INTRODUCTION Duran oue son eisence, l omme a du subenir à ses besoins en ransforman les maériau en roduis uiles, d abord de façon rimiie uis arisanale. Mais comme oues les enrerises umaines, l aciié de roducion es assujeie au cangemens consans dans la ecnologie e les connaissances umaines [Gerswin 9]. Face au besoins consans, l aciié arisanale a éé remlacée ar les grandes uniés indusrielles (9eme e 0eme siècle) qui à leur our disaraissen au eme siècle e laissen leurs laces à de nouelles srucures indusrielles qui son les Ssèmes Fleibles de roducion (Fleible Manufacuring Ssems: FMS). Leur fleibilié se radui ar la caacié d adaaion oale à la roducion de noueau roduis auomaiquemen. En effe, un FMS se caracérise ar son au degré d auomaisaion des macines e des ssèmes de ransor (sock d encours rédui, une réonse améliorée au marcé...). Ceci n es réalisable que grâce à son infrasrucure qui se comose de : Saion de raail (macines, ouils, saion d assemblage...) Equiemens de manuenion e de ransor (conoeur, AGV...) Ssème auomaisé de sockage/désockage. Ssème de communicaion. Ssème de gesion ar ordinaeur. Ainsi, ces ssèmes euen fabriquer une grande ariéé de roduis auomaiquemen e dans n imore quel ordre, ce qui rédui considérablemen le coû de roducion. Un FMS erme à une secion de roducion de réondre raidemen e économiquemen d une façon inégrée au cangemens cruciau de son enironnemen de foncionnemen [Grooer 87]. L un des lus imorans objecifs des ssèmes fleibles de roducion (FMS) es de minimiser ous les faceurs susceibles d enraîner des surcoûs, sans our auan ocroer des aleurs ajouées au roduis. Parmi ces faceurs, il a le sockage. Pendan le sockage, le rodui ne subi aucune ransformaion e n acquier, ar conséquen, aucune lusalue. En oure, il deien coûeu en ems e en argen. De ce fai, dans les ssèmes fleibles de roducion, la meilleure oliique de sockage, serai «as de sockage du ou». Il es éiden néanmoins que cee affirmaion bien que sensée n es as maîrisable our auan. Le sockage rese nécessaire our le bon foncionnemen des ssèmes de roducion. Sur une caîne de monage ar eemle, si une ièce aussi eie e eu coûeuse soi elle enai à manquer, elle ourrai aralser la caîne oue enière. Le ssème de sockage, doi, ar conséquen, êre rédui au maimum sans êre oalemen anniilé (cela consiserai donc à minimiser l inesissemen iniial, le nombre de roduis sockés, les durées de sockage ). En même ems, il doi réagir rès raidemen à une demande de sockage ou de désockage, our minimiser les ems d aene au nieau de la roducion. Les ssèmes auomaisés de sockage/désockage (Auomaed Sorage Rerieal Ssem: AS/RS) consiuen une bonne alernaie au ssèmes conenionnels de sockage our aeindre les objecifs susciés. Les ssèmes fleibles de roducion (FMS) euen canger raidemen de roduis ou de séquences de roducion, sans erdre our auan de leurs roduciiés, sous condiion d aoir la ossibilié de s acquérir du bon rodui, alee, suor, ou ouil, à la bonne lace e au bon momen. Pour que cela deienne ossible, un ssème efficace régissan le
sockage/désockage e le ransor es requis. Un ssème inégré comosé d un FMS d un AGVS (Auomaed Guided Veicule Ssem) e d un AS/RS erme une roducion rès efficace d une grande ariéé de roduis en eies e moennes quaniés. Les AS/RS suscien acuellemen un inérê de lus en lus grandissan, en raison des aanages imorans qu ils résenen ; à saoir : un faible coû au nieau de la maind œure, des déenses reues à la baisse our le sockage, une meilleure eloiaion de l esace de sockage, une meilleure raçabilié des roduis sockés e un débi oimisé du ssème. La forme de base d un AS/RS es comosée de deu racks séarés ar une allée de dessere, caque rack comoran un cerain nombre de casiers. L allée es desserie ar une macine S/R (Sorage/Rereial macine) ermean de socker les roduis e de les désocker à arir des casiers. Cee forme d AS/RS es die AS/RS à carge uniaire. C es la forme la lus éudiée. Les AS/RS euen êre classés suian la disosiion des casiers de sockage e le nombre de macines S/R seran ces casiers. On ourra ainsi cier : les AS/RS à carge uniaire, les AS/RS muli allées, les AS/RS à racks glissans, les AS/RS à mini carge, les AS/RS à carrousel, les AS/RS à ersonne embarquée, les AS/RS à éagère rofonde, les AS/RS à conoeur graiaionnel ec. Plusieurs mesures de erformance euen êre aliquées our éaluer un AS/RS. Les lus imoranes son : le au d uilisaion de la macine S/R e le ems moen de ccle nécessaire our serir une requêe de sockage ou de désockage, défini comme éan le ems qui s écoule deuis l aariion de la requêe, jusqu'à la fin de son eécuion. Le ems de ccle figure armi les aramères les lus imorans d un AS/RS ; éan donné qu il influe direcemen sur les erformances du ssème global. Les AS/RS on donc une imorance caiale dans la réussie des défis de la nouelle indusrie. Maleureusemen, mis à ar cerains es d AS/RS (ar eemle à carge uniaire), ils ne son as beaucou éudiés, bien qu ils soien rès uilisés dans l indusrie e les serices. Ce manque d inérê fai qu ils ne son uilisés que our des alicaions ariculières alors que leurs ossibiliés son nombreuses. Nore bu es donc d eloier les différens cams d alicaions de els ssèmes. Dans ce raail, nous nous roosons de déerminer les dimensions oimales d un AS/RS muli allées our un ems de simle ccle minimal. Pour ce faire, nous aons uilisé l eression analique du simle ccle d un AS/RS muli allées, déerminée ar [Gomri 08]. Cee eression ossède rois ariables réelles. En lus des conraines de causalié, des durées de ransors orizonau e ericau, une conraine liée à la aille du ssème e à la consance de cee aille a éé définie qui nous ramène à un roblème d oimisaion en nombres réels d une foncion à rois ariables aec conraines. Nous aons aragé ce raail en rois caires. Le remier caire es comosé de rois aries rinciales. La remière arie es réserée à une inroducion au ssèmes auomaisés de roducion, elle conien les rinciau élémens nécessaires à la comréension des ssèmes fleibles de roducion. Dans la seconde arie une résenaion déaillée des ssèmes de sockage es faie. Ainsi les définiions, foncions, comosans e uiliés des ssèmes auomaisés de sockage/désockage (AS/RS) son déeloés. Ensuie une résenaion des différens es d AS/RS es accomlie. Elle es suiie d une secion réserée au différenes méodologies de sockage, une secion à la disosiion de l esace
de sockage, e une aure réserée à l énuméraion de aramères influan sur le coû e le ems de ccle. Enfin les aanages e quelques limies des AS/RS clôuren cee deuième arie. Dans la roisième arie un éa de l ar regrouan les raau les lus imorans dans le domaine es résené. Des aricles concernan les ssèmes auomaisés de sockage désockage (AS/RS), leur analse, modélisaion, conceion, conrôle, ordonnancemen, éaluaion des erformances e simulaion son ciés. Le deuième caire, rerésenan le cœur de ce raail, es réseré à l oimisaion des dimensions d un AS/RS muli allées dans le bu de minimiser le ems de ccle. Ce caire commence ar une secion de descriion du ssème muli allée e de son foncionnemen, suiie d une résenaion des eressions analiques discrèes e coninue, une formulaion du roblème d oimisaion de l eression coninue, Nous rouons aussi : une secion dans la quelle la foncion du ems de ccle à rois ariables es ransformée aec une relaaion de conraines en une foncion à deu ariables, suiie d un cangemen de ariable ermean de asser à une foncion à une seule ariable. E enfin un calcul des minima clôure ce caire. Dans le dernier caire, nous résenons les résulas obenus : aleurs des minima, siuaion globale de ces minima, e nous définissons une région uile d uilisaion. A la fin de ce raail nous roosons un rogramme ermean de calculer les dimensions oimales d un AS/RS muli allées our un ems de simle ccle minimal.
