LA PLANIFICAION FINANCIÈRE «[] here are more uses for mahemaical models in he applied areas of finance han us ha of lieral, direc, on-line, real-ime decision making, and, in he presen sae of he ar, hese planning uses, in which a simplified formal model serves mainly o organize and explore some of he grosser implicaions of policy decisions, are likely o be more imporan». E.F. Fama e M.H. Miller, «he heory of Finance».. Inroducion Nous définissons la planificaion financière comme éan le domaine de la finance qui, par l'uilisaion de modèles formels de programmaion mahémaique, s'inéresse à la maximisaion de la valeur de la firme dès que le héorème de la séparaion (Hirshleifer 2 p. 63, Fama e Miller 3 pp. 45, 87) ne s'applique plus en raison des imperfecions du marché des capiaux elles que, la déducion fiscale des charges d'inérê, les coûs de ransacion explicies e implicies, enraînan ainsi la nécessié de enir compe du mode, de la période e de la quanié de financemen par l'inroducion de conraines appropriées 4. Nous sommes d'avis que oues les conraines financières qui peuven êre inroduies dans ces modèles doiven êre considérées, ou bien comme des inefficiences à cour erme (Hirshleifer 5 p. 208), ou bien comme des esimaions provisoires de planificaion pluô que comme des poliiques inviolables ou même des obecifs désirables (Fama e Miller 6 p. 36). En. Il fau êre conscien que, par ce procédé, nous fermons arificiellemen un sysème ouver. 2. Hirshleifer J., Invesmen, Ineres, and Capial, Prenice-Hall Inc., 970. 3. Fama E.F. & M.H. Miller, he heory of Finance, Hol, Rinehar and Winson, 972. 4. Cee définiion de la planificaion financière ne signifie pas que les modèles de programmaion ne s'appliquen pas dans le cadre d'un marché parfai des capiaux. En effe, des conraines elles que la disponibilié de main-d'oeuvre ou des relaions de dépendance enre deux ou plusieurs proes peuven êre raiées efficacemen e de façon opimale à l'aide de ces modèles. 5. Hirshleifer, J., Invesmen, Ineres, and Capial, Prenice-Hall, Inc., 970. 6. Fama E.F. & M.H. Miller, he heory of Finance, Hold, Rinehar and Winson, 972.
Jacques Sain-Pierre fai, les modèles de programmaion mahémaique doiven conribuer au processus de décision e ne pas êre considérés comme la façon de «soluionner le problème» (Haley e Schall 7 p. 354). De plus, pour des considéraions praiques évidenes, la planificaion financière doi uiliser l'approche sysémique dans un conexe de planificaion globale modulaire. Il ressor de cee définiion de la planificaion financière que la héorie financière es la pierre angulaire, le managemen sraégique consiuan la oile de fond. C'es la cheville ouvrière enre la première parie du processus de créaion de valeur qui va des avanages informaifs aux avanages concurreniels e l'évaluaion des flux monéaires libérés ou de la valeur économique aouée qui précède l'évaluaion de la valeur inrinsèque des fonds propres (voir le schéma de créaion de valeur). Le sue de la planificaion financière es rès vase. Nous ne ferons que l'aborder dans ce chapire. En effe, d'une par nous ignorerons complèemen l'approche simulaion e d'aure par nous ne discuerons que des conceps sans enrer dans les déails de la héorie. Enfin, nous ne raierons pas de la planificaion financière à cour erme 8 qui se raache à la gesion du fonds de roulemen. Les raisons en son bien simples : () nous n'accordons qu'un chapire au sue de la planificaion financière, il fallai donc le faire porer sur l'esseniel, (2) nous ne raions que du long erme, (3) il exise d'excellens aricles e livres qui raien de l'approche simulaion, (4) il fallai faire le lien avec la héorie financière e, (5) c'es la principale raison, il fallai présener ce que le leceur es le moins suscepible de rouver dans la liéraure courane sur le sue e qui pourra lui êre le plus uile dans la poursuie ulérieure de sa réflexion. C'es pourquoi il nous apparaissai inuile de décrire les logiciels financiers que l'on rerouve en vene sur le marché e qui seron probablemen remplacés par de plus efficaces avan même que ce livre soi publié. Le leceur n'a qu'à feuilleer les pages des ournaux e des revues financières pour rouver de nombreuses enreprises qui fon la vene ou la locaion d'ordinaeurs ou qui se spécialisen dans les logiciels, qui lui offriron de l'informer grauiemen sur les avanages e les inconvéniens de leurs logiciels financiers. ouefois, ce que le leceur rouvera plus difficilemen, c'es un cadre héorique à l'inérieur duquel il pourra inégrer logiquemen les divers enseignemens de la héorie financière e des éudes empiriques. C'es ce cadre que nous lui proposons dans ce chapire où les ineracions des décisions d'invesissemen e de financemen seron éudiées selon rois approches pour facilier la compréhension. 7. Haley C.W. & L.D. Schall, he heory of Financial Decision, McGraw-Hill, 973. 8. Voir les références à la fin du chapire. 2
