Cours d lyse 1, semestre d utome Hugo Dumiil-Copi 30 décemre 2013
Tle des mtières 1 Élémets de théorie des esemles 5 1.1 Élémets de Logique................................ 5 1.1.1 L otio d esemle........................... 6 1.1.2 Logique élémetire et pricipes de démostrtio......... 9 1.2 Reltios d ordre.................................. 14 1.3 Applictios..................................... 17 1.3.1 Défiitio.................................. 17 1.3.2 Compositios des pplictios...................... 19 1.3.3 Ijectio-Surjectio-Bijectio...................... 19 1.3.4 Applictios croisstes, décroisstes et mootoes........ 21 2 Etiers turels et esemles fiis 23 2.1 Etiers turels................................... 23 2.2 Esemles fiis et otio de crdil...................... 27 2.3 Alyse comitoire sur les esemles fiis................. 31 2.4 Esemles ifiis.................................. 36 3 Les omres rtioels et réels 40 3.1 L esemle des omres rtioels....................... 40 3.2 L esemle R.................................... 42 3.2.1 Défiitios................................. 42 3.2.2 Pricipe d Archimède........................... 43 3.2.3 Vleur solue sur R........................... 43 3.2.4 Desité d u esemle ds R...................... 44 3.2.5 Résolutio des équtios du secod degré sur R........... 45 4 Les omres complexes 49 4.1 Équtios polyomiles d ue vrile complexe............... 50 4.2 Cojuguiso et module d u omre complexe............... 55 4.3 Argumet complexe, pplictios expoetielle et écriture polire.... 57 4.3.1 Argumet d u omre complexe.................... 57 4.3.2 Défiitio de l foctio expoetielle complexe et écriture polire 57 4.3.3 Rcies -ièmes.............................. 59 4.4 Foctios trigoométriques cosius, sius et tgete............ 60 4.4.1 Défiitio des foctios cosius et sius................ 60 4.4.2 Propriétés du cosius et du sius.................... 60 4.4.3 L foctio tgete........................... 62 1
TABLE DES MATIÈRES 2 5 Suites umériques 64 5.1 Suites covergetes ds K............................ 64 5.1.1 Défiitio et premières propriétés................... 64 5.1.2 Opértios sur les limites........................ 67 5.2 Suites à vleurs réelles et reltio d ordre................... 70 5.2.1 Iéglité et limites............................. 70 5.2.2 Suites mootoes à vleurs ds R................... 71 5.3 Vleurs d dhérece d ue suite.......................... 73 5.4 Suites de Cuchy.................................. 77 5.5 Suites à récurrece liéire............................ 79 5.6 Suites tedt vers l ifii et formes idétermiées.............. 82 6 Foctios Cotiues 84 6.1 Limite d ue foctio e u poit........................ 84 6.1.1 Covergece e x 0............................. 84 6.1.2 Covergece e ± et covergece vers ±............. 86 6.2 Cotiuité des foctios de l vrile réelle................. 86 6.2.1 Défiitio de l cotiuité......................... 86 6.2.2 Mximum et miimum d ue foctio cotiue........... 89 6.2.3 Opértios sur les foctios cotiues................. 89 6.2.4 Théorème des vleurs itermédires.................. 90 6.2.5 Iverse d ue foctio cotiue..................... 92 6.2.6 Prologemet de foctios cotiues.................. 93 6.3 Notios reliées à l (otio de) cotiuité................... 95 6.3.1 Cotiuité uiforme............................ 95 6.3.2 Cotiuité à droite et cotiuité à guche (pour votre culture).. 96 6.3.3 Foctios à vleurs ds C....................... 97 6.4 Foctios usuelles................................. 98 6.4.1 L foctio expoetielle......................... 98 7 Dérivtio des foctios sur R 104 7.1 Dérivée d ue foctio e u poit....................... 105 7.1.1 Défiitio.................................. 105 7.1.2 Accroissemets et dérivées........................ 109 7.2 Dérivées Successives................................. 113 7.3 Applictios..................................... 116 7.3.1 Applictios ux foctios covexes (pour votre culture)..... 116 7.3.2 Applictios à l étude des grphes de foctios........... 120 7.3.3 Applictios ux iéglités....................... 122 7.3.4 Formes idétermiées........................... 123 7.3.5 Recherche de solutios d ue équtio foctioelle (pour votre culture)................................... 126 8 Itégrtio de foctios à vleurs réelles 129 8.1 L itégrle sur u segmet............................ 129 8.1.1 Défiitio de l itégrle des foctios e esclier........... 129 8.1.2 Itégrles des foctios réglées..................... 132 8.1.3 Vleur pprochée de l itégrle d ue foctio cotiue...... 135 8.2 Primitive des foctios cotiues........................ 139
Préfce Ces otes de cours présetet le coteu du cours d lyse premier semestre doé à l uiversité de Geève. Nous remercios les étudits et les ssistts qui ot cotriué pr leur relecture ttetive à l crétio de ces otes. Nous teos églemet à remercier tout prticulièremet Nicols Curie et Ruth Be Zio. Ces otes complètet les otes muscriptes présetées e cours. E ucu cs elles e les remplcet! Il est crucil de veir e cours et d écrire le cours préseté e clsse. Le processus cosistt à écrire le cours représete l première étpe de révisio. Le coteu exigile à l exme est le mtériel préseté e clsse (e prticulier, de omreuses prties du polycopié e serot ps discutées e clsse, et sot présetées pour votre culture). De plus, ces otes peuvet être modifiées (de fço mieure) à tout momet. Vérifiez doc que vous vez ie ue versio reltivemet récete. Les exercices présetés ds ces otes e correspodet ps écessiremet ux feuilles d exercices distriuées chque semie et dispoiles sur dokeos ds l rurique Alyse 1 (utome 2012). Comme pour le cours, les exercices de référece sot ceux des feuilles d exercices. Les exercices sot omreux et de iveu vrile. Nous e ous ttedos ps à ce que vous les réussissiez tous. Les exercices difficiles sot repérles grâce u sigle A (ces exercices représetet des chlleges dot l difficulté excède de loi le chmps de compétece requis pour vlider le cours). Les exercices des feuilles d exercices vec u sigle sot à redre pedt le cours du mercredi (ucue copie e ser cceptée près cette dte). Les copies serot corrigées et otées. Ces otes sur le semestre résulterot e ue ote sur 0.5 qui ser joutée comme ous à l ote file du semestre. U exme écrit de 4 heures viedr sctioer le semestre. Aucu documet est utorisé pedt cet exme. Ue questio de cours pouvt porter sur importe quelle prtie du cours préseté e clsse ser icluse ds l exme. Les théorèmes ecdrés sot solumet cruciux, et il est très importt de les coitre prfitemet. Les exercices porterot sur le coteu du cours mis e ferot ps écessiremet prtie des exercices préprés pedt l ée. 3
TABLE DES MATIÈRES 4 Cocert l lecture de ces otes, les ecdrés comportet des remrques, des stuces ou des pricipes géérux de démostrtio. Les rgumets repérés pr l metio "pour votre culture" e sot e ucu cs requis à l exme. Le cours commece pr ue descriptio succite de l théorie des esemles et de l logique. Cette prtie est destiée à poser les ses écessires pour rédiger ue preuve mthémtique correctemet. Elle offre églemet ue opportuité de découvrir les fodemets de otre disciplie. Les chpitres suivts itroduiset grduellemet les omres etiers, rtioels, réels et complexes. Nous étudios esuite l otio de suite et de limite. Ds u qutrième temps, ous proposos ue étude des foctios de l vrile réelle (cotiuité, dérivilité, itégrtio). Certies des otios étudiées ds ce semestre e vous sot ps icoues. Némois, ous les étudieros plus e profodeur, et prfois vec u gle d pproche différet de celui vec lequel vous les vez recotrées jusqu à préset. Le cours est complètemet uto-coteu et ucu pré-requis est écessire. U derier coseil, ous vous recommdos de prticiper ux répétitoires le mrdi et jeudi soir, que vous yez des difficultés ou o. Mis ces répétitoires e suriet remplcer le trvil persoel sur les exercices : il est très importt d essyer de fire les exercices seul. Boe lecture et o semestre Eseigt Hugo Dumiil-Copi Bureu 615, 2-4 rue du Lièvre Déprtemet de mthémtique Uiversité de Geève E-mil : hugo.dumiil@uige.ch
