Exercices sur les foncions alernaives sinusoïdales e sur leur somme Ce documen es une compilaion des exercices posés en devoirs surveillés d élecricié au déparemen Génie Elecrique e Informaique Indusrielle de l IUT de Nanes. Ces devoirs se son déroulés généralemen sans documens, sans calculee e sans éléphone porable Les devoirs d une durée de min son noés sur poins. Donc chaque poin proposé au barème correspond approximaivemen à une acivié de min. Ces exercices corresponden aux chapires 3 e de la ressource Baselecpro sur le sie IUTenligne. Un corrigé avec barème de correcion es remis aux éudians en sorie du devoir (C es souven le seul momen où ils von réfléchir à ce qu ils on su (ou pas su) faire dans ce devoir) Personnellemen, je me refuse à manipuler le barème d un devoir lors de la correcion dans le bu d obenir une moyenne présenable. (ni rop ni rop peu ) La moyenne d un devoir doi refléer l adéquaion enre les objecifs de l enseignan e les résulas des éudians. Les documens proposés ici son délivrés dans un forma qui perme ou assemblage/désassemblage ou modificaion à la convenance de l uilisaeur. Les dessins e les équaions on éé réalisés avec Word97. Nos éudians disposen d une masse considérable d informaions sur inerne. Les enseignans son mainenan soucieux de leur apprendre à uiliser inelligemmen ce immense champ de connaissance. Ils leur apprennen noammen à cier les sources Ressource proposée sur le sie Inerne Copyrigh : drois e obligaions des uilisaeurs L aueur ne renonce pas à sa qualié d'aueur e aux drois moraux qui s'y rapporen du fai de la publicaion de son documen. Les uilisaeurs son auorisés à faire un usage non commercial, personnel ou collecif, de ce documen noammen dans les aciviés d'enseignemen, de formaion ou de loisirs. Toue ou parie de cee ressource ne doi pas faire l'obje d'une vene - en ou éa de cause, une copie ne peu pas êre facurée à un monan supérieur à celui de son suppor. Pour ou exrai de ce documen, l'uilisaeur doi mainenir de façon lisible le nom de l aueur Michel Piou e la référence au sie Inerne IUT en ligne. La diffusion de oue ou parie de cee ressource sur un sie inerne aure que le sie IUT en ligne es inerdie. Une version de Baselecpro es disponible sous forme d un livre aux édiions Ellipses dans la collecion Technosup sous le ire ÉLECTRICITÉ GÉNÉRALE Les lois de l élecricié Michel PIOU - Agrégé de génie élecrique IUT de Nanes France
Table des maières. Quesions de cours.... Passer du graphe à l expression d une foncion alernaive sinusoïdale... 3. Posiionner le zéro d une foncion alernaive sinusoïdale (,5 ps).... Représenaion du graphe de foncions alernaives sinusoïdales (,5 ps)... 5 5. Passage enre graphes e veceurs de Fresnel ( ps).... Somme par les veceurs de Fresnel (3,5 ps)... 7 7. Somme par les veceurs de Fresnel ( ps).... Somme par les veceurs de Fresnel (,5 ps)... 9 9. Somme par les veceurs de Fresnel (,5 ps)... 9. Somme par les veceurs de Fresnel ( ps)... 9. Somme par les veceurs de Fresnel ( ps).... Somme par les veceurs de Fresnel ( ps)... 3. Somme par les veceurs de Fresnel ( PTS).... Principe d une somme de sinusoïdes avec les complexes ( ps)... 5. Somme par les nombres complexes ( ps)... 3. Somme par les nombres complexes avec un logiciel (3,5 ps)... 7. Triphasé : couran dans le neure par les veceurs de Fresnel (,5 ps)... 5. Triphasé : couran dans le neure calculé par un logiciel (,5 ps)... 9. Triphasé : couran dans le neure (5 ps)... 7