CHAPITRE : Ssèmes auomaisés de sockage/désockage. Inroducion au ssèmes fleibles de roducion La coméiion orée au nieau mondial a imosé au enrerises de miser de lus en lus sur la soulesse de leur foncion de roducion, our se démarquer de la concurrence. Les ressions oujours grandissanes de réducion des délais de liraison e de ailles de los de liraison obligen les enrerises à oer our de noueau ssèmes de roducion el que les ssèmes fleibles de roducion (Fleible Manufacuring Ssems: FMS). Ces ssèmes ermeen d améliorer la roduciié e d accroîre la renabilié dans dierses condiions de roducion... La roducion La roducion es la ransformaion de maériau en quelques coses d uiles e orables [Gerswin 9]... Classificaion des ssèmes de roducion Les ssèmes de roducion son classés en deu grands es : Les ssèmes de fabricaion : où les roduis son ransformés, soi ar usinage, soi ar modelage. Les ssèmes d assemblage : où différens roduis son réunis our former un rodui final... Princiales aciiés de roducion Les rinciales aciiés de roducion son : la fabricaion, le raiemen de la maière, e l assemblage. Le rocessus de fabricaion consise en général à ransformer un rodui d enrée en un rodui de sorie enrici d une aleur ajouée. Les rocessus de fabricaion son de deu es : nous rerouons d une ar le rocessus coninu qui se manifese rincialemen dans le cas où le rodui d enrée es un flu coninu, e d aure ar le rocessus disconinu. Les rocessus coninus se manifesen ar eemle dans les indusries de érocimie, généraion de l énergie élecrique, Les rocessus disconinu se rouen rincialemen dans l indusrie mécanique, manufacurière, élecrique e élecronique..... Ssème de roducion : Un ssème de roducion es un lieu géomérique dans lequel éoluen quare oulaions disinces : les roduis, les moens de roducion, les ersonnes de roducion e le flu d informaion.
..5 Ssème fleible de roducion a Fleibilié La fleibilié eu êre définie comme la ossibilié de s adaer à un large éenail d enironnemens différens. Elle eu êre aussi définie comme éan la caracérisique de l inerface enre un ssème e son enironnemen eérieur. Dans ce cas, la fleibilié agi comme un filre roégean le ssème des erurbaions d origine inerne, ou eerne au ssème de roducion. b Quelques es de fleibilié Fleibilié de la macine : Caacié de la macine à réaliser différens es d oéraions sur différens es de roduis sans induire une consommaion eagérée de ems e d argen. Fleibilié de rouage : Caacié à réaliser un rodui en emrunan différens cemins à raers le ssème. Fleibilié de rocédé (Produc Mi fleibili): caacié à absorber les cangemens dans la ariéé de roduis. Fleibilié de rodui (Micange fleibili) : caacié à asser de la fabricaion d un rodui à un aure (ems de cangemen). Fleibilié de roducion : caacié à fabriquer un éenail de roduis sans ajou de noueau équiemens. Fleibilié d eansion : caacié à s agrandir ou à modifier la gamme de roduis. c Ssème fleible de roducion Un ssème fleible de roducion (Fleible Manufacuring Ssems: FMS) es comosé de saions de raail, équiés de macines à commande ar ordinaeur, reliées ar un ssème auomaisé de ransor e de manuenion. Le ou conrôlé ar un ssème de suerision ar ordinaeur. d Caracérisiques de base d un FMS Personnalisaion des roduis Peis los Grande ariéé Réducion du ems de roducion Réducion du coû Un FMS eu donc roduire une large ariéé de roduis différens, réalisés un à la fois, dans n imore quel ordre, comme désiré sans inerenion umaine. 5
e Comosans d un FMS Les ssèmes fleibles de roducion nécessien des macines comlees e cères mais leur nombre es rédui ar raor à d aures ssèmes de roducion. Globalemen l uilisaion des FMS erme une économie dans les coûs e l esace de l ordre de 0%. [Askin 9] Les ssèmes fleibles de roducion son consiués d un cerain nombre d équiemens qui eu êre diisé en quare grandes familles : Les saions de raail Une saion de raail es comosée d une macine à commande numérique (oir figure), d un magasin d ouils aec un ssème auomaique de cangemen d ouils, d un magasin à alees e suors, d un ssème auomaique de cargemen/décargemen des alees dans la macine, d un ssème auomaique d insecion e d un ssème de conrôle. Equiemens de ransor Figure : Macine à commande numérique Les équiemens de ransor seren à délacer les roduis e éenuellemen les ouils enre les macines, suian les cemins lanifiés endan la conceion du FMS. Il eise différens moens de ransor e différenes sraégies. Nous ouons ar eemle ransorer les roduis d une aire de sockage ers une saion de raail, uis ers une aire de sockage, ou ar conre faire les délacemens enre les saions de raail, ce qui diminue le nombre de délacemens. Nous ouons aussi délacer les roduis ar eis los au lieu que ce soi ar unié. Le coi de l une de ces méodes déend du ssème global. Il eise différens es d équiemens de ransor, aec des degrés d auomaisaion rès ariables. Nous ouons cier :
Les conoeurs : Ils son uilisés our le ransor de roduis de aille e de oids uniforme aec un débi imoran à des desinaions récises e sur un cemin fie. Les conoeurs son uilisés dans les caînes de monages, les cimeneries, les aéroors, Les grues e alans : Ils son uilisés our les délacemens ericau e/ou orizonau de roduis de diers ailles e oids dans un esace limié. Ils son uilisés dans les caniers de consrucion, les ors, Les éicules indusriels : seren à ransorer différens es de roduis suian des cemins ariables ouru que des allées adéquaes soien réues. Les éicules auoguidés (Auomaed Guided Veicles, AGV) son les éicules indusriels les lus élaborés aec un degré d auomaisaion rès imoran (oir figure). Figure: Auomaed Guided Veicles (AGV) Les robos indusriels : Ils son uilisés comme équiemens de cargemen/ décargemen e/ou délacemen de roduis d un oin à un aure dans un esace limié. De lus, ils euen êre uilisés our réaliser des oéraions simles comme le soudage à oin ou la einure. Les robos indusriels on un large oeniel d alicaions dans les ssèmes fleibles de roducion. Ils euen s adaer à l enironnemen à raers leurs caeurs e leurs conrôleurs rogrammables. Ils euen communiquer facilemen aec les aures équiemens du ssème ar leurs conrôleurs resecifs. Le délacemen de roduis n augmene as leurs aleurs ajouées, ar conre, il coûe de l argen e du ems. Il ne fau donc délacer les roduis que quand c es nécessaire, e dans ous les cas minimiser les ems e disances de délacemens. 7
