Analyse specrale Physique appliquée Analyse specrale Harmoniques 50 Hz Specre d un signal FSK Specre d un signal périodique 500 Hz 000 Hz
Analyse specrale Sommaire 1- La représenaion emporelle d un signal - La représenaion fréquenielle du signal 3- Exemple du specre d un signal sinusoïdal 4- Insrumenaion : l analyseur à balayage 5- Insrumenaion : l analyseur numérique 6- Signaux à specre sable dans le emps 7- Exemple de signal à specre sable 8- Signaux à specre variable dans le emps 9- Exemple de signal à specre variable 10- Les ouils mahémaiques de l analyse specrale 11- La décomposiion en série de Fourier 1- Specre d un signal périodique 13- Décomposiion des signaux usuels 14- Specre d une impulsion 15- Harmoniques e imbre d un son 16- Evoluion des harmoniques d une lame vibrane 17- Mesure de la disorsion harmonique 18- Mesure de la disorsion d inermodulaion 19- Diminuion des rayonnemens parasies 0- Les harmoniques sur le réseau 50 Hz 1- Conséquences des harmoniques sur le réseau - La ransformée de Fourier 3- L effe de fenêre 4- La ransformée de Fourier discrèe 5- Exemple d applicaion de la TFD 6- La ransformée de Fourier rapide ou FFT 7- Les fenêres de pondéraion 8- Applicaion : es d un hau-parleur 9- Applicaion : la FFT dans le domaine médical
Analyse specrale 1- La représenaion emporelle d un signal L élecronique raie des signaux analogiques ou numériques de naures rès variées : le suppor du signal es le plus souven une ension, mais peu aussi êre un couran, une onde élecromagnéique (radio, TV, radar), une onde lumineuse ou infrarouge (fibres opiques), une onde sonore l informaion conenue dans le signal peu êre un message audio (parole, musique), vidéo (image TV), binaire (liaison ordinaeur-imprimane) ou un signal analogique raduisan l éa d un capeur Une première façon de connaîre un signal es d observer son allure en foncion du emps donnée par l oscillogramme. Exemple 1 : signal x() = 10sin(400) Exemple : signal sinusoïdal e signal modulé en ampliude ampliude ampliude 10 emps emps c es un signal sinusoïdal son ampliude es de 10 V sa pulsaion vau 400 radians/seconde sa fréquence vau f = 63,7 Hz Définiion : l oscillogramme d un signal es la représenaion des variaions de son ampliude en foncion du emps. L oscillogramme nous renseigne sur l ampliude, la valeur crêe, la valeur moyenne mais pas sur les fréquences conenues dans le signal.
- La représenaion fréquenielle d un signal Pour voir les fréquences conenues dans un signal, on le représene sous la forme d un diagramme ampliude-fréquence appelé specre : Exemple 1 : le signal x() = 10sin(400) es un signal sinusoïdal d ampliude 10 e de pulsaion 400 ampliude ampliude 10 10 emps oscillogramme 400 specre pulsaion ω (ou fréquence f) Exemple : fréquences capées par une anenne enre 88 e 108 MHz ( bande FM ) ampliude 1 : France-Musique 91, MHz : France-Iner 95,7 MHz 3 : Radio France alsace 10,4 MHz 4 : France-Info 105,7 MHz 1 3 4 fréquence Définiion : le specre es la représenaion des ampliudes des différenes composanes en foncion de la fréquence Analyse specrale
Analyse specrale 3- Exemple du specre d un signal sinusoïdal On s inéresse au specre d un segmen de signal sinusoïdal de fréquence 500 Hz : il dure 54 ms e es donc composé de 7 périodes son ampliude es de 10 mv crêe pendan son exisence, son specre es formé d une raie à 500 Hz ampliude 10 oscillogramme specre 500 fréquence f Diagramme emps-fréquence Pour visualiser l évoluion du specre en foncion du emps, on uilise un diagramme emps-fréquence sur lequel la couleur indique l inensié de la composane specrale.