- -. Quesions de cours Compléer le ableau: Barème pour chaque case: Réponse juse:+, p Pas de réponse: p Réponse fausse: -, p θ π/ π/3 π/ π/3 cos(θ) sin(θ). Passer du graphe à l expression d une foncion alernaive sinusoïdale Cas N 5. Soi la foncion alernaive sinusoïdale représenée ci-conre (Aenion aux axes cenrés!).5 - ms - ms ms ms -.5-5. Indiquer sa période : Indiquer sa fréquence : Sachan que sa phase à l origine es un π muliple de, préciser (sans jusificaion) son expression analyique de sous la forme : (......) 5. cos. période : ms. fréquence : f = = 5 Hz. Expression analyique: 5.cos. π. +. T 3 Cas N 5 Déerminer l expression analyique de la foncion u() ci-conre. -5 u -.s.s.3s.s u ( ) =.cos π. ou u( ) =.sin π. + 3 π u ( ) =.sin π. ou 3 5π u ( ) =.cos π. + ou
3. Posiionner le zéro d une foncion alernaive sinusoïdale (,5 ps) - - Cas N - - - - rad i Le graphe ci-conre es celui de la foncion du emps i ( ) =.sin(. + ). Placer approximaivemen l axe des ordonnées au poin =. Préciser la valeur de la période T de i( ) (La disance enre deux poinillés vericaux correspond à un angle de rad) - - - - rad v ( ) p Période:, ms (. ) v ( ) =.sin +,5 p π π La période es T = = s ω Cas N - - v ( ) rad θ Le graphe ci-conre es celui de la foncion v ( ) =.sin(. π.,5 ). Placer l axe des ordonnées au poin =. (aenion sinus!) Préciser la valeur de la période en ms: - - - - - v ( ),5 p,5 rad,5 p Période: π π T = = = ms ω. π ( v (..,5 ) ) =.sin π
Cas N 3 - - - rad v ( ) - 3 - Le graphe ci-conre es celui de la foncion v ( ) =.cos(. π. + ). Placer l axe des ordonnées au poin =. Préciser la valeur de la période : (La disance enre deux poinillés vericaux correspond à un angle de rad) - - - - rad Période: ms v ( ) (.. ) v ( ) =.cos π + π π La période es T = = = = ms ω π 5
Cas N - - - - v ( ) - - Le graphe ci-conre es celui de la foncion v ( ) =.cos. π. +. Placer l axe des 3 ordonnées au poin =. Préciser la valeur de la période : - - - - v ( ) Le graphe ci-conre es celui de la foncion v ( ) =.sin. π.. Placer l axe des ordonnées au poin =. (aenion sinus!) Préciser la valeur de la période : - - - - Période: ms v ( ) ( v ) =.cos. π. π + 3 - - - - v ( ) Période: ms ( v ) =.sin. π. π
- 5 -. Représenaion du graphe de foncions alernaives sinusoïdales (,5 ps) 5π a) ( ps) Représener le graphe des foncions v ( ) =.cos. π. e v ( ) =.sin. π. + (ne pas oublier les échelles d ampliude e de emps). v v ( v ) =.cos. π. π ( v ) =.sin. π. + 5π
- - 5. Passage enre graphes e veceurs de Fresnel ( ps) Tes sur la capacié à passer de l une à l aure des descripions v v ms Soien deux foncions alernaives sinusoïdales v() e v() don les graphes son donnés ci-conre. A la foncion v ( ) on a associé le veceur de Fresnel suivan. a) Représener le veceur de Fresnel associé à v ( ) avec la même convenion V b) Compe enu de l origine choisie sur le graphe, donner l'expression analyique de v() (Préciser la valeur de la pulsaion). V V π 3 ( v. π. π ) = 7. cos ω. avec ω = = = π rad / s période 3.