Chpitre 1: Élémets de théorie des esemles 1.1 Élémets de Logique U éocé u ses mthémtique est u esemle de symoles uquel est ssocié ue vleur logique VRAIE ou FAUSSE. L costructio de tels éocés doit répodre à des règles précises, met isi à ue théorie cohérete ds lquelle l vleur logique de chque éocé est ou ie VRAIE, ou ie FAUSSE, mis jmis les deux à l fois. Ue ssertio est u éocé répodt à ces règles de costructio. Le cocept de vérité est ps uiversel, il déped des idividus. Afi de couper court à tout ritrire, ous désiros développer ue otio cocrète et ittqule de vérité mthémtique. Pour cel, u petit omre d ssertios, ppelées xiomes, sot supposées VRAIES priori. Il est ps écessire de les motrer. L esemle des ssertios vries est lors étedu u moye de démostrtios, c est à dire de règles de logique simples. Notos qu priori, ous vos ue lierté totle qut u choix des xiomes. Les xiomes costituet ue répose u prolème de l défiitio de vérité cr ils fourisset ue référece explicite que chque idividu peut utiliser fi de détermier si u éocé est vri ou fux. Plutôt que de dire "cet éocé est vri", il serit plus juste d ffirmer "cet éocé est vri si l o suppose les xiomes vris". Bie etedu, persoe utilise ce formlisme, et l o e fit ps référece ux xiomes lorsque l o prtique les mthémtiques. Némois, il est possile de se rmeer à ces xiomes si esoi est, et l otio de vérité mthémtique des ses cliremet étlies. Notos vt de commecer que vous recotrerez des xiomes différets, dus à Euclide, ds le cours de géométrie. Ces xiomes sot eucoup plus vieux (tiquité) que ceux que ous préseteros ds ce cours (déut du vigtième siècle) mis ils e couvret que l géométrie dite Euclidiee et e sot doc ps dptés à otre cotexte. 5
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 6 1.1.1 L otio d esemle L ojet mthémtique fodmetl est ppelé esemle. Grossièremet, u esemle est ue collectio d élémets. Pour u élémet x d u esemle E, otos x E. Les esemles sot turellemet muis d ue opértio, ppelée iclusio, défiie comme suit : Défiitio 1.1. Soiet E et F deux esemles, E est iclus ds F si pour tout x E, x F. L esemle E est lors ppelé ue prtie de F (oté E F ). Les esemles E et F sot dits égux si E F et F E. Si E, F, G sot trois esemles, lors E F et F G implique que E G. Remrquez que {1, 2, 3, 2, 1} et {1, 2, 3} sot deux esemles égux. L existece même d u esemle fit l ojet d u xiome. Bie etedu, cet xiome semle évidet, mis u xiome précis permet de couper court à toute pproximtio ds le développemet future de l théorie. Axiome 1 (xiome d existece) Il existe u uique esemle, l esemle vide, tel que quelque soit l ojet x, x. Trois utres xiomes permettet de costruire des esemles à prtir d utres. Axiome 2 (xiome de compréhesio) Soiet E u esemle et des ssertios A(x) idexées pr les élémets x de E, il existe u uique esemle F E tel que les élémets de F soiet exctemet les élémets de E qui stisfot A(x). Cet esemle est oté F = {x E tel que A(x)} ot. = {x E, A(x)}. Axiome 3 (xiome de puissce) Soit E u esemle, il existe u uique esemle dot les élémets sot exctemet les prties de E (c est doc u esemle d esemles). Cet esemle est oté P(E) ot. = {F, F E}. Axiome 4 (xiome de l uio) Soiet E et F deux esemles, il existe u uique esemle E F formé des élémets de E et des élémets de F. Noter que l éocé des xiomes est très précis, mlgré le fit qu ils semlet évidets. E effet, preez l exemple de l xiome 2. Il est tett de le remplcer pr l existece d esemles de l forme F = {x, A(x)}, où l o e restreit ps u fit que les x doivet pprteir à u esemle déjà existt E. Avec u tel xiome, o outirit à des prdoxes du type "Je suis u meteur" (méditer sur l existece de l esemle suivt E = {x, x x}) qui mèeriet à ue cotrdictio.
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 7 Les xiomes 2, 3 et 4 permettet de défiir d utres règles sur les esemles. Défiitio 1.2. Soiet E et F deux esemles, défiissos E F ot. = {x E, x F } E F ot. = {x E, x F } Lorsque E F, l esemle F E est ppelé complémetire de E ds F. Lorsque F est évidet ds le cotexte, l référece à F est ps précisée et F E est oté E c. Propositio 1.3 (Distriutivité). Soiet E, F, G trois esemles, lors 1. (E F ) (E G) = E (F G). 2. (E F ) (E G) = E (F G). Démostrtio. Ue preuve ps tout à fit rigoureuse mis visuelle cosiste à regrder l figure suivte. E E F G F G Pour les irréductiles, voici ue preuve mthémtique rigoureuse. Motros l première églité. Risoos pr doule iclusio, c est-à-dire motros (E F ) (E G) E (F G) et (E F ) (E G) E (F G). Soit x (E F ) (E G), x pprtiet à E F ou E G. Ds le premier cs, x E et x F F G. Aisi, x E (F G). Ds le deuxième cs, x E et x G F G. Aisi, x E (F G). Nous e déduisos que (E F ) (E G) E (F G). Soit x E (F G), lors x E et x F G. Si x F, lors x E F et doc x (E F ) (E G). Si x G, lors x E G et doc x (E F ) (E G). Nous e déduisos que E (F G) (E F ) (E G). L même méthode peut être utilisée fi de motrer l deuxième églité. Risoemet pr doule-iclusio Pour prouver que E et F sot égux, o motre que E F et F E. Ce risoemet doit être océ comme tel u déut de l démostrtio. Propositio 1.4 (loi de Morg). Soiet E, F, G trois esemles, lors 1. (E F ) (E G) = E (F G). 2. (E F ) (E G) = E (F G). Démostrtio. Ue preuve ps tout à fit rigoureuse mis visuelle cosiste à regrder l figure suivte. Augustus de Morg (glis 1806-1871)
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 8 E E F G F G À ouveu, voici ue preuve plus rigoureuse. Motros l première églité. Risoos pr doule iclusio, c est-à-dire motros (E F ) (E G) E (F G) et (E F ) (E G) E (F G). Soit x (E F ) (E G), lors x pprtiet à E F ou E G. Ds le premier cs, x E et x F. Aisi, x F G et doc x E (F G). Ds le deuxième cs, x E et x G. Aisi, x E (F G). O e déduit que (E F ) (E G) E (F G). Soit x E (F G), lors x E et x F G. Cel sigifie que x est ps ds F i ds G. Si x F, lors x E F et doc x (E F ) (E G). Si x G, lors x E G et doc x (E F ) (E G)). O e déduit que E (F G) (E F ) (E G). L même méthode peut être utilisée fi de motrer l deuxième églité. Doos u exemple plus complexe de règle sur les esemles. Soiet E et F deux esemles, défiissos le produit crtésie de E et F E F = {(, ), E, F }. U élémet de E F est ppelé u couple. L propriété crctéristique des couples est (x, y) = (x, y ) si et seulemet si x = x et y = y. Défiissos u -uplet comme u élémet de E 1 E 2 E = ( (E 1 E 2 ) ) E ). Les otios d uio et d itersectio peuvet être étedues ux esemles idexés pr u esemle I comme suit. Défiitio 1.5. Soiet E u esemle et (E i ) i I des prties de E idexées pr u esemle I. L réuio des E i est défiie comme étt l esemle E i = {x E, il existe i I, x E i } E. i I L itersectio des E i est défiie comme étt l esemle E i = {x E, pour tout i I, x E i }. i I Fiissos cette sectio sur les esemles pr u peu de voculire. Défiitio 1.6. Soiet (A i ) i I des prties de E et F E. 1. Les A i formet u recouvremet de F si F A i. i I 2. Les A i formet ue prtitio de E si les A i recouvret E et si pour tout i j ds I, A i A j =. L figure de guche motre u recouvremet. Chque élémet est ds u esemle, mis ces esemles peuvet priori se recouper. L figure de droite motre ue prtitio.
