86 (vor sura), 5 5+ 3+ 35+ 4 5,83, e 6 3 3 5+ 3+ 35+ 4 3. 7

9 As, x. x +.x +.3x3 +.4x4 4,58+ 5 5+ 5+ 3 5, e.. +. + 3. 3 7 7,86+ 6 5,83+ 7 3 8. Nous rerouvos les mêmes valeurs calculées dreceme à arr des dsrbuos margales. 4.4 RELATIONS ENTRE VARIANCES MARGINALES ET CONDITIONNELLES La varace margale es égale à la moee des varaces codoelles augmeée de la varace des moees codoelles : V(x) V (x) +. de Kög, V(x) (x x).. V (x) + ( V(x) f V (x + f (x x x. x. ). ) ( V(x) f V (x + f x ). ) ) ou ecore, selo le héorème. x V(). V () + de Kög, V() E effe :. ) ( ). ( V() f. V () + f.(. V () + ). ( V(). V () ). f + f ). ) ) ou ecore, selo le héorème V(x) f (x x f (x x f f (x x f +. f [(x x ) (x x)].. ) f f (x x + ) f (x x (héorème de Kög) f V (x + f (x x e. ). ) V() f. ( ) f ( ) f. f( ) f +. f[( ) ( )].. ). ). ) f f ( ) + f ( (héorème de Kög) f V ( + f ( ) Calculos les varaces margales our le ableau, e ulsa ces relaos. Nous commeços ar calculer les varaces codoelles. Pour x, V (x) 4,57 (vor sura), 5 3 V (x) + + (5) 5 3, V 3 (x) + + (5) 5, e V 4 (x) 5 + 5 + 3 (3) 5 5 3 35 4. Pour, V () 3, (vor sura), V () + + + 6 (5,83) 3 5 3 35 4 3,64, e V 3 () + + + (3) 8,57. 7 Nous calculos esue les moees des varaces codoelles. Pour x, V (x).

V (x) + V (x) + V 3 (x) V 4 (x)...3 +. V () +. V () + 3. 3 V ().4 4,57+ 5 + 5+ 7 3,+ 6 3,64+ 7 8,57 5,68. 6,4. Pour,. V () Pus, ous calculos les varaces des moees codoelles. Pour x, 3 4.x +.x +.3x +.4x. +. + 3. 3 x (4,58) 5 5 5 3 + + + 5,6. Pour, 7 (7,86) 6 (5,83) 7 3 + + 8,8. x. x. Ef, ous obeos que V(x) 6,4 +,6 7,5 e V() 5,68 +,8 8,5. Ce qu corresod aux résulas rouvés e assa dreceme ar les dsrbuos margales.

CHAPITRE VI LA RÉGRESSION SIMPLE Gééraleme, das ue dsrbuo à deux varables, la valeur d'ue varable déed de celle de l'aure. Elle es aelée varable déedae, de réose ou exlquée. L'aure varable es aelée varable déedae ou exlcave, car sa valeur four ue exlcao au mos arelle du comoreme de la varable déedae. Par exemle, s l'o désre éuder l'effe des reveus sur les déeses de cosommao du ableau (vor chare V), x sera la varable exlcave e la varable exlquée. La régresso smle es u moe d'aalser ces relaos ere varables. Elle commece ar des reréseaos grahques qu ermee de resser la laso ere varables. SECTION REPRESENTATIONS GRAPHIQUES La reréseao grahque d'ue dsrbuo à deux varables x e cosse à desser u uage de os ou des courbes de régresso.. NUAGE DE POINTS U uage de os es la reréseao grahque des coules de os (x, ). Reréseos le uage de os de la dsrbuo des cosommaeurs selo leurs reveus e leurs déeses de cosommao doée ar le ableau (vor chare V). S ce ableau de cogece e comora as de odérao ( quad e quad ), l aura u se résumer e deux coloes, e la reréseao du uage de os aura éé smle : o reorera les coules (x, ) das u reère recagulare. Comme ce ableau comore des odéraos, l faudra logqueme reréseer le uage de os das u grahe à ros dmesos. Ce qu es comlexe e eu raque. O cove alors arfos de reréseer le uage das le la, e dqua au dessus de chaque o (x, ) l'effecf corresoda, comme o le vo avec le grahque 3. Grahque 3 Nuage de os de la dsrbuo des cosommaeurs selo leurs reveus e leurs déeses de cosommao 4 35 () () () 3 () () () 5 (4) (5) (3) 5 5 3 x Source : Tableau.