4- Insrumenaion : l analyseur à balayage Pour visualiser le specre d un signal, on dispose de deux ypes d insrumens : l analyseur à balayage e l analyseur numérique. L analyseur à balayage foncionne comme un récepeur à changemen de fréquence en balayan la gamme de fréquences à analyser : il perme de visualiser le specre de signaux de fréquences élevées, une fréquence maximale de 3 GHz éan une valeur courane à cause de son mode de foncionnemen, il ne perme pas de visualiser le specre de signaux brefs e non répéiifs par conre, il es idéal pour visualiser des specres de signaux sables dans le emps ou répéiifs Tekronix 71 : 9 khz à 1,8 GHz Anrisu MS711 : 100 khz à 3 GHz Rohde+Schwarz : 100 khz à 3 GHz Les principaux réglages de l appareil son : la plage de fréquence visualisée ( fréquence cenrale, déviaion ), la sensibilié e la bande passane du filre d analyse. Apple : principe de l analyseur à balayage Vidéo : le foncionnemen de l analyseur à balayage Analyse specrale
5- Insrumenaion : l analyseur numérique L analyseur de specre numérique échanillonne le signal à analyser e calcule des poins du specre à l aide d un algorihme de calcul qui es souven une FFT ( Fas Fourier Transform) : il perme de visualiser le specre de signaux don la fréquence es limiée à quelques dizaines de MHz il peu faire l acquisiion de signaux non répéiifs e visualiser leur specre il peu monrer l évoluion du specre en foncion du emps pour les signaux qui ne son pas sables de nombreuses opions d affichage permeen une visualisaion opimale des specres ( specre unique, sonagramme, waerfall ) il es souven réalisé auour d un PC par l associaion d une care d acquisiion inerne ou exerne e un logiciel Fluke 43B : analyseur des harmoniques du réseau 50 Hz Onosokki DS000 : 0 à 40 khz Les principaux réglages de l appareil son : la plage de fréquence visualisée ( fréquence cenrale, déviaion ), la sensibilié e le choix de la fenêre de pondéraion. Analyse specrale
Analyse specrale 6- Signaux à specre sable dans le emps Pour l analyse specrale, il exise un grand nombre de signaux don l esseniel de la forme rese sable dans le emps : leur specre es fixe ou évolue peu dans le emps, la connaissance du specre à un insan donné perme de bien connaîre les caracérisiques du signal. specre de la ranche A f specre de la ranche B f analyseur à balayage ou numérique x() ranche A ranche B Dans cee caégorie, on rouve : les signaux périodiques, les signaux modulés en ampliude, en fréquence ou en phase, les signaux vidéo
7- Exemple de signal à specre sable La séquence analysée correspond à un signal modulé en ampliude : Oscillogramme d une ranche de 4 ms nombre d échanillons : N = 10 000 fréquence d échanillonnage : fe = 1105 khz fréquence de la poreuse : f = 1000 Hz signal modulan sinusoïdal à F = 150 Hz Specre moyen (FFT des échanillons) 1000 Hz 850 Hz 1150 Hz Diagramme specre-emps Remarques : on rerouve sur le specre moyen e le diagramme specre-emps la poreuse à 1000 Hz e les raies laérales à 850 e 1150 Hz l oscillogramme monre que le signal es sable dans le emps le diagramme specre-emps monre que le specre ne change pas lorsque le emps s écoule le specre FFT du signal es donc suffisan pour connaîre les propriéés fréquenielles du signal Analyse specrale