- 7 -. Somme par les veceurs de Fresnel (3,5 ps) Après avoir dessiné à main levée les veceurs de Fresnel associés à v ( ) e v ( ), esimer v l ampliude de la somme: v( ) = v ( ) + v ( )). v Représener l allure de v() sur le graphe ci-conre. ms On doi rouver approximaivemen les valeurs suivanes : π //Calcul en complexe sous Scilab : V v=3*exp(%i*%pi/); v=7*exp(-%i*%pi/); v=v+v ; V V + V module=abs(v) argumen=aan(imag(v),real(v)) module =.9 argumen = -.9 v ( ) + v( ) ( v ) v ( )
- - 7. Somme par les veceurs de Fresnel ( ps) V V v v Donner les expressions analyiques de v ( ) e de v ( ). Préciser leur pulsaion «ω». Le déphasage sera esimé. ( ) Représener à main levée le diagramme de Fresnel à un insan quelconque associé à v ( ), v ( ) e à ( ) = v ( ) v ( ) vs + -V ms Donner une esimaion de l ampliude v s ( ) e de son déphasage rad ou en d ϕ s par rappor à Vs max de v ( ) en V V -V v v ms,5 p v ( ) =.sin( ω. ) ou v ( ) =.cos ω. p v ( ) =.sin( ω. ) ou v ( ) =.sin ω. π π avecω = π.f = = = π rad / s T 3 ou ω = 3 rad / s,5 p V V V S On doi rouver approximaivemen les valeurs suivanes : (Calcul avec le logiciel graui Scilab) V=*exp(-%i*) VS=V+ p p module=abs(vs) argumen=aan(imag(vs),real(vs)) module =,77 ; argumen = -,3 rad ou,7 d Rappel : 3, rad = rad = 57, 3
- 9 -. Somme par les veceurs de Fresnel (,5 ps) v v Sachan que v ( ) =.cos( ω. ) e v ( ) = 5.cos( ω. + ), esimer l expression analyique de v() à l aide d un diagramme de Fresnel à main levée. ( rad = 57,3 ) v rad rad 3, rad rad avec le logiciel Scilab : v=+5*exp(%i*) =.535 +.5i - rad module=abs(v) =.73 argumen=aan(imag(v),real(v)) =. rad = 35 v( ) =,7.cos ω. + On doi donc rouver approximaivemen : (,) - rad V V V 9. Somme par les veceurs de Fresnel (,5 ps) v v Sachan que v ( ) =.cos( ω. ) e v ( ) = 5.cos( ω. ), esimer l expression analyique de v() à l aide d un diagramme de Fresnel à main levée. ( rad = 57,3 ) v v ( ).cos( ω. ) v ω, ( rad ) = e ( ) = 5.cos(. ) + v v avec le logiciel Scilab : v v=+5*exp(-%i*) =.535 -.5i module=abs(v) =.73 argumen=aan(imag(v),real(v)) = -. rad = -35 v ( ) =,7.cos ω., =,7.cos ω. "35 " ( ) ( ) V V V. Somme par les veceurs de Fresnel ( ps) v v v v 3 Sachan que v ( ) =.cos( ω. ), v ( ) = 5.cos ω. + e 3 v 3 ( ) =.cos ω.. Représener un diagramme de Fresnel associé aux ensions. Esimer l ordre de grandeur de l expression analyique de v() forme : v( ) =...cos( ω...) sous la Corrigé j=%i;pi=%pi;v=;v=5*exp(j*pi/3);v3=*exp(-j*pi/); v=v+v+v3 Vmax=abs(v) phase=aan(imag(v),real(v)) Vmax = 3.979 phase =.597 v ( ) = 35.cos( ω. +, ) (ordre de grandeur) V V V V 3
. Somme par les veceurs de Fresnel ( ps) Sachan que v ( ) =.cos( ω. ), v ( ) = 5.cos( ω. + ) e v 3 ( ) =.cos( ω..5). v v v 3 Représener un diagramme de Fresnel associé aux ensions. v Esimer l ordre de grandeur de l expression analyique de v() forme : v( ) =...cos( ω...) - - sous la rad rad 3, rad rad - rad - rad Calcul sous Scilab : j=%i; v=;v=5*exp(j*);v3=*exp(-j*.5); v=v+v+v3 Vmax=abs(v) phase=aan(imag(v),real(v)) Vmax = 35.7997 phase =.735 v ( ) = 3.cos( ω. +, ) (ordre de grandeur) V V V V 3