Ce uage de os rese éamos déformé ar la o rse e come des odéraos. Le moe de le résumer das u reère la, cosse à racer les courbes de régresso.. COURBES DE REGRESSION Pour oue dsrbuo à deux varables x e, l es ossble de racer deux courbes de régresso : la courbe de régresso de e x, e la courbe de régresso de x e. La courbe de régresso de e x es la courbe qu asse ar les os (x, reréseave de la foco x ) (courbe reréseave de la foco e la secode, l'effe corare. ) (courbe f(x )), e celle de x e es la courbe qu asse ar les os (, x f( )). La remère erme d'éuder l'effe de x sur Traços les courbes de régresso our la dsrbuo doée ar le ableau. Les moees codoelles x e dresser les ableaux suvas qu foursse les coules (x, o déà éé calculées au chare V. Nous ouvos alors ) e (, x ) : x x 7,86 5 4,58 5 5,83 3 5 3 3 35 5 4 3 Grahque 4 Courbes de régresso de la dsrbuo des cosommaeurs selo leurs reveus e leurs déeses de cosommao 45 4 Courbe de régresso de x e 35 3 5 Courbe de régresso de e x 5 5 3 35 x L'o vo que les courbes de régresso so dessées à arr des uages de os. As das les cas de ableau de cogece avec odéraos, la reréseao grahque des os (x, ( x, ) uqueme eu êre cosdérée auss comme la reréseao du uage de os. ) ou O observe que la ee de la courbe de régresso de e x es ouours lus fable que celle de la

3 courbe de régresso de x e. De lus, elles so ouours crossaes ou décrossaes e même ems. Les courbes de régresso récse la faço do évolue la valeur moee d'ue varable e foco de oues les valeurs de l'aure varable. Elles doe l'allure géérale du héomèe, e résuma le uage de os : elles asse le lus rès ossble de ous les os du uage. Pour ore esemble de cosommaeurs, l'allure des courbes de régresso 'es as assez exlce. La courbe de régresso de e x dque que les déeses de cosommao basse us augmee lorsque les reveus augmee, e la courbe de régresso de x e dque que les reveus augmee légèreme avec les déeses de cosommao. SECTION ANALYSE DE LA LIAISON FONCTIONNELLE Comme ous veos de le meoer, l'allure du uage de os ou des courbes de régresso révèle s'l exse ue laso ou o ere les deux varables. Théorqueme, ros es de laso so ossbles : la laso ulle, la laso oale e la laso relave.. LA LIAISON NULLE OU L'INDÉPENDANCE TOTALE Lorsque les courbes de régresso de e x e de x e so des droes eredculares d'équaos resecves e x x, la laso ere x e es ulle. Le grahque 5 llusre cee suao. Grahque 5 Nuage de os e courbes de régresso d'ue dsrbuo où la laso ere les deux varables es ulle Courbe de régresso de x e barre Courbe de régresso de e x x barre x Comme le more ce grahque, la laso ulle sgfe qu'l ' a aucue fluece d'ue varable sur l'aure : les varaos de l'ue 'eraîe as de varaos de l'aure. Les deux varables so doc oaleme déedaes. Das ce cas, les fréqueces codoelles so deques e, ar coséque, égales aux fréqueces margales :, f f f f. ;, f f f f.,. Cela eraîe auss que les moees codoelles so deques e égales aux moees margales : x x x x Nous allos le démorer lus lo cee roréé, das le cas arculer des droes de régresso.

4 e.. LA LIAISON FONCTIONNELLE OU LA DÉPENDANCE TOTALE Lorsque les courbes de régresso de e x e de x e so cofodues, comme o le vo avec l'exemle doé ar le grahque 6, les varables x e so oaleme déedaes. Grahque 6 Nuage de os e courbes de régresso d'ue dsrbuo où la laso ere les deux varables es focoelle Courbe de régresso de e x Courbe de régresso de x e x Das cee suao, à chaque valeur de x corresod ue valeur uque de, e récroqueme. Ce qu mlque qu'l a aua de modalés de x que de ( ), e que les moees codoelles so égales aux valeurs des varables : x x, x x,,. x x e,,, Il more de oer que la laso focoelle 'es as forcéme récroque : x eu êre lé à, mas as écessareme l'verse..3 LA LIAISON RELATIVE ET LA CORRÉLATION E gééral, les varables so, das ue cerae mesure, déedaes l'ue de l'aure : elles so e corrélao. La laso ere elles es de relave. Le uage de os es résumé ar deux courbes de régresso. Le grahque 4 llusre ce cas gééral où es corrélé avec x e x es corrélé avec. Mas, ou comme la laso focoelle, la corrélao 'es as récroque : eu êre corrélé avec x sas que x e le so avec, e x eu êre corrélé avec sas que e le so avec x, comme o le vo avec le grahque 7.