Jacques Sain-Pierre 2. Ineracion des décisions d'invesissemen e de financemen : le modèle de base de Weingarner Le modèle de base ou le modèle à horizon de Weingarner, du nom de son aueur, perme de faire le lien enre le modèle de la valeur acuelle nee e la formulaion en ermes de programmaion mahémaique du même modèle. Le modèle que nous obiendrons ne sera pas proposé comme un modèle décisionnel éan donné que la simple uilisaion de la V.A.N. conduirai à la même réponse. Ce exercice es ouefois nécessaire pour bien comprendre les modèles plus complexes. Dans l'immédia, il perme aussi de redécouvrir les hypohèses derrières la méhode de la V.A.N. e que l'on aborde généralemen lors de l'éude des fondemens de la décision d'invesir. Supposons que nous ayons à choisir enre les proes indépendans x. Les enrées e les sories d'argen seron représenées par des a qui, par convenion, seron posiifs si ce son des sories e négaifs si ce son des enrées. Les flux monéaires qui surviennen après l'horizon pour le proe son acualisés à l'horizon e seron représenés par â. Les prês e les empruns seron désignés respecivemen par v e w. Quan aux flux monéaires qui proviennen des opéraions couranes, on les désignera par D. L'obecif es de maximiser la valeur acuelle nee de la firme à l'horizon (on pourrai choisir = 0 pluô que = e rien se serai modifié à une acualisaion près) ou en s'assuran, à chaque période, que les fonds provenan des opéraions couranes (D ) e des invesissemens ( a ) soien comblés par des empruns w, s'ils ne son pas suffisans pour permere les déboursés d'invesissemen (a ). Par conre, si les recees provenan des invesissemens ( a ) e des fonds courans (D ) son en surplus, il faudra les prêer (v ). Bien que l'on puisse enreprendre des paries de proe (0 x ), on ne peu choisir plus d'une fois le même proe (x ). Dans les modèles qui uilisen la programmaion mahémaique mixe (en nombres coninus e eniers), on éviera des résulas aberrans comme / 3 de pon ou / 2 camion en mean comme conraine l'accepaion ou le ree en enier du proe, avec x : 0 ou. Les prês e les empruns annuels se fon au aux d'inérê unique r. 3
La prose précédene peu s'exprimer de façon compace, en uilisan les symboles déà menionnés, par () Maximiser n â x + v w = Sous les conraines (a) (b) n ax + v w D = n ( + ) + + ( + ) = ax rv v rw w D = 2,..., (c) 0 x =,..., n (d) v, w 0 =,..., On remarquera que les seules inconnues son x, v e w. ous les paramères on des valeurs connues dès le débu. Nous avons, ci-dessus, ce qu il es convenu d appeler le primal de nore problème de maximisaion. En se servan du ableau, on peu facilemen passer au dual du même problème. Les coûs d'opporunié ou d'opion des conraines qui apparaissen dans la dernière colonne son représenés dans la première colonne par ρ (rho) e µ (mu).
Jacques Sain-Pierre ABLEAU Représenaion du primal e du dual x x 2 x x n v v 2 v v w w 2 w w ρ a a 2 a a n + D ρ 2 a 2 a 22 a 2 a 2n ( + r) + +( + r) D 2 ρ a a 2 a a n ( + r) + +( + r) D µ µ 2 µ µ n â â 2 â â n 0 0 0 0 0 0 5
Jacques Sain-Pierre (2) Maximiser n ρ D + µ = = Sous les conraines (a) ρ a + µ â =,..., n = (b) ρ (c) ρ (d) ρ ( r) + ρ 0 = 2,, (e) ρ ( r) + + ρ 0 = 2,, (f) ρ, µ 0 Les équaions (2b) e (2d) représenen les aciviés de prê e les équaions (2c) e (2e), les aciviés d'emprun. Les condiions (2b) e (2c) donnen : ρ (3) ou bien ρ = (4) donc, ρ = Éan donné qu'il ne peu y avoir qu'une seule valeur, ce sera aussi la valeur opimale de ρ Les condiions (2d) e (2e) donnen : ρ (5) + r + r ρ = 2,, (6) donc, ρ = +r ρ Si on combine ce résula avec (4), nous obenons, pour =,, 2 (7) = ( + r) = ( + r) = ( + r) ρ ρ ρ ρ + + 2 + 6