Analyse specrale 8- Signaux à specre variable dans le emps L aure famille correspond aux signaux don la forme e donc le specre évoluen au cours du emps : la connaissance du specre à des insans successifs es alors rès riche en informaions. specre de la ranche A f specre de la ranche B f analyseur numérique ampliude le specre évolue dans le emps A B fréquence x() emps Diagramme specre-emps ranche A ranche B Dans cee caégorie, on rouve : les signaux vocaux ou musicaux, les signaux biologiques, ceux issus de capeurs
9- Exemple de signal à specre variable La séquence sonore analysée correspond à un enregisremen du chan d un groupe de baleines : Oscillogramme d une ranche de 0 ms nombre d échanillons : N = 50 000 fréquence d échanillonnage : fe = 1105 khz durée D = N.Te = 4,54 secondes Specre moyen (FFT des échanillons) 967 Hz 1934 Hz 1676 Hz 150 Hz 773 Hz Diagramme specre-emps (sonagramme) Son : écouer le chan des baleines Remarques : on rerouve sur le specre moyen e le sonagramme les composanes inenses auour de 1000, 1650 e 000 Hz on reconnaî sur le sonagramme les variaions de haueur perçues à l oreille le sonagramme es beaucoup plus riche en informaions que le specre FFT Analyse specrale
Analyse specrale 10- Les ouils mahémaiques de l analyse specrale En foncion du ype de signal, on dispose de 3 ouils mahémaiques pour calculer le specre d un signal x() : si le signal x() es périodique, la décomposiion en série de Fourier perme de calculer l ampliude des raies du specre x() période To décomposiion en série de Fourier calcul des Xi ampliude X1 X X3 fo fo 3fo 4fo 5fo 6fo f si l équaion du signal x() es connue, la ransformée de Fourier perme de calculer l équaion de la courbe du specre ampliude x() ransformée de Fourier S(f) calcul de S(f) f si on dispose de N échanillons du signal x(), la ransformée de Fourier discrèe perme de calculer N poins de la courbe du specre x() ampliude x0 x1 x x3 N poins du signal ransformée de Fourier discrèe (DFT, FFT) calcul de S0, S1 0 Te nte 0 fe/n k.fe/n S0 S1 S Sk N poins du specre f
Analyse specrale 11- La décomposiion en série de Fourier x() période To Soi x() un signal de forme quelconque mais périodique : oscillogramme Le mahémaicien Fourier a démonré qu il peu s écrire sous la forme : x( ) = X 0 + X1 sin( ω0+ ϕ1) + X sin(ω0+ ϕ) +... + X nsin( nω0+ ϕn1) +... valeur moyenne ampliude de l harmonique ampliude de l harmonique n Jean-Bapise Fourier 1768-1830 ampliude du fondamenal Cee décomposiion peu aussi s écrire de la façon suivane : x( ) = X 0 + A1 cos( ω0) + B1 sin( ω0) + A cos(ω0) + Bsin(ω0) +... + An cos( nω0) + Bnsin( nω0) +... avec : X = 1 o x( ) d A x n d 0 n = ( ).cos( ω ) Bn = x( ).sin( nω ) d T T T T 0 0 T 0 0 T Ces décomposiions son bien sûr équivalenes e on a : n n n Apple : calcul de la décomposiion de Fourier d un signal X = A + B e n ϕn=arcg( B ) An Les foncions paires on un développemen qui ne conien que des ermes en cosinus, les foncions impaires on une décomposiion en sinus : cee remarque uile perme souven de simplifier le calcul.