Grahque 7 Courbes de régresso das les cas de corrélao o récroque 5 Courbe de régresso de x e Courbe de régresso de e x Courbe de régresso de e x Courbe de régresso de x e 'es as corrélé avec x x es corrélé avec x es corrélé avec x x 'es as corrélé avec x La corrélao es osve quad x e vare das le même ses, e égave quad ls vare e ses corare. SECTION 3 AJUSTEMENT ET ÉTUDE DE LA CORRÉLATION L'auseme cosse à déermer la courbe qu asse le lus rès ossble de ous les os d'u uage de os. L'auseme reve doc à déermer l'équao de la courbe de régresso (usqu'l a éé déf que la courbe de régresso asse le lus rès ossble de ous les os d'u uage de os). Pour cela, l es logque de mmser les carrés des dsaces ere les os du uage e la courbe de régresso. C'es la méhode des modres carrés que ous verros das le cas d'u auseme léare e que ous gééralseros our d'aures es d'auseme. 3. L'AJUSTEMENT LINÉAIRE L'auseme à ue droe (d'équao ax + b ou x a' + b') ou auseme léare, s'alquera à u uage de os qu araî se dsrbuer au vosage d'ue droe (le uage de os résee ue forme allogée). O ulse la méhode de Maer ou la méhode des modres carrés. 3.. LA MÉTHODE DE MAYER Elle cosse à arager l'esemble des os (x, ) e deux sous esembles A e B aa le même ombre de os (s ossble, so u des esembles aura u o de lus que l'aure) ; A éa cosué des os aa les lus ees abscsses e B des os aa les lus grades abscsses. Il s'ag esue de racer ue droe aelée droe de Maer (d'équao ax + b) qu asse ar les ceres de gravé G A de A e G B de B 3. Cee droe de Maer es sesée as auser au meux le uage de os : c'es ue droe de régresso. 3 Le cere de gravé ou o moe d'u uage de os (x, ) es u o oé G, qu a our coordoées ( x, ). Par coséque, G A a our coordoées la moee des abscsses de A ( x A ) e la moee des ordoées de A ( A ), e G B a our coordoées la moee des abscsses de B ( x B ) e la moee des ordoées de B ( B ).

6 Ef, o eu déermer l'équao de la droe de Maer e résolva le ssème duquel o re les valeurs de a e de b. B a x a x B + b A A, + b La méhode de Maer es smle e four ue droe coveable das les cas de séres doubles sas odéraos, e surou lorsque les os du uage so quasme algés. Mas sa smlcé e erme as d'ober ue mesure de sa fablé. 3.. LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS Elle vse à déermer ue droe D d'équao ax + b, qu asse le lus rès ossble de chaque o du uage. D sera aelée droe de régresso de e x, droe d'auseme ou droe des modres carrés. E mmsa la quaé qu es la moee du carré des écars ere les observés e les doés ar l'équao de la droe, o arrve à déermer cee droe. Mmsos doc f ( ax b), usque es ue foco de a e de b.. Cela reve à rouver les valeurs de a e b qu mmse Il s'ag alors de calculer les dérvées arelles de ar raor à a e à b, e de les égalser à zéro 4 : f x ( ax b) a f( ax b) b f a f x b f b b a x. E remlaça b ar so exresso das l'équao f x [( ) a(x x)] f x ( ) a f x (x x) f x f x f x x f x f x f x x x a, o a f x( ax + ax ) a f x ( ) f x (x x) Le déomaeur de a es la varace margale de x (vor chare 5). So uméraeur es aelée covarace de x e de e es oé COV(x, ) ou σ x. E défve, les valeurs de a e de b qu mmse so a COV(x,) 5 e b a x. V(x) 4 L'o ourra vérfer que les dérvées secodes so osves.