Jacques Sain-Pierre Or, éan donné que : ρ+ = ρ = On peu écrire : ( ) ρ = +r ρ exprime la valeur à l'horizon d'un dollar addiionnel l'année. Pour bien comprendre l'équaion (7), on peu consruire le schéma suivan : 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ρ 2 ρ 3 ρ Supposons que r = 0 % Pour ρ 3 le faceur d'accumulaion sera ( ) Pour ρ 2 nous aurons ( ) 8 +. 0 = 2436. 7 +. 0 = 9487. On pourrai aussi écrire ρ ρ ( ) ( ) Les deux méhodes son équivalenes. 2 = 3 +. 0 = 9487. 0. = 2. 436 La condiion (2a), lorsqu'elle es ransposée donne : = (8) u = â ρ a Pour un proe accepé enièremen ( x = ). (Il fau se rappeler qu'une enrée de fonds es précédée d'un signe moins e qu'une sorie de fonds, d'un signe plus par convenion). Pour les proes qui son reeés, x = 0 e ceux qui son accepés pariellemen 0< x <, la valeur de u es nulle : 7
Jacques Sain-Pierre u = 0 â ρ a = En uilisan l'équaion (7), on peu réécrire l'équaion (8) de la façon suivane : = (9) u = â + ( a )( + r) (0) or, â = = + ( a) ( + r) Ce qui nous perme de combiner (9) e (0) pour obenir : () u = ( a )( + r) = Si on divise l'équaion () de par e d'aure par la consane ( + r), nous obenons : u ( + r) (2) ( a )( r) = + = Convenons que K ( + r), le faceur d'accumulaion d'une valeur présene à l'horizon. On peu alors réécrire l'équaion (2). (3) u K ( a )( r) = = + Quan aux ermes ρ D dans la foncion obecif à l'équaion (2), ils représenen les valeurs des fonds provenan des opéraions couranes accumulées aux aux r usqu'à l'horizon. On peu encore se servir de l'équaion (7), c'es-à-dire, de ρ = + r e remplacer ρ D ( ) = r D K D r (4) par ( + ) = ( + ) = = Si on combine les équaions (3) e (4), on obien pour la foncion obecif : 8
Jacques Sain-Pierre n K D r a r = = = ( + ) + ( ) ( + ) La valeur de la foncion obecif du dual es égale à une consane posiive K qui muliplie la valeur acuelle des proes accepés e des acifs exisans. On peu appeler cela, la valeur de la firme. De plus, selon le héorème de dualié, la foncion obecif représenée à l'équaion (5) es égale à celle que nous avions à l'équaion (). Comme nous le disions au débu, cee formulaion es inéressane uniquemen parce qu'elle nous perme d'aborder des problèmes complexes. En effe, il serai inuile de recourir à ce modèle déaillé car il es équivalen à choisir les invesissemens sur la base du modèle de la valeur acuelle nee que nous connaissons déà. En effe, ou ce que nous venons de faire c'es d'explicier l'univers à l'inérieur duquel la VAN peu êre uilisée : un univers où il n'y a pas de conraines d'emprun e de prê e où l'on accepe ous les proes qui on une VAN posiive. 2. Le modèle de base avec une imperfecion de marché Qu'arrive--il lorsque nous inroduisons des conraines pour enir compe de ceraines imperfecions du marché? On voi les décisions d'invesissemen e de financemen devenir inimemen reliées si les conraines son opéranes. Prenons un exemple simple qui consiserai à aouer au modèle précéden, une limie absolue sur les empruns, pour chacune des périodes, de la forme w B pour =,,. On peu réécrire le programme primal en aouan cee conraine. Nous aurons : (6) Maximiser âx + v w n = n s/c (a) a x + v w D = n ax + rv + v + + rw w D, (b) ( ) ( ) = = 2,, (c) w B, =,, (d) 0 x, =,, n 9
Jacques Sain-Pierre (e) v, w 0, =,, On peu aussi refaire le ableau e inroduire cee conraine pour obenir le ableau 2. Les nouvelles conraines sur l'emprun apparaissen au bas du ableau avec les variables duales β (bêa) correspondanes dans la première colonne. En se référan au ableau 2, il es facile d'écrire le dual de nore problème de la façon suivane : (7) Minimiser ρ D + µ + β B = n = = s/c (a) ρ a + µ â = (b) ρ (c) ρ + β (d) ρ ( r) (e) ( r), =,, n + ρ+ 0, =,, ρ + + ρ+ + β 0, =,, (f) ρ, β, µ 0 Les équaions (b) e (d) représenen ouours les aciviés de prê e les équaions (c) e (e), les aciviés d'emprun. ouefois, on remarquera que les équaions (c) e (e) coniennen mainenan une variable duale supplémenaire. ρ Alors que précédemmen les condiions (2d) e (2e) donnaien = ( +r) nouvelles condiions (7d) e (7e) conduisen à modifier cee relaion pour τ β τ τ = (8) ρ = ( + r) + ( + r), les 0
Jacques Sain-Pierre ableau 2 Représenaion du primal e du dual x x 2 x x n v v 2 v v w w 2 w w ρ a a 2 a a n + D ρ 2 a 2 a 22 a 2 a 2n ( + r) + +( + r) D 2 ρ a a 2 a a n ( + r) + +( + r) D µ µ 2 µ µ n β B β 2 B 2 β B β n B â â 2 â â n 0 0 0 0 0 0