- -. Somme par les veceurs de Fresnel ( ps) v Sachan que v ( ).cos( ω. ) v v v 3 =, v ( ) = 5.cos ω. + e v 3 ( ) = 3.cos ω., esimer l expression analyique de v() à l aide d un diagramme de Fresnel. v v v v 3 V V V V 3 ( ) v ( ) =.cos ω., v ( ) = 5.cos ω. +, v 3 ( ) = 3.cos ω., v( ) 3.cos ω. ( ) 5 3 - - -3-5 3. Somme par les veceurs de Fresnel ( PTS) v v v 3 Soien v ( ), v ( ) e v 3 ( ) rois ensions alernaives sinusoïdales représenées ci conre. On éudie le monage suivan : v v v3 v A l aide d un diagramme de Fresnel, esimer l ampliude V de la ension v( ) e son déphasage ϕ par rappor à max ( ). Préciser quels son les veceurs V, V, V 3 e V v p V V 3 V max = V. max = V,5 p V V ϕ = ( V,V ) =,5 p
- -. Principe d une somme de sinusoïdes avec les complexes ( ps) On veu déerminer is ( ) = i( ) + i( ) à parir d une esimaion graphique. Esimer le déphasage. ( ) e compléer les 3 cases ci-dessous On décide de prendre i comme référence e d écrire : i ( ) =.cos V i i V (. ) ω I =. e I =. e j j ( ) -V I S = I + I = 5.3. e j. i S ( ) =.cos ( ω. ) Complexes Somme avec une calculee ou un logiciel I =. e i S j - rad p ( ω. ) ( ) = 5,3.cos -, p Rappel : 3, rad = rad = 57, 3
5. Somme par les nombres complexes ( ps) 5. 3-3 - Déerminer les expressions analyiques de v() e de v() 5V -5V v v -V 5 ms ms 5 ms Soi v() = v() + v(). Calculer v() par les complexes. (sans calcularice) (On remarquera que 5 =. e que 3 5. 3 =. ce qui doi faire penser à un angle bien pariculier ) π 5. V = 5. j π π 3 ; V 5.e 3 j j = = 5 j V + V = 5. 3 5 j =. j =..e =. e v( ) + v( ) =.cos. π. v( ) = 5. 3.cos. π.. = 5. 3.cos(. π. ) ( ) 3 v ( ) = 5.sin. π. = 5.cos. π.
- -. Somme par les nombres complexes avec un logiciel (3,5 ps) A l aide du logiciel Scilab, on a fai la somme de deux sinusoïdes v ( ) e v ( ) de même fréquence en uilisan le calcul en complexes. (Dans le langage Scilab, l opéraeur complexe «i» ou «j» s écri %i e les complexes ne son pas soulignés) Voici dans les encadrés les insrucions e les résulas obenus par Scilab Insrucions données à Scilab : V=*exp(-%i*.) V=3*exp(%i*) V=V+V modulev=abs(v) argumenv=aan(imag(v),real(v)) Réponses de Scilab V =.393 -.35i V =. +.55i V = 3. +.9i modulev = 3.5 argumenv =.37 Sachan que v ( ) =.cos( ω.. ), Compléer les expressions de v ( ) e de v( ) ci-dessous : ( v ) =...cos( ω....) v( ) =...cos( ω....) Quel calcul a fai le logiciel Scilab pour obenir le complexe V sous forme algébrique V = 3. +.9i à parir des expressions V=*exp(-%i*.) =.393 -.35i e V=3*exp(%i*) =. +.55i? Quel calcul a fai le logiciel Scilab pour obenir le module du complexe V à parir de V = 3. +.9i? Quel calcul a fai le logiciel Scilab pour obenir l argumen du complexe V à parir de V = 3. +.9i? v ( ) = 3cos(. +. ) ω v ( ) = 3.5 cos( ω. +.37),5 p p (.393 +.) + j(.35 +.55) = 3.. 9 V = + (Somme des paries réelles e somme des paries imaginaires) p V = 3. +.9.9 arg = 3. = 3.5 ( V ) = aan.37 rad p
7. Triphasé : couran dans le neure par les veceurs de Fresnel (,5 ps) - 5 - i 3 v v v 3 i i i 3 n i i 3 i N i Un câble «riphasé» compore quare conduceurs de cuivre (noés,, e n ). Chaque conduceur a une secion de,5 mm. Il peu délivrer un couran alernaif sinusoïdal d ampliude maximale A sans que son échauffemen (par effe Joule) ne soi excessif. Ce câble alimene un ensemble de rois dipôles parcourus respecivemen par les courans i ( ), i ( ) e i 3 ( ). Les courans i ( ), i ( ) e i 3 ( ) son représenés ci-conre : - - i i Représener, à main