7 La méhode des modres carrés erme de déermer égaleme la droe D' d'équao x a' + b', qu sera as la droe de régresso de x e. ) E mmsa ' f (x a' b', o rouve que a' a, b, a' e b' so aelés coeffces de régresso. COV(x,) V() e b' a' x 6. a mesure la varao de sue à la varao d'ue ué de x e a' celle de x sue à celle d'ue ué de. b e b' so les valeurs, resecveme, de e x lorsque, resecveme x e. Les droes de régresso se coue au o moe G (cere de gravé du uage de os) usque a x + b e x a' + b'. L'agle formé ar les deux droes erme d'arécer la laso ere les deux varables. O l'a vu au veau de l'éude grahque de la laso focoelle. Eudos cee laso ar le calcul e l'erréao de aramères arorés. 3. LES PARAMÈTRES DE CORRÉLATION Pour reréseer D e D' sur le même grahque, o écr l'équao de D' de la maère suvae : x b '. a' a ' O vo as qu'e cas de laso focoelle ere x e (D e D' so cofodues), o aura a ; ce qu es équvale à aa' ou [ COV(x,)]. V(x)V() a ' E cas de laso ulle ere x e (D eredculare à D'), o aura aa', ce qu es équvale à COV(x, ). E e cas de laso relave, < aa' <. Le rodu des ees des droes de régresso ous four as u remer aramère de corrélao : le coeffce de déermao. 3.. LE COEFFICIENT DE DÉTERMINATION Pour mesurer la qualé d'u auseme léare, o eu ulser le coeffce de déermao 5 f x x f (x x)( ) : relao de Kög. Doc o a auss COV(x, ) f (x x)( ), e a x x x x ou ecore a (x x)( ). (x x) Sur la covarace, o oera que COV(x, x) V(x) e qu'e rocéda à des chagemes de varable sur x e : x ax' + b e a'' + b', alors COV(x, ) aa'cov(x', '). 6 Le rocessus es aalogue au rocessus de déermao de a e b.

8 oé r : r aa' r [ COV(x,)] V(x)V() avec r Comme soulgé lus hau, quad r, la corrélao léare ere x e es arfae ; la laso ere x e es léare e focoelle. A l'verse, quad r ( COV(x, ) ), l ' a as de relao léare ere x e ; la laso léare ere x e es ulle, mas l eu exser u aure e de relao ere x e. As, lus r es roche de (oamme quad r,76), lus l'auseme léare es de boe qualé, e lus r es roche de, lus l'auseme léare es de mauvase qualé. Pour fare aaraîre le ses de la laso, l es éressa de cosdérer le coeffce de corrélao léare. 3.. LE COEFFICIENT DE CORRÉLATION LINÉAIRE E raque, our éuder ue laso léare, o ulse le coeffce de corrélao léare, oé COV(x,) r, qu découle dreceme du coeffce de déermao : r ± aa' r avec r σ σ 7. L'erréao du coeffce de corrélao léare découle égaleme de celle du coeffce de déermao : e cas de fore corrélao léare, r,87, l'auseme léare sera de boe qualé ; e cas de fable corrélao léare, r <,87, l'auseme sera de mauvase qualé, acceable. Ceeda, à la dfférece du coeffce de déermao, le sge du coeffce de corrélao léare dque s la laso ere x e es osve ou égave. Le coeffce de corrélao léare es osf (r > COV(x, ) > ) quad x e vare das le même ses e égaf (r < COV(x, ) < ), quad x e vare e ses corare. Remarque : Lorsque l'o effecue u chageme de varable sur x e, le coeffce de corrélao léare calculé e chage as. Par exemle, s o ose x ax' + b e a'' + b', o aura r r', avec r, COV(x,) le coeffce de corrélao léare our x e, e r', celu our x' e '. E effe r σ σ aa'cov(x',') aa' σ σ x' ' (vor sura) COV(x',') σ x' σ ' r'. Les coeffces de déermao e de corrélao léare ermee use d'éablr s'l exse ue laso (léare) ou o ere les varables. A la dfférece des raors de corrélao, ls e ermee as de savor laquelle es la varable exlcave e laquelle la varable exlquée. 3..3 LES RAPPORTS DE CORRÉLATION Lorsque l'o ause le uage de os ar ue droe, o suose que la laso ere les varables es léare. Or, elle e l'es as ouours. Les raors de corrélao ermee de coaîre de x x 7 σ x E exrma COV(x, ) e foco de r, ous rouvos ue aure formule de a e a' : a r ; a' r. σ x

9 faço géérale l'esé de la laso (léare ou o) ere deux varables, as que les les de causalé ere elles. Il a deux raors de corrélao : le raor de corrélao de e x qu erme de savor e défve s x exlque, e le raor de corrélao de x e qu erme de savor s exlque x. Le raor de corrélao de e x, oé η,x, es la rooro de la varace margale de reréseée ar la varace des moees codoelles de : η,x. f V () (usque f ( V() f V ( ) avec η,x. V(). ). ). ) La varace des moees codoelles de, f (. f ( ) V() η,x, es la varace des moees des observaos our chaque x. C'es doc la varace que radu ar défo la courbe de régresso de e x. O l'aelle varace exlquée ar la régresso, ads que la moee des varaces codoelles, régresso). f. V (), es aelée varace résduelle (o exlquée ar la Par coséque, η,x Varace Varace exlquée margale Varace Varace résduelle. margale De même, le raor de corrélao de x e, oé η x,, es la rooro de la varace margale de x reréseée ar la varace des moees codoelles de x : η x, f. V(x) (usque f. (x x) V(x) f. V(x ) ), avec η x,. E η x, V(x) Varace résduelle. Varace margale f (x x). V(x) η x, Varace exlquée Varace margale S la varace exlquée es fore, o aura u raor de corrélao roche de. Cela sgfe que la régresso résume be le uage de os, e que la laso ere les varables es fore. S le raor de corrélao es roche de, la laso sera fable. As, our le raor de corrélao de e x ar exemle (le même rasoeme ourra s'alquer au raor de corrélao de x e ), o a deux cas exrêmes : Quad η,x ( f.( ) e ), cela sgfe que la régresso de e x 'exlque as la laso ere e x (x 'exlque as ) ; es sas corrélao avec x (l absece de corrélao ere e x), e la courbe de régresso de e x es ue droe arallèle à l'axe des abscsses. S o a auss η x,, o dra que la laso ere x e es ulle (x 'exlque as e 'exlque as x o lus).. ). ) Quad η,x ( f V ( e V() f ( )), cela sgfe que la régresso de e x exlque e oalé la laso ere e x (x exlque à %) ; l a laso focoelle de e

