Chapitr : Sigaux discrts rappls Itroductio Ls sigaux physiqus xistat das la atur sot gééral ds sigaux d typ aalogiqu o dit aussi cotiu, au ss où l sigal st u octio cotiu du tps t il sra écssair, lorsqu ous voudros ls air trasitr sur u résau, d ls échatillor ous allos voir l iluc d l échatilloag discrétisatio d u sigal sur so spctr aalys réqutill Cci ous prttra d ttr évidc crtais liitatios ous vrros égalt cot s'ctu pratiqu l'opératio d'échatilloag t qul coprois il st écssair d air tr la théori t la pratiqu Ls avatags ds tchiqus uériqus sot : - la répétabilité parait, - la précisio, - la possibilité d air trasitr d aièr traspart sur ls ês supports ds doés d typs divrs voix t sos, iags, doés d typ ioratiqu, - par rapport aux tchiqus aalogiqus : pas d viillisst, pas d dériv Ls sigaux uériqus ou discrts ou cor échatilloés sot l plus souvt issus d sigaux aalogiqus dot o prélèv ls valurs à ds istats régulièrt spacés : c'st l'opératio d'échatilloag qui trasor u sigal cotiu u suit uériqu Lorsqu'o vut échatillor u sigal st, dux problès s post : - das l doai tporl, qull st la prt évtull d'ioratio t xist-t-il u octio d'itrpolatio qui prt d rcostitur l sigal cotiu origial d aièr uivoqu à partir d la suit uériqu? L théorè d'échatilloag répod à ctt qustio - das l doai ds aplituds du sigal, s pos l problè d la taill uériqu ds obrs d la séri E t, du ait d lur aipulatio sur u calculatur, ls quatités uériqus sot orcét codés sur u obr ii d'éléts biairs Il s'agit d l'opératio d quatiicatio L sigal échatilloé Echatillor u sigal cosist doc à prdr ds échatillos d clui-ci à ds istats régulièrt spacés Au ivau écritur, il st habitul d rpréstr ls sigaux d la aço suivat Soit u sigal cotiu st, o prélèv u échatillo d clui-ci à chaqu périod d'échatilloag aussi applé das la littératur Ls échatillos octio du tps puvt doc s'écrir s Pour sipliir l'écritur t aussi s rapprochr d la rpréstatio athéatiqu ds suits uériqus, o écrit : s, c qui sigii l è échatillo du sigal st pour t
Expls d sigaux discrts : Aux équatios diértills liéairs à coicits costats du doai aalogiqu corrspodt, das l cas discrt, ds équatios récurrts à coicits costats Ex : Cosidéros l'équatio diértill : x& ax avc x c at Sa solutio st x t c, t Cosidéros parallèlt l'équatio récurrt x ax avc x c Sa solutio st x ca, B : pour sipliir l'étud athéatiqu t puisqu cla corrspod à u réalité physiqu, ous traitros ici qu d sigaux causals, qui sot uls pour < Co pour ls sigaux aalogiqus, ds sigaux-tsts sot utilisés das l doai uériqu qui sot la rap r, l'échlo Γ, l'ipulsio d Dirac δ t u sigal particulir, l pig d Dirac _ _ lttr cyrilliqu tcha La suit rap discrèt uitair {r}{r } pour < causalité {r } pour La pt xpri la vitss d variatio d la gradur cosidéré θ ar ; a dgré par scod xpri par xpl la croissac liéair d la tpératur d'u our B : la rap discrèt uitair r st l sigal issu d l'échatilloag d la rap uitair cotiu rt La suit échlo uitair discrt d Havisid {Γ } ou octio xistc causalité {Γ }{Γ } pour < pour