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 9 A 1 A2 A3 A 4 A 4 A 1 A2 A3 A 10 A 10 A 9 A 8 A7 A 5 A 6 A 9 A 8 A7 A 5 A 6 1.1.2 Logique élémetire et pricipes de démostrtio À prtir d ssertios mthémtiques quelcoques, ous costruisos de ouvelles ssertios dot l vleur logique VRAIE ou FAUSSE déped de l vleur logique des ssertios origielles. Nous discutos églemet commet prouver des ssertios (ces pricipes de démostrtio reviedrot à de omreuses reprises ds le cours). Nous disposos de deux types d outils pour costruire de ouvelles ssertios : les opértios sur les ssertios et les qutificteurs. Commeços pr les premières. Opértios sur les ssertios Négtio. Si A est u ssertio mthémtiques, o A est défiie comme étt vrie lorsque A est fusse et réciproquemet, ce qui peut être résumé pr le tleu suivt, ppelé tle de vérité, A V F o A F V L égtio de mo cht est oir est mo cht est ps oir. L égtio de tous les chts sot oirs est il existe u cht qui est ps oir. Ou. Si A et B sot deux ssertios, l ssertio A ou B est défiie pr l tle de vérité suivte A B A ou B V F V V V V F F F F V V Notez que le ou mthémtique est ps exclusif : VRAIE ou VRAIE est VRAIE. De plus, l défiitio ous idique u pricipe de démostrtio : pour prouver que A ou B est VRAIE, o suppose que A est FAUSSE et à l ide de cel o motre que B est VRAIE. O peut ie etedu supposer que B est FAUSSE et motrer que A est VRAIE puisque cel reviet u même. Et. Si A et B sot deux ssertios, ssocios l ssertio A et B défiie pr l tle de vérité suivte A B A et B V F F V V V F F F F V F
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 10 Propositio 1.7. Soiet A et B deux ssertios, o(a ou B) est équivlete à oa et ob. De même, o(a et B) est équivlete à oa ou ob. Démostrtio. Il suffit de vérifier que les deux ssertios ot l même tle de vérité. Nous le fisos pour o(a ou B) et oa et ob. A B o A o B A ou B o (A ou B) (o A) et o B V F F V V F F V V F F V F F F F V V F V V F V V F V F F Implictio. Si A et B sot deux ssertios, ssocios l ssertio A implique B (otée A B) défiie pr l tle de vérité suivte A B A implique B V F F V V V F F V F V V Cotriremet à A ou B et A et B, l tle de vérité de A B est ps totlemet ituitive. E effet, si A est FAUSSE, lors l implictio est écessiremet VRAIE. E prticulier, FAUX implique FAUX est cosidéré comme VRAIE e mthémtique. Ce choix est e fit risole. Imgios pr exemple l ssertio suivte, "J i eu ue discussio vec u chie implique mo chie prle". Bie etedu, cette implictio est juste, mis i A i B e le sot. L tle de vérité de l implictio ous idique commet procéder pour motrer que A B est VRAIE : o suppose que A est VRAIE et o motre que B est VRAIE. E effet, si A est FAUSSE l implictio est de toute fço VRAIE et il y rie à prouver. Nous utiliseros souvet le voculire suivt, si A B est VRAIE, ous diros : si A lors B. L ssertio A est lors ppelée ue coditio suffiste pour B, et B ue coditio écessire pour A. Propositio 1.8. Les ssertios A B, (o B) (o A), (o A) ou B sot équivletes, ds le ses que quelque soit l vleur logique de A et B, ces ssertios sot vries ou fusses simultémet. Puisque A B est équivlete à oa et B, ous oteos que l égtio de A B est A ou ob. Démostrtio. Il suffit de vérifier que ces trois ssertios ot l même tle de vérité. A B A implique B o B o A (o B) (o A) (o A) ou B V F F V F F F V V V F F V V F F V V V V V F V V F V V V
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 11 L ssertio (o B) (o A) est ppelée l cotrposée de A B. Les ssertios A B et o A o B étt logiquemet équivletes, o peut prouver A B e suppost que B est FAUSSE et e motrt que A est FAUSSE. Ce risoemet est ppelé risoemet pr cotrposée et doit être océ comme tel u déut de l démostrtio. Attetio! Le risoemet pr cotrposée e doit ps être cofodu vec le risoemet pr l surde. Celui-ci repose sur u pricipe différet. Pour prouver que C est VRAIE, o suppose que o C est VRAIE et o motre que cel mèe à ue cotrdictio. Ds le cs où C = (A B), ous oteos que ous supposos A et ob et que ous motros que cel mèe à ue cotrdictio. Le risoemet pr l surde doit être océ comme tel u déut de l démostrtio. Équivlece. Soiet A et B deux ssertios, l ssertio A B sigifie (A B et B A). Propositio 1.9. L tle de vérité de A B est A B A B V F F V V V F F V F V F Démostrtio. Il suffit de clculer l tle de vérité ps à ps. A B A B B A [(A B) et (B A)] ot. = [A B] V F F V F V V V V V F F V V V F V V F F Deux ssertios sot doc équivletes si elles sot toutes deux vries ou toutes deux fusses. Si l ssertio A B est VRAIE, ous diros : A si et seulemet si B, ou A ssi B e rccourci. L ssertio A est ue coditio écessire et suffiste pour B (et réciproquemet B est ue coditio écessire et suffiste pour A). Pour prouver ue équivlece, ous disposos de deux possiilités. L première cosiste à risoer pr équivleces successives, e géérl plus simples à motrer. Cepedt, ce type de preuve est ps toujours à privilégier, o peut utiliser le fit que A B est équivlete à A B et B A. Motrer A B et B A séprémet s ppelle risoer pr doule implictio. Ce risoemet doit être océ comme tel u déut de l démostrtio. Qutificteurs U utre outil importt est l otio de qutificteurs. Soiet E u esemle et A(x) des ssertios idexées pr x E. L ssertio x E, A(x) est VRAIE si et seulemet si pour tout x E, A(x) est VRAIE. Le symole est ppelé qutificteur uiversel. L ssertio x E, A(x) est VRAIE si et seulemet si il existe x E tel que A(x) est VRAIE. Le symole est ppelé qutificteur existetiel.