3 x. S o a auss η x,, o dra que la laso focoelle es récroque (x exlque à % e exlque x à %). La comaraso ere les raors de corrélao e le coeffce de déermao four égaleme des dcaos sur la laso ere les varables. E effe, lorsque r η,x o dra qu'l a corrélao léare de e x. De même, e cas de corrélao léare de x e, o aura r η x,. As, s r η,x η,x, o dra qu'l a double corrélao léare ere x e. 3.3 AUTRES AJUSTEMENTS Lorsque l'o obe u coeffce de corrélao léare médocre, l'o e do as e coclure our aua qu'l ' a as de relao éroe ere les varables x e. La relao eu êre d'ue aure aure que léare : le uage de os eu suggérer u auseme exoeel ( λa x ), ar ue foco ussace ( λx A ), ou olomal ( a x + a x +... + a x + a ). 3.3. AJUSTEMENT EXPONENTIEL S l'allure du uage de os suggère u auseme exoeel, l cove de oser que l'équao de la courbe de régresso es de la forme λa x. O cosdère as que les os (x, ) so roches de la courbe λa x, e que les os (x, l ) sero roches de la droe d'équao l (la)x + lλ. E déerma cee droe ar la méhode des modres carrés, o rouve les valeurs de la e de COV(x,l) lλ, e ar coséque, celles de A e de λ : la e lλ l (la) x, us A V(x) COV(x,) V(x) e e λ e l (l A)x. 3.3. AJUSTEMENT PAR UNE FONCTION PUISSANCE S l'allure du uage de os suggère u auseme ar ue foco ussace, l cove de oser que l'équao de la courbe de régresso es de la forme λx A. O cosdère as que les os (x, ) so roches de la courbe λx A, e que les os (lx, l ) sero roches de la droe d'équao l Alx + lλ. E déerma cee droe ar la méhode des modres carrés, o rouve les valeurs de A, de lλ, COV(lx,l) l Al x e de λ : A, lλ l A l x, e λ e. V(lx) 3.3.3 AJUSTEMENT POLYNOMIAL S l'allure du uage de os suggère u auseme olomal, l cove de oser que l'équao de la courbe de régresso es de la forme a x + a x +... + a x + a. Cee équao sera déermée ar la méhode des modres carrés. E effe, e mmsa la foco f ( a x a x L a x a ), o obe les valeurs de a, a,..., e a. Calculos les dérvées arelles de ar raor à a, a,..., a, e égalsos les à zéro (l'o vérfera

3 que les dérvées secodes so osves). Nous obeos le ssème de + équaos à + coues suva : a + f + + +. x a f +. x L a x a a + + + f +. x a f +. x L a f. x a x f + + + + x L a f. x a f. x L a f. x a f. x f x E le résolva, o rouve les valeurs des coeffces a, a,..., e a. Ef, e rerésea le uage de os e les dfférees courbes déermées ar les ausemes léare, exoeel, ar ue foco ussace, ou olomal sur u même grahque, l es ossble de dre laquelle des focos ause le meux le uage de os : c'es la foco our laquelle la courbe asse le lus rès de ous les os. Pour l'exercce, éudos la relao ere les reveus x e les déeses de cosommao de l'esemble de cosommaeurs doés ar le ableau (vor chare V). Nous avos déà dqué que la courbe de régresso de x e lassa vor que x augmea avec. A la lumère de la seco, le grahque 4 dque que la laso ere ces varables es relave. Calculos les aramères de corrélao our lus de récsos. Le ableau de calculs suva es éabl à l'effe de calculer la covarace de x e de : 5 3 35 4 Toal x x 4 7 95 39 5 5 6 55 3875 3 3 7 63 Toal 5 475 Que eu o dre du ses de la laso ere x e? x COV(x, ) x 475 5 8 3,75 ( x e o déà éé calculés au chare V). Comme cee valeur (de la covarace) es osve, la laso ere x e es osve. Qu'e es l de la aure e de l'esé de cee laso? Le coeffce de déermao r [ COV(x,)] ( 3,75) V(x)V() 7,5 8, 5,4 (V(x) e V() o déà éé calculés au chare V). Cee valeur éa roche de zéro, u auseme léare our la dsrbuo éudée sera de mauvase qualé. La valeur de r cofrme cee cocluso : r, : l ' a as de laso léare ere x e. Le raor de corrélao de e x η,x f ( ). V(),8 8,5. ),5 (vor le calcul de f ( au chare V). Cee valeur éa roche de zéro, ous e dédusos qu'l a ue fable corrélao ere e x : x exlque rès eu.