1- Specre d un signal périodique La décomposiion en série de Fourier perme de racer aisémen le specre de x() consiué par des raies équidisanes : ampliude X1 valeur moyenne X0 X fo X3 = 0 fo fo 3fo 4fo 5fo 6fo fréquence Exemple : analyse specrale du son d un didjeridu le son es périodique e son specre es un specre de raies le fondamenal es à 65 Hz le signal ne conien pas d harmoniques pairs l harmonique 3 a une ampliude supérieure au fondamenal Analyse specrale
Analyse specrale 13- Décomposiion des signaux usuels oscillogramme specre x() E ampliude 4 E sin( 3ω ) sin( 5ω ) x( ) = sin( ) + + +... ω π 3 5 T 0 f 3f 5f f x() E ampliude 8E sin( 3ω) sin( 5ω) x( ) = sin( ) +... ω π 3 5 T 0 f 3f 5f f x() E x( ) E cos( ω) cos( 4ω) = + +... 1 π 3 15 ampliude T/ 0 f 4f f x() E ampliude E sin( ω) sin( 3ω) x( ) = sin( ) + +... ω π 3 T 0 f f 3f f
Analyse specrale 14- Specre d une impulsion Le rain d impulsions es d une grande imporance en élecronique e son specre a une allure caracérisique : x() E T at sin( πa) sin( nπa) x( ) = ae 1+ cos... πa nπa ( ω ) +... + cos( nω ) + ampliude 0 f f 3f f La courbe enveloppe des raies a pour équaion : soi pour des fréquences fx elles que : fx = sin( nπa) y = ae nπa 1,, 3... at at at e passe par zéro pour n el que : nπ a=π, π,3π... Exemple : specre d un rain d impulsions de fréquence 140 khz e de largeur 870 ns l enveloppe passe par zéro à 1/870ns=1,15 MHz,,3 MHz, 3,45 MHz le specre es formé de raies à f = 140 khz, 80 khz, 40 khz Specre d un signal impulsionnel 1,15 MHz x() E at=800 ns,3 MHz 3,45 MHz f = 15 khz Apple : décomposiion e synhèse d une impulsion 0,5 MHz 5 MHz
15- Harmoniques e imbre d un son La répariion, l ampliude e la durée des harmoniques définissen le imbre d un insrumen ou d une voix : le son du violon diffère de celui de la rompee e de l orgue parce que les rois sons on une composiion en harmoniques différene pendan oue la durée d une noe, l allure emporelle e la composiion harmoniques ne resen pas ideniques ce son ces variaions de niveau sonore e de composiion harmonique qui renden la musique si vivane e si riche oscillogramme specre F H H3 Son d un violon Son d une rompee oscillogramme specre F H3 H Vidéo : specre d un violoncelle Analyse specrale
16- Evoluion des harmoniques d une lame vibrane Une lame méallique frappée éme un son don le imbre évolue au cours du emps : le brui de l impac es un brui à large bande qui conien oues les fréquences la vibraion de la lame se fai selon différens modes qui corresponden à différens harmoniques ces harmoniques s éeignen au bou d un emps variable, ce qui fai évoluer le imbre du son la représenaion de l évoluion des harmoniques en foncion du emps s appelle un sonagramme fréquence Sonagramme de la lame vibrane 5000 Hz 4000 Hz inense échelle d ampliudes 3000 Hz 000 Hz faible 1000 Hz 0 Hz 0 1 s s 3 s 4 s emps Son : écouer le son de la lame vibrane Analyse specrale
Analyse specrale 17- Mesure de la disorsion harmonique Cee mesure, courammen uilisée en élecronique e en élecroechnique, nous renseigne sur : la qualié d un oscillaeur sinusoïdal (par analyse specrale du signal produi par le disposiif) la linéarié d un amplificaeur (analyse specrale de la sorie si l enrée es sinusoïdale) la linéarié d une charge alimenée par le réseau (analyse specrale du couran si la ension es sinusoïdale) Exemple : es d un ampli Hi-fi on applique sur l enrée un signal à 1 khz de niveau 1V le specre en sorie monre l appariion d harmoniques ces harmoniques son dans la bande audio e doncpeuven êre audibles Disorsion harmonique d un amplificaeur : voie de gauche voie de droie F Ampliude des principales raies : F = 0 db = 1V H = - 10 db = 7,9 uv H3 = - 10 db = 1,6 uv H5 = - 10 db = 1 uv H7 = - 10 db = 1,8 uv H9 = - 10 db = 1,4 uv H13 = - 10 db = 1 uv H14 = - 10 db = 1 uv H16 = - 10 db = 1 uv Le aux de disorsion harmonique s écri : H H3 H5 d = H + H 3 + H F 4 +... 7,9 + 1,6 10 6 + 1+... = 8,6.10 d = 6 = 0,00086 % Remarque : ce aux de disorsion exrêmemen faible es caracérisique d un rès bon amplificaeur, mais il ne fau pas oublier qu une rès bonne enceine acousique a un aux de disorsion qui descend raremen en-dessous de 1%!