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 12 Propositio 1.10. L égtio de [ x E, A(x)] est [ x E, o A(x)] et l égtio de [ x E, A(x)] est [ x E, o A(x)]. Cette propositio peut être utilisée pour ier des ssertios plus compliquées. Pr exemple, x E, y F, z G, A(x, y, z) est u rccourci (ss les prethèses iutiles) pour l ssertio x E, ( y F, ( z G, A(x, y, z))). Aisi, l propositio utilisée trois fois de suite motre que l égtio de cette ssertio est x E, ( y F, ( z G, o A(x, y, z))). Il est crucil d être méthodique lorsque l o ie ue ssertio, cr il est très fcile d écrire u cotre-ses. Pour motrer x E, A(x), ous devos motrer A(x) pour x E quelcoque. O se doe doc u x E ritrire, et o motre A(x). O écrir doc systémtiquemet "Soit x E" u déut de l démostrtio, de telle sorte qu il ous suffit lors de motrer A(x). Pour motrer x E, A(x), ous devos trouver x E tel que A(x). Ces preuves reviedrot souvet (mis ps toujours) à costruire l oject x yt l propriété A(x). Metioos u derier type de démostrtio, ppelé preuve pr cotre-exemple. Afi de motrer que x E, A(x) est FAUSSE, if fut motrer que x E, o A(x). O dit lors que x E tel que o A(x) est VRAIE est u cotre-exemple. Ce risoemet doit être océ comme tel u déut de l preuve. Exemple : Cosidéros l ssertio x R, y R, [x < y z R, x < z < y]. Nios cette ssertio. Tout d ord, elle est de l forme x R, A(x) où A(x) est l ssertio y R, [x < y z R, x < z < y]. Aisi, l égtio ser de l forme x R, o A(x). Il ous fut doc ier A(x). Cette ssertio est de l forme y R, B(y) où B(y) est l ssertio [x < y z R, x < z < y]. L égtio ser doc de l forme y R, o B(y). Mitet, B(y) est ue implictio dot l égtio est x < y et o( z R, x < z < y), c est à dire x < y et z R, (x z ou y z). Nous vos utilisé le fit que x < z < y est équivlete à x < z et z < y et que o(a B) vut (A et ob). E coclusio, ous oteos que l égtio est x R, y R, [x < y et z R, x z ou y z]. Mitet, ous désiros prouver l ssertio. Elle commece pr x R, ous ous doos doc x R. Elle poursuit pr y R, ous ous doos doc y R. Esuite, pour motrer l implictio, ous supposos A, ie x < y et ous motros B, ie z R, x < z < y. il ous fut doc trouver u z tel que x < z < y. Il ous suffit de predre z = x+y. E coclusio, ue preuve de l ssertio serit : 2 "Soit x R. Soit y R. Supposos que x < y. Posos z = x+y. O ie x < z < y." 2 À prtir de mitet, l usge des symoles et est restreit ux ssertios. Ces symoles sot des qutificteurs, ils ot leur plce qu à l itérieur d ue ssertio. Ds ue phrse e frçis, ous préféreros l usge de pour tout et il existe. De même, ous utiliseros ps mis les termes lors ou doc. Exercice 1. Soiet A, B et C trois esemles. 1. Motrer que : (A = B) (A B = A B). 2. Motrer que : (A = B) (P(A) = P(B)). 3. Motrer que : (A B = A C et A B = A C) (B = C).
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 13 Exercice 2 (Différece symétrique). L opértio est défiie sur les esemles A, B E pr A B = (A B c ) (B A c ). 1. Motrer que A B = (A B) (A B). 2. Vérifier que (A B = ) (A = B). Exercice 3. E remrqut que { } est u esemle à u élémet, essyer de costruire à l ide des xiomes des esemles à 2,3 élémets. Pesez vous pouvoir costruire des esemles de tille fiie quelcoque? Exercice 4. U esemle d ssertios costitue ue théorie. Ue théorie est dite cotrdictoire si à prtir des xiomes et des règles de logique, il est possile de motrer qu ue ssertio A est à l fois VRAIE et FAUSSE. Motrer que ds ue théorie cotrdictoire, toute ssertio est VRAIE et FAUSSE. Remrquos qu il est possile d voir des théories o cotrdictoires pour lesquelles il est impossile de motrer si certies ssertios sot VRAIES ou si elles sot FAUSSES. Notez qu elles sot ie etedu soit vries soit fusses, mis leur vleur logique e peut ps être détermiée (prouvée) e utilist les xiomes et ue preuve. Ces ssertios sot dites idécidles et l théorie est lors icomplète. Ue théorie mthémtique devrit turellemet être i cotrdictoire, i icomplète. L ojectif de costruire ue telle théorie (de trouver les os xiomes e quelque sorte) fut u coeur des mthémtiques du déut du vigtième siècle. E 1930, Gödel motr u théorème d ue portée exceptioelle : toute théorie o cotrdictoire cotet l otio d etiers turels est icomplète. Il est doc vi de teter de créer u système d xiomes "prfit". Ce théorème s ppelle pompeusemet le théorème d icomplétude. Exercice 5. A Supposos que l xiome 2 soit mois précis. E cosidért l esemle E = {x, x x}, motrer que si E E, lors E E et que si E E, lors E E. Aisi, o otiet que E E et o(e E) sot VRAIES et FAUSSES, et l théorie deviet cotrdictoire. O compred doc mieux l utilité de préciser que x doit pprteir à u esemle F ds l formule E = {x F A(x)}. Le prolème créé pr u xiome 2 mois précis est ppelé prdoxe du meteur (u meteur dist "je suis u meteur"). Exercice 6. Motrer que l implictio est trsitive : [(A B) et (B C)] (A C). Exercice 7. Écrire l égtio des ssertios suivtes : 1. x, y E, xy = yx. 2. x E, y E, xy = yx. 3., A, [ = 0 ( = 0 ou = 0)]. 4. x R, y R, [x < y f(x) < f(y)] (où f est ue pplictio de R ds R). 5. ε > 0, N N, [ N u l < ε] (où (u ) est ue suite réelle et l R). 6. l R, ε > 0, N N, [ N u l < ε] (où (u ) est ue suite réelle). 7. x R, δ > 0, y R, [ x y δ f(x) f(y)] (où f est ue pplictio de R ds R). 8. x R, ε > 0, δ > 0, y R, [ x y < δ f(x) f(y) ε] (où f est ue pplictio de R ds R). 9. ε > 0, N N, x R, N, [ N f (x) f(x) < ε] (où f est ue pplictio de R ds R). 10. E N, [E ( E, m E, m )] 11. E R, [E R, (( E ) et ( ε > 0, E ε))] Exercice 8. Soiet E et F deux esemles et A(x, y) des ssertios idexées pr (x, y) E F. 1. Motrer que [ x E, y F, A(x, y)] [ y F, x E, A(x, y)]. 2. Motrer que [ x E, y F, A(x, y)] [ y F, x E, A(x, y)]. 3. Motrer e dot u exemple que x E, y F, A(x, y) est ps écessiremet équivlet à y F, x E, A(x, y). O dir que l o peut échger les qutificteurs djcets (ou les djcets), mis que l o e peut ps échger les qutificteurs et. Exercice 9. Quelle est l cotrposée des implictios suivtes? Même questio vec l égtio. 1. Si x > 0, lors f(x) 0. 2. Si = 0, lors ( = 0 ou = 0). 3. p divise implique (p divise ou p divise )