Jacques Sain-Pierre On se rappellera qu'en programmaion mahémaique, si une conraine n'es pas effecive, le coû d'opion correspondan à la conraine es nul. Dans nore exemple, β = 0 pour chacune des périodes, nous nous rerouvons dans la siuaion iniiale où il n'exisai pas de conraines d'emprun. De plus, si on ranspose l'équaion (8) dans l'équaion (7a), on aura comme valeur d'un proe accepé (7a) µ = â ρ a = τ µ βτ = τ = (9) = â + ( a) ( + r) + ( + r) Nous connaissons la valeur de â qui nous es donnée à l'équaion (0). (0) â = ( a )( + r) = + On peu réécrire les équaions (9) e (0) en les combinan pour obenir 9 µ β τ (20) = ( a ) ( + r) + ( a ) ( + r) = = Pour simplifier, on peu écrire (2) A = ( a )( + r) τ = τ τ τ = où A es la valeur composée, l'année, de ous les flux financiers associés au proe usqu'à la fin de l'année courane. On aura alors, après subsiuion de (2) dans (20), (22) µ = β A + ( a)( + r) = = avec la condiion habiuelle que µ 0 pour qu un proe soi accepé. τ 9. On remarquera dans la ransiion de (9) à (20) que la sommaion es équivalene à. = τ = = τ= 2
Jacques Sain-Pierre Selon (22), on peu donc avoir β = = (23) A ( a )( + r) Il es alors possible d'acceper un proe qui a une valeur acuelle nee négaive au aux d'inérê «r». En effe, il se peu qu'un proe devienne arayan parce qu'il génère des fonds à une ou des périodes où ils son les plus en demande. En l'absence d'une conraine d'emprun, un el proe ne serai, ouefois, amais accepable. L'inverse es aussi vrai pour un proe qui a une V.A.N. posiive. Il peu êre reeé, parce qu'il provoque des sories de fonds à une ou des périodes où ils son les plus désirés. Un exemple numérique faciliera cerainemen la compréhension de ce que nous venons d'exposer. Supposons que nous ayons le problème suivan qui correspond exacemen au problème primal (6). L'horizon es de rois ans e le nombre de proe s'élève à six. On se rappellera aussi l'inerpréaion d'un plus e d'un moins. Max. P = 44x + 70x 2 + 35x 3 + 88x 5 + 35x 6 + v 3 w 3 s/c 2x + 54x 2 + 6x 3 + 6x 4 + 30x 5 + 6x 6 + v w 35 3x + 0x 2 + 6x 3 + 2x 4 + 35x 5 + 0x 6.05v + v 2 +.05w w 2 20 5x + 4x 2 + 6x 3 + 5x 4 + 0x 5 + 4x 6.05v 2 + v 3 +.05w 2 w 3 20 w 25 w 2 25 w 3 25 0 x =,, 6 v, w 0 =,, 3 La soluion es p = 56.47 $ 3 4 6 2 5 x = x = x = x = 0., x = 0, x =. 37 2 3 0 v = v = v = 2 3 w = 607., w = 2029., w = 2500. 3
Jacques Sain-Pierre Les évaluaeurs duaux son : pour les conraines budgéaires : ρ =. 25 ρ 2 =. 57 ρ 3 = 02. pour les conraines x : µ = 20. 43 µ = 2 0 µ = 4. 47 3 µ 4 = 9. 88 µ 5 = 0 µ 6 =. 72 pour les conraines d'emprun : β = 0 β 2 = 0 β 3 = 0. 02 Ce qui donne pour les conraines en se servan des x 2() + 54(0) + 6() + 6() + 30(.37) + 6() + 0 6.07 = 35 3() + 0(0) + 6() + 2() + 35(.37) + 0() 0 + 0 +(.05)(6.07) 20.29 = 20 5() + 4(0) + 6() + 5() + 0(.37) + 4() 0 + 0 + (.05)(20.29) 25.0 = 20 On en dédui le ableau des empruns suivan : Période Remboursemen du capial 5 % Inérês Besoins de la période Emprun oal 6.07 = 6.07 = b 2 6.07 +. 30 + 3.92 = 20.29 = b 2 3 20.29 +.0 + 3.70 = 25.00 = b 3 3 Analysons la roisième (3) période : Nous disposons de 20 $ e le maximum que nous pouvons empruner es 25 $ ; il fau de plus que le modèle ienne compe que le remboursemen de b 2 avec les inérês plus les aures dépenses d'invesissemen soien inférieurs aux possibiliés monéaires de la roisième période. Le maximum que l'on peu empruner en b 3 a donc un effe sur b 2. C'es ce qui explique que b 2 soi égal à 20.29 $. On peu faire le même raisonnemen pour b par rappor à b 2 e b 3. C'es pourquoi l'on observe que la conraine d'emprun l'année 3 a un «effe à la baisse» sur les empruns dans les années e 2. 4