Ssème de sockage Bien que l un des rinciau objecifs de l éude des ssèmes fleibles de roducion soi la réducion des encours e des socks, il rese nécessaire de consruire des aires de sockage dans les uniés de roducion. Ces aires de sockage euen en lus du sockage, serir à d aures aciiés, comme l emballage, le conrôle de qualié Les aires de sockage euen aller du ssème comlèemen auomaique au sockage manuel. Une aire de sockage es comosée d un bâimen, d un ssème de rangemen (racks, éagères ) d un mécanisme de ransor, de cargemen e décargemen, e d un ssème de conrôle. Les ssèmes de sockage les lus élaborés son les ssèmes auomaisés de sockage/désockage (Auomaed Sorage Rerieal Ssems AS/RS). Ces ssèmes, de lus en lus uilisés, son consiués de magasins de sockage (racks), de macines S/R de sockage/ désockage e d un conoeur relian les macines S/R e les oins d enrée/sorie de l aire de sockage. Les AS/RS seron déaillés dans la secion.. Ssème de conrôle Le ssème de conrôle eu êre comosé d un ordinaeur cenral de commande, il donne des insrucions e reçoi des éas des siuaions de caque équiemen du FMS. Il eu garder en mémoire les gammes d usinage des roduis. C es le ssème de conrôle qui décide quand e/ou commen les roduis doien se délacer enre les différenes macines e êre cargés ou décargés. Le ssème de conrôle eu commander e ordonnancer le FMS en suerisan le foncionnemen des macines dans la saion de raail, muni de lusieurs déeceurs liés au ssème d insecion, un el ssème eu aller jusqu à gouerner un ssème en ems réel (ordonnancemen des AGV dans l esace la fabricaion, iesse des conoeurs, la demande des eniés our l usinage ). Ssème de communicaion Le ssème de communicaion erme une cooéraion enre les différens cenres de conrôle. Il es nécessaire our un grand nombre d oéraions comme : la ransmission d informaions concernan l éa de la roducion, l acquisiion des mesures de roducion (au de roducion, ems d aene, ems de cangemen, uilisaion des macine), le ransfer de données en ems réel 8
f Mesure de erformance Généralemen les mesures de erformance, d un ssème de roducion son : Tau de roducion Le au de roducion d un ssème es défini comme éan le nombre de ièces que le ssème de roducion rodui ar unié de ems. L objecif consise à mainenir ce au de roducion à des aleurs acceables ou en resecan la caacié de roducion du ssème. Caacié La caacié d un ssème de roducion es un conce rès imoran. En effe, elle radui le au de roducion maimum du ssème si celuici rodui un seul e de rodui. Dans le cas de lusieurs roduis, le conce de caacié deien lus comlee du fai que les ressources du ssème de roducion son aragées. Sock d encours Le sock d en cours d un ssème de roducion es mesuré ar le nombre de roduis en cours de raiemen dans le ssème que ce soi sur les macines, au sockage, dans le ssème de ransor ou dans les cenres d insecion à un insan donné. Le ems de ccle Le ems de ccle es le ems moen endan le quel le rodui rese dans le ssème de roducion.. Ssèmes auomaisés de sockage/désockage (Auomaed Sorage Rerieal Ssem : AS/RS) Un AS/RS se raore à une ariéé de méodes commandées ar ordinaeur our déoser e recercer (auomaiquemen) des carges à des endrois définis de sockage. Les AS/RS son adoés non seulemen comme soluion de recange au ssèmes conenionnels de sockage/désockage mais égalemen comme une ièce inégrane des ssèmes de fabricaion de la nouelle ecnologie. Ces ssèmes son donc de lus en lus uilisés dans les usines de fabricaion e dans les cenres de disribuion, e leur efficacié jusifie leur coû... Définiion Maerial Handling Insiue [MHI 77] défini un ssème de sockage/désockage auomaisé comme sui : «C es une combinaison d équiemens e de ssèmes de conrôle qui rend en carge, socke e désocke des roduis aec récision, eaciude e célérié sous un cerain degré d auomaisaion»... Foncions Un AS/RS eu aoir lusieurs foncions : receoir, idenifier, classer, mere en sock, désocker, emballer...des roduis. 9
En général, un AS/RS réalise les oéraions suianes : Désockage d un aricle (rodui, alee, ouil..) d un emlacemen de sockage. Transor de ce aricle ers un oin de liraison. Sockage d un aricle dans un emlacemen rédéerminé à arir d un oin de déô. Toues ces oéraions son conrôlées à l aide d un ssème à base de microordinaeurs e de logiciels adéquas... Comosans Un ssème de sockage/désockage auomaisé se comose esseniellemen de : Racks de sockage. Un ensemble d allées donnan accès au racks. Macines de sockage/désockage (Sorage/Rerieal macine : S/R). Poins d enrées/sories ou déô/liraison (Picku/Deosi saion : P/D). E un ssème de conrôle suerisan le ou. Rack de sockage Un rack es formé d un ensemble de casiers ou cellules. Dans caque cellule on eu socker une ou lusieurs carges. Ces cellules mises l une à coé de l aure formen une ligne e l une au dessus de l aure formen une colonne (oir figure ). Figure : Racks de sockage Macine de sockage/désockage (S/R) La macine de sockage/désockage es une srucure mobile seran à socker/désocker les roduis (oir figure). C es en général un orique en forme de recangle creu, les coés orizonau glissen sur des rails fiées le long des allées (l un au 0
sol e l aure au lafond). Tandis que sur les coés ericau coulissen un laeau glissan à deu degrés de liberé (linéaires, erical e orizonal erendiculaire à l allée) ermean de carger e décarger les alees. L'emloi d'un ranssockeur auomaique (macine S/R) garani une grande fiabilié e un au rendemen des oéraions de sockage/désockage. Les macines S/R son uilisées our réaliser des oéraions de sockage e de désockage qui euen êre longues ou même dangereuses our l inerenion umaine. Ces macines euen se délacer simulanémen dans le sens orizonal e erical. Pour réaliser une oéraion de sockage, la macine S/R récuère le rodui à socker du oin de déô/liraison e se délace ers l emlacemen de sockage où elle déose ce rodui e reourne à son oin de reos. Pour réaliser une oéraion de désockage la macine S/R se délace de la saion déô/liraison ers le oin où se roue le rodui à désocker, le récuère e le déose au oin de liraison. Dans l indusrie nous ouons rouer : des ranssockeurs à alees, des ranssockeurs our iroirs, carons ec. Figure : Macine de sockage/désockage Saion déô/liraison P/D La saion de déô/liraison aelée aussi saion d enrée/sorie es le oin ar lequel assen ous les roduis enrans ou sorans du ssème (oir figure5). C es l inerface enre la macine S/R e le ssème de ransfer eerne à l AS/RS. Le ransfer des roduis de l AS/RS au aures ssèmes de roducion se fai soi manuellemen soi en uilisan des ssèmes de ransfer el que : les AGV, les conoeurs. En général, on uilise des conoeurs à accumulaion (ce e de conoeur auorise un mouemen du rodui ar raor au conoeur c à d si on bloque un rodui sur le conoeur, l ensemble des aures roduis coninuen à se délacer sauf s ils son arrêés dans leurs rogression ar un rodui arrêé).