Analyse specrale 18- Mesure de la disorsion d inermodulaion Pour eser la linéarié d un disposiif (ampli, HP ) on applique sur son enrée une somme de deux signaux sinusoïdaux de fréquence f1 e f : x( ) = X cos( ω1) ve() + disposiif à eser vs() y( ) = Ycos( ω) si le sysème es parfaiemen linéaire : vs ( ) = A. ve( ) disorsion quadraique disorsion cubique pour un sysème réel, la caracérisique doi êre modélisée par un polynôme : v ( ) = A. v ( ) + B. v ( ) + C. v ( ) 3 s e e e +... Les disorsions quadraique, cubique e suivanes fon apparaîre de nouvelles fréquences en sorie de la forme : fm, n= m. f1 ± n. f Exemple : es d un ampli Hi-fi Disorsion d inermodulaion d un amplificaeur : voie de gauche voie de droie 0 khz 19 khz on applique sur l enrée deux signaux à 19 khz e 0 khz leur ampliude es -0 db sous 1V, soi X=Y=0,1V la disorsion d inermodulaion crée du 1 khz audible la disorsion (canal gauche) es de -110 db soi 3, uv les aures produis d inermodulaion son hors bande audio Le aux de disorsion par inermodulaion vau : inermodulaion D =3,.10 5 = 0,003% X = di
Analyse specrale 19- Réducion des rayonnemens parasies Dans les sysèmes élecroniques acuels, les signaux analogiques côoien souven les signaux numérique : les signaux numériques son à fréquence élevée e à frons raides, e leur specre es donc rès large les harmoniques de rang élevé son facilemen rayonnés car les pises de circui imprimé peuven consiuer de bonnes anennes cela se produi chaque fois que la longueur de la pise es voisine du quar de la longueur d onde par exemple une pise de 10 cm consiue une excellene anenne pour l harmonique 40 d un signal à 10 MHz Les consruceurs de circuis inégrés prennen acuellemen en compe ce problème e proposen des circuis inégrés qui dégraden volonairemen les frons des signaux pour limier l ampliude des harmoniques de rang élevé. oscillogramme oscillogramme specre specre harmoniques de rang élevé moins d harmoniques Ces inerfaces divisen les perurbaions élecromagnéiques par 100, par rappor à ous les aures circuis bipolaires e CMOS RS 485.
0- Les harmoniques sur le réseau 50 Hz La ension disponible sur les prises de courans n es pas oujours parfaiemen sinusoïdale : lorsqu une charge linéaire es connecée au réseau, le couran i() appelé dans la ligne es sinusoïdal exemples de charges linéaires : ampoules d éclairage, radiaeurs élecriques si la charge es non-linéaire, le couran i() es déformé e peu même devenir impulsionnel, donc riche en harmoniques ces charges non-linéaires peuven êre diverses : alimenaions classiques ou à découpage, ordinaeurs, variaeurs de viesse pour moeurs, machines à souder à conrôle élecronique, éclairages fluorescens ec vc() vu() 310 charge non linéaire de la cenrale Pose de ransformaion EDF vc() impédance de ligne Z i() vu() M La ligne EDF enre le pose de ransformaion e l uilisaeur es caracérisée par son impédance de ligne Z : si la charge n es pas linéaire, le couran n es pas sinusoïdal e la chue de ension liée à l impédance de ligne non plus la ension vu() disponible sur les prises de l uilisaeur n es plus sinusoïdale les harmoniques de la ension vu() peuven perurber le foncionnemen de cerains appareils dès que la disorsion dépasse 5 % Analyse specrale