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 14 4. E implique qu il existe tel que = mi(e). Exercice 10. Expliquer e frçis ce que sigifiet les ssertios suivtes et écrire leur égtio. 1. 0, u < u +1 (où (u ) est ue suite réelle). 2. A R, x R, f(x) A (où f est ue pplictio de R ds R). 3. (x, y) Q 2, [x < y z Q x < z < y]. Exercice 11 (Lois de Morg géérlisées). Soiet I u esemle et (A i ) i I ue fmille de prties de E et A E. Motrer que A ( A i ) = (A A i ), A ( i I A i ) = i I (A A i ) i I i I A A i = A A i, A i I A i = i I A A i. i I i I (Idictio : puisqu il est difficile de dessier u omre ifii de pttes, o pourr d ord teter de prouver les lois de Morg clssiques à l ide de qutificteurs et de risoemets sur les esemles) Exercice 12 (Formules d ssocitivité). Soit E u esemle, (A i ) i I ue fmille de P(E) et (J k ) k K ue fmille icluse ds I et recouvrt I. Motrer que A i = A i et A i = A i. i I k K i J k i I k K i J k 1.2 Reltios d ordre Mitet que ous disposos d ue otio d ssertio, et d ue otio d esemle et d élémets de ces esemles, il est turel de comprer ces élémets etre eux. Nous itroduisos doc l otio de reltio d ordre. Ue reltio sur E, otée R, est u ojet pret deux élémets x, y de E et revoyt VRAI ou FAUX. O ote e géérl xry. Grossièremet, ue reltio d ordre ffirme si "x est plus petit que y", où petit peut être priori iterprété ds u ses très lrge. Les trois propriétés ci-dessous suivet l ituitio turelle. Défiitio 1.11. Soit E u esemle, R est ue reltio d ordre si R est réflexive : x E, xrx. R est trsitive : x, y, z E, [(xry et yrz) xrz]. R est tisymétrique : x, y E, [(xry et yrx) x = y]. Nous oteros souvet à l plce de R et xry sigifie que "x est iférieur à y". Notos églemet x y si yrx et x < y si yrx et x y. Afi de motrer que R est ue reltio d ordre, il fut motrer que R est réflexive, trsitive et tisymétrique. Aisi, l preuve que R est ue reltio d ordre devr toujours être écrite de l fço suivte : 1. Motros que R est réflexive : soit x E "Prouver que xrx" 2. Motros que R est trsitive : soiet x, y, z E tels que xry et yrz "Prouver que xrz" 3. Motros que R est tisymétrique : soiet x, y E tels que xry et yrx "Prouver que x = y"
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 15 Exemple : L ordre u ses usuel sur R est ue reltio d ordre (puisque ous e l vos ps ecore défii, ous e le prouvos ps). Exemple : L reltio sur les prties d u esemle E doée pr F RG ssi F G est ue reltio d ordre. Démostrtio. Rppelos que F G si x F, x G. 1. Motros que est réflexive : soit F E. Puisque x F, x F, ous vos ie F F. 2. Motros que est trsitive : soiet F, G, H E tels que F G et G H. Si F est ue prtie de G et G est ue prtie de H, lors F est ie ue prtie de H. E effet, si x F, lors x G et doc x H. D où F H. 3. Motros que est tisymmétrique : soiet F, G E tels que F G et G F. Alors x F, x G et x G, x F. Aisi, x G ssi x H et doc F et G ot les mêmes élémets. D où F = G. Exemple : L reltio xry ssi x = y est ue reltio d ordre. U esemle mui d ue reltio d ordre est dit ordoé et est otée (E, ). Défiitio 1.12. Soit (E, ) u esemle ordoé, F E et m, M E. M est u mjort de F si x F, x M. M est le supremum (ou l ore supérieure) de F si M est u mjort de F et pour tout M mjort de F, M M. Il est oté sup F. M est le mximum de F si M est le supremum de F et M F. Il est oté mx F. m est u miort de F si x F, m x. m est l ifimum (ou l ore iférieure) de F si m est u miort de F et pour tout m miort de F, m m. Il est oté if F. m est le miimum de F si m est l ifimum de F et m F. Il est oté mi F. Attetio, ces élémets existet ps toujours. Si F dmet u mjort, o dit qu il est mjoré. S il dmet u miort, il est dit mioré. S il est mioré et mjoré, o le dit oré. Pr cotre, le supremum est uique s il existe, idem pour le mximum, miimum, ifimum. De plus, le mximum et le supremum sot cofodus s ils existet tous les deux. O peut églemet motrer que le supremum est le miimum de l esemle des mjorts. Propositio 1.13 (Critère prtique pour l ordre usuel sur R). Soit F R et M R. Les deux propositios suivtes sot équivletes : (i) M est l ore supérieure de F ds R. (ii) x F, x M et y R, [y < M ( x F, y < x)].
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 16 Démostrtio. Si l o écrit (i) comme ue ssertio, ous oteos que (i) est e fit [ x F, x M] et [ y R, ( x F, x y) y M]. Puisque [( x F, x y) y M] est l cotrposée de [y < M ( x F, y < x)], ces deux ssertios sot équivletes et doc (i) et (ii) sot équivletes. Cette preuve foctioe e fit pour tout ordre dit totl, ie que x y ou y x (l iclusio est ps u ordre totl c o e peut ps forcémet comprer deux esemles pour l iclusio). Ds ce cs, l égtio de x y est ie y < x. Pour u ordre qui est ps écessiremet totl, o peut trsformer les ssertios e remplct < pr ps. Exercice 13. Motrer que l reltio sur les etiers défiie pr prq ssi il existe m N tel que q = mp est ue reltio d ordre. Coissez-vous le om de cette reltio? Exercice 14. Soiet F G E vec E ordoé. Motrer que sup F sup G et if G if F. Soit F E et E. Afi de motrer que sup F, il suffit de motrer que est u mjort de F, ie x F, x, puisque sup F est pr défiitio le plus petit des mjorts. Exercice 15 (Reltio d ordre totle ou prtielle, élémet mximl). Ue reltio d ordre est dite totle si x, y E, x y ou y x, sio l reltio d ordre est dite prtielle. Soit F ue prtie de E. 1. Motrer que les reltio suivtes sot des reltios d ordre. Lesquelles sot prtielles? () L iclusio sur E. () L divisiilité sur N. (c) L ordre usuel sur R. (d) L ordre lexicogrphique sur R 2 défii pr (x, y)r(, ) ssi x < ou x = et y. 2. U élémet m est u élémet miiml de F si x F, [m x x = m]. Motrer qu u miort de F est u élémet miiml. 3. Quelles sot les élémets miimux de N {0} pour l divisiilité sur N? Même questio vec N {0, 1}. Motrer qu u élémet miiml est ps forcémet u miort. 4. Motrer que si l ordre est totl, lors il existe u plus u élémet miiml pour F. Exercice 16. Détermier quelles sot les foctios ijectives, surjectives et ijectios prmi l liste suivte. Justifier vos ffirmtios. R {0} R {0} 1. f x 1 x N {0, 1} N 2. g le plus petit omre premier divist 3. (cette questio est ps à redre) Soit E u esemle, χ P(E) {0, 1} E A χ A où χ A est l foctio crctéristique de l esemle A (o pourr utiliser l exercice 8 de l série précédete). Détermier quelles sot les foctios croisstes et décroisstes prmi l liste suivte. Justifier vos ffirmtios. R R {x R x 0} R 1. h x x 2, même questio vec i x x 2 2. j N N π() où π() est le omre de omre premiers iférieurs ou égux à. 3. Soit B E. De l esemle ordoé (P(E), ) ds lui-même, k P(E) P(E) A A B 4. De R 2 mui de l ordre lexicogrphique (rppelos que, ds ce cs, (x, y)r(x, y ) ssi x < x ou [x = x et y y R ]) ds (R, ), l foctio l 2 R (x, y) xy Joh Dirichlet (llemd 1805-1859) Il fut l u des pioers de l utilistio d outils d lyse complexe e théorie des omres. Cel le me à l preuve du théorème de l progressio rithmétique. O lui doit ussi le pricipe des tiroirs. Exercice 17. Trouver le supremum et ifimum de { 1 +( 1), N }. Est-ce que ce sot des mximums et des miimums?