Figure5 : Saion déô/ liraison Ssème de conrôle Le ssème de conrôle a our mission de coordonner e sueriser le foncionnemen de ous les équiemens en ems réel. Nous ouons ar eemle oir sa nécessié dans le sockage aléaoire car il indique à la macine S/R l emlacemen libre our le sockage, e la guide ers l emlacemen du rodui à désocker. Le ssème de conrôle es comosé de rois eniés rinciales : Les calculaeurs, son des ordinaeurs à base de microrocesseurs doés de mémoire e de uissances de calculs lus ou moins grandes. Les logiciels, déeloés our caque e d oéraion, son le cœur du ssème de conrôle. De leurs uissances déend le degré de erformances du ssème. Les bases de données, les ssèmes de ransmission d informaion, les caeurs rerésenen la roisième enié. (Voir figure ) Figure : Ssème de conrôle
.. Tes d AS/RS Il eise différens es d AS/RS classés suian leurs srucures e leurs alicaions. Nous ouons cier, armi les lus imorans : Les AS/RS à carge uniaire. Les AS/RS muli allées. Les AS/RS à racks glissans. Les AS/RS à mini carge ou à carge réduie. Les AS/RS à carrousel. Les AS/RS à ersonne embarquée. Les AS/RS à éagères rofondes. Les AS/RS à conoeur graiaionnel. AS/RS à carge uniaire Un AS/RS à carge uniaire es comosé d un ensemble de racks disosés deu à deu en arallèle, séarés ar des allées ermean au macines S/R de circuler our socker ou désocker des carges aleisées ou en conainer (oir figure 7). Le oids de caque carge es généralemen suérieur à 50 Kg ar unié. Les macines S/R son conçues de façon à ouoir suorer des oids e des olumes imorans, ces macines euen aoir des aueurs de à 0 mères [Sing 9]. Le conrôle du ssème à carge uniaire es géré ar ordinaeur aec des logiciels aroriés. Les aures es d AS/RS ne son que des ariaions de celui ci. AS/RS muli allées Figure7 : AS/RS à carge uniaire L AS/RS muli allées es une ariaion de l AS/RS à carge uniaire, comosé d une seule macine S/R caable de circuler sur deu aes orizonau, cee macine eu serir
lusieurs allées à la fois. La oologie de l AS/RS muli allées es similaire à celle de l AS/RS à carge uniaire aec en lus une allée commune relian oues les allées de serice ermean à la macine S/R de circuler (oir figure 8). Une descriion lus déaillée de ce ssème sera résenée dans le caire (secion.). Figure8 : Vue de dessus d un AS/RS muli allées AS/RS à racks glissans Les AS/RS à racks glissans son une ariaion des AS/RS muli allées. La aricularié de ces ssèmes es que les allées de serice n aaraissen que lorsqu une oéraion de sockage ou de désockage es réue dans les racks corresondans. Les racks forman le ssème glissen laéralemen sur des rails de elle sore que l on uisse ourir une allée enre deu racks mioens (oir figure 9). Au reos, il eise une seule allée de serice, celle ci ouan se délacer enre n imore quels deu racks mioens (en érié ce n es as l allée qui se délace mais les racks). Figure9 : AS/RS à racks glissans
AS/RS à mini carge ou à carge réduie Un ssème à carge réduie es uilisé our socker de eies carges el que : des ouils, ièces déacées,...qui son conenues dans des casiers du ssème de sockage (un casier eu conenir un ou lusieurs roduis). La macine S/R es conçue our désocker le casier en enier e le lirer à la saion P/D de sore que les différens aricles euen êre reirés des casiers ar un oéraeur (ersonne ou robo). Une fois l oéraion effecuée, le casier es remis à sa lace dans le ssème. Ce e d AS/RS es conenable là où l esace de sockage es limié ou le olume es moins imoran que l AS/RS à carge uniaire (oir figure 0). Figure0 : AS/RS à carge réduie AS/RS à carrousel Les carrousels son une bonne alernaie au ssème à mini carge [Tomkins 8]. Dans ces ssèmes ce son les casiers qui se délacen ers l erémié du rack où un oéraeur socke ou désocke les roduis. Le ssème consise en un ensemble de casiers monés en carrousel e se délaçan orizonalemen ers une erémié du rack où l oéraion de sockage/désockage sera réalisée (oir figure ). 5
Figure : AS/RS à carrousel AS/RS à ersonne embarquée C es un ssème ermean de socker lusieurs roduis dans un même casier. Une ersonne monée sur une laeforme mobile, sélecionne les roduis à désocker, les carges sur la macine S/R qui les ransore ers la saion de liraison. Pour une oéraion de sockage l oéraeur récuère les roduis de la macine S/R e les socke dans leur casier adéqua. Ceci erme de réduire le ems de sockage/désockage du ssème. La laeforme sur laquelle se roue l oéraeur eu conenir des ssèmes auomaiques de leage our carger e décarger les roduis lourds (oir figure ). Figure : AS/RS à ersonne embarquée
AS/RS à éagères rofondes L AS/RS à éagères rofondes es aussi une ariaion de l AS/RS à carge uniaire, il es arorié de l uiliser quand on es dean une quanié imorane de carges uniaires à socker. Dans un même casier on eu socker jusqu a 0 carges l une derrière l aure (en muli couces), ces casiers son conçus de façon à ce que les carges euen êre déosées sur l enrée d un coé ou reirées de la sorie de l aure coé. Un délacemen dans le sens orizonal es réu grâce à un laeau mobile qui se délace de la macine S/R ers l enrée du casier. Le foncionnemen de la macine S/R es similaire à celui de l AS/RS à carge uniaire aec en lus des foncions qui conrôlen les laeau mobiles (oir figure ). Figure : AS/RS à éagères rofondes AS/RS à conoeur graiaionnel L AS/RS à conoeur graiaionnel es une ariaion de l AS/RS à éagères rofondes. Les casiers son rofonds e cacun es muni d un conoeur graiaionnel e de deu macines S/R. La remière sur la face aan du rack our le sockage e la seconde sur la face arrière our le désockage. Ces deu macines son reliées enre elles ar un conoeur de resockage ermean à la macine S/R d accéder au roduis our les resocker (oir figure ). 7
Figure : AS/RS à conoeur graiaionnel..5 Méodologie de sockage/désockage Les ssèmes de sockage euen êre soi dédiés soi ouers. Dans les ssèmes dédiés, caque rodui ossède son rore emlacemen de sockage. Dans les ssèmes ouers, le sockage des roduis se fai aléaoiremen, dans ce cas, un ssème de mémorisaion doi garder les emlacemens des différens roduis, our ouoir les récuérer, ainsi que les emlacemens libres. Sockage dédié Dans le sockage dédié, l esace de sockage es aragé en blocs. Caque rodui a sa rore aire de sockage déerminée à l aance donc l esace de sockage es bien aragé en aribuan caque bloc à un cerain e de roduis ce qui simlifie le conrôle du ssème e la gesion de socks. Mais donner suffisammen d esace our les socks maima à caque rodui augmene l esace de sockage nécessaire. Les ssèmes qui uilisen le sockage dédié son difficilemen modifiables : l ajou de noueau roduis non réus à l origine es rès comlee. Sockage aléaoire ouer Conrairemen au sockage dédié, dans le sockage aléaoire, n imore quel rodui eu êre socké dans n imore quel casier. Un ssème de conrôle rès élaboré mémorise les adresses de caque e de rodui. Le sockage aléaoire a our rincial aanage d uiliser beaucou moins d esace que le sockage dédié. L esace oal de sockage dean êre équialen au sock maimum de ous les roduis. Ceci erme une réducion imorane d esace. Askin e Sandridge [Askin 9] résene un eemle de sockage aléaoire ou le gain d esace ar raor au sockage dédié es de l ordre de 0%. Ceendan, les ssèmes de sockage aléaoire nécessien un conrôle rès élaboré. 8
