Triangles 1) Somme des angles d'un triangle Propriété: La somme des trois angles d'un triangle est égale à 180. Démonstration On considère un triangle ABC. Traçons la droite d parallèle à (BC) passant par A. Notons D et E des points de d comme sur la figure. Les angles DAB et ABC sont alternes-internes et comme les droites d et (BC) sont parallèles, ils ont la même mesure. De même pour les angles EAC et ACB. DAB BAC EAC= ABC BAC ACB= DAE =180 car c'est un angle plat. 48 37 Calculons l'angle BAC ABC BCA BAC =180 48 37 BAC =180 85 BAC =180 BAC=180 85 =95
Cas particuliers a) Les angle du triangle équilatéral Un triangle équilatéral est un triangle qui a les 3 côtés de même mesure ainsi que les 3 angles. Donc chaque angle mesure 180 3 = 60 b) Angles d'un triangle rectangle Propriété: Si un triangle est rectangle alors les angles aigus sont complémentaires (la somme = 90 ) Démonstration: ABC est un triangle rectangle en A donc BAC =90 La somme des angles d'un triangle est égale à 180 90 ABC ACB=180 d'où ABC ACB=180 90 =90 Propriété réciproque: Si les angles aigus d'un triangle sont complémentaires (la somme = 90 )alors le triangle est rectangle. Démonstration admise A 42 C 48 B Dans le triangle ABC on a ABC BAC=42 48 =90 Donc le triangle ABC est rectangle en C.
b) Angles d'un triangle isocèle Propriété Si un triangle est isocèle, alors ses deux angles à la base ont la même mesure. Démonstration ABC est un triangle isocèle Nous savons qu'un triangle isocèle possède un axe de symétrie d Le symétrique de l'angle CAB par rapport à d est l'angle CBA or la symétrie axiale conserve la mesure des angles donc CAB = CBA d Le triangle ABC est isocèle en C et ACB=48 (voir figure ci-dessus) Calculons la mesure des deux autres angles. La somme des mesures des trois angles d'un triangle est égale à 180 donc CAB CBA ACB=180 CAB CBA 48 =180 Le triangle étant isocèle, ses angles à la base ont la même mesure. CAB = CBA CAB CAB 48 =180 2 CAB 48 =180 2 CAB=180 48 =132 CAB= 132 2 =66 CAB= CBA=66 Propriété réciproque Si un triangle a deux angles de même mesure alors le triangle est isocèle. Démonstration admise Exemple Dans, le triangle EFG on a : EFG= FEG Ainsi, le triangle EFG est isocèle en G, GE=GF. 2) Inégalité triangulaire a) Propriété des longueurs des côtés d'un triangle Remarque: Le plus court chemin entre deux points est la ligne droite. Propriété Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Dans le triangle ABC on a: AB<AC+CB AC<AB+BC BC<BA+AC
b) condition d'existence d'un triangle Propriété Les nombres a,b, et c désignent des longueurs, la plus grande de ces trois étant a. Exemples: Existe-t-il un triangle de côtés 4cm, 2cm et 2,5cm? La plus grande est 4 cm 4 < 2+2,5 = 4,5 donc un tel triangle existe. Existe-t-il un triangle de côtés 6cm, 4cm et 1,5cm? La plus grande est 6 cm 6 > 4+1,5=5,5 donc un tel triangle n'existe pas. c) Cas d'égalité de longueurs Propriétés Si a < b+c alors il existe un triangle de longueurs de côtés a,b et c. Si a > b+c alors il n'existe pas un triangle de longueurs de côtés a,b et c. A et B désignent deux points Si un point M appartient au segment [AB] alors AB=AM+MB. Réciproquement: Si AB=AM+MB alors le point M appartient au segment [AB]. 3) Médiatrice Définition: La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par le milieu du segment et qui lui est perpendiculaire. M Propriété: A d B Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors ce point est à égale distance des extrémités de ce segment. On dit que le point est équidistant des extrémités du segment. Démonstration Le symétrique du point A par rapport à d est le point B. Le symétrique du point M par rapport à d est le point M lui même. Donc le symétrique du segment [AM] est [BM] or la symétrie axiale conserve les longueurs d'où AM=BM.
Propriété réciproque: Si un point est à égale distance des extrémités de ce segment, alors ce point appartient à la médiatrice du segment. Démonstration admise Propriétés des médiatrices d'un triangle: Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes ( se coupent en un seul point). Le point de concours des médiatrices est le centre d'un cercle qui passe par les trois sommets du triangle, appelé cercle circonscrit au triangle. Démonstration: Les médiatrices d et e se coupent en O démontrons que f passe également par O. Je sais que O appartient à d, médiatrice de [AB], or si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors ce point est à égale distance des extrémités de ce segment. Donc OA=OB. De même O appartient à e donc OA=OC d'où OB=OC. Or si un point est à égale distance des extrémités de ce segment, alors ce point appartient à la médiatrice du segment. Donc O appartient à f. De plus, comme OA=OB=OC, le cercle de centre O et de rayon OA passe par les trois sommets du triangle. 4) Hauteurs Définition: Dans un triangle, la hauteur issue d'un sommet est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. La droite (BH) est la hauteur issue de B. On dit que H est le pied de la hauteur. La droite (CH') est la hauteur issue de C. ( Elle se trouve à l'extérieur du triangle )
Propriété (Admise): Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. (Elles se coupent en un seul point) Les hauteurs du triangle ABC sont concourantes au point J. J est appelé l'orthocentre. J 5) Médianes Définition Dans un triangle la médiane issue d'un sommet est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet. Dans le triangle ABC, la droite (AI) est la médiane issue de A. Propriété (Admise): Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. (Elles se coupent en un seul point) Les médianes du triangle ABC sont concourantes au point G G est appelé le centre de gravité.