Le raor de corrélao de x e η x, V(x) 3 f (x x).,6 7,5,7 (vor le calcul de f (x x au. ) chare V). Cee valeur éa ecore lus roche de zéro que la valeur de η,x, ous e dédusos qu'l a ue rès fable corrélao ere x e, e que exlque ecore mos x que l'verse.

33 CHAPITRE VII LES SÉRIES CHRONOLOGIQUES Les séres chroologques, ecore aelées séres emorelles ou chroques, so des séres sasques à deux caracères do l'u rerésee le ems. Par exemle, le ableau rerésee ue sére chroologque. Tableau Chffres d'affares rmesrels d'ue ererse sur ros aées (rmesres) (aées) 3 4 8 5 8 6 7 4 3 9 5 6 Source : Doées fcves. Comme o le vo avec ce ableau, our les séres chroologques, le ems es gééraleme reéré e deux dmesos : aées () e rmesres (), aées () e mos (), rmesres () e mos (), mos () e ours (), ec. La varable éudée es habuelleme reréseée ar (varable exlquée), e le ems ar (varable exlcave). m( ) +, avec vara de à, vara de à m, e vara de à N où N m. De la sore, s rerésee des aées e des rmesres (comme das ore exemle), alors es smleme le uméro ou le rag du rmesre. Les modalés de euve doc êre oées ou. O eu dre que la varable es lée focoelleme à (à chaque dae corresod ue e ue seule valeur de ), mas as l'verse (ue même valeur de eu corresodre à luseurs daes) : c'es ue laso focoelle o récroque. L'éude d'ue sére chroologque es faleme l'éude de l'évoluo d'ue varable das le ems. SECTION GRAPHIQUES ET COMPOSANTES D'UNE SÉRIE CHRONOLOGIQUE L'éude d'ue sére chroologque commece gééraleme ar ue reréseao grahque qu erme de mere e évdece ses comosaes.. REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES O rerésee grahqueme ue sére chroologque e dessa u uage de os de coordoées (, ), relés ere eux ar des segmes de droes, das l'ordre des daes crossaes. Parfos, l es lus éressa de reréseer u grahque sem logarhmque e ulsa les logarhmes de (e ordoées). Cela es raque quad l exse de grades dfféreces de valeurs our, ou quad l'o veu fare aaraîre des varaos relaves. As, l'évoluo d'ue varable do le aux de crossace de à +, r, es cosa, sera doée ar la relao ( + r), e reréseée sur u grahque sem logarhmque ar ue droe do l'équao s'écrra l [l( + r)] + l. La coassace de cee équao ermera de déermer la valeur de r : r e l( + r). S rerésea des aées successves, r sera smleme le aux de crossace auel moe de.

34 Reréseos grahqueme la sére chroologque doée ar le ableau. Grahque 8 Evoluo des chffres d'affares rmesrels d'ue ererse sur ros as Chffres d'affares 6 4 8 6 4 8 6 4 3 4 5 6 7 8 9 Aée Aée Aée 3 Trmesres Le grahque more que chaque aée, au secod rmesre, le chffre d'affares es le lus bas, e qu'l es gééraleme le lus élevé au quarème rmesre. De lus, o vo que l'évoluo du chffre d'affares es marquée ar ue légère edace à la hausse. Ces varaos rmesrelles e cee edace à la hausse fo are des comosaes d'ue sére chroologque.. LES COMPOSANTES D'UNE SÉRIE CHRONOLOGIQUE L'évoluo das le ems d'ue varable es gééraleme marquée ar u mouveme de logue érode, des mouvemes crossas e décrossas de moe erme, des mouvemes de cour erme, e des mouvemes exceoels. Ces mouvemes cosue les comosaes d'ue sére chroologque... LE TREND ET LE CYCLE Le red corresod au mouveme de logue érode e se maéralse ar ue edace géérale à la hausse, à la basse ou saoare de l'évoluo de la varable. O l'ause ar ue courbe (selo que le red es léare, exoeel ou olomal) qu résume l'évoluo de la varable das le log erme (sas er come des varaos de moe e cour ermes). Le ccle es relaf à des flucuaos de moe erme auour du red, de e susoïdal, qu se réèe. Sa érode e so amlude euve êre reérées grahqueme. Il es d'usage de e as l'exrmer aalqueme, mas de cofodre so évoluo avec celle du red. Nous reréseeros le red e le ccle ar '. L'éude du grahque 8 lasse as aaraîre sur les ros as u red léare à la hausse, e des ccles de érode égale à eu rès à ue aée ou quare rmesres.