Sockage aléaoire ar classe Le sockage aléaoire erme de réduire l esace de sockage ar raor au sockage dédié. Le sockage ar classe ouce ariculièremen le ems de ccle. Des réducions du ems de ccle euen aeindre 0% [Askin 9]. Les roduis dans un AS/RS ne resen as sockés la même durée. Si les roduis qui resen sockés eu de ems son lacés rès de la saion de liraison e les roduis qui resen lus longems son lacés loin de la saion, le rendemen du ssème eu êre grandemen amélioré. Le sockage ar classe subdiise les casiers en classes ar raor à leurs disances du oin de liraison. Les casiers les lus roces formen la remière classe, les lus loin formen la dernière classe. Les roduis à socker son aussi classés suian le ems qu ils on asser dans le ssème. Ceu qui resen le moins longems seron sockés dans la remière classe e ceu qui resen le lus longems dans la dernière... Disosiion de l esace de sockage La disosiion de l aire de sockage es imorane dans la minimisaion des coûs e ems de sockage/désockage. Un emlacemen mal conçu enraînerai de grandes eres au nieau de l inesissemen e au nieau du foncionnemen. Le bâimen La forme du bâimen déend du e de l AS/RS qui a êre uilisé. Pour que l esace soi uilisé au maimum, une forme aralléléiédique eu êre la lus aroriée our un AS/RS classique. Les allées La longueur e la osiion des allées influen sur le ems de réonse du ssème de sockage. Des allées lus longues nécessien des ems moens de sockage/désockage lus imorans que des allées lus coures. Les éagères La aueur, la rofondeur, le e d éagères influen sur les erformances globales du ssème. Il eise lusieurs es d éagères, on eu cier : Les éagères à carges muliles : les casiers son rofonds e euen socker lusieurs roduis de même e l un derrière l aure, la règle de sockage sera LIFO (dernier enré, remier sori). Les éagères our mini e micro carge : dans les quelles on socke de eis roduis el que des ouils, Les éagères à conoeur graiaionnel : caque casier d une rofondeur imorane es muni d un conoeur graiaionnel. Le casier es accessible, des deu coés, ar deu macines S/R l une our le sockage e l aure our le désockage. La règle de sockage/désockage uilisée es FIFO (remier enré, remier sori). 9
.. Quelques aramères influan sur le coû e le ems de ccle Dimension de la carge e dimension du casier En général, les roduis à socker ou à désocker son de ailles différenes, il serai idéal de conceoir un AS/RS aec des casiers de ailles différenes our que l on uisse socker le lus de maériau ossibles. La aille du casier es idenifiée ar la aille de la carge (longueur, largeur e aueur de la carge). Le oids de la carge influe sur la srucure des suors du rack. Nombre oal de casiers Le nombre oal de casiers arie suian la méodologie de sockage. Pour un sockage dédié le nombre oal de casiers es calculé en somman les esaces maimau réserés à caque e de rodui. Pour un sockage aléaoire le nombre oal de casiers es calculé en raçan la courbe résulane de la somme des courbes rerésenan l esace de sockage de caque rodui e en renan la aleur donnée ar le somme de cee nouelle courbe. Srucure de l éagère La srucure de l éagère eu influencer sur le ems de ccle. L uilisaion d éagères carrées en ems (ems de délacemen orizonal égale au ems de délacemen erical) oimise le ems de ccle. Nombre d allées Une macine S/R eu circuler sur une ou lusieurs allées. Le nombre d allées es calculé en diisan le nombre de racks ar deu. Donc lus nore ssème es grand lus le ems de ccle augmene. Oéraion de la macine S/R La macine S/R eu effecuer soi un sockage soi un désockage à la fois on di alors qu elle oère en simle ccle. Elle eu effecuer un sockage e un désockage en même ems on di alors qu elle oère en double ccle. C es l un des lus imorans aramères qui influe sur le ems de ccle. Tau d uilisaion de la macine Le au d uilisaion de la macine S/R es égal au ems endan lequel la macine es occuée diisé ar le ems oal...7 Aanages e inconéniens des AS/RS Aanages Les raisons our lesquelles une enrerise eu coisir un AS/RS son nombreuses, nous ouons cier : 0
Réducion de l esace de sockage : un AS/RS eu diminuer grandemen l esace de sockage, cee lace récuérée eu donc êre uilisée our augmener la roducion. Augmenaion de la caacié : une enrerise don l esace de sockage es sauré, eu remlacer ce dernier ar un AS/RS qui lui ermera un gain considérable dans sa caacié de sockage sans our auan ajouer de noueau locau. Augmenaion de la fleibilié : les AS/RS ermeen le sockage d une grande ariéé de roduis. De lus ils son facilemen inerfaçables aec des ssèmes comme les FMS Meilleur ordonnancemen de la roducion : grâce à une meilleure connaissance e à un conrôle lus récis des encours, l ordonnancemen de la roducion eu êre mieu oimisé. Diminuion des ruures de socks : grâce à une meilleure gesion des socks les AS/RS conribuen à diminuer ou même éliminer les ruures de socks, e cela erme de saisfaire le lus de demandes ossibles. Réducion de la main d œure : l auomaisaion de la majorié des oéraions dans les AS/RS erme de diminuer l inerenion umaine. Meilleure gesion e conrôle : à n imore quel momen le ssème de conrôle de l AS/RS eu donner les informaions suianes : quaniés, es e qualiés des roduis sockés. Augmenaion du rendemen dans la roducion : grâce à l augmenaion de la roduciié des saions de raail, les AS/RS ermeen d augmener le rendemen du ssème de roducion. Augmenaion de la sécurié : les AS/RS son des zones fermées, sans inerenion umaine, ce qui améliore grandemen la sécurié. Mouemen lus raide des roduis : Les roduis son sockés ou désockés lus raidemen e aec une bonne récision dans les délacemens. Inconéniens Les AS/RS euen offrir beaucou d inérês, mais d un aure coé résenen quelques inconéniens : A cause de leur comleié les AS/RS on un coû rès éleé. Par eemle our un AS/RS de 0000 casiers, 5 macines S/R e un conoeur de 0 mères l inesissemen iniial arie enre e millions de dollars US [Maleki 9]. Les AS/RS son difficiles à modifier arès leur insallaion.