Jacques Sain-Pierre 4 Analysons mainenan l'équaion (8) : τ β τ τ = (8) ρ = ( + r) + ( + r) ρ = représene la valeur à l'horizon d'un dollar addiionnel aoué au capial disponible D l'année. Ainsi, pour ρ =.25 $, nous savons qu'un dollar addiionnel l'année augmenerai la valeur erminale du programme d'invesissemen de.25 $. En d'aures mos, ρ nous indique que le coû d'opporunié des fonds à comper de l'année es de 6,7 % par année pour rois ans (.067 3 =.25). β = l'évaluaeur dual associé avec la conraine B. 3 3 β τ = ρ = ( + ) + ( + ) r r τ τ ρ = ( ) 2 ( ) 0 + r + + r + ( + r) + ( + r) 2 2 3 β β β ρ = ( + r) 2 + 0 + 0 + ( + r ) 2 (. 02) ρ = ( 05. ) 2 + ( 05. ) 2 (. 02) = ( 025. ) + (. 24) ρ =.25 Le deuxième erme de l'équaion signifie qu'un dollar addiionnel l'année vaudra ( + r) τ dans l année τ s'il es invesi à r %. De plus, ce monan ( + ) r τ vaudra un β τ supplémenaire par dollar dans l'année τ si nous sommes capables de surmoner la conraine d'emprun l'année τ. ( ) 2 En se référan à l'équaion (8), nous voyons qu'un dollar addiionnel l'année, vaudra + r l'année 3 plus les correcions que l'on doi apporer en raison des conraines d'emprun. Il fau donc aouer (a) qu'un dollar addiionnel l'année vaudra ( ) l'évaluaeur dual β l'année ; (b) qu'un dollar addiionnel l'année vaudra ( ) l'évaluaeur dual β 2 l'année 2 ; 0 + r l'année, muliplié par l'effe de + r l'année 2, muliplié par l'effe de 5
Jacques Sain-Pierre (c) qu'un dollar addiionnel l'année vaudra ( ) 2 + r l'année 3, muliplié par l'effe de l'évaluaeur dual β 3 l'année 3. C'es ainsi que ρ, la valeur à l'horizon d'un dollar addiionnel aoué au capial disponible D es une combinaison du aux de rendemen requis en marché parfai, plus la valeur de l'imperfecion provoquée par la limie d'emprun. C'es pourquoi, lorsque l'imperfecion ne oue pas, nous n'avons que le premier erme de l'équaion (8), i.e. ( + ) r. 5 Analysons enfin l'équaion (20) : (20') µ = â + a ( + r) + β ( a ) ( + r) = = τ = Si, â = 44, a = 2, a 2 = 3 a 3 = 5 2 3 = 3, r= 5%, β = 0, β = 0, β =. 02 τ 6
Jacques Sain-Pierre Le graphique suivan fai ressorir les rois composanes de la valeur d'un proe elle qu'exprimée par (20'). 0 2 3 a β a 2 β 2 a 3 β 3 Dans l équaion (20'), µ es la somme de ces rois composanes: (i) â (ii) 0 a (.05) 2 a 2 (.05) (iii) 0 β ( a ) β + + β ( a )( 05. ) 2 ( a ) 2 2 β + + β + β a 3 ( a )( 05. ) 3 ( a )( 05. ) 3 2 ( a ) 3 3 2 On remarquera que lorsque β > 0, cee prime s applique au proe qu il y ai ou qu il n y ai pas de cash flows l année même. 7
Jacques Sain-Pierre Nous avons, 2 0 (. ) (. ) (. ) ( )(. ) µ = 44 2 05 305 5 05 + β 2 05 [( 2)( 05. ) ( 3)( 05. ) ] + + β 2 0 [( 2)( 05. ) ( 3)( 05. ) ( 5)( 05. ) ] + + + β 3 2 0 µ = 44 2. 38 2. 8 = 20. 43 On pourrai aussi écrire en se servan direcemen de (7a) : (. ) (. ) (. ) 3 2 µ = 44 2 067 3 0755 5 02 = 44 2(.25) 3(.57) 5(.02) = 20.43 Ces quelques exemples meen en lumière que l'inroducion d'une conraine sur les empruns, bien que la forme qui lui ai éé donnée ne soi pas rès réalise, a fai varier le coû des capiaux d'une période à l'aure conrairemen au modèle précéden où nous avions un seul aux r comme dans le cadre d'un marché parfai. 0 6 Ineracion des décisions d'invesissemen e de financemen : le modèle classique. Dans ce qui va suivre, nous allons comparer la décision d'invesissemen e de financemen qui découlerai de l'uilisaion classique de la noion de coû du capial avec celle qui proviendrai de l'uilisaion de la programmaion mahémaique où l'obecif es ouours le même, soi de maximiser la valeur de l'enreprise. Pour ce faire, nous allons uiliser un exemple numérique qui devrai facilier la compréhension. Nous avons à décider combien il nous fau invesir e empruner, sur la base des données suivanes où x représene le monan des nouveaux invesissemens e y les nouveaux empruns, en millions de dollars. Les possibiliés d'invesissemen peuven absorber au maximum 300 000 $ e généreron des cash flows perpéuels CF d'une valeur espérée de.08x. Donc, 0.08 $ par dollar invesi. 8
Jacques Sain-Pierre Le aux de rendemen requis pour le risque d'affaires ou en d'aures mos, le aux de rendemen requis par le marché sur les fonds propres si l'enreprise n'uilise pas le levier financier, r o, es de 0 %. Dans une elle siuaion, la valeur acuelle nee serai de. 08x $ x$ =. 20$ par dollar invesi. L'endeemen es limié à 60 % (L) du monan des. 0 nouveaux invesissemens. La firme a 900 000 $ de disponible. ou nouveau financemen qui aura lieu devra êre considéré comme permanen. Le aux marginal d'impô ( c ) es de 50 %. Enfin, ou excéden monéaire sera disribué en dividendes. Si on analyse ce problème en ayan recours à l'approche classique, nous devrons d'abord calculer le coû du capial (r a ) pour ensuie calculer la valeur acuelle nee. Le coû du capial es : (24) r = r ( L ) a o c ( ( )( )) r a =. 0. 5. 6 r a =.07 La valeur acuelle nee es :. 