Mathématique Sylvie Jancart sylvie.jancart@ulg.ac.be Mars 2013
La spirale Quelques courbes particulières La spirale Il existe différents types de spirales : les spirales à centre, les spirales d Archimèdes, de Bernouilli, de Fermat,... Les spirales les plus simple à tracer sont les spirales à centre. L éloignement progressif d une spirale dépend du nombre des centres qui ont servi à la former. Il y a des spirales : à 2 centres qui sont situés sur une même ligne, à 3 centres qui sont situés aux trois sommets d un triangle équilatéral, à 4 centres qui sont situés aux quatre sommets des angles d un carré.... En fait on peut construire des spirales avec autant de centres que l on veut en se servant de figures régulières, pentagone, hexagone...
La spirale La spirale : Equation polaire Outre les spirales construites par raccord de cercle, il est possible de tracer des spirales à partir de leur équation polaire ou en donnant une technique de construction. La spirale d Archimède Cette spirale est engendrée par un point qui se déplace uniformément sur une droite qui tourne autour d un point fixe (Par exemple, une personne située sur un plateau tournant à vitesse constante et se dirigeant à vitesse constante vers le centre décrit dans le repère fixe une spirale d Archimède ). Son équation polaire est donnée par ρ = aθ avec θ un angle exprimé en radian. La spirale Bernoulli r = a θ. Elle est aussi appelée spirale logarithmique car en "passant au log", on voit que le logarithme de r est proportionnel à l angle polaire θ : ln r = θ ln a. La spirale hyperbolique
La cardioïde La cardioïde est la courbe engendrée par un point de la circonférence d un cercle de rayon r roulant à l extérieur d une circonférence immobile de même rayon. L équation polaire est ρ = a(1 + cos θ) Représentez graphiquement les cardioïdes suivantes ρ 1 = 1 + cos θ ρ 2 = 1 cos θ ρ 3 = 1 sin θ ρ 4 = 1 + sin θ
Calculs d aires http://ca.wikipedia.org/wiki/cardioide
La cycloïde et l astroïde La cycloïde est, par définition, engendrée par un point M de la circonférence d un cercle roulant sans glisser sur une droite (d). L astroïde est une courbe engendrée par un point de la circonférence de rayon r roulant intérieurement sur un cercle immobile de rayon R
Calculs d aires Le trèfle ci-dessous, dit aussi quadrifolium a pour équation polaire r = a.cos2θ (ici a = 3). C est une rosace de Grandi : http://serge.mehl.free.fr/anx/parapol.html
Calculs d aires En coordonnées paramétriques Plutôt que de travailler avec l équation d une surface sous la forme cartésienne ou implicite, ou polaire, on peut définir cette surface à l aide d un paramètre. On parle alors d équation paramétrique. L équation cartésienne du cercle de centre (0,0) et de rayon 3 est x 2 + y 2 = 9. Son équation paramétrique est donnée par avec θ [0, 2π] j x = 3 cos θ y = 3 sin θ
Calculs d aires Calculs d aire pour des courbes en équations paramétriques En coordonnées cartésiennes, avec y = f (x) A = Z b a f (x)dx Cette fois, x et y vont dépendre d un paramètre, par exemple, t. On effectue un changement de variables j x = x(t) y = y(t) et la recherche de l aire devient A = Z b a f (x)dx = Z tb t a = f (x(t))x (t)dt = avec dx = x (t)dt, t a = t(a) et t b = t(b) Z tb t a = y(t)x (t)dt
Calculs d aires Calculs d aire : exercices 1. Calculez l aire sous un quart de cercle de rayon 3. 2. Calculez l aire comprise entre une arche de cycloïde d équations paramétriques j x = 2(t sin t) y = 2(1 cos t) 3. Calculez l aire de la surface délimitée par une astroïde d équations paramétriques j x = a cos 3 u y = b sin 3 u