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 17 Exercice 18. Soiet f E F et g F G deux foctios. 1. Supposos que g f est ijective, est-ce que f est ijective? Même questio vec g? 2. Supposos que g f est surjective, est-ce que f est surjective? Même questio vec g? 3. Est-ce que g f ijective implique f et g ijectives? Si l répose est oui, le prouver, sio, exhier u cotre-exemple. Exercice 19. A O dispose les élèves de l clsse e u rectgle de liges et p coloes. O repère le plus grd élève de chque lige et o retiet le plus petit de ces plus grds ; soit x s tille. Puis, o repère le plus petit élève de chque coloe et o retiet le plus grd de ces plus petits ; soit y s tille. Comprer x et y. 1.3 Applictios Nous e veos mitet à u ojet que vous vez déjà mipulé à mites reprises lors de votre cursus scolire, l otio de foctio (ou pplictio). Cotriremet à ce que l o pourrit croire, ue foctio est ps forcémet l doée d ue formule écrite vec les opértios usuelles +,,, /,, etc. L otio peut e fit être défiie de fço strite, et couvrir isi u grd omre de possiilités. L première ppritio de cette défiitio est prolemet due à Dirichlet (1837). 1.3.1 Défiitio Défiitio 1.14. Soiet E et F deux esemles et A E F. L esemle A est u grphe foctioel si x E,!y F, (x, y) A (ici,! sigifie qu il existe u uique élémet). Ue pplictio (ou foctio) est l doée de deux esemles E, F et d u grphe foctioel c est à dire ue prtie du produit crtésie E F. Ue pplictio f, qui est l doée de (E, F, A), est hituellemet otée f E F x f(x) = y où y est l uique élémet tel que (x, y) A. Grossièremet, ue pplictio etre E et F est u ojet qui ssocie à chque élémet de E u uique élémet de F. Exemple : (foctios usuelles) Les foctios usuelles de R ds R telles que x, x, x 2, cos x, si x, exp x peuvet toutes être écrites comme précédemmet. Exemple : L foctio t de R {..., 3π 2, π 2, π 2, 3π 2, 5π,...} ds R. 2 Veos-e à des exemples plus compliqués (voir exercices et ci-dessous), qui e peuvet ps s écrire e foctio de formules simples ivoqut +,,, /,, etc. Exemple : (foctio Dirc) Pour E u esemle quelcoque et E, défiissos Leopold Kroecker (llemd 1823-1891) Célère pour so oppositio vec so étudit Ctor, dot il estime l démrche de ce derier sur l ifii o rigoureuse. Hilert commet : "persoe e ous chsser du prdis que Ctor ous créé." δ E {0, 1} x 1 si = x et 0 sio. Cette pplictio est ppelée l foctio de Kroecker, ou l foctio Dirc u poit. Exemple : π N N π() = omre d etiers premiers iférieurs ou égux à Pul Dirc (glis 1902-1984) Mthémticie et physicie.
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 18 Exemple : Soit E u esemle. L idetité de E est l pplictio I E E E x x. Exemple : Ue pplictio de u N E est ppelée ue suite. L ottio (u ) N ser préférée à l ottio u : N u(). Exemple : Soit I u esemle, ue fmille idicée sur I est ue pplictio x dot l esemle de déprt est I. Au lieu de l oter x : i I x(i) o préfèrer, comme pour les suites, l ottio x = (x i ) i I. L esemle I est l esemle des idices de l fmille x. Itroduisos mitet u petit peu de voculire : 1. L élémet x est ppelé técédet de y pr f, et y est l imge de x pr f. 2. L esemle E est ppelé le domie de défiitio de f. L esemle F est le domie d rrivée de f. 3. Pour A E et B F. L imge directe de A pr f est f(a) = {f(x) F, x A}. L esemle f(e) est ppelée imge directe de f. L imge réciproque de B pr f est f 1 (B) = {x E, f(x) B}. Pr exemple, f 1 ({}) est l esemle des técédets de et est u sous-esemle de E. Il est défii pour toute foctio, cotriremet à f 1 (), qui est u élémet de E et est défii si et seulemet si f est ijective. 4. Soiet E et F deux esemles, F E désige l esemle des pplictios de E ds F. E A x f 1 (B) F f(a) f(x) B Défiitio 1.15 (Restrictio et prologemet). Soiet E et F deux esemles et A E. Soit f : E F ue foctio. Alors g A F x f(x) est ue foctio, ppelée restrictio de f à A et otée g = f A. Ds ce cs, f est u prologemet de g.
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 19 Pour motrer que deux foctios sot égles, o motre qu elles ot mêmes esemles de déprt et d rrivée et même grphe foctioel. Il est crucil de se rppeler qu ue pplictio est l doée de f(x) pour tout x, mis églemet d u esemle de déprt et d u esemle d rrivée. Pr exemples, les pplictios f R + R + x x 2 g R R + x x 2 h R R x x 2 sot toutes différetes. E prticulier, elles ot ps les mêmes propriétés (ijectivité, croissce, etc). Aisi, il fut toujours préciser les domies de défiitio et d rrivée de l pplictio. 1.3.2 Compositios des pplictios. Ue opértio, ppelée compositio, peut être défiie turellemet sur les pplictios. Défiitio 1.16. Soiet f : E F et g : F G deux pplictios. L composée de g pr f est l pplictio g f défiie pr g f E G x g(f(x)). Propositio 1.17. Soiet trois foctios f : E F, g : F G et h : G H. 1. L loi est ssocitive ie h (g f) = (h g) f, 2. I F f = f I E = f. Démostrtio. Motros 1. Tout d ord, h (g f) et (h g) f prtet de E et rrivet ds H. Soit x E, (h (g f))(x) = h(g f(x)) = h(g(f(x))) = (h g)(f(x)) = ((h g) f)(x). Motros 2. Tout d ord, I F f, f et f I E prtet de E et rrivet ds F. De plus, pour tout x E, (I F f)(x) = I F (f(x)) = f(x) = f(i E (x)) = (f I E )(x). L propriété d ssocitivité motre que les prethèses sot iutiles. O écrir doc h g f pour h (g f) = (h g) f (de même pour plus de trois foctios). 1.3.3 Ijectio-Surjectio-Bijectio Défiitio 1.18. Soit f : E F. 1. L foctio f est ijective si x, x E, [f(x) = f(x ) x = x ] 2. L foctio f est surjective si y F, x E, f(x) = y 3. L foctio f est ijective si f est ijective et surjective. L ijectivité est l propriété que chque élémet de F u plus u técédet. L surjectivité est l propriété que chque élémet de F u mois u técédet. L ijectivité est l propriété que chque élémet de F exctemet u técédet.
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 20 L ijectivité est souvet défiie pr l cotrposée de l défiitio fourie ici, c est-à-dire x, x E, [x x f(x) f(x )]. Nous utiliseros souvet cette défiitio pour dériver des coséqueces de l ijectivité d ue foctio. Pr cotre, pour prouver qu ue foctio est ijective, il est souvet stucieux d utiliser l défiitio doée plus hut. Il est e géérl plus fcile de prouver ue églité qu ue iéglité. Propositio 1.19. Soiet f : E F et g : F G. 1. si f et g sot ijectives, lors g f est ijective. 2. si f et g sot surjectives, lors g f est surjective. 3. si f et g sot ijectives, lors g f est ijective. Démostrtio. Motros 1. Soiet x, x E tels que (g f)(x) = (g f)(x ), motros que x = x. Puisque g(f(x)) = g(f(x )) et g est ijective, ous déduisos f(x) = f(x ). Puisque f est ijective, x = x. Aisi, g f est ijective. Motros 2. Soit z G, motros qu il existe x E tel que z = (g f)(x). Puisque g est surjective, il existe y F tel que z = g(y). Puisque y F et f est surjective, il existe x E tel que y = f(x). Aisi, z = g(y) = g(f(x)) = (g f)(x). L propriété 3 est l comiiso de 1 et 2. Lorsque f : E F est ijective, l pplictio réciproque (ou iverse) de f est l pplictio f 1 F E y x tel que f(x) = y. Propositio 1.20. () f 1 1 = f, () f 1 f = I E, (c) f f 1 = I F. 1. Soit f : E F ue pplictio ijective, lors 2. Soit f : E F ue pplictio ijective, f 1 est ijective. 3. (uicité de l iverse) Soiet f : E F et g : F E telles que f g = I F et g f = I E, lors g = f 1. 4. (compositio des iverses) Soiet f : E F et g : F G ijectives, lors (g f) 1 = f 1 g 1. Démostrtio. Motros 1(). f 1 1 prt ie de E et rrive ds F. Soit x E, ous vos que f 1 1 (x) est l uique y F tel que f 1 (y) = x, c est-à-dire (pr l défiitio de l iverse) l uique y F tel que y = f(x). Mis f(x) vérifie cette propriété ce qui permet de coclure que f 1 1 (x) = f(x). Motros 1(). f 1 f prt de E et rrive ds E. Soit x E, f 1 (f(x)) est l uique z E tel que f(z) = f(x). Pr ijectivité, z = x et doc f 1 (f(x)) = x. Motros 1(c). Cette propriété est l propriété () ppliquée à f 1 F E.