1- Conséquences des harmoniques sur le réseau La présence d harmoniques sur le réseau de disribuion 50 Hz pose de nombreux problèmes : la présence d harmoniques crée une surchauffe parce que la valeur efficace du couran es supérieur à celle indiquée par les ampèremère usuels prévus pour une mesure en régime sinusoïdal la présence d harmoniques 3 crée dans un sysème riphasé un couran de neure qui n es plus nul, il en résule une surchauffe du fil de neure qui ne véhicule normalemen aucun couran si la charge es équilibrée la présence d harmoniques 5 dans la ension d alimenaion d un moeur asynchrone ou synchrone riphasé crée un champ ournan en sens inverse, donc une pere de couple pour le moeur e une surchauffe du roor La suppression des harmoniques nécessie quelquefois l insallaion de filres passifs ou acifs encombrans e coûeux : Filre acif suppresseur d harmoniques L1 fusibles L réseau i() ic() charge non linéaire if() C1 C filre acif vers le réseau filre L1C1 accordé sur l harmonique 3 filre LC accordé sur l harmonique 5 couran i() sinusoïdal couran if() absorbé par le filre couran ic() non-sinusoïdal Filre passif suppresseur d harmoniques Vidéo : le problème des harmoniques sur le réseau Analyse specrale
- La ransformée de Fourier Le specre S(f) d un signal x() non périodique mais d expression mahémaique connue ( impulsion unique, salve de moifs simples ) peu êre calculé à l aide de la ransformée de Fourier : + jω j S( jω ) = x( ). e d avec e ω = cos( ω) + jsin( ω) Cee ransformaion donne une foncion S(jω) complexe don on exrai le specre en prenan le module S(ω) en se limian aux fréquences posiives qui seules on une significaion physique. x() 10 V Exemple : specre d une impulsion unique d ampliude E = 10V e de largeur o = 1 ms : l expression mahémaique du signal x() es la suivane : 0 x( ) = 10V si <<+ 0 x( ) = 0V en dehors de l inervalle 1 ms calcul de la ransformée de Fourier : + + o/ jω sin( ω) cos( ω) sin( πfo) S( jω) = x( ). e d E[ cos( ω) jsin( ω) ] d E j = = = E. o o/ ω ω πfo + o/ o/ ampliude le specre es en sin(x)/x 0,01 muliples de l inverse de la largeur de l impulsion 0 1 3 Analyse specrale f en khz
Analyse specrale 3- L effe de fenêre Lorsqu on ravaille avec des signaux de durée limiée, le specre es déformé : c es l effe de fenêre. Pour observer ce effe, calculons le specre d un signal z() sinusoïdal de fréquence fo e de durée T : x() f() 1 -T/ T/ z()= x().f() le signal z() es le produi d une foncion sinusoïdale x() e d une foncion fenêre f() on di qu on observe le signal à ravers une fenêre emporelle recangulaire de largeur T la ransformée de Fourier de z() se calcule aisémen : + + T / T / [ ] jω S( jω) = z( ). e d = Esin( ω) cos( ω) jsin( ω) d E + T/ = [ sin( ωo + ω ) + sin( ω0 ω ) + j cos( ω0+ ω ) j cos( ω0 ω ) d ] T/ + = je T sin( ω T 0 ω) / sin( ω0 ω) T/ ( ω+ ω0 ) T/ ( ω0 ω) T/ si on se limie aux fréquences posiives, le specre S(f) s écri : S f E T sin π ( ( ) f f T 0 ) = π ( f0 f ) T ampliude /T lobe principal à cause de la durée limiée T, la raie à la fréquence fo es devenue un lobe de largeur /T, associé à des lobes secondaires plus la duré d observaion T es longue, plus le lobe principal s affine e se rapproche d une raie l effe de fenêre se manifese dans ous les analyseurs numériques car ils calculen ous le specre à parir d une porion de signal limiée dans le emps lobes secondaires fo f