08x (25) VAN = x=. 43x. 07 Éan donné que la VAN es posiive, il serai dans l'inérê des acionnaires que l'on enreprenne le maximum d'invesissemen, c'es-à-dire 300 000 $ e que l'on emprune L x =. 6 300000$ = 780000 $. Nous aurons alors un surplus de 900 000 $ + 780 000 $ ( )( ) 300 000 $ = 380 000 $ qui pourra êre disribué en dividendes. Mainenan, si nous analysons ce problème en nous servan de la progammaion mahémaique ou en respecan bien le même obecif que nous poursuivons lorsque nous uilisons la VAN, c'es-à-dire, maximiser la valeur de l'enreprise, nous écrirons : (26) V L = V O + c B ( ) VL =. 20x$ +. 5 y Ce sera la foncion obecif que nous aurons à opimiser. 9
Jacques Sain-Pierre Quan aux conraines, elles poren sur le monan maximum que l'on peu invesir (x 300 000 $), le monan maximum que l'on peu empruner (y.6x) e sur l'équilibre de la provenance e de l'uilisaion des fonds. Nous aurons donc à : (27) Maximiser.20x +.5y s/c (a) x.3 (b) y.6x (c) x y +.9 La soluion opimale se siue à x =.3 e y =.78. On remarquera que les conraines qui poren sur les monans qui peuven êre invesis e emprunés son conraignanes alors que celle qui pore sur l'équilibre des sources e des uilisaions des fonds ne l'es pas. On consae aussi que la valeur acuelle des crédis d'impô provenan du financemen obligaaire nous a permis d'acceper un invesissemen qui aurai auremen éé reeé. En fai, la soluion opimale demeure la même aussi longemps que l'invesissemen génère plus de 0.30 $ par dollar invesi. S'il génère moins que cela, la soluion opimale devien x = 0 e y = 0. La conraine de capacié d'endeemen (à remarquer que cee équaion représene davanage une condiion qu une «conraine») reflèe donc l'exisence d'une relaion inime enre les décisions d'invesissemen e de financemen 0. Il fau aussi noer que l avanage fiscal représené par c pourrai diminuer usqu à 0.33 sans que cela ne change la soluion opimale x =.3 e y = 0.78. ouefois, e ceci es rès imporan, an e aussi longemps que la conraine de provenance e d'uilisaion des fonds ne deviendra pas conraignane, nous n'aurons pas besoin de l'appareillage de la programmaion mahémaique pour obenir la soluion opimale. La simple uilisaion de la VAN au coû du capial sera suffisane, comme dans le présen exemple où nous abouissons à la même décision selon les deux méhodes. Regardons ce qui se passerai si la conraine de sources e d'uilisaions des fonds devenai conraignane. Supposons que nous ayons 200 000 $ de disponible au lieu de 900 000 $. Il faudrai réécrire la conraine d'équilibre des fonds de la façon suivane : 0. Il es imporan de consaer que la conraine d emprun n es pas soumise à une limie absolue comme dans le cas du modèle de base de Weingarner éudié précédemmen. 20
Jacques Sain-Pierre (28) x y +.2 La soluion opimale ne serai plus la même e deviendrai x =.50 e y =.30 ouefois, il faudrai pluô écrire la conraine d'équilibre des fonds en inroduisan d'une par les dividendes (D) e d'aure par le financemen par acion (S). Nous aurions alors : (29) x + D y +.2 + S Si la poliique de dividendes n'affece pas la valeur de la firme, alors D e S n'on pas à apparaîre dans la foncion obecif e la soluion opimale demeure la même avec x =.3 e y =.78. La firme devra "simplemen" émere pour 320 000 $ d'acions (.3 =.78 +.20 + S). Malheureusemen, le "simplemen" n'exise qu'en l'absence des aures imperfecions dans le marché (la fiscalié en éai déà une). E pour enir compe de ces imperfecions il fau des méhodes plus raffinées comme la programmaion mahémaique. REMARQUE : Il es inéressan de comparer l'augmenaion de la valeur de la firme qui es obenue en se servan des deux méhodes : Selon la première, la VAN, nous avons :.43x = (.43) (.3) =.86 plus exacemen 85 74 $ Selon la seconde, la programmaion mahémaique, nous avons :.20(.3) +.5 (.78) =.30 Nous avons donc 85 74 $ versus 30 000 $ pour le même problème. D'où vien la différence? Elle provien du fai que le coû du capial dans la VAN suppose impliciemen que le monan de dees sera de 89 429 $ soi 60 % de l'augmenaion de la valeur de la firme. Preuve : I + VAN = VA VA(.6) = nouvelles dees implicies 300 000 $ + 85 74 $ = 485 74 $ = VA 2