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 21 Motros 2. Commeços pr l ijectivité. Soiet x, y F tels que f 1 (x) = f 1 (y). O lors f(f 1 (x)) = f(f 1 (y)). Or f f 1 = I F, doc cette églité équivut à x = y. Prouvos mitet l surjectivité. Soit y E, cherchos x F tel que f 1 (x) = y. Mis f 1 (f(y)) = y d près (), doc f(y) est u técédet de y. Motros 3. Sous les hypothèses que f g = I F et g f = I E, motros que f est ijective. Commeços pr l ijectivité. Soiet x, x E tels que f(x) = f(x ). Aisi x = g(f(x)) = g(f(x )) = x. Mitet, motros l surjectivité. Soit y F, ous vos f(g(y)) = y et doc g(y) est u técédet de y pr f et f est surjective. Il ous est doc possile de cosidérer f 1. Pr (), ous oteos I E f 1 = g f f 1 = g I F = g. Motros 4. Grâce à (), ous vos (f 1 g 1 ) (g f) = I F. Grâce à (c), ous e déduisos I F (g f) 1 = (f 1 g 1 ) ((g f) (g f) 1 ) = (g f) 1. R R Exemple : L iverse de f est f lui-même. x x R Exemple : L iverse de g + R + x x 2 est g 1 R + R + x x. Z Z Exemple : L iverse de h + 1 est Z Z h 1 1. Exemple : L iverse de i Q Q r 2r est i 1 Q Q r r/2. Exemple : Soit P(E) l esemle des prties de E. L foctio j est ijective d iverse elle-même. P(E) P(E) F F c 1.3.4 Applictios croisstes, décroisstes et mootoes Défiitio 1.21. Soiet (E, ) et (F, ) deux esemles ordoés. f : E F est dite croisste si x, x E, [x x f(x) f(x )]. strictemet croisste si elle est croisste et ijective. O défiit de même l otio de foctio décroisste, strictemet décroisste, mootoe (ou ie croisste, ou ie décroisste), strictemet mootoe. Propositio 1.22. Soiet E, F, G trois esemles ordoés. 1. Si f : E F et g : E F sot mootoes de même ses, lors g f est croisste. 2. Si f et g sot mootoes de ses cotrires, lors g f est décroisste. L démostrtio est lissée pour l exercice 21. Exercice 20 (Foctios crctéristiques χ A ). Soiet E u esemle et A E. L foctio crctéristique de A est défiie pr χ A E {0, 1} 1 si x A x E 0 sio. 1. Motrer que deux esemles sot égux si et seulemet si ils ot l même foctio crctéristique. 2. Que peut-o dire sur A et B si χ A (x) χ B (x) pour tout x E?
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 22 3. Motrer que χ A B = χ A χ B, χ A c = 1 χ A et χ A B = χ A + χ B χ A χ B. 4. Motrer les formules de Morg e utilist les foctios crctéristiques. Exercice 21. Prouver l propositio 1.22. Le ut de l exercice suivt est de motrer le célère théorème suivt. Théorème 1.23 (Théorème de Ctor). Soit E u esemle. Il existe ps de surjectio de E sur P(E). Exercice 22 (Théorème de Ctor). Supposos qu il existe ue surjectio s : E P(E). E cosidért l esemle A = {x E, x s(x)} E, motrer que ous outissos à ue cotrdictio. Exercice 23. Soit f ue pplictio ijective et mootoe, est ce que f 1 est mootoe? Exercice 24 (Théorème de Ctor-Schröder-Berstei). A Soiet E et F deux esemles. Supposos qu il existe ue ijectio f de E ds F, et ue ijectio g de F ds E. Nous désiros motrer qu il existe ue ijectio de E ds F. Défiissos h P(E) P(E) pr h(x) = E g(f f(x)) pour toute prtie X E. 1. Motrer que h est croisste pour l iclusio. 2. Cosidéros l esemle Y = X h(x) X. Soit x Y, motrer que pour tout X tel que X h(x), x h(x). E déduire que x h(y ) et doc que Y h(y ). 3. Motrer que pour tout X tel que X h(x), lors X Y. Motrer que h(y ) h(h(y )). E déduire que h(y ) Y. 4. Motrer que Y = E g(f f(y )). 5. Motrer que pour tout x Y, il existe y F tel que x = g(y). Il est isi possile de défiir l pplictio Φ 6. Vérifier que Φ est ijective. E F f(x) x l uique y tel que g(y) = x si x Y si x Y
Chpitre 2: Etiers turels et esemles fiis 2.1 Etiers turels Erst Zermelo (llemd 1871-1953) Comme vu ds l exercice 3, les xiomes permettet de costruire des esemle de tille fiie quelcoque. Pr cotre, ils e permettet ps priori de costruire u esemle ifii. Aisi, l esemle N e peut ps être costruit à prtir des xiomes et il est écessire de postuler so existece. Nous itroduisos doc u ouvel xiome. Avec ce ouvel xiome, les xiomes formet le système de Zermelo-Frekel (à vri dire, ps tout à fit, mis presque). Axiome 5 (xiome de Peo) Il existe u uique triplet (0, N, S) tel que 1. N est u esemle. 2. 0 u élémet de N. N N 3. L foctio S S() () S est ijective, () S(N) = N {0}, stisfit les propriétés suivtes (c) Pour tout A N, si [0 A et N, ( A S() A)] lors A = N. Arhm Frekel (llemd puis isrelie 1871-1953) Il précise le système d xiomes de Zermelo e 1919 et motre l idépedce de l xiome du choix sous certies coditios. Ces trvux serot repris pr Cohe. L imge S() de est ppelé so successeur. L esemle N est ppelé esemle des etiers turels. L esemle N {0} est oté N. Nous utilisos l ottio 1 = S(0), 2 = S(1), etc. Nous oteros églemet S() = + 1. Posos m, = {m, m + 1,..., }. L propriété 3(c) est prfois ppelée xiome de récurrece. Elle mèe u théorème suivt. Théorème 2.1 (Pricipe de récurrece). Soit H ue ssertio dépedt de N. Si l ssertio H 0 et [ N, H H +1 ] est VRAIE lors H est VRAIE pour tout N. Giuseppe Peo (itlie 1858-1932) Père de l logique mthémtique, il est ussi cou pour l coure de Peo, ue coure cotiue dot l imge est tout le crré de coté 1. 23