3 La suit ipulsio d Dirac discrèt {δ } La déiitio d l'ipulsio d Dirac discrèt st la suivat : {δ } δ pour pour AEIO : La déiitio d l'ipulsio d Dirac discrèt st ssiblt diért d cll d l'ipulsio d Dirac aalogiqu E t, ici il 'st pas qustio d surac uitair : la suit {δ } st u suit d'échatillos valat tous sau l'échatillo pour qui vaut 4 L'ipulsio d Dirac discrèt décalé δ{- } La déiitio d l'ipulsio d Dirac discrèt décalé st la suivat : pour {δ- } δ - pour 5 L pig d Dirac uitair ctré _ _ tcha C'st u distributio sigulièr périodiqu O ot _ _ δ t La soatio s'étd sur l'iii das l cas idéal d'u suit d "octios d Dirac" rtardés δt - La ultiplicatio d _ _ par u octio s st u opératio licit qui coduit à u podératio ds poids ds ipulsios du pig par ls valurs d la octio aux istats Ctt opératio corrspod par aillurs à u opératio d'échatilloag s _ _ s δ t L spctr, obtu par décopositio séri d Fourir, st l suivat : F _ _ F δ t δ _ _ ^ L résultat obtu st u pig d Dirac das l doai réqutil, autrt dit l spctr d'u pig d Dirac st u pig d Dirac, t ivrst O dit aussi qu l pig d Dirac possèd la propriété odatal d'êtr ivariat das la trasoratio d Fourir : Déostratio : Décopositio séri d Fourir du pig d Dirac qui st u sigal périodiqu :
Ci-cotr pig o uitair haut t pig d Dirac bas tcha s t δ t li pdat la duré i c t s t ω i i dt i ω t li dt i i i t δ t ω ω t li ω t ω i i i dt dt ω i li i i ω ω i! li ω i i L calcul ci-dssus st vrai à coditio qu Il aut rair l calcul pour : i i c s t dt t dt dt li li δ i i i i E rpréstatio bilatéral, o obtit doc ds rais d'aplitud / tous ls / 6 L sigal haroiqu ou siusoïdal discrt D ê qu lorsqu'o étudi u iltr aalogiqu, o ra l'étud d la répos réqutill d'u systè uériqu t pour cla o cosidérra u sigal siusoïdal échatilloé pour lqul o ra varir la réquc tr t u liit axial qu l'o vrra plus tard 7 Utilisatio du srvur wb Das l paragraph 4 du srvur, vous trouvrz : - U siulatio d l't du choix d la réquc d'échatilloag sur u sigal, Ci-dssous s trouv u xtrait d dvoir doé 97-98 utilisat ctt applt Doés uériqus : Fréquc d'échatilloag : Hz, Fréqucs du sigal : 5 Hz ; 5 Hz ; 95 Hz ; Hz ; 5 Hz La courb d gauch oir d l'applt rprést u siusoïd aalogiqu sur laqull sot schéatisés ls échatillos xtraits du sigal sous or d ptits croix Il st possibl d paraétrr la réquc d la siusoïd aisi qu la duré d'aichag La courb d droit rprést l sigal rcostitué sous or d'u siusoïd passat au iux par ls échatillos xtraits d la courb d gauch La réquc d'échatilloag st paraétrabl Préparatio : Il st dadé d'obsrvr l sigal pdat périods Dor la valur d la "duré d'aichag scods" pour chacu ds sigaux déiis ci-dssus Dor l obr d'échatillos par périod à calculr t dor la aièr d air l calcul pour l prir sigal La coditio d'échatilloag d Shao-yquist st-ll rspcté pour chacu ds ciq cas? Expliquz
E utilisat l'applt : str chacu ds ciq sigaux à l'aid ds paraètrs calculés précédt Pour chacu, rpréstr succictt ls courbs obtus, d gauch t d droit, costatr ls résultats obtus obr d périods visibls à l'écra, obr d'échatillos sur chaqu courb, obr d'échatillos par périod, t cotr cs résultats Vous trouvrz égalt das ctt parti du srvur : - U qustioair d'auto-évaluatio sur l sigal échatilloé, - U qustioair d'auto-évaluatio sur la uérisatio 3 Problès d'apodisatio êtrag Ls êtrs ci-dssous ot été calculés par MALAB à partir d'u êtr d 64 poits t d'u calcul d FF sur 496 poits : plotboxcar64 %Calcul du spctr liéair spctrabstboxcar64,496; spctrspctr/64;%axiu oralisé à plotspctr:4%zoo sur ls 4 prirs poits du spctr %Calcul du spctr si-logarithiqu co sur ls oduls FF ds oscilloscops spctrlog*logspctr/log; plotspctrlog:4 Das l tablau ci-dssous, la colo d gauch rprést la êtr, la colo ctral l spctr liéair t la colo d droit l spctr logarithiqu zoo sur ls 4 prirs poits das cs dux drirs cas 3 Fêtr rctagulair Ctt êtr st déii par : pour aillurs O put égalt cosidérr ctt êtr co état l cas particulir d la êtr d Haig gééralisé pour c êtr d Haig So xprssio réqutill st : si si 3 Fêtr triagulair ou d Bartltt Ctt êtr st déii par : / pour So xprssio réqutill st : pour / /
/ si si 33 Fêtr d Haig La êtr d Haig gééralisé a pour équatio : aillurs pour cos La êtr d Haig proprt dit st l cas particulir d la êtr gééralisé pour,54 Ls êtrs d la aill Haig s caractérist par u pic ctral d largur doubl d la êtr rctagulair ais u attéuatio ds oscillatios ssiblt plus iportat La rpréstatio réqutill d la êtr d Haig gééralisé a pour équatio : [ ] / / Hg 34 Fêtr d Ha La êtr d Ha ou Haig st l cas particulir d la êtr d Haig gééralisé pour,5
35 Fêtr d Blaca Ctt êtr st u xtsio d l'idé d Haig L prir lob st plus larg ais l'attéuatio st cor plus élvé Ell st déii par : M M aillurs cos pour avc la cotrait : So xprssio réqutill st : B M / / [ ] 36 Fêtr d Kaisr avc β 5 La êtr d Kaisr prt d précisr l coprois largur du pic ctral/aplitud ds oscillatios Ell st déii par : [ ] I β 4 I β aillurs I x M x /! pour où I st la octio d Bssl d prièr spèc d'ordr : E gééral, 4 β 9 t M 4 E prat β d l'ordr d 4,5, l'attéuatio st voisi d cll d Haig ais l pic ctral st ois larg Pour β d l'ordr d 9, l pic st plus larg ais l'attéuatio plus iportat 37 Fêtr xpotill Fêtr xpotill La êtr à répos xpotill st util pour la sur ds sigaux trasitoirs d typ ipulsio L début du sigal 'st pas prturbé, ais la i d l'rgistrt tporl st orcé à zéro La êtr xpotill covit qu pour la sur ds sigaux trasitoirs Ctt êtr st déii par : a t B pour t aillurs So xprssio réqutill st : E a
38 Problè ds uits spctrals C problè itrvit lorsqu la trasoré d Fourir discrèt 'st pas calculé sur u obr tir d périods L oti répété pour crér l sigal périodiqu 'st das c cas pas clui attdu E t, das c cas, l spctr obtu par FF 'st pas u bo approxiatio du spctr rél Etat doé qu l'utilisatur 'a souvt aucu cotrôl sur la localisatio du sigal das l'rgistrt tporl, il aut gééralt visagr l'xistc possibl d'u discotiuité Ct t, cou sous l o d uits laag, st aist das l doai réqutil Ctt discotiuité provoqu, par t d trasitoir, u élargisst d la rai spctral qui dvrait apparaîtr très i L'utilisatio d'u êtr typ Haig ou Blaca aura pour t, iltrat ortt ls xtréités du oti das l doai tporl, d'attéur l't ds uits Il pourra égalt êtr l cas échéat udiciux d'ssayr, lorsqu cla st possibl, d sychroisr l'aalysur d spctr odul FF sur u obr tir d périods d'échatilloag du sigal périodiqu à aalysr D'autr part, la résolutio d l'aalysur plus ptit réquc tr dux rais st égal à / Cosidéros, par xpl, l cas d'u sigal siusoïdal d 5 Hz t d'aplitud échatilloé à Hz sigal tporl 5-5 - 3 4 5 6 oti répété Cas où il 'y a pas d uit - 3 oti ctivt répété > uits spctrals