Analyse specrale 4- La ransformée de Fourier discrèe Par échanillonnage e conversion analogique-numérique, il es facile de faire l acquisiion d un signal x() par un ordinaeur : l applicaion de la ransformée de Fourier discrèe ( c es-à-dire disconinue) perme alors de calculer le specre e de le visualiser : x() fc x*() CAN sockage pondéraion calcul de la TFD filre ani-repliemen fe affichage l échanillonnage se fai à une fréquence fe e la prise de N échanillons dure un emps T = N.Te = N/fe la durée T représene donc la largeur de la fenêre emporelle d analyse à la fin de l opéraion d acquisiion, on a en mémoire une série de N valeurs numériques x0 = x(0), x1 = x(te)..., xn = x(nte)... A parir de ces N échanillons, la TFD perme de calculer N poins du specre définis par leur abscisse f(k) e leur ordonnée S(k) : fe f( k) = k. N abscisse du poin du specre : avec k = 0, 1,... N-1 ordonnée du poin du specre : S( k) = 1 N N 1 n= 0 x( n) e 1 N [ nπ. k/ N) jsin(nπ. k/ N ] jnπk/ N N 1 = x( n) cos( ) n= 0 ampliude Remarques : S0 S1 la TFD nécessie de nombreux calculs pour 104 poins, il fau effecuer 1048576 addiions e muliplicaions cela rend difficile le calcul en emps réel si fe es élevée S Sk N poins du specre f 0 fe/n k.fe/n
5- Exemple d applicaion de la TFD Le specre du signal échanillonné a des caracérisiques pariculières : le signal éan échanillonné, le specre obenu es forcémen symérique par rappor à fe/, seule la première moiié N/ des poins calculés sera donc effecivemen uilisée pour racer le specre si on veu un specre précis, il suffi d augmener le nombre de poins du signal e donc la durée de l échanillonnage T le nombre de calculs e donc la durée du raiemen mahémaique augmene rès vie avec le nombre N d échanillons Exemple : on dispose de N = 10 échanillons du signal x() échanillonné à fe = 1 khz allan de x0 à x9 1er calcul : k = 0 fréquence f(0) = 0 ampliude : [ x(0) + x(1) + x() +... + x(9 ] Xmoyen S (0) = ) = 10 1 On rerouve le résula bien connu que la composane specrale à la fréquence nulle correspond à la valeur moyenne du signal ème calcul : k = 1 fréquence f(1) = fe/n = 100 Hz ampliude : { x(0)cos(.0. [ π.1/10) jsin(.0. π.1/10) ] + x(1)cos(.1. [ π.1/10) jsin(.1. π.1/10) ] +... + x(9)cos(.9. [ π.1/10) jsin(.9..1/10)] } S( 1) = 10 1 π 10ème calcul : k = 9 fréquence f(9) = 9.fe/N = 900 Hz ampliude : { x(0)cos(.0. [ π.9/10) jsin(.0. π.9/10) ] + x(1) [ cos(.1. π.9/10) jsin(.1. π.9/10) ] +... + x(9) [ cos(.9. π.9/10) jsin(.9..9/10)] } S( 9) = 10 1 π Conclusions : à parir des 10 échanillons du signal on peu calculer sans difficulés pariculières 10 poin du specre le calcul de chaque poin nécessie 10 muliplicaions e addiions le calcul de la TFD sur 10 échanillons nécessie donc 100 opéraions de la même façon, le calcul d une TFD sur 104 échanillons nécessie 1048576 opéraions de muliplicaion e d addiion Analyse specrale ampliude S0 S1 S Axe de symérie à fe/ S7 S9 0 100 700 900 f
Analyse specrale 6- La ransformée de Fourier rapide ou FFT Le calcul d'une TFD, nécessie une grande quanié d'opéraions e devien es rès long si le nombre d échanillons es élevé : il exise une façon de calculer la même chose auremen, c'es l'algorihme de Transformée de Fourier Rapide ce algorihme a éé publié en 1965 James Cooley (IBM) e John Tukey (Bell Labs) il repose sur une façon pariculière de calculer la TFD qui économise ceraines opéraions e accélère donc le calcul Ce algorihme nécessie que le nombre N d échanillons soi un muliple de e son principe es le suivan : pour la TFD, un poin du specre se calcule par : 1 N 1 N N 1 jnπk/ N N 1 ( ) = ( ) = ( ) nk j / N S k x n e x n W avec W = e π n= 0 n= 0 si on sépare les échanillons en échanillons pairs p(n) e impairs i(n), on peu écrire : N opéraions N 1 N 1 nk nk jnk S k 1 p n W 1 ( ) = ( ) + i( n) W e n= 0 n= 0 N N ( N ) opéraions ( N ) opéraions Grâce à cee