. Ea de l ar Beaucou de raau on éé consacrés au ems de ccle de la macine S/R. La luar de ces raau concernen les AS/RS à carge uniaire. Hausman [Hausman 7] a éé armi les remiers à déeloer un modèle analique our l'éude des AS/RS à carge uniaire. Il a abordé le roblème de l assignemen oimal de sockage. Il a considéré rois sraégies : le sockage aléaoire, le sockage dédié e le sockage ar classe. Il a monré qu une réducion imorane du ems de ccle es obenue dans le cas d un sockage dédié en comaraison aec un sockage uremen aléaoire. Bozer e Wie [Bozer 8] on uilisé une aroimaion coninue du rack de sockage our déeloer une eression maémaique ermean de calculer le ems de simle e de double ccle. Les AS/RS considérés son à carge uniaire, le rack es recangulaire e la sraégie de sockage es aléaoire. Par ailleurs, ils on éudié lusieurs osiions du oin d enrée/sorie. Dans [Hwang 88] les aueurs on roosé une eression maémaique our les AS/RS muli allées, dans ce raail, caque rack es considéré comme une face coninue e our caque rack, ils on déeloé une eression analique du ems de ccle. Plusieurs eemles d AS/RS uilisés dans l indusrie son illusrés dans la liéraure. Anon [Anon 9] résena le cas de Goez and Son qui our éier l inesissemen dans un noueau bâimen d une aleur de,5 millions de dollars US, décida d agrandir ses insallaions ericalemen en se basan sur le conce de la consrucion de FMS auour de l AS/RS. La firme réussi à raiquemen éliminer la manuenion des roduis ou en augmenan ses caaciés de roducion sans augmener sa main d œure. Fizgerald [Fizgerald 9] résena le cas de Associaed Newsaers qui emménagean dans une nouelle srucure d une aleur de 50 millions de lires serling, se son équiés des meilleures ecnologies du momen comris des AS/RS. Srow [Srow 9] ena de réondre au quesions qui se osen sur l uilié d un AS/RS dans un FMS de consrucion méallique ou en résenan les aanages que eu rocurer un AS/RS à un el ssème. Egbelu [Egbelu 9] a déeloé des méodes our minimiser le ems de ccle e les ems de réonse maima. Allen [Allen 9] résuma les crières de sélecion de ces ssèmes, il résena lusieurs es don les carrousels orizonau e ericau, les racks ericau Egbelu e Wu [Egbelu 9] on uilisé la simulaion our comarer les règles de osiionnemen du oin de reos. La conceion des AS/RS a inéressé beaucou de cerceurs. Rosenbla [Rosenbla 9] a considéré deu asecs des AS/RS e les a éudiés séarémen ; l oimisaion du coû e le comoremen dnamique du ssème. A l aide d une eurisique d oimisaion/simulaion, il a déerminé les aramères de conceion nécessaire à un cerain nieau de erformance. Fon e al. [Fon 9] on uilisé la conceion d un AS/RS our illusrer l uilisaion d une uissane aroce de modélisaion basée sur l engineering concurren. Peers e al. [Peers 9] on roosé des soluions analiques au roblème de osiionnemen du oin de reos de la macine S/R. Han e al. [Han 97] on déeloé une eression maémaique esiman le ems du double ccle, sous la règle "lus roce oisin" (nearesneigbour). Sous cee règle, les requêes de sockage e les requêes de désockage les lus roces son aariées our minimiser le ems de double ccle. Van Den Berg e Gademann [Van Den Berg 00] on résené une éude en simulaion d un AS/RS. Cee éude considère une grande ariéé de règles de conrôle e de règles d aribuion des
emlacemens de sockage. Pour le sockage ar classes, un nouel algorime, ermean de jouer enre l esace de sockage nécessaire e le ems de ransor, a éé uilisé. [Dallari 00] a éalué les erformances de différenes méodologies de sockage e rocédures de consrucion dans un AS/RS à ersonne embarquée. Il a déerminé les ems de ccle our caque méodologie en foncion de la forme des aires de sockage, du nombre d oéraeurs e de l algorime d ordonnancemen uilisé. Quresi [Quresi 00] monra le rôle imoran que rennen les AS/RS dans l indusrie e les serices en concordance aec le marcé acuel. Lee e Lee [Lee 00] on roosé un AS/RS à cellule modulable. Ils on démonré l inérê du ssème à raers des eemles numériques. Ils on remarqué qu un el ssème es lus fleible ar raor à la aille des roduis ou en aan une meilleure uilisaion de l esace. Malmborg [Malmborg 00] considéra la conceion e modélisaion d AS/RS à double naee. Il déermina la disribuion de la robabilié de l éa de la queue de ransacions de sockage e désockage en uilisan des aleurs esimées des ems de ccles. Ce même aueur [Malmborg 0] résena une nouelle règle d éaluaion de la configuraion des racks our AS/RS. Cee nouelle règle erme d éier de faire deu oèses nécessaires our les règles récédenes : la roorion de simle e double ccle ainsi que la caacié de sockage lorsque le sockage aléaoire es considéré ar raor au sockage dédié. Dans un aure raail [Malmborg 0], il éudia un AS/RS à éicules auonomes. I l résena des ouils de conceion analiques basés sur les caracérisiques du ssème our la modélisaion des erformances liées au aribus clés du ssème els que la caacié de sockage, la configuraion du rack e le nombre de éicules. Azouz [Azzouz 0] s es inéressé à l oimisaion des dimensions du rack d un AS/RS à conoeur graiaionnel our un ems de ccle minimal, les résulas obenus on ermis de déeloer une soluion analique e de définir un oimum sur une large fourcee de configuraions. Hsie e Tsai [Hsie 0] on résené une méode d aribuion des emlacemens de sockage dans un AS/RS à classe basée sur le BOM (coû des roduis). Cee méode erme, en lus des aanages du sockage ar classe, l inégraion de l AS/RS dans un enironnemen CIM. Park [Park 0] roosa une sraégie de déerminaion du oin de reos oimal our des racks à disribuion non uniforme. Il résena des relaions analiques basées sur la robabilié que la rocaine oéraion soi un sockage ou un désockage. Différens cemins our reenir au oin de reos arès une oéraion on éé éudié our un foncionnemen efficace de la macine S/R. Gaouar e al. [Gaouar 0] on déeloé e modélisé une eurisique de sockage/désockage our un AS/RS à conoeur graiaionnel en ue de réduire son ems de ccle. Les aueurs, dans [Sari 0] e [Sari 05], on considéré les AS/RS à conoeur graiaionnel, our lesquels ils on déeloé une eression maémaique coninue du ems de ccle.