.. LES VARIATIONS SAISONNIÈRES 35 Les varaos sasoères so des mouvemes sgfcafs qu se roduse au même mome, à chaque érode des ccles observés. Pour ore grahque 8, o vo que chaque aée, au secod rmesre, le chffre d'affares es bas, e qu'l es hau au quarème rmesre : ce so des varaos sasoères. Les varaos sasoères sero reréseées ar S, e o cosdère qu'elles se réèe à l'deque à chaque érode : o a doc S S S 3, ou be S S m+ S m+ C'es le rce de la rééo à l'deque des varaos sasoères. O cosdère auss que sur la érode, ces varaos se comese : les surfaces ere la courbe rerésea le red e la courbe rerésea l'évoluo de la varable so suosées arfaeme se comeser. Doc ar érode, l'fluece des varaos sasoères es eure. C'es le rce de coservao des ares...3 LES VARIATIONS ACCIDENTELLES Ecore aelées varaos résduelles, résdu ou aléa, ce so des mouvemes exceoels, rrégulers e mrévsbles. Le chffre d'affares du rosème rmesre de la remère aée es ue varao accdeelle : c'es la seule aée où sa valeur es lus élevée que celle du quarème rmesre (vor grahque 8). Les varaos accdeelle so oées ε, e o cosdère qu'elles so de fable amlude e e moee ulles sur ue ee érode..3 MODÈLES DE FORMALISATION D'UNE SÉRIE CHRONOLOGIQUE E ea come des comosaes d'ue sére chroologque, o formalse l'évoluo de la varable ar ue relao mahémaque à ravers u modèle addf ou mullcaf..3. LE MODÈLE ADDITIF Le modèle addf s'exrme ar la relao ' + S + ε. O l'ulse lorsque l'o cosdère que les comosaes so déedaes les ues des aures. Cela corresod grahqueme à la suao où les amludes des comosaes sasoères so cosaes. C'es le cas our la sére des chffres d'affares doée ar le ableau e reréseée ar le grahque 8. Das ce modèle, le rce de coservao des ares reve à suoser que la somme e doc la m moee des varaos sasoères so ulles our fxé : S..3. LE MODÈLE MULTIPLICATIF Il s'exrme ar la relao ' S + ε (remère forme du modèle mullcaf) ou ar la relao ' S ε (deuxème forme). Cee derère relao eu se rameer au modèle addf, e rodusa le logarhme : l l' + ls + lε. O l'ulse lorsque l'o cosdère que les comosaes so déedaes les ues des aures : la comosae sasoère, e éveuelleme la comosae accdeelle, so rooroelles au red. Grahqueme, les amludes des comosaes sasoères so crossaes ou décrossaes.

36 Das ce modèle, le rce de coservao des ares reve à suoser que la moee des m varaos sasoères es égale à l'ué our fxé : S m, e doc SECTION LA DÉTERMINATION DES COMPOSANTES Le modèle d'évoluo éa chos, e e admea que les varaos accdeelles so égrées das le red ou so églgeables, l rese à déermer les comosaes e esma les aramères du red e des varaos sasoères.. LA DÉTERMINATION DU TREND Elle eu se fare selo des méhodes aalques ou emrques... MÉTHODES ANALYTIQUES Elles s'alque das les cas où la edace géérale d'évoluo de la varable es assmlable à ue foco smle coue. E effe, s le red es léare ar exemle 8, sa déermao cosse e u auseme léare du uage de os rerésea la chroque. Nous oseros que la droe d'auseme es d'équao ' α + β do les aramères (α e β) sero esmés ar la méhode de Maer ou, meux, ar la méhode des modres carrés (vor chare VI). m S m. Das le cas du modèle addf, la sére sera ausée ar ue droe d'équao α + β + S (les ε COV(,) o éé églgés), e ar la méhode des modres carrés, ous auros α e β α. V() Das le cas du modèle mullcaf, la sére sera ausée ar l'équao (α + β)s e le calcul de α e β es rameé au calcul récéde. Déermos le red de la sére des chffres d'affares (ableau ) ar la méhode des modres carrés. Nous réseos les doées sous la forme d'u ableau de cogece à deux coloes our effecuer les calculs écessares. 8 8 5 4 3 9 66 4 8 6 7 5 6 5 3 6 7 36 4 7 49 7 8 4 64 9 9 8 98 8 Vor le chare VI sur les cas d'ausemes o léares.