opéraion, le nombre de calculs pour un poin du specre es passé de : N. ( N N ) à = Il a donc éé divisé par Le processus es répéé sur chacun des deux calculs précédens, e ainsi de suie, jusqu au calcul de TFD sur échanillons. Le gain en nombre de calculs e donc en emps es impressionnan ( faceur supérieur à 100 pour N = 4096 ). N échanillons calcul TFD N opéraions ransformée de Fourier discrèe N échanillons calcul FFT N. log( N) opéraions ransformée de Fourier rapide Pour fixer les idées, un PC acuel équipé d un Penium 4 à GHz es capable d effecuer une FFT sur 048 poins en moins de 0,1 ms. Apple : calcul de la FFT d un signal
Analyse specrale 7- Les fenêres de pondéraion Une raie es ransformée en lobe à cause de la durée d observaion limiée à ravers la fenêre emporelle T. En choisissan d aures ypes de fenêres, c es-à-dire en pondéran les échanillons avan le calcul de la FFT, on peu donc agir sur la forme du specre e en pariculier diminuer l ampliude des lobes secondaires. Type Forme Équaion Allure de la raie Écar lobe principal / 1er lobe secondaire/ Largeur à - 3 db en Hz Largeur de brui en Hz Pene d aénuaion des lobes secondaires Recangulaire T F( ) = 1-13, db 0,88/T 1/T 6 db/oc Demi-sinus F( ) = sin( π ) T -,4 db 1,15/T 1,6/T 1 db/oc Barle >0 F( ) = T <0 F( ) = T -6,6 db 1,8/T 1,33/T 1 db/oc Hann F( ) = 0,5+ 0,5.cos( π ) T -31,6 db 1,39/T 1,5/T 18 db/oc Hamming F( ) = 0,54+ 0,46.cos( π ) T -43,9 db 1,6/T 1,36/T 6db/oc (au delà de 5/T)
Analyse specrale 8- Applicaion : le es d un hau-parleur L observaion de la réponse impulsionnelle d un sysème e de son specre nous donne des renseignemens rès inéressans sur ses propriéés élecromécaniques. e() 10 µs Ampli de puissance hau-parleur microphone s() réponse impulsionnelle Pour eser un hau-parleur ou une enceine acousique : on l excie par une impulsion rès fine e() le specre de e() es presque pla enre 0 e 0 khz par un microphone, on enregisre sa réponse s() un analyseur FFT affiche l évoluion du specre S(f) le graphique obenu s appelle «waerfall» Réponse en fréquence FFT en «waerfall» de la réponse impulsionnelle Remarques : le premier specre correspond à la courbe de réponse de Bode du hau-parleur les arêes de la courbe en «waerfall» corresponden aux résonances parasies du hau-parleur un bon hau-parleur présene peu d arêes e une courbe «waerfall» qui ombe rès vie à 0 résonances parasies
9- Applicaion : la FFT dans le domaine médical L allure emporelle des signaux biologiques ( ECG, EEG ) es souven difficile à l inerpréer e le calcul du specre par FFT après échanillonnage appore des résulas inéressans au praicien : Exemple 1 : éude sur le specre du brui respiraoire à l expiraion niveau brui respiraoire capé par un microphone calcul de la FFT e racé du specre specre d un non-fumeur en rai plein specre d un fumeur en poinillé On disingue bien l augmenaion des fréquences aiguës liées à une déérioraion de la paroi de la rachée e des bronches. f (Hz) Exemple : specre de l'élecroencéphalogramme 100 500 1000 emps 0 4 6 8 f (Hz) 0 4 6 8 f (Hz) Analyse specrale emps l éude specrale des EEG fourni de indicaions sur les dysfoncionnemen du cerveau elle perme aussi de suivre le processus de guérison de façon araumaique l enregisremen concerne un homme de 73 ans jours après une hémiplégie côé gauche dans l hémisphère ouché, le maximum du specre a éé abaissé de 3 Hz à Hz
Physique appliquée Coucher de soleil sur Érea FIN Reproducion inerdie sans auorisaion préalable. Analyse specrale