CHAPITRE : AS/ RS muli allées. Descriion du ssème muli allées Un AS/RS muli allées es comosé d un ensemble de racks fies disosés deu à deu en arallèle e séarés ar des allées. Cacune de ces allées, aelée allée de dessere donnan accès à deu racks. Une allée commune lacée erendiculairemen au racks relie oues les allées de dessere. Une seule macine de sockage/désockage desser l ensemble des racks. De ce fai, cee macine S/R se délace suian rois aes : ericalemen le long des colonnes forman les racks, orizonalemen le long des allées de dessere e ransersalemen le long de l allée commune don l une des erémiés es équiée d une saion de déô/liraison.. Foncionnemen de l AS/RS muli allées A l éa iniial, la macine de sockage/désockage se roue à la saion déô/liraison. Pour une oéraion de sockage, elle se délace simulanémen dans le sens orizonal e erical jusqu à ce qu elle arrie à l emlacemen de sockage, déose le rodui e reien à la saion déô/liraison. Pour une oéraion de désockage, la macine S/R se délace deuis la saion P/D jusqu au casier de désockage déose le rodui e reien à la saion déô/liraison. La macine de sockage/désockage eu oérer en simle ou double ccle : Simle ccle : La macine S/R effecue une seule oéraion à la fois (sockage ou désockage). Elle se délace deuis le oin de déô/liraison jusqu au casier de sockage/désockage, déose ou récuère le rodui e reien au oin de déô/liraison (oir figure5). Casier de sockage Délacemen ers casier de sockage. Reour à la saion P/D Figure5 :
Double ccle : Dans un double ccle la macine S/R réalise les deu oéraions en même ems (un sockage suii d un désockage). La macine de sockage /désockage se délace de la saion déô/ liraison ers le casier de sockage déose le rodui, ensuie elle se délace ers le casier de désockage récuère le rodui e reien à la saion de liraison (oir figure). Casier de sockage Délacemen ers casier de sockage. Délacemen ers casier de désockage. Reour à la saion P/D Casier de désockage Figure :. Eression analique discrèe du ems de ccle our l AS/RS muli allées Noaion : M : nombre de racks dans le ssème. M/ : nombre d allées dans le ssème. N : nombre de casiers oal. N l : nombre de casiers ar ligne. N : nombre de casiers ar colonne. : ems de délacemen orizonal d un casier au suian. : ems de délacemen erical d un casier au suian : ems de délacemen d une allée à la suiane. E(SC) : ems moen simle ccle. E(DC) : ems moen double ccle. 5
La modélisaion du ems de ccle de la macine S/R es deenue l un des lus imorans domaines de recerce dans l éude des AS/RS. Sari [Sari 0] a éabli l eression du ems de ccle moen des AS/RS muli allées en uilisan l aroce discrèe que nous allons résener dans ce qui sui : Hoèses : L AS/RS es comosé de M racks, M/ allées de desseres e N casiers. La macine S/R eu oérer en simle ou double ccle. Elle eu se délacer dans le sens erical e orizonal simulanémen aec une iesse consane. Les ems de cargemen/décargemen des roduis e les accéléraions/décéléraions de la macine S/R son ignorés. Dans caque ligne de rack on a N l casiers e dans caque colonne on a N casiers. D où le nombre oal de casiers NM*N l *N... Eression analique du ems moen simle ccle our l AS/RS muli allées Le ems moen simle ccle comrend le ems de délacemen de la macine S/R ers le casier de sockage/désockage e le ems de reour deuis ce même casier ers la saion de déô/liraison. E ( SC ) ( / N ) M / Nl N k i j ma [ ( ' 0 i (k ) ' ), ' j ].. Eression analique du ems moen double ccle our l AS/RS muli allées Le ems moen double ccle comrend le ems de délacemen de la macine S/R ers le casier de sockage (E(SC) ), le ems de délacemen de la macine S/R du casier de sockage ers le casier de désockage (E(TB)) e le ems de reour de la macine S/R deuis ce casier de désockage ers la saion de déô / liraison (E(SC) ). E(DC)E(SC) E(TB)E(SC) E(SC) ma [ ( 0i (k ) ); j ] E(SC) ma [ ( i 0 (k ) ); j ] Si le sockage e le désockage se fon sur la même allée (k k ): E(TB) ma [ i i ; j j ] Si le sockage e le désockage se fon sur deu allées différenes (k k ): E(TB) ma [( i i k k ); j j ] Sacan que (i i ) i i min (i, i ) E( DC) /( N N) M / Nl N M / Nl k i j k i j N [ma [ ( ma [ ( M Nl N k i j ' 0 i (k ) ' ma [ (' [ i i min(i,i ).)min( k ma(' ' i 0 (k 0 i ) ' ), ' j ] ), ' j ] (k )', ' k,)] k k j )] ', ' j j ]
. Eression analique coninue du ems de simle ccle our l AS/RS muli allées Noaion : : ems de délacemen orizonal du remier casier au dernier d un rack. : ems de délacemen erical du remier casier au dernier d un rack. : ems de délacemen de la remière à la dernière allée. Gomri e al [Gomri 08] on formulé l eression analique coninue qui éalue le ems moen simle ccle our le ssème muli allées. L eression conien rois ariables,, corresondan à des durées de délacemen e s écri : ESC : ESC : ESC : ESC : ( * * * ) * * * * ( si min( [ min(, )] * * * [ * ) min( si, si ma( si min( )] *,, * < ) < [, ) < ma( * ) ma(,, )] ) Ces quare eressions corresonden à la ariaion de ar raor à e. Dans ce raail nous nous roosons de déerminer les dimensions oimales d un ssème auomaisé de sockage/désockage (Auomaed Sorage Rerieal Ssem : AS/RS) de e muli allées our un ems de simle ccle minimal. Afin d enrerendre ce raail, nous aons uilisé l eression analique du simle ccle d un AS/RS muli allées éablie ar Gomri e al. [Gomri 08]. Cee eression ossède rois ariables réelles. En lus des conraines de causalié des durées de ransors orizonau e ericau, on se oi égalemen confroné à une conraine liée à la aille du ssème e à la consance de cee aille ce qui nous ramène à un roblème d oimisaion en nombres réels d une foncion à rois ariables aec conraines. 7