37 9 9 5 65 6 44 3 78 65 365 Nous avos as 6,5 6,83 4,355 ; V() 4,45. N 78 6,5 ; N N N N N 65 (6,5),9 ; α Le red es doc doé ar la relao ',37 + 4,45... MÉTHODES EMPIRIQUES 6,83 ; COV(, ) 4,355,9 N N 365,37 e β 6,83,37 6,5 Elles s'alque das les cas où la chroque e eu as êre ausée ar ue foco smle coue, ou be das le cas où l'o e désre as ulser la méhode aalque. Elles so lus souve ulsées car, das de ombreux, elles covee meux que les méhodes aalques. As, o ourra esmer le red so ar la méhode des moees écheloées, so ar la méhode des moees mobles. Les moees écheloées d'ordre ou sur sasos d'ue varable, our mar, so les valeurs ' suvaes : ' + + L + +, ' + + + + L+ 3 +, ' + + + + L+ 5 + ec. Lorsque es ar, les moees écheloées so : ' + + L+ + + + + 3 + + + L+, ' + + + L+ 5 + +, ec. +, ' 3, 3 + La méhode des moees écheloées cosse as à remlacer u ombre m de valeurs cosécuves de la varable ar leur moee arhméque. De la sore, o lsse la chroque, e adoucssa les varaos sasoères our ober le red. Cee méhode eraîe ceeda la ere de ombreuses observaos. C'es ourquo le chox de do êre udceux, lorsqu'l 'es as mosé. E gééral, o essae de fare corresodre à la durée d'ue érode ; e de faço coveoelle, s corresod à des aées, sera égal à 3 ou 5 ; e rmesres, 4, e e mos,. Les moees mobles d'ordre ou sur sasos d'ue varable, our mar, so les valeurs ' suvaes : ' + + L + +, ' + 3 + L+ + + 3 es ar, les moees mobles so : ' + + L+ +, ' + 3 + 4 + L+ + + 5, ' + 4 + 3 + L+ +, ec. Lorsque, ' + 6

38 3 + 4 + L+ + 3, ec. Les uméraeurs so aelés sommes mobles. La méhode des moees mobles erme auss de lsser la chroque e remlaça u ombre de valeurs cosécuves de la varable ar leur moee arhméque. Mas, le calcul c es décalé de érode e érode, e réulsa oues les doées du calcul récéde sauf la remère. Corareme doc à la méhode des moees écheloées, seules les observaos au débu e à la f de la sére dsarasse. E cela, la méhode des moees mobles esme meux le red, e es la méhode emrque la lus couramme ulsée. Le chox de se fa selo les mêmes rces qu'avec la méhode des moees écheloées. Calculos les moees écheloées e mobles our esmer le red de la chroque doée ar le ableau. Nous reos 4 usque les doées so rmesrelles. Les moees so doées das le ableau suva : Valeurs observées ( ) Moees écheloées d'ordre 4 (' ) Moees mobles d'ordre 4 (' ) 8 5 8 6 7 4 9 5 6 6,75 6,5 5,5 6,75 8 6,75 6 6,5 6 6,875 7,75. LA DÉTERMINATION DES COEFFICIENTS SAISONNIERS O esme les varaos sasoères S, suosées deques à chaque érode, ar des coeffces sasoers oés γ, qu corresode à des varaos érodques deques e modèle addf, ou à des varaos érodques de rooro deque e modèle mullcaf. As, l ' aura qu'u coeffce sasoer our chaque saso qu résume les varaos corresodaes à cee saso. Au oal, l aura m coeffces sasoers our oue sére chroologque. Il exse deux méhodes d'esmao des coeffces sasoers : la méhode aalque e la méhode raque... MÉTHODE ANALYTIQUE Cee méhode es valable quad le red es léare. Paros du mome où les aramères α e β du red o éé esmés ar la méhode des modres carrés (sura). E modèle addf, ous ouvos écrre que ' + S α + β + γ, usque ous avos dqué que les varaos sasoères so esmées ar γ (elles se résume à γ our chaque saso ). Ce qu mlque que γ α β α[m( ) + ] β α[m( ) + ] + α α[m( ) + ].