Jacques Sain-Pierre 485 74 $ (.6) = 89 429 $ V L = V O + c B = 260 000 $ + (.5) (89 429 $) = 85 74 $ Éan donné qu'en réalié la dee éai limiée à 60 % des invesissemens, c'es la valeur de 30 000 $ qui es exace. V L = V O + c B = 260 000 $ + (.5)(780 000 $) = 30 000 $ 7 Ineracion des décisions d'invesissemen e de financemen : les coûs d'opion Nous sommes mainenan en mesure d'inroduire un modèle beaucoup plus réalise qui iendra compe des imperfecions réelles ou supposées du marché. En général, on peu dire que la valeur de la firme es foncion de ses invesissemens (x ), de ses empruns (y ) (la fiscalié), de ses dividendes (D ) (l'informaion qu'ils ransporen) e du produi ne de ses émissions d'acions (E ) (à cause des coûs d'émission). De plus, on peu dire que sa capacié d'endeemen dépend de ses invesissemens. Supposons que ψ (psi) représene le changemen dans la valeur de la firme (avec dividendes) au débu de la période = 0. Cee formulaion es rès générale e n'impose aucune resricion de linéarié à la foncion obecif. 22
Jacques Sain-Pierre Le problème es donc de (30) Maximiser ψ s/c (a) x conraine sur les invesissemens (b) y Z conraine sur les empruns n = (c) ( ) Y + E + x CF = Y + r c Y + D conraine de provenance e uilisaion des fonds où CF = Cash flows après impô (enrée = +, sorie = ) du proe l'année. x = Proporion du proe accepée Y = Financemen obligaaire Z = Capacié d'endeemen Z x > 0 r = aux d'inérê sur les empruns D = Monan global de dividendes en argen à E = Monan ne des nouvelles émissions d'acions en c = aux d'impô de l'enreprise Afin de comprendre les ineracions enre les décisions d'invesissemen e de financemen, nous allons examiner les condiions nécessaires pour obenir une soluion opimale en nous référan aux condiions de Kuhn-ucker. 23
Jacques Sain-Pierre Les condiions de Kuhn-ucker Supposons le problème de programmaion non-linéaire suivan où il nous fau rouver x, x 2,, x n de façon à : Maximiser () f ( x, x,..., ) 2 x n s/c ( ) g x, x,..., x b 2 n (2) ( ) g x, x,..., x b 2 2 n 2 ( ) g x, x,..., x b m 2 n m (3) x 0, =, 2,, n où f ( x, x,..., ) e ( ) 2 de décision. x n g x, x,..., x n son des foncions données des n variables 2 Supposons que nous ayons uniquemen la foncion obecif, qu'elle soi différeniable e qu'elle ne conienne seulemen qu'une variable ; nous savons que x x f x seulemen si df / dx = 0 à x = x. =, peu maximiser ( ) Cee condiion es suffisane si f ( x ) es une foncion concave. De même, si la foncion conien plusieurs variables, ( x x 2 x n ) f( x x 2 x n ) condiion suffisane si f( x x ),,..., peuven maximiser,,..., si f / x = 0 à x = x pour =, 2,, n. Ceci es aussi une 2 x n,,..., es une foncion concave. Si nous inroduisons les conraines de non-négaivié x 0 ( =, 2,, n), le seul changemen à faire, ce-dessus, es que si x = 0, alors la condiion f / x = 0 à x = x, doi êre remplacée par f / x 0 à x = x. 24
Jacques Sain-Pierre Malheureusemen, il devien beaucoup plus difficile de caracériser une soluion g x, x,..., x son aussi opimale si d'aures conraines impliquan les foncions ( ) inroduies. La difficulé vien du fai qu'une augmenaion de x peu exiger de modifier d'aures variables pour évier de violer les conraines, de sore que l'on ne peu plus se limier à regarder seulemen les f / x ( =, 2,, n). ouefois, les résulas de H.W. Kuhn e A.W. ucker permeen de se irer de cee impasse. Supposons que f( x, x 2,..., x n ), g ( x, x 2,..., x n ) son des foncions différeniables i 2 saisfaisan ceraines condiions de régularié. Alors ( x x 2 x n ) n,,..., peuven êre une soluion opimale au problème de programmaion non-linéaire seulemen si m nombres, u, u 2,, u m, exisen (il s'agi de valeurs impuées) de sore que les condiions suivanes soien saisfaies : m f g i () Si x > 0, alors ui = 0à x = x, x x i= pour =, 2,, n. m f g i (2) Si x = 0, alors ui 0à x = x, x x i= (3) Si u i > 0, alors ( ) g x, x,..., x b = pour i =, 2,, m. i 2 n i 0 (4) Si u i = 0, alors ( ) (5) x g x, x,..., x b, pour i =, 2,, m. i 2 n i 0 0, pour =, 2,, n. (6) u i 0 pour i =, 2,, m. Ce son les condiions de Kuhn e ucker. pour =, 2,, n. Référence : F.S. Hillier, G.S. Lieberman, «Inroducion o Operaion Research», chap. 8, Hoden-Day inc., 974. Pour simplifier l'applicaion des condiions de Kuhn-ucker à nore problème, nous allons donner un nom (φ, phi) à chacune de nos conraines. Quan aux variables duales qui représenen les différens coûs d'opporunié (λ, lambda), nous allons les faire apparaîre devan les conraines. 25