Pour un disque de rayon 3 nous savons que l aire est πr 2 et donc 9π En coordonnées cartésiennes cela revient à calculer l intégrale suivante : 4 Z 3 0 p 9 x 2 dx En coordonnées paramétriques : j x = 3 cos θ y = 3 sin θ Nous avons que x varie de 0 à 3 et que θ varie de π/2 à 0 Z 0 A = 4 3 sin θ( 3 sin θ) dθ π/2 En effet, si x = 0, θ = π/2 et si x = 3 alors θ vaut 0. On a donc Z 0 A = 4.9 sin 2 θ dθ π/2 Avec Carnot, A = 36 Z 0 π/2 1 2 + cos 2θ 2 dθ = 36[ θ sin 2θ 2 ]0 π/2 + 36[ ] 0 π/2 = 36 π 4 4 = 9π
j x = 2(t sin t) Pour la cycloïde : y = 2(1 cos t) L aire est donnée par A = A = 4 A = 4 Z 2π 0 Z 2π 0 Z 2π 1 2 cos t + cos 2 t dt 1 2 cos t + 1 2 + 1 cos 2t dt 2 Z 2π 3 A = 4 0 2 2 cos t + 1 cos 2t dt 2 A = 4[ 3 2 t 2 sin t + 1 4 A = 4 3 2π = 12π 2 0 sin 2t]2π 0 2(1 cos t)2(1 cos t) dt
Volumes de révolution Nous allons calculer le volume engendré par la rotation d une courbe y = f (x), x [a, b] autour de l axe OX. http://www.daskoo.org/upload/images/volumedoliderevolution.jpg Rappelons-nous que l aire du disque de rayon r est égale à πr 2. Dans notre cas, nous avons une série de disques d aire πf 2 (x). Pour obtenir le volume nous allons sommer voire intégrer les aires de disques sur l intervalle considéré. V = Z b a πf 2 (x)dx
Volumes de révolution Calcul du volume d une sphère de rayon R Equation du cercle x 2 + y 2 = R 2 et donc y ± R 2 x 2 Calcul du volume avec V = Z b a πf 2 (x)dx
Volumes de révolution Equation du cercle x 2 + y 2 = R 2 et donc y ± R 2 x 2 Z R V = π ( p R 2 x 2 ) 2 dx R Z R V = π (R 2 x 2 )dx R V = π[r 2 x x3 3 ]R R V = π[r 2 R R3 3 + R2 R + R3 3 ] V = π[ 2 R3 3 + 2R3 ] = 4π 3 R3
Volumes de révolution Calcul du volume d une demi-ellipse q Equation de l ellipse x2 + y 2 = 1 et donc y = b 1 x2 a 2 b 2 a 2 On tourne autour de OX Z a V = π b 2 a r! 1 x 2 2 dx a 2 On tourne autour de OY Z b V = π a 2 b r! 1 y 2 2 dy b 2 On obtient le volume de l éllipsoïde.
Volumes de révolution Autour de OX Z a V = π b 2 a r! 1 x 2 2 dx a 2 Z a V = π b 2 (1 x 2 a a )dx 2 V = π b2 a 2 Z a a (a 2 x 2 )dx = 2π b2 a 2 Z a 0 (a 2 x 2 )dx V = 2π b2 a 2 [a2 x x 3 3 ]a 0 = 2π b2 a 2 (a3 a3 3 ) = 4 3 πb2 a
Calculer le volume d un cylindre circulaire droit de rayon R et de hauteur h Le cylindre est vu comme un volume engendré par la rotation de la droite y = R autour de OZ. V = π Z h 0 f 2 (z) dz = π Z h 0 R 2 dz = πr 2 h Calculer le volume de la rotation d une courbe autour d un axe Soit une surface délimitée par la parabole y 2 = 8x, par la droite x = 2 et l axe OX. Calculer le volume engendré par la rotation de cette surface autour de l axe des x. Si cette fois la surface est délimitée par la même parabole, la droite x = 2 mais plus l axe OX, calculer le volume qu elle engendre par sa rotation autour de l axe x = 2.
Exercices complémentaires 1.Calculer l aire commune entre le cercle ρ = 3 cos θ et la cardioïde ρ = 1 + cos θ. Représentation graphique, recherche des points d intersection, calcul de l aire. 2. Calculer le volume d un cône circulaire droit de rayon R et de hauteur h. 3. Calculer l aire comprise entre la parabole y = x 2 7x + 6, l axe OX et les deux droites x = 2 et x = 6. 4. Calculer l aire comprise entre la courbe y = x 3 6x 2 + 8x et l axe des x. 5. Calculer l aire comprise entre la parabole y 2 = 4x et la droite y = 2x 4. 6. Calculer l aire comprise entre deux paraboles, y = 6x x 2 et y = x 2 2x. 7. Calculer l aire intérieure à la courbe y 2 = x 2 x 4.