levée, les veceurs de Fresnel I r, I r, I r 3 e Ir N à un insan quelconque. En déduire graphiquemen si l ampliude du couran i N ( ) es compaible avec la secion des conduceurs du câble. Calcul en complexe (non demandé) j=%i;pi=%pi i=*exp(j*);i=*exp(-j*7*pi/);i3=5*exp(-j**pi/); in=i+i+i3 module_in=abs(in) argumen_in=aan(imag(in),real(in)) Les résulas obenus son les suivans : module_in =.59 argumen_in = -.37 I I N I I 3 Visiblemen l ampliude de i N ( ) es rès inférieure à A Un simple diagramme de Bode à main levée perme d en avoir la ceriude
- -. Triphasé : couran dans le neure calculé par un logiciel (,5 ps) i i i 3 Un câble «riphasé» compore quare conduceurs de cuivre (noés,, e neure). Chaque conduceur a une secion de,5 mm. Il peu délivrer un couran alernaif sinusoïdal d ampliude maximale A sans que son échauffemen (par effe Joule) ne soi excessif. v v v 3 neure i N Ce câble alimene un ensemble de rois dipôles parcourus respecivemen par les courans i ( ), i ( ) e i 3 ( ). i 3 i i 3 i Les courans i ( ), i ( ) e ( ) son représenés ciconre. On pose i( ) =.cos i 3( ω. ) - - i i Pour déerminer le couran i N ( ), on uilise le logiciel Scilab qui peu effecuer des calculs en complexe. Les insrucions programmées son les suivanes : j=%i; pi=%pi i=*exp(j*);i=*exp(-j*7*pi/); i3=5*exp(-j**pi/); in=i+i+i3 module_in=abs(in) argumen_in=aan(imag(in),real(in)) Les résulas obenus son les suivans : module_in =.59 argumen_in = -.37 Compléer l expression ( ) =...cos ω... i N ( ) i ( ) =.cos ( ω. ) j I =. e Calcule avec le logiciel Scilab (. ) i N ( ) =.59. cos ω.37 I N =.59. e j.37 Commenaire : Aucune difficulé calculaoire dans ce exercice. L objecif es de eser la capacié à appréhender une siuaion inconnue sans paniquer. Pour cela, il fau quelques connaissances e un minimum de confiance en soi!
- 7-9. Triphasé : couran dans le neure (5 ps) Un câble «riphasé» compore quare conduceurs de cuivre (noés,, e n ). Chaque conduceur a une secion de,5 mm. Il peu délivrer un couran alernaif sinusoïdal d ampliude maximale A sans que son échauffemen (par effe Joule) ne soi excessif. i i i 3 R R R3 v v v 3 n i N a) Ce câble es alimené par rois ensions v ( ), v ( ) e v 3 ( ) représenées ci-dessous aux bornes des rois résisances R, R e R 3 ciconre. v v v 3 Les ampliudes des courans i ( ), i ( ) e i 3 ( ) on éé mesurées : I3 = 5 max A. I max = A ; I max = A e r r r Représener les veceurs de Fresnel V, V, V3, I r, I r, I r 3 e Ir N à un insan quelconque. En déduire graphiquemen si l ampliude du couran i N ( ) es compaible avec la secion des conduceurs du câble - i 3 i i b) Les rois résisances précédenes son remplacées par rois nouveaux dipôles. Les nouveaux courans son représenés ci-conre. Représener les veceurs de Fresnel I r, I r, I r 3 e Ir N. En déduire graphiquemen si l ampliude du couran i N ( ) es compaible avec la secion des conduceurs du câble. - V 3 V I 3 I N I a) Les courans i ( ), i ( ) e i 3( ) son respecivemen en phase avec les ensions v ( ), v ( ) e v 3( ). Le diagramme de Fresnel à main levée monre que l ampliude du couran i N ( ) es inférieure à A V I b) Dans ce second cas, le diagramme de Fresnel à main levée monre que l ampliude du couran i N ( ) es de l ordre de A, donc incompaible avec la secion du câble. I 3 I I N I