Jacques Sain-Pierre On peu réécrire (30) de la façon suivane : (3) Maximiser ψ s/c (a) λ : φ = x 0 =, 2,..., n f f (b) λ : φ = y Z 0 = 0,,..., [ ( )] c c (c) λ φ ( ) n x CF y y c r D E = : = + + = 0 = 0,,..., En se référan aux condiions de Kuhn-ucker, condiions nécessaires pour un opimum, nous aurons, en appliquan liéralemen leurs condiions : (32) ψ f φ λ λ φ c n φ f c + λ x x x x 0 = 0 = (33) f ψ φ λ λ φ c c f c c φ + + λ + y = 0 y y y + + 0 (34) ψ D = 0 c λ φ c D 0 (35) ψ E = 0 c λ φ c E 0 On peu simplifier en se servan des définiions e des égaliés suivanes : A ψ / x, F ψ / y, f Z φ /, ou bien Z / x x φ φ c φ = ; = ; = x y x f = 0 CF c c c φ φ φ = ; = ; = y D E 26
Jacques Sain-Pierre Avec ces simplificaions, on peu réécrire les condiions nécessaires pour un opimum. Pour chaque proe, nous aurons : f (36) A + λ Z + λ c CF λ 0 = 0 Pour l'endeemen à chacune des périodes, [ c r] f c (37) F ( ) λ + λ + λ 0 c + Pour les dividendes à chacune des périodes, (38) ψ D λ 0 c Pour les émissions d'acions à chacune des périodes, (39) ψ E c + λ 0 En se référan à l'équaion (36) e aux condiions de Kuhn-ucker, on peu déduire qu'un proe sera accepé enièremen si f (40) λ = A + λ Z + λ c CF > 0 = 0 f ouefois, si la valeur de A + λ Z + λ c CF es négaive, le proe sera refusé e λ sera égale à zéro. Par conre, si cee valeur es nulle, le proe pourra êre pariellemen accepé e λ sera encore égale à zéro. Donc, si λ = 0, il peu êre soi accepé pariellemen ou refusé enièremen. Si on suppose que la poliique de dividendes n'es pas perinene (si on a besoin de fonds, on peu ouours émere des acions) dans le sens que : (4) ψ ψ E = D = 0 =, 2,,. 27
Jacques Sain-Pierre Nous aurons alors λ c = 0 en raison des équaions (38) e (39). Supposons aussi que F ψ y > f 0. Dans ces condiions, les conraines φ ( = y Z 0 ) seron ouours à la f limie. De plus, on aura pour l'équaion (37) F = λ pour =, 2,,. Mainenan, si on remplace ces résulas dans l'équaion (40), nous obenons, (42) λ = A + F Z = 0 C'es un résula que nous connaissons déà : la valeur d'un proe accepé es égale à sa conribuion à l'augmenaion de la valeur de la firme, plus la valeur acuelle des crédis d'impô qui son dus à l'endeemen qui peu êre supporé par le proe. En praique, ouefois, nous savons que la poliique de dividende peu avoir une ceraine perinence. De plus, il y a les coûs de ransacion qui doiven êre encourus lors d'une émission d'acions. On pourra donc avoir ψ > D 0 e ψ < 0 <. E Supposons que la soluion opimale exige une émission d acions à la période. Alors, c ψ c (43) λ = λ E e >0 Ce qui veu dire que plus une émission sera coûeuse en ermes de coûs de ransacion, plus la valeur de λ c sera élevée. Examinons ce que ce résula implique au niveau de la valeur d'un proe (équaion 36) que nous réécrivons pour plus de simplicié. f (36) A + λ Z + λ c CF λ 0 = 0 Le proe es pénalisé si CF < 0, c'es-à-dire si à la période le proe es représené par un déboursé d'invesissemen. Par conre, il es relaivemen plus arayan si CF > 0. En effe, dans ce cas, le proe génère des fonds e rédui le besoin d'émere des acions. 28
Jacques Sain-Pierre On remarquera aussi que si le proe conribue à l'endeemen en, il rédui le besoin d'une émission d'acion en. En effe, si on se réfère à la valeur marginale de la capacié d'endeemen qui nous es donnée par l'équaion (37) [ c r] f (37) F c ( ) λ + λ + λ c + ψ on consae qu'elle dépend de F = e de λ c. La valeur marginale de la capacié y d'endeemen augmene lorsque l'on doi recourir à une émission d'acions. Le même ype d'ineracions exise si des dividendes son payées en e que ψ D 0. Nous sommes mainenan en mesure de faire ressorir les condiions pour que les décisions d'invesissemen e de financemen soien indépendanes. Il fau que dans l'équaion f (36) λ = 0 e λ c = 0, ou bien d'une aure façon, que ψ = 0, ψ ψ = 0 e = 0. Or, c'es y D E dans un marché parfai que l'on rerouve ces condiions. Dans la réalié, il faudra enir compe de l'impac de l'endeemen (y ), des dividendes (D ) e des émissions d'acions (E ) sur la valeur de l'enreprise en plus des inefficiences supposées ou réelles du marché. C'es là que la programmaion mahémaique pourra êre d'un grand secours. 29
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