.5 Formulaion du roblème Dans un bu d oimisaion de l eression analique du ems moen simle ccle our l AS/RS muli allées nous considérons les conraines suianes :.5. Conraines > 0 > 0 > 0 * * consane : conraine considéran que le nombre de casiers du ssème es consan. Démonsraion Nous déerminons les dimensions des AS/ RS muli allées comme sui : Noaion : Les ariables, e rerésenen des durées, elles son osiies e non nulles. M : nombre de racks dans le ssème M/: nombre d allées dans le ssème. N : nombre de casiers oal. N l : nombre de casiers ar ligne. N : nombre de casiers ar colonne. : ems de délacemen orizonal du remier casier au dernier d un rack. : ems de délacemen erical du remier casier au dernier d un rack. : ems de délacemen de la remière à la dernière allée. : ems de délacemen orizonal d un casier au suian. : ems de délacemen erical d un casier au suian : ems de délacemen d une allée à la suiane. Nous suosons que le ssème a un nombre consan de casiers de sockage N consane. N (N l *N *M) M * > M * ' * N l > N l ' * N > N ' Donc: N *( / * / * / ) N * ' *' * ' Nous obenons alors: * * N,,, son consans donc : * * consane. 8
Nous aons donc un roblème d oimisaion en nombres réels d une foncion à rois ariables aec conraines formulées de la manière suiane : ESC: ESC : ESC : Aec les conraines : > 0 > 0 > 0 * * consane. Coninuié ESC : Coninuié de cacune des foncions ESC, ESC, ESC e ESC dans leurs domaines resecifs : L eression ESC es la somme d une foncion olnôme e d une fracion raionnelle : : Foncion olnôme en (,, ) coninue sur R e donc elle es aussi coninue sur (R * ). : Fracion raionnelle ar raor à cacune des rois ariables, e donc elle * * es coninue sur son domaine de définiion : (R * ). Ainsi ESC es une foncion coninue sur (R * ). ( * * * ) * * * * ( [ * ) L eression ESC es la somme d une foncion olnôme, e de fracions raionnelles : : Foncion olnôme en (,, ) coninue sur R e donc elle es aussi coninue sur (R * ). si [ min( * * min( si,, * si min( si ma( min( )] )] *,, * < ) < [, ) < ma( * ) ma(,, )] ) 9
* * : Fracion raionnelle ar raor à cacune des rois ariables, e donc elle es coninue sur son domaine de définiion : (R * ). ( ) Si / * * * [ min(, )] * * ( * * ) * * * ( * ) * : Fracion raionnelle ar raor à cacune des rois ariables, e donc elle es coninue sur son domaine de définiion : (R * ) ( * * ) * Si < : Fracion raionnelle ar raor à cacune des rois ariables, e donc elle es coninue sur son domaine de définiion : (R * ) Coninuié sur la fronière our ou oin (,, ). Lim / < ( * * ) * ( * ) * C.àd. > ( ) ( ) Lim / * * * * * > Donc: ( ) Lim Lim * * * / / < > ( * * ) * Ainsi, [ * min( *, * )] es coninue sur (R * ). Alors, ESC es une foncion coninue sur (R * ). L eression ESC es la somme d une foncion olnôme, e de fracions raionnelles : (R * ). : Foncion olnôme en (,, ) coninue sur R e donc elle es aussi coninue sur 0
* * : Fracion raionnelle ar raor à cacune des rois ariables, e donc elle es coninue sur son domaine de définiion : (R * ). ( ) ( * * * ) si [ min(, )] [ * * * ma(, )] ( ) ( * * * ) si > Nous obenons dans les deu cas la même eression : ( ) ( ) qui es coninue en an que fracion raionnelle ar raor à oues les * * * ariables, sur (R * ) Ainsi, ESC es une foncion coninue sur (R * ). L eression ESC es la somme d une foncion olnôme e d une fracion raionnelle : / : Foncion olnôme en (,, ) coninue sur R e donc elle es aussi coninue sur (R * ) ( ) ( * ) : Fracion raionnelle ar raor à cacune des rois ariables, e * donc elle es coninue sur: (R * ) ESC es une foncion coninue sur (R * ). Coninuié de la foncion globale ESC sur les fronières des domaines D, D, D e D : La fronière enre D e D : σ {(,, ) (R * ), min (, )}? lim ESC lim ESC min(, ) < min(, ) > lim ESC lim * * min(, ) (,, ) (,, min(, ) ) < < lim ESC lim * * min(, ) (,, ) (,, min(, ) ) > > [ min( * * *, * )] * * * * * si si >
* * si si > Nous aons bien : lim ESC lim ESC (,, ) σ (,, ) σ D La fronière enre D e D : σ {(,, ) (R * ), ma (, )} [ min( lim ESC lim * * * * ma (, ) (,, ) (,, ma(, ) ) < < lim ESC lim * * ma (, ) (,, ) (,, ma(, ) ) > > D * * * * ( ) ( ) * * [ * * ( ) * ( ) * * si si, * )] > min(, )] * si si * > [ * ma(, )] * Nous aons bien: lim ESC lim ESC (,, ) σ (,, ) σ D D La fronière enre D e D : σ {(,, ) (R * ), } lim ESC lim * (,, ) (,, ) < < * [ min(, )] * [ * ma(, )] *
Nous obenons une seule eression our lim ESC ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) * * * * * * * * * * * * lim ESC * ) * ( ) ( ) *( ) * ( ) ( ( ) ( ) * * * ) * ( ( ) * * * Ainsi: lim ESC lim ESC (,, ) σ (,, ) σ Conclusion: La foncion ESC es donc arou coninue dans (R * ). ( ) ( ) ( ) ( ) si * * * * * si * * * * * > < < lim ESC lim > > D D