CHAPITRE 2. ENTIERS NATURELS ET ENSEMBLES FINIS 24 Démostrtio. Soit A = { N, H est VRAIE}. Puisque H 0 est VRAIE, 0 pprtiet à A. De plus, si A, H est VRAIE. De plus, H H +1 est VRAIE. Cel implique que H +1 est VRAIE. Aisi S() A. L propriété (c) implique que A = N et H est doc VRAIE pour tout N. Noter que l récurrece est doc xiomtique. L ssertio H est ppelée hypothèse de récurrece. Prouver H 0 est ppelé ps iitil. L implictio H H +1 est ppelée ps de récurrece. Puisque FAUX implique FAUX est VRAI, le fit que H H +1 est VRAIE pour tout N e permet de coclure que H est VRAIE que si H 0 est VRAIE. Il est doc primordil de vérifier le ps iitil, même si celui-ci peut pritre évidet! Doos quelques exemples d pplictios. Le sige i I i est u rccourci sigifit que l o somme tous les élémets i, pour i I. Le sige i est ppelé l vrile d idice ou plus simplemet vrile. L exemple le plus clssique étt ie etedu I = {1,..., }, ie que l o somme sur les premiers termes. Il y quelques petites choses à remrquer sur cette ottio, qui fût itroduite pr Fourier e 1820. Exemple : 1 + 2 + 3 + 4 + + = i {1,...,} i. Tout d ord, l vrile i est dite muette, ds le ses que l o peut sommer sur quelque chose d utre, tt que l o somme les mêmes ojects. Plus précisémet, si σ est ue ijectio de J ds I, o que Exemple : i {1,...,} i = i I j {0,..., 1} i = σ(j). j J j + 1 = k {2,4,6,8,...,2} Exemple : Ds le cs prticulier de I = {0,..., }, o ote i=0 i. O ppelle l opértio de chgemet l vrile muette u chgemet de vrile. De fço évidete, i I ( i + i ) = i I i + i. i I Ue utre méthode importte s ppelle l sommtio pr pquets. Imgios que I = k K I k, et que les I k sot disjoits, ous vos lors i = i I k K j. j I k Ceci est prticulièremet itéresst lorsque I = J K, ds ce cs, ous trouvos que J K = j J {j} K, et doc (j,k) J K j,k = j J (j,k) {j} K Nous prlos lors d ue doule somme. Exemple : Pr exemple, ous vos k 2. j,k = j,k. j J k K i,j = i,j. (i,j) {0,...,} 2 i=0 j=0
CHAPITRE 2. ENTIERS NATURELS ET ENSEMBLES FINIS 25 Propositio 2.2. Soit 0, ( + 1) 1. k =. 2 2. 3. k=0 k=0 k=0 k 2 = k 3 = ( ( + 1)(2 + 1). 6 2 ( + 1) ). 2 4. (somme géométrique) pour 1, k=0 k = 1 +1 1. Nous lissos l preuve de ce résultt pour l exercice 26. Remrque 2.3. Le risoemet pr récurrece peut être géérlisé comme suit. Soit A N. Si N, [( k A 0,, H k ) H ] est vrie, lors H est vrie pour tout A. Cette géérlistio permet de cosidérer A = {m, m + 1,...} ou A = 2N pr exemple. Si o se plce à 0 = mi A lors l ssertio à motrer deviet H 0 et o e reviet ecore u fit qu il fut toujours iitiliser s récurrece. Ds l suite, u risoemet pr récurrece doit toujours être océ, et préseté comme suit : Nous motros cette propriété pr récurrece. Défiissos pour tout A, Motros H 0 : H = écrire votre hypothèse de récurrece Préseter l preuve de H 0 Soit N. Supposos l hypothèse de récurrece H, motros H +1 : Préseter l preuve de H H +1. Mitet que ous disposos des etiers et du risoemet pr récurrece, les opértios + et peuvet être défiies pr récurrece comme des pplictios + N N N et N N N. Nous etros ps ds les détils de cette costructio et lissos l preuve e exercices. Afi de rccourcir les ottios, o pose +(m, ) = m + et (m, ) = m = m = m. Soiet, m N, l ordre usuel sur N est défii comme suit m d N, m = + d. Démostrtio. Théorème 2.4. Toute prtie o vide de N dmet u plus petit élémet. Nous motros ce résultt pr récurrece. Défiissos pour tout N, H : tout esemle A N cotet u etier k dmet u plus petit élémet. Motros H 0. Si 0 A, lors 0 est le plus petit élémet de A, puisque 0 est plus petit que importe quel etier. Pierre de Fermt (frçis -1665) juriste, mthémticie et mécèe. Célère pour le pricipe de Fermt e optique, isi que pr des questios lissées e susped. L plus coue est le théorème de Fermt, qui
CHAPITRE 2. ENTIERS NATURELS ET ENSEMBLES FINIS 26 Soit N, supposos H et motros H +1. Soit A u esemle cotet k +1. Si k, lors e ivoqut H, ous oteos que A dmet u plus petit élémet. S il existe ps de k ds A, lors cel sigifie que + 1 A et que m A, m + 1. Aisi, + 1 est le plus petit élémet de A. Nous veos de motrer H +1. Corollire 2.5 (Pricipe de descete ifiie). Toute suite décroisste d etiers turels est sttioire. Démostrtio. Soit (u ) N ue suite décroisste d etiers turels. L esemle A = {u, N} dmet u plus petit élémet, qui est écessiremet de l forme u N pour u certi N N. Alors pour tout N, u u N cr (u ) N est décroisste. Mis puisque u N est le plus petit élémet de A, ous vos églemet u u N pour tout N. E prticulier, u = u N pour tout N et l suite est ie sttioire. O dit souvet qu il existe ps de suite strictemet décroisste d etiers turels, c est le pricipe de descete ifiie de Fermt. Ce pricipe fut utilisé fréquemmet e rithmétique, pr exemple pr Fermt et Euler. Il peut souvet être remplcé pr u utre type de risoemet et ous isisteros doc ps dessus. Fiissos cette prtie pr u utre exemple fodmetl d pplictio du pricipe de récurrece. Théorème 2.6 (Divisio Euclidiee). Soiet N et N, lors il existe u uique couple (q, r) N 2 vérifit = q + r vec 0 r <. Démostrtio. Commeços pr l uicité. Soiet (q, r) et (q, r ) tels que = q + r = q + r et supposos ss perte de géérlité que r r. Ceci implique 0 (q q ) = r r 1. Aisi, q = q écessiremet (sio (q q ) ) et doc r = r. Motros mitet l existece. Soit N. Nous procédos pr récurrece. Soit N, défiissos H : pour tout, il existe (q, r) N 2 tel que = q + r et 0 r <. Motros H 1. Ds ce cs, o pose q = 0 et r =. Soit 1. Supposos H et motros H +1. Soit + 1. Si, il suffit d utiliser H. Si = + 1, cosidéros 0. L hypothèse de récurrece implique l existece de q 1 et 0 r 1 < tels que = q 1 + r 1. O otiet lors = (q 1 + 1) + r 1. L preuve peut être coclue e post q = q 1 + 1 et r = r 1. Ss retrer ds les détils, les etiers reltifs Z peuvet être défiis à prtir de N e ssocit à N so opposé pour +. Exercice 25. Motros que le plus grd etier turel strictemet positif est 1. E effet, soit le plus grd etier positif. Comme 1, ous trouvos 2. Mis puisque est le plus grd etier turel, 2 de sorte que 2 = et doc = 1 (puisque 0). Doc 1 est le plus grd etier turel strictemet positif. Où est l fute de risoemet? Exercice 26. Motrer pr récurrece que ( + 1) 1. k = pour tout 0. k=0 2 2. k 2 ( + 1)(2 + 1) = pour tout 0. k=0 6 3. 4. k=0 k 3 = ( 2 ( + 1) ) pour tout 0. 2 k = (1 +1 )/(1 ) pour tout